Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên và mối liên hệ giữa chúng

ĐẠI HỌC ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN TRẦN THỊ NGỌC ANH SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHÚNG TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên nghành: Toán ứng d

ĐẠI HỌC ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

TRẦN THỊ NGỌC ANH

SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN

VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHÚNG

TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên nghành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học

T.s: TRẦN MINH TƯỚC

Hà Nội - 2013

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, với sự cố gắngcủa bản thân cùng với sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của các thầy côgiáo và các bạn sinh viên, em đã hoàn thành khóa luân này

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy côgiáo trong khoa Toán, các thầy giáo trong tổ Ứng dụng, các bạn sinh viên đãtạo điều kiện cho em trong suốt thời gian làm khóa luận Đặc biệt, em xingửi lời cảm ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo Trần Minh Tước, thầy giáoNguyễn Trung Dũng-thầy đã giúp đỡ tận tình trong quá trình chuẩn bị vàthực hiện khóa luận này

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa

do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên em không tránh khỏinhững thiếu sót Em kính mong nhận đươc sự đóng góp ý kiến của các thầy

cô giáo và các bạn sinh viên, để khóa luận của em dược hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Trần Thị Ngọc Anh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là đề tài nghiên cứu do tôi thực hiện.Các số liệu và kết luận trong luận văn không trùng với các công

Mục lục

MỞ ĐẦU 5

Chương I Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên 6

I.1 Một số kiến thức liên quan 6

I.1.1 Không gian L p 6

I.1.2 Bất đẳng thức Chebyshev 6

I.1.3 Bất đẳng thức Markov 7

I.1.4 Bất đẳng thức C r 7

I.2 Hội tụ hầu chắc chắn 7

I.3 Hội tụ theo xác suất 14

I.4 Hội tụ trung bình 16

I.4.1 Tính chất khả tích đều 16

I.4.2 Hội tụ trung bình 18

I.5 Hội tụ theo phân phối 20

Chương II Mối liên hệ giữa các dạng hội tụ 21 II.1 Mối liên hệ giữa hội tụ hầu chắc chắn và hôi tụ theo xác suất 21

II.2 Mối quan hệ giữa hội tụ theo xác suất và hội tụ theo phân phối 25

II.3 Mối liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ theo xác suất 30 II.4 Mối liên hệ giữa hội tụ theo trung bình và hội tụ hầu chắc chắn 33

KẾT LUẬN 34 Tài liệu tham khảo 35

MỞ ĐẦU

Trong hoạt động thực tiễn của mình, con người bắt buộc phải tiếp xúc vớicác biến cố ngẫu nhiên không thể dự đoán trước được Một lĩnh vực của toánhọc có tên là : "Lí thuyết xác suất" đã ra đời nhằm nghiên cứu các quy luật

và các quy tắc tính toán các hiện tượng ngẫu nhiên

Ngày nay Lí thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học lớn, chiếm

vị trí quan trọng cả về lí thuyết lẫn ứng dụng Một mặt Lí thuyết xác suất làmột ngành toán học có tầm lí thuyết ở trình độ cao, mặt khác nó được ứngdụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học kĩ thuật và cả khoa học xã hội vànhân văn Đặc biệt Lí thuyết xác suất gắn liền với khoa học thống kê, mộtkhoa học về các phương pháp thu nhập, tổ chức và phân tích dữ liệu, thôngtin định lượng

Khóa luận này sẽ trình bày một phần trong Lí thuyết xác suất : "Sự hội

tụ của dãy các biến ngẫu nhiên và mối liên hệ giữa chúng"

Khóa luận đươc trình bày theo bố cục:

Chương 1 : Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên.

Trong chương này đã trình bày các mục sau: Hội tụ hầu chắc chắn, Hội

tụ theo xác suất, Hội tụ theo trung bình, Hội tụ theo phân phối , các địnhnghĩa, định lí, các ví dụ về các dạng hội tụ

Chương 2 : Mối liên hệ giữa các dạng hội tụ.

Trong chương thứ 2 đã trình bày mối liên hệ giữa các dạng hội tụ, cácđịnh lí, các ví dụ và các phản ví dụ về các mối liên hệ

Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Trần Minh Tước, thầy giáo NguyễnTrung Dũng dã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ em trong quá trìnhviết khóa luận

Hà nội, tháng 05 năm 2013

Chương I

Sự hội tụ của dãy các biến

ngẫu nhiên

I.1.1 Không gian Lp

Với p > 0, kí hiệuLp =Lp(Ω,F ,P) là tợp hợp các b.n.n X (xác địnhtrên (Ω,F ,P)) sao cho E | X |P< ∞ Khi X ∈Lp, p > 0 ta kí hiệu:

kXkp = (E | X |P)

1 p

Nó được gọi là chuẩn bậc p của X

I.1.3 Bất đẳng thức Markov

P{ω :| X(ω) |≥ ε} ≤ E | X |

p

εp , ∀p > 0, ∀ε > 0Bất đẳng thức Markov là hệ quả của bất đẳng thức Chebyshev

I.1.4 Bất đẳng thức Cr

Nếu X , A ∈Lr với r > 0 thì :

E | X + A |r≤ CrE | X |r +CrE | A |rtrong đó :

Cr =

(

1 với 0 < r ≤ 1

2r−1 với r ≥ 1

Ta luôn giả thiết (Ω,A ,P) là không gian xác suất cơ bản, với P là đọ đo

đủ Giả sử {Xn, n > 1} là dãy đại lượng ngẫu nhiên , xác định trên cùngmột không gian xác suất (Ω,A ,P)

Ta kí hiệu {Xn →} là tập những ω sao cho đối với nó, dãy {Xn(ω)} hội tụ.Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, ta có thể viết:

Giới hạn hầu chắc chắn (nếu tồn tại ) là duy nhất theo định nghĩa : nếu

Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, Xn hội tụ hầu chắc chắn khi

và chỉ khi nó cơ bản với xác suất 1

Tức là biến cố sau đây có xác suất bằng 0

Mệnh đề I.2.3 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ hầu chắc chắn)

Dãy {Xn} hội tụ hầu chắc chắn khi và chỉ khi dãy {Xn} cơ bản theo nghĩa hầu chắc chắn

Chứng minh:

•[⇒] Giả sử Xn

h.c.c

−→ XKhi đó, do:

và giả thiết suy ra dãy {Xn} cơ bản hầu chắc chắn

•[⇐] Nếu {Xn} cơ bản hầu chắc chắn thì với xác suất 1, các dãy {Xn(ω)}

cơ bản trong R, do đó hội tụ tới eX(ω) nào đó

Đặt

X(ω) =

(e

X(ω) tại ω mà giới hạn tồn tại

0 tại ω mà giới hạn không tồn tại

I.3 Hội tụ theo xác suất

Định nghĩa I.3.1 Ta nói rằng, dãy các đại lượng ngẫu nhiên {Xn} hội tụ theo xác suất đến đại lượng ngẫu nhiên X ( và viết Xn −→ X ) nếu:P

Thì khi n tiến tới vô cùng, Xn sẽ hội tụ theo xác suất về một chung bình chung

µ của các biến ngẫu nhiên Yi.

Ví dụ I.3 Cho Ω = (0, 1], A là σ đại số Borel của (0,1], P là độ đo Lebesgue thông thường của ( 0, 1] và với mỗi k ∈ N ta xác định k đại lượng ngẫu nhiên

Định lí I.3.1 Dãy {Xn} hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi :

lim

m,n→∞P{ω :| Xn(ω) − Xm(ω) |≥ ε, } = 0, ∀ε > 0, (1)

(Điều kiện 2 có nghĩa là : họ các độ đo µi(A) = E | Xi | 1A liên tục tuyệt đối đều đối với P)

Từ đó và điều kiện 2, ta suy ra điều phải chứng minh

Định lí I.4.1 Giả sử {Xn} ⊂L1 Điều kiện cần và đủ để dãy này khả tích đều là : tồn tại hàm G(t),t ≥ 0, dương, tăng và lồi sao cho :

lim

t→+∞

G(t)

t = 0supEG(| Xn |) < +∞

I.4.2 Hội tụ trung bình

Định nghĩa I.4.2 Giả sử {Xn} ⊂Lp, X ∈Lp và p ∈ (0, +∞)

Nói rằng, dãy {Xn} hội tụ trung bình cấp p đến X và viết Xn−→ X nếu :Lp

Ví dụ I.5 Giả sử Zn là độc lập ngẫu nhiên rời rạc được xác định như sau:

P{Zn= 1} = 1

n, P{Zn = 2} = 1 −1

n

Ta thấy: E | Zn− 2 |2= (1 − 2)2 1n+ (2 − 2)2(1 −1n) = 1n → 0 khi n → ∞ Vậy Zn hội tụ tới hằng số 2 theo nghĩa bình phương trung bình.

Ví dụ I.6 Cho X là một biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên [0, 1], nghĩa

là X ∼ U [ 0, 1] và dãy các biến ngẫu nhiên {X }∞

suy ra điều phải chứng minh.

Định lí I.4.2 (Tiêu chuẩn Cauchy về hội tụ trung bình)

Giả sử {Xn} ∈ Lp, p ∈ (0, +∞) Điều kiện cần và đủ để {Xn} hội tụ trung bình cấp p đến X ∈Lp là :

lim

m,n→∞E | Xn− Xm |p= 0, (3)Chứng minh :

• Điều kiện cần suy ra từ bất đẳng thức Cr

• Giả sử có (3), tức là ∀ε > 0, ∃Nε sao cho ∀m, n ≥ Nε :

E | Xn− Xm |p< ε

Định nghĩa I.5.1 Nếu dãy các đại lượng ngẫu nhiên {Xn} hội tụ theo phân phối đến X ∈L0, nếu Fn(x) −→ F(x) tại các điểm liên tục của hàm F, kí hiệu Xn=⇒ X

hôi tụ theo xác suất

Chứng minh :

• Ý (a) là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề I.2.1

• Để chứng minh (b), ta giả sử Xn−→ 0 và chọn 2 dãy số dương {εP n}, {δn},sao cho εn ↓ 0 và ∑ δn < ∞

| Xnk(ω) |< εk, ∀k ≥ j0

Vì εk ↓ 0 nên suy ra

lim

n→∞Xnk(ω) = 0, ∀ω /∈ Q

• Lưu ý : Xn −→ X thì không suy ra được XP n−→ Xh.c.c

Ví dụ II.1 Cho {Xn} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối

Điều đó có nghĩa dãy {Xn} không hội tụ hầu chắc chắn.

Mệnh đề II.1.1 Nếu dãy {Xn} cơ bản theo xác suất thì có thể rút ra được một dãy con {Xnk} hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X nào đó.

Chứng minh :

Ta chọn dãy 1 = n0 < n1 < n2< < nk < bằng quy nạp như sau :

Đặt n0 = 1 Giả sử chọn được nk Khi đó tìm được nn+1 > nk sao cho :

Giả sử {Xn} không hội tụ hầu chắc chắn đến X

Điều đó có nghĩa là tồn tại ε > 0 và tập A với P(A) > δ > 0 sao cho

Định lí II.1.3 Xn −→ X khi và chỉ khih.c.c

Theo giả thiết :

hội tụ theo phân phối

Định lí II.2.1 Nếu dãy các đại lượng ngẫu nhiên {Xn}; X xác định trên cùng một không gian xác suất và Xn −→ X thì XP n =⇒ X

lim

n→∞Fn(x) ≤ F(x00), (2)

với x ≤ x00,

Vì khi x0 ↑ x và x00 ↓ x, F(x0) và F(x00) hội tụ về F(x) nên từ (1) và (2) ta có

F(x) = lim

n→∞Fn(x), ∀x ∈ C(F)Định lí được chứng minh

• Chú ý : Mệnh đề ngược lại nói chung không đúng

Ví dụ II.2 Giả sử Z là độc lập ngẫu nhiên rời rạc xác định bởi:

Như vậy dãy Zn hội tụ tới Z theo phân phối

Tuy nhiên Zn không hội tụ tới Z theo xác suất Qủa vậy với n = 2m + 1:

Với mọi ε0 : 0 < ε0 < ε ta có:

P{| Xn− c |≥ ε} ≤ 1 − Fn(c + ε) + Fn(c − ε + ε0)Khi n → ∞ thì Fn(c + ε) −→ 1, Fn(c − ε + ε0) −→ 0

b, Giả sử Z là độc lập ngẫu nhiên hằng số P{Z = c} =1

Khi đó nếu Zn hội tụ theo phân phối tới Z thì Zn hội tụ theo xác suất tới Z Giải:

a, Gọi c là một giá trị bất kì trong tập giá trị của Z và ε > 0 là số dương đủ nhỏ sao cho khoảng (c − ε, c + ε) không chứa giá trị nào của Z Kí hiệu

Cho n → ∞, vế phải tiến tới 0 do đó vế trái tiến tới 0

Ở ví dụ II.2 dã cho thấy điều ngược lại không đúng.

b, Ta có với mọi ε > 0:

P{| Z − Z |> ε} = P{| Z − c |> ε} =

Vậy Zn hội tụ tới Z theo xác suất.

Định lí II.2.3 Giả sử {Xn, n ≥ 1} là các biến ngẫu nhiên Nếu c là một hằng

Cho δ → 0 và sử dụng ( ) ta có điề phải chứng minh.

Định lí II.2.5 Giả sử rằng {Xun, Xu,Yn, X , n ≥ 1, u ≥ 1} là các biến ngẫu nhiên Như vậy mà cho mỗi n,Yn, Xun, u ≥ 1 được xác định trên một miền chung.

Giả sử cho mỗi u, với n → ∞

Không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử

Ta có điều phải chứng minh

II.3 Mối liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ

theo xác suất

Định lí II.3.1 Giả sử {Xn} ⊂ L1 và X ⊂ L0 Khi đó, hai điều kiện sau

tương đương với nhau

Từ bất đẳng thức: E | Xn− X |P IA ≤ 2P(E | Xn | IA+ E | X |PIA)

và giả thiết trong a, suy ra (| Xn− X |P) khả tích đều

Mặt khác, do Xn

P

−→ X nên với mọi ε > 0, P[| Xn− X |≥ ε] −→ 0

do đó tìm được n0 sao cho:

E(| Xn− X |P I[|Xn−X|≥ε]) < ε, ∀n > n0

Khi đó : E(| Xn− X |P) = E(| Xn− X |P I[|Xn−X|<ε]) +

E(| Xn− X |PI[|Xn−X|≥ε]) ≤ εP+ ε, ∀n ≥ n0Điều này chứng minh Xn−→ XLp

Với ε > 0 bất kì, ta tìm được n0 sao cho E | Xn− X |P< ε với n > n0

Tập hữu hạn các biến ngẫu nhiên | X |P, | X1 |P, , | Xn0 |P khả tích đều, tồntại δ > 0 sao cho khi A ∈F và P(A) < δ ta có :

Ví dụ II.4 Giả sử Zn là độc lập ngẫu nhiên rời rạc được xác định như sau:

P{Zn= 0} = 1 − 1

n, P{Zn = n} =

1n

Chứng minh rằng Zn hội tụ tới 0 theo xác suất, nhưng không hội tụ tới 0 theo nghĩa bình phương trung bình.

Khi n → ∞, do đó Zn không hội tụ tới 0 theo nghĩa bình phương trung bình.

II.4 Mối liên hệ giữa hội tụ theo trung bình và

hội tụ hầu chắc chắn

Giữa hội tụ theo trung bình và hội tụ hầu chắc chắn không có mối liên

hệ so sánh nào, tức là hội tụ theo trung bình không suy ra đươc hội tụ hầuchắc chắn và hội tụ hầu chắc chắn cũng không suy ra được hội tụ theo trungbình

KẾT LUẬN

Trên đây là toàn bộ nội dung của khóa luận "Sự hội tụ của dãy các biến ngẫunhiên và mối liên hệ giữa chúng" Nội dung chính của khóa luận này đề cậpđến là :

1, Nêu các kiến thức bổ trợ, các khái niệm, tính chất về các dạng hội tụ củadãy các biến ngẫu nhiên

2, Nêu lên mối liên hệ giữa các dạng hội tụ

Ngoài sự nỗ lực học hỏi và tìm tòi của bản thân, đề tài của em đã đượchoàn thành dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn của thầy giáo Trần Minh Tước, thầygiáo Nguyễn Trung Dũng và ý kiến đóng góp của các thầy cô trong khoatoán và các bạn sinh viên Khóa luận tốt nghiệp cơ bản đã đạt được mụcđích đề ra Tuy nhiên do thời gian có hạn và mới bắt đầu làm quen vớiphương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài cũng không tránh khỏi thiếusót Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của ý kiến của thầy cô vàcác bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn

Tài liệu tham khảo

[1] Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà

nội, 2001

[2] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, Nhà xuất bản

Giáo dục, 2009

[3] Nguyễn Viết Phú - Nguyễn Duy Tiến, Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà

xuất bản Đại học và trung học chuyên nghiệp 1983

[4] Đặng Hùng Thắng, Mở đầu về lí thuyết xác suất và các ứng dụng, Nhà

xuất bản giáo Giáo dục Việt Nam, 2005

[5] Sidney I Resnick, A probabbility path, B I R K H A U S E R