Ứng dụng của định lý vi ét để giải một số bài toán trung học phổ thông

Một số ứng dụng của định lý Vi-ét để giải các bài toán Trung học phổ thông 1.2.1... Bài toán nhẩm các nghiệm của phương trình bậc hai Cần hình thành cho học sinh thói quen khi giải phươn

Có  rất  nhiều  định  lý  nổi tiếng  có  vai  trò  quan  trọng  trong  nghành  toán 

học  như  định  lý  Fermat,  định  lý  Chebyshev,  định  lý  Bunhia,  định  lý 

của định lý Vi-ét mà tôi chọn đề tài “Ứng dụng của định lý Vi-ét để giải một

số bài toán trung học phổ thông”. 

2 Mục đích nghiên cứu

Cung  cấp  thêm  tài  liệu  cho  giáo  viên  và  học  sinh  thuận  lợi  trong  quá trình học tập và giảng dạy, từ đó  nâng  cao  chất lượng  dạy  và  học trong nhà trường phổ thông. 

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận, ứng dụng của định lý Vi-ét. 

- Tìm hiểu thực trạng dạy và học định lý Vi-ét ở một số trường trung học phổ thông. 

NỘI DUNG Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Định lý Vi-ét

1.1.1 Định lý Vi-ét trong Toán học

x x x x x x

a d

1.1.2.2 Định lý đảo

Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là nghiệm của phương trình: 

2

0

X SX P  Điều kiện cần và đủ để tồn tại hai số u và v là S2 ≥ 4P. 

1.2 Một số ứng dụng của định lý Vi-ét để giải các bài toán Trung học phổ thông

1.2.1 Bài toán nhẩm các nghiệm của phương trình bậc hai

x x

x x

x x

x x

1.2.2 Bài toán tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

2 2 2.43

x x a

( )b 2ac a

. 

3abc b a

. 

x  x  =

b c

. 

6

b ac a

. 

1.2.3 Bài toán tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình

m m

1

m

x x

m m

x x m

x x

x x m

x x

m m

ax bx c a 0 có nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 1:  Với  mỗi  phương  trình  sau,  biết  1  nghiệm.  Tìm  m  và  nghiệm  

m x

c,   2

m x  x   có một nghiệm bằng 4. 

2

2

25( 4)

323( 4)

3

x m x

m x

x x

m m

m

 

. 3m 4

m

 = 3(m 2)

m

   

 (2 – m)(3m – 4) = 3(m – 2)m  (2 – m)(3m – 4 + 3m) = 0 

 (2 – m)(6m – 4) = 0 

2 3

a a

51

a a

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình: 

2

x  mxm   

có hai nghiệm sao cho tổng bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất. 

Giải

Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi  

m2 – (–m + 2)  0  m2 + m – 2  0 

 m  (–;–2  1; +) 

Theo định lý Vi-ét ta có    1 2

1 2

2





 



Ta có  2 2

x x =  2

(x x ) 2x x  

  2 2

x x  = 4m2 – 2(2 – m) 

   2 2

x x  = 4m2 + 2m – 4  Xét hàm số: f(m)= 4m2 + 2m – 4  với m  (–;– 2   1; +) 

Bảng biến thiên: 

M 

–        – 2        1

4        1      +  

f’(m)         –      |      –      0      +       |       + 

   f(m)  –       +         

       8       2 

      2 

( ; 2) (1; )

min ( ) 2

m

f m

    

  khi và chỉ khi m = 1 

( ; 2) (1; )

m

x x

    

   khi m = 1. 

1.2.5 Bài toán xét dấu các nghiệm của phương trình

m m m m

x

 



  cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. 

m m m

0

m m m m

m m m

m m m m m m

a b

y  x   x y   1 0Vậy phương trình tiếp tuyến của (P) là xy 1 0. 

 Cách 3: Sử dụng định lý Vi-ét  

  Giả sử phương trình tiếp tuyến tại A có dạng  yax  (d). b

  Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 

Gọi A( xA ;  xA +  m);  B( xB;  xB +  m)  là  các  giao  điểm  của  (d)  và  (C). 

Trong đó  xA ,  xB là hai nghiệm phân biệt khác 1 của phương trình (1). 

X X

Ví dụ 2:  Cho  tam  giác  ABC  vuông  tại  A  có  BC  =  2.  Tìm  m  >  0  để 

1 1320

m m

m m

Ví dụ 3:  Xác  định  các  góc  B,  C  của  tam  giác  ABC  vuông  tại  A  biết  

BC = 2; S =  3

2  (S là diện tích ∆ABC). 

Giải

Gọi b, c là độ dài hai cạnh góc vuông AC và AB (0 < b < 2, 0 < c < 2) Theo bài ra ta có: 

43

721





 

 

 hệ phương trình có hai nghiệm (1; 2), (2;  1). 

- Với S = –3, P = 2.  Ta có  x , y là nghiệm của phương trình 





 

 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (0; 2), (2; 0). 

m m m m

22

m m

Với việc hệ thống hóa lại định lý Vi-ét và một số ứng dụng của định lý ở trên nhằm giúp các em học sinh có thể hình dung khái quát các dạng toán liên quan đến ứng dụng của định lý Vi-ét. Sang chương 2 khóa luận sẽ xây dựng 

hệ thống bài tập tương ứng với các phần đã đề cập ở trên. 

Chương 2

HỆ THỐNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT

2.1 Bài toán nhẩm các nghiệm của phương trình bậc hai

Cần  hình  thành  cho  học  sinh  thói  quen  khi  giải  phương  trình  bậc  hai, kiểm tra trước tiên việc áp dụng hệ thức Vi-ét, nếu không dùng được mới áp dụng công thức nghiệm. 

2.2 Bài toán tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

a, M =  x1  x2                b,  N = 4 4

x  x  

Hướng dẫn giải

Theo định lý Vi-ét ta có:  1 2

1 2

24

x x m

x x

x x

   Bài 2: Cho phương trình:  

m

x x

m m

4( 1)( 1)

m m



  – 2

21

m m

m

x x

m m

Bài 3: Cho phương trình  2

2x (a1)x    a 3 0Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình trên có hai nghiệm thỏa mãn hiệu của chúng bằng 1. 

Hướng dẫn giải

- Phương trình có hai nghiệm phân biệt x x   > 0  1, 2 3 11

3 11

a a

P S

P S

m

m m

 Phương trình có đúng 1 nghiệm  (m + 1)2–(m – 1)2 = 0  m = 0. b,Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi      

1 0

101

m

m m

m m

m m

x x y

x



 (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất. 

x x

m x

Bài 5:  Cho  đồ  thị  hàm  số  (P)  y  =  x2  và  M(1;  2).  Viết  phương  trình  đường thẳng đi qua M tại A, B sao cho M là trung điểm AB. 

M là trung điểm của AB 

12

22

k k k

2.7 Bài toán có nội dung hình học

Công  thức  Vi-ét  không  những  có  ứng  dụng  trong  việc  giải  một  số  bài toán đại số mà còn ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học. 

Bài 1: Tìm 2 cạnh của hình chữ nhật có chu vi bằng 16m và diện tích bằng 12m2. 

X X

Ta có: ∆’ =  2 +  6 – 2.  6  = 2 – 6  < 0 

         phương trình vô nghiệm. 

Vậy không có tam giác nào có cạnh huyền bằng  2  và đường cao bằng 3

2 . 2.8 Bài toán giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn kiểu một

Một  phương  trình  được  gọi  là  đối  xứng  nếu  đổi  vị  trí  của  hai  ẩn  thì phương trình không thay đổi. 

Một hệ gồm hai phương trình đối xứng gọi là hệ phương trình đối xứng hai ẩn kiểu một. 

Hướng dẫn giải

a, 

42

S P S P

b, 

55

S P S P

c, Tương tự tìm được nghiệm của hệ phương trình là (5;3), (3;5), (–5;–3),  (–3;–5). 

d, Tương tự tìm được nghiệm của hệ phương trình là (0; 1), (1; 0). 

S P S P

2

t  t     t    1 x y  1Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y  khi 1 m 0. 

Kết luận: Như vậy chương 2 đã xây dựng hệ thống bài tập cụ thể phù hợp với 

một số dạng toán liên quan tới ứng dụng của định lý Vi-ét đã nêu ở chương 1. Mỗi dạng toán đều có phương pháp và hướng dẫn giải cụ thể giúp học sinh có cái  nhìn  cụ  thể  hơn  các  ứng  dụng  của  định  lý  Vi-ét  để  giải  một  số  bài  toán Trung học phổ thông. 

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

3.1 Mục đích thực nghiệm

Mục  đích  của  thực  nghiệm  nhằm  thăm  dò  khả  năng  dạy  và  học,  đồng thời bước đầu xem  xét khả  năng  của việc  vận dụng  định lý Viét để giải  các bài toán Trung học phổ thông. 

3.2 Nội dung thực nghiệm

Mỗi tiết thực nghiệm trước khi dạy đều được soạn giáo án đầy đủ, chặt chẽ có sự phê duyệt, chỉ dẫn của giáo viên hướng dẫn, đảm bảo đủ thời gian của một tiết học, phù hợp với kế hoạch quy định dạy học và các  yêu cầu cơ bản của bộ giáo dục và đào tạo, đảm bảo được mục đích đề ra. 

Nhận xét về tình hình thực nghiệm

Đây là hai lớp chọn của trường, lực học của học sinh hai lớp tương đối đồng đều.  Trong quá  trình làm thực nghiệm,  mặc dù trình độ nhận  thức của học  sinh  đều  còn  hạn  chế,  song  các  em  vẫn  tích  cực  tham  ra  xây  dựng  bài thông qua việc thực hiện các hoạt động thành phần phù hợp. 

3.4 Đánh giá thực nghiệm

3.4.1 Biện pháp đánh giá kết quả thực nghiệm

Kết quả thực nghiệm được đánh giá thông qua bài kiểm tra ban đầu và bài kiểm tra sau quá trình thực nghiệm. 

Bài kiểm tra ban đầu nhằm mục đính thăm dò hiểu biết và khẳ năng vận dụng định lý Vi-ét để giải một số bài toán trung học phổ thông của đối tượng thực nghiệm. Tiết thực nghiệm thứ hai nhằm tìm hiểu kỹ năng vận dụng các ứng dụng của định lý Vi-ét mà học sinh đã được giới thiệu. 

Sau khi tiến hành hai bài kiểm tra trên, ta so sánh chất lượng của hai bài kiểm tra để thấy sự khác biệt trong nhận thức của đối tượng thực nghiệm. 

3.4.2 Phân tích kết quả thực nghiệm

Đề kiểm tra chất lượng ban đầu

Điểm kiểm tra của học sinh lớp 10A, 10B trường THPT Mỹ Lộc

Giáo Án Thực Nghiệm Một số ứng dụng của định lý Vi-ét để giải các bài toán trung học phổ thông

3 Về tư duy

Tư duy logic, sáng tạo. 

II, Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

1 Chuẩn bị của giáo viên

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Giáo  viên  nhấn  mạnh:  khi  giải 

phương  trình  bậc  hai,    trước  tiên 

kiểm  tra  việc  áp  dụng  định  lý  Vi-ét, 

nếu  không  sử  dụng  được  mới  dùng 

có hai nghiệm x1 1,x2 c

a

      

a,  2

x  x     Nhận  thấy  1  –  6  +5  =  0    phương trình có hai nghiệm x11,x2 5. 

b,  2

x  x    Nhận  thấy  1  –  3  +  2  =  0    phương trình có hai nghiệm x1 1,x2    2 

- Là các biểu thức đối xứng. 

Giáo  viên  tổng  kết  lại  các  bước  để 

tính  giá  trị  các  biểu  thức  đối  xứng 

x x  = 52 –  2.6      2 2

       Phiếu học tập số 2

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

-  Áp  dung  vào  giải  câu  b. 

Giáo  viên  gọi  học  sinh  lên 

   Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt   

khi và chỉ khi 

0' 000

a

P S

0

m

m m m m

m

m m

m m

-  Đưa  ra  các  trường  hợp  xảy 

dương 0x1x2  

000

P S

P S

b,  Tìm  hệ  thức  liên  hệ  giữa  các  nghiệm  của  phương  trình  không  phụ  thuộc vào tham số. 

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

3

m m

m m

45

1 606

m m

x x m

+ Học sinh thực hiện yêu cầu. 

bố tần số và tần xuất như sau: 

Điểm kiểm tra của học sinh lớp 10A, 10B trường THPT Mỹ Lộc

Đối với lớp 10A, sau một tiết thực nghiệm, số học sinh đạt điểm trên 6 điểm chiếm tỉ lệ khá cao (xấp xỉ 75%). Đặc biệt, số học sinh đạt điểm giỏi đã tăng rõ rệt. Từ 20% lên đến 28,6%. Còn số học sinh đạt điểm khá chiếm gần 50%. 

Đối với  lớp  đối  chứng, vì  đề kiểm  tra  sau  mức  độ  khó  hơn  nên số  học sinh  không  làm  được  bài  tăng  lên.  Số  học  sinh  chỉ  được  điểm  dưới  6  điểm chiếm gần 60%, số học sinh đạt điểm giỏi giảm đi. 

3.5 Kết luận rút ra từ thực nghiệm

Qua  việc  nghiên  cứu  cơ  sở  lý  luận  về  kiểm  tra,  đánh  giá  bằng  trắc nghiệm  khách  quan.  Mặc  dù  thời  gian  nghiên  cứu  khóa  luận  còn  hạn  hẹp, trình  độ  nghiên  cứu  của  tác  giả  còn  hạn  chế,  song  những  kết  quả  bước  đầu cho  thấy  việc  kiểm  tra,  đánh  giá  kết  quả  học  tập  của  học  sinh  bằng  trắc nghiệm khách quan có thể đáp ứng phần nào những yêu cầu của việc đổi mới điều tra đánh giá trong tình hình hiện nay. 

Qua việc thử nghiệm sư phạm, bước đầu đã kiểm nghiệm được tính khả thi của việc nghiên cứu khóa luận. 

KẾT LUẬN Khóa luận đã trình bày và giải quyết một cách có hệ thống nhiệm vụ đặt 

ra là đưa ra hệ thống các ứng dụng của định lý Vi-ét với các ví dụ cụ thể và phần bài tập áp dụng bao gồm: 

+ Ứng dụng của định lý Vi-ét để nhẩm nghiệm các nghiệm của phương 

ax bx c a  + Ứng dụng của định lý Vi-ét để tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai  2  

ax bx c a  + Ứng dụng của định lý Vi-ét để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào tham số 

+ Ứng dụng của định lý Vi-ét để tìm điều kiện của tham số để phương 

ax bx c a  có nghiệm x x thỏa mãn điều kiện m cho trước. 1, 2+  Ứng  dụng  của  định  lý  Vi-ét  để  xét  dấu  các  nghiệm  của  phương 

Mỹ Lộc. Quá trình tiến hành thực nghiệm cho thấy kết quả thực nghiệm đã góp phần  khẳng định  tính  thực  tế,  khả  thi  của  định  lý  Vi-ét  và  các  ứng  dụng  vào việc khắc sâu kiến thức, rèn luyện kỹ năng cho học sinh trung học phổ thông.  

Do khuôn khổ của thời gian có hạn, nên khi thực hiện khóa luận tôi chỉ giới thiệu một số ứng dụng của định lý Vi-ét để giải các bài toán Trung học phổ thông dành cho học sinh lớp 10, và một số ứng dụng để giải hệ phương trình  đối  xứng  hai  ẩn  kiểu  I.  Trong  quá  trình  viết  đề  tài  không  tránh  khỏi những thiếu sót, tôi kính mong các bạn độc giả, các thầy cô giáo đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành đề tài của mình. 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa và sách bài tập Đại số 10, Nhà xuất bản Giáo Dục. 

2 Trần Văn Ký (1998), Phân loại và phương pháp giải toán đại số 10, Nhà 

xuất bản Đại học quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh. 

3  Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Đặng Hùng Thắng (2007), Bài tập nâng cao

và một số chuyên đề Đại số 10, Nhà xuất bản Giáo Dục. 

4 Phan Huy Khải (1998), Toán nâng cao cho học sinh_Đại số 10, Nhà xuất 

LỜI CẢM ƠN!

Trong  quá  trình  nghiên  cứu,  khảo  sát  thực  tế  tại  trường  trung  học  phổ thông  Mỹ  Lộc,  bên  cạnh  sự  nỗ  lực  của  bản  thân  tôi  đã  nhận  được  sự  động viên, giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong khoa Toán cùng các thầy cô trường trung học phổ thông Mỹ Lộc.  Đặc  biệt  tôi  xin  tỏ  lòng  biết  ơn  sâu  sắc  nhất  tới  ThS.  Dương  Thị  Hà người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong thời gian thực hiện khóa luận.  

Tôi xin trân trọng cảm ơn!  

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên   

Lê Thị Thanh Thảo

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của cô Dương Thị Hà.  Trong quá  trình nghiên  cứu  tôi có tham  khảo  một số  tài liệu nhưng không  hề  sao  chép  hoàn  toàn.  Tôi  xin  cam  đoan  khóa  luận  này  không  hoàn toàn trùng khớp với bất kì công trình nào đã được công bố trước đó. 

Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. 

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên   

Lê Thị Thanh Thảo

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU   1

1. Lý do chọn đề tài   1

2. Mục đích nghiên cứu  2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu   2

4. Phương pháp nghiên cứu   2

5. Cấu trúc đề tài   2

NỘI DUNG   3

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN   3

1.1. Định lý Vi-ét   3

1.2. Một số ứng dụng của định lý Vi-ét để giải các bài toán Trung học    phổ thông   5

Chương 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT   30

2.1. Bài toán nhẩm các nghiệm của phương trình bậc hai   30

2.2. Bài toán tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương  trình bậc hai   31

2.3. Bài toán tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình    2 0 0 ax bx c a không phụ thuộc vào tham số   33

2.4. Bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình  2   0 0 ax bx c  a   có nghiệm x x  thỏa mãn điều kiện cho trước   351, 2 2.5.  Bài toán xét dấu các nghiệm của phương trình  2   0 0 ax bx c a    38

2.6. Bài toán về hàm số   40

2.7. Bài toán có nội dung hình học   43

2.8. Bài toán giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn kiểu một   44

Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM   48

3.1. Mục đích thực nghiệm   48

3.2. Nội dung thực nghiệm   48

3.3. Tổ chức thực nghiệm   49

3.4. Đánh giá thực nghiệm   49

3.5. Kết luận rút ra từ thực nghiệm   59

KẾT LUẬN   60

TÀI LIỆU THAM KHẢO   61