Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về phương trình cho học sinh lớp 10

Khóa luận tốt nghiệp này với đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải các bài tập về phương trình cho học sinh lớp 10” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác và kết quả thu được trong đề tà

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Đào Thị Hoa

đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ trong suốt quá trình em thực hiện đề tài

Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ phương pháp giảng dạy, Ban chủ nhiệm khoa Toán, các bạn sinh viên khoa Toán trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận này

Em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013 Sinh viên

Vũ Thị Hương

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là quá trình học tập, nghiên cứu và nỗ lực của

bản thân em dưới sự chỉ bảo của các thầy, cô giáo, đặc biệt là sự chỉ bảo,

hướng dẫn tận tình của cô giáo Đào Thị Hoa

Khóa luận tốt nghiệp này với đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải các bài

tập về phương trình cho học sinh lớp 10” không có sự trùng lặp với các

khóa luận khác và kết quả thu được trong đề tài này là hoàn toàn xác thực

Hà Nội, tháng 5 năm 2013 Sinh viên

Vũ Thị Hương

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài … ……… ………1

2 Mục đích nghiên cứu ……… ……….1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu … ……… ………2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ……… ……….2

5 Phương pháp nghiên cứu ……… ………2

6 Cấu trúc khóa luận ……… ……….2

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lí luận ……… 3

1.1.1.Khái niệm bài toán ……… …3

1.1.2 Vai trò, ý nghĩa của toán học ……… … 3

1.1.3 Phân loại bài toán ……… …5

1.1.4 Phương pháp chung để giải bài toán ……… …6

1.1.5 Những kĩ năng thường sử dụng khi dạy học giải bài tập toán … 8

1.2 Cơ sở thực tiễn ……… ….10

CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 2.1 Mục tiêu, nội dung chủ đề phương trình ở Đại số 10 nâng cao 19

2.2 Những kiến thức về phương trình ở Đại số 10 nâng cao … 20

2.2.1 Kiến thức cơ bản trong Đại số 10 nâng cao ……… 20

2.2.2 Các dạng bài tập về phương trình ở Đại số 10 nâng cao …… 26

2.2.3 Phương trình bậc ba và bậc bốn quy về phương trình bậc hai .35

2.3 Hệ thống bài tập về phương trình …… 38

KẾT LUẬN ……… 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 69

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Toán học có nguồn gốc thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn, những tri thức và kĩ năng toán học cùng với những phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập nhiều môn học khác trong nhà trường, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau và là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế Vì vậy, Toán học là thành phần không thể thiếu trong dạy học ở trường phổ thông

Phương trình là một nội dung chiếm vị trí quan trọng trong chương trình toán trung học phổ thông Lý thuyết về phương trình không chỉ là cơ sở

để xây dựng đại số học mà còn giữ vai trò quan trọng trong các bộ môn khác của Toán học

Ở Trung học cơ sở, học sinh đã được học định nghĩa về phương trình, những khái niệm liên quan cùng với các dạng phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai và phương pháp giải tương ứng, tuy nhiên chỉ những phương trình có hệ số là hằng số Đến lớp 10 các em được học nội dung này sâu hơn,

mở rộng hơn với những phương trình chứa tham biến Do có nhiều loại phương trình và nhiều phương pháp giải khác nhau nên học sinh gặp nhiều khó khăn khi học nội dung này Vì vậy để giúp cho việc dạy học được thuận tiện hơn thì việc rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về phương trình là cần thiết, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học cho giáo viên và học sinh

Với những lí do trên em đã chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về phương trình cho học sinh lớp 10”

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở tìm hiểu những vấn đề cơ bản về bài tập toán học, kĩ năng giải bài tập toán học, khóa luận hệ thống những kiến thức cơ bản về phương trình, từ đó xây dựng hệ thống bài tập về giải phương trình Đại số 10 nâng cao nhằm rèn luyện và phát triển cho học sinh kĩ năng giải loại phương trình

này Thông qua đó nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy học môn toán ở trường phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn

Xây dựng hệ thống bài tập rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về phương trình cho học sinh lớp 10

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng: Bài tập toán về phương trình

Phạm vi: Đại số 10 nâng cao

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận

- Điều tra, quan sát

- Tổng kết kinh nghiệm

- Thực nghiệm giáo dục

6 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo; khóa luận gồm hai chương:

Chương 1 Cơ sơ lí luận và thực tiễn

Chương 2 Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về phương trình cho học sinh lớp 10

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Cơ sở lí luận

1.1.1 Khái niệm bài toán

Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách

có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt ngay được

Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài toán là sự đòi hỏi phải đạt tới đích nào đó Như vậy, bài toán có thể đồng nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán như: đề toán, bài tập,

1.1.2 Vai trò, ý nghĩa của toán học

1.1.2.1 Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh

Trong thực tế, một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm toán học và các kết luận toán học Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân tích dữ kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các kiến thức đã biết khác có liên quan tới bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến thức mới Và cứ như vậy các kiến thức mới tìm ra lại cùng các kiến thức đã biết trước được phân tích, tổng hợp lại để ra các kiến thức mới nữa Cuối chúng ta đi đến được lời giải của bài toán

Như vậy, khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng được củng cố qua lại nhiều lần

1.1.2.2 Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh

Đặc điểm nổi bật của toán học cũng như của môn toán là một khoa học suy diễn, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề Do vậy, lời giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rõ rệt Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác dụng trực tiếp rèn

luyện cho ta năng lực sử dụng các phép suy luận lợp lôgíc: Suy luận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn,

Chúng ta biết rằng, không thể có một phương pháp chung nào để giải được mọi bài toán Mỗi bài toán có một hình vẻ khác nhau, muốn tìm ra được lời giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích: Phải biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hóa Như vậy, qua việc giải bài toán năng lực tư duy sáng tạo được rèn luyện và phát triển

1.1.2.3 Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh

Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứ

bộ môn khoa học nào là hiểu, nhớ, và vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết được các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó

Trong việc giảng dạy toán thì bài toán lại tham gia vào trong mọi tình huống của quá trình dạy học môn toán

Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán được sử dụng để tổ chức gây tình huống để dẫn dắt cho học sinh có thể đi đến định nghĩa khái niệm; Bài toán được sử dụng để nêu ra làm các ví dụ hoặc phản ví dụ minh họa cho khái niệm; Bài toán được sử dụng để luyện tập củng cố vận dụng khái niệm

Trong giảng dạy định lý toán học: Bài toán có thể được sử dụng để tổ chức gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lí toán học; Bài toán có thể được sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lí; đặc biệt là việc tổ chức hướng dẫn học sinh chứng minh định lí chính là việc tổ chức hướng dẫn học sinh tập tìm ra lời giải của một bài toán cơ bản có nhiều ứng dụng trong một phần hay một chương nào đó của môn học

Trong luyện tập toán học: Bài toán là phương tiện chủ yếu trong các tiết luyện tập toán học Trong đó người giáo viên phải xây dựng được một hệ thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng

cố các kiến thức và hình thành một số kĩ năng cơ bản nào đó

1.1.2.4 Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh

Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con người là mọi hoạt động đều

có mục đích rất rõ ràng Khi giải một bài toán ta luôn có hướng mục đích rất

rõ rệt, vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động của con người Để giải một bài toán, nhất là đối với các bài toán khó người giải phải vượt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại, và nhiều khi người ta phải có quyết tâm rất lớn để giải bài toán đó Nói theo cách của G.POLYA là “Khát vọng và quyết tâm giải được bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài toán” Do vậy, ta thấy rằng: Hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con người

1.1.3 Phân loại bài toán

Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được mục đích nhất định, thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi

1.1.3.1 Phân loại theo hình thức bài toán

Bài toán chứng minh: Là bài toán kết luận của nó đã được đưa ra một

cách rõ ràng trong đề bài toán

Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa có sẵn trong

đề bài toán

1.1.3.2 Phân loại theo phương pháp giải bài toán

Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: Bài toán này có angôrit giải hay chưa để chia các bài toán thành 2 loại:

Bài toàn có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theo

một angôrit nào đó hoặc mang tính chất angôrit nào đó

Bài toàn không có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của

nó không theo một angôrit nào hoặc không mang tính chất angôrit nào

1.1.3.3 Phân loại theo nội dung bài toán

Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành các loại khác nhau như sau:

Bài toán số học

Bài toán đại số

1.1.3.4 Phân loại theo ý nghĩa giải toán

Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán: Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kĩ năng nào

đó, hay là bài toán nhằm phát triển tư duy Ta có 2 loại bài toán như sau:

Bài toán củng cố kĩ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau

khi học một hoặc một vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó

Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các

kiến thức cũng như kĩ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo

1.1.4 Phương pháp chung để giải một bài toán

1.1.4.1 Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

Phân biệt cái đã cho, cái phải tìm, phải chứng minh

Có thể dùng công thức, kí kiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

1.1.4.2 Bước 2: Tìm lời giải

Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho, cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, …

Kiểm tra lời giải qua các bước thực hiện

Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất

1.1.4.3 Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước

đó

1.1.4.4 Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn

đề

Ví dụ 1: Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau:

Trong ABC , chứng minh rằng ta luôn có:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Bài toán đã cho: ABC bất kì, với , ,A B C là ba góc của tam giác

Bài toán yêu cầu: Chứng minh rằng:

cos cos cos 1 4sin sin sin

Bước 2: Tìm lời giải

Để chứng minh đẳng thức trên, ta có những cách biến đổi nào?

(biến đổi vế trái bằng vế phải hoặc ngược lại)

Ta sử dụng công thức nào để biến đổi c Aos cosB, khi đó ta được vế

Trong vế trái ta thấy xuất hiện nhân tử chung là gì? ( 2sin

Bước 3: Trình bày lời giải

Do , ,A B C là ba góc trong một tam giác nên: ABC

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Lời giải trên hợp lôgic

Ngoài cách giải trên ta còn cách giải khác, đó là: Ta biến đổi vế phải thành vế trái

Vậy ta có điều phải chứng minh

1.1.5 Những kĩ năng thường sử dụng khi dạy học giải bài tập toán

1.5.1.1 Kĩ năng giải toán

“Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh)” Để thực hiện tốt môn toán ở trong trường trung học phổ thông, một trong những yêu cầu được đặt ra là:

“Về tri thức và kĩ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt là tri thức có tính chất thuật toán và những kĩ năng tương ứng Chẳng hạn: Tri thức

và kĩ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, tri thức và kĩ năng chứng minh toán học, kĩ năng hoạt động và tư duy hàm ” Cần chú ý là tùy theo nội dung kiến thức toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng khác nhau

Kĩ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm: Kiến thức, kĩ năng, phương pháp

Do đặc điểm, vai trò và vị trí của môn toán trong nhà trường phổ thông, theo lý luận dạy học môn toán cần chú ý: “Trong khi dạy học môn toán cần quan tâm rèn luyện cho học sinh những kĩ năng trên những bình diện khác nhau đó là:

- Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán

- Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác

- Kĩ năng vận dụng tri thức vào đời sống”

Theo quan điểm trên, truyền thụ tri thức, rèn luyện kĩ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của bộ môn toán trong nhà trường phổ thông

1.1.5.2 Sự hình thành kĩ năng

Sự hình thành kĩ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong các bài tập Vì vậy, muốn hình thành kĩ năng cho học sinh, chủ yếu là kĩ năng học tập và kĩ năng giải toán, người thầy giáo cần phải:

- Giúp học sinh hình thành một đường lối chung (khái quát) để giải quyết các đối tượng, các bài tập cùng loại

- Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiến thức tương ứng

Rèn luyện kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học vào thực tiễn

mà trước tiên là kĩ năng giải toán cần đạt được các yêu cầu sau:

i,Giúp học sinh hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt chương trình phổ thông Trong môn toán có thể kể tới các kiến thức sau:

ii, Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là:

- Tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán

- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian

- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo

iii, Coi trọng việc rèn luyện kĩ năng tính toán trong tất cả giờ học toán, gắn với việc rèn luyện các kĩ năng thực hành như tính toán, biến đổi, vẽ hình, vẽ

đồ thị

4i, Giúp học sinh rèn luyện phẩm chất của người lao động mới như: Tính cẩn

thận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thể gặp

1.2 Cơ sở thực tiễn

Giải phương trình là một trong những nội dung cơ bản trong chương trình môn toán ở phổ thông Tuy nhiên trong quá trình học tập, học sinh vẫn thường mắc phải một số sai lầm

Các sai lầm thường mắc phải khi giải phương trình là: Vi phạm các quy tắc biến đổi phương trình; đặt thừa hay thiếu điều kiện đều dẫn đến những sai lầm, thậm chí không giải tiếp được Một số sai lầm còn do hậu quả của việc biến đổi biểu thức không đúng; lời giải không đầy đủ; thừa nghiệm, thiếu nghiệm hoặc vừa thừa nghiệm, vừa thiếu nghiệm Dưới đây là một số sai lầm

mà học sinh thường mắc phải

Ví dụ 1: Giải và biện luận: 5 2 5 0

2

a a

có hai nghiệm phân biệt

* Sai lầm: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt    0

 (2m1)2 4(m1)(m5)0 20 m21 0  21

20

m 

* Nhận xét:

Với m 1 thì phương trình chỉ có một nghiệm x  6

Lưu ý: ax2 bx  có hai nghiệm phân biệt c 0

00

Ví dụ 3 : Tìm m sao cho phương trình: x2 (2 m  1) x  m2 0 (3) chỉ có một nghiệm thỏa mãn x  3

32

Loại 1: Hiểu sai về cụm từ “chỉ có một nghiệm”

Loại 2: Trường hợp 2 thiếu trường hợp khi viết gọn x1 3 x2 và

Trường hợp 1: 1 2

10

43

53

Ví dụ 4: Tìm m sao cho phương trình: mx22(m1)xm  (4) 1 0

không có nghiệm ngoài khoảng ( 1; 1)

* Sai lầm: Điều kiện đã cho tương đương với tìm m để phương trình (4) có

Như vậy, phải bổ sung các trường hợp m0 và 0

x x

(thỏa mãn điều kiện ( ) )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  1

Phương trình nhận x 0 là nghiệm do biến đổi thừa điều kiện x 0

* Lời giải đúng: Điều kiện xác định: 1 x x2  0

So sánh điều kiện x  , phương trình (7) có nghiệm là 3 x 7 và 37

737

2 4

2

x x

11 113

; 3 3;

03

x x

x x

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ

PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10

2.1 Mục tiêu, nội dung chủ đề phương trình ở Đại số 10 nâng cao

2.1.1 Mục tiêu

* Về kiến thức:

Học sinh nắm vững khái niệm phương trình và những khái niệm liên quan: Nghiệm của phương trình, điều kiện của phương trình, phương trình tương đương, phương trình hệ quả

Nắm được cách giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai và các phương trình quy về bậc nhất hoặc bậc hai: Phương trình chứa ẩn ở dưới mẫu, chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, chứa ẩn trong dấu căn bậc hai

* Về kĩ năng:

Học sinh có kĩ năng giải và biện luận phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai Thành thạo với việc giải phương trình theo thuật giải, theo công thức hoặc theo một hệ thống quy tắc biến đổi xác định

Đồng thời biết linh hoạt vận dụng những kiến thức về giải phương trình theo nội dung, chẳng hạn phương trình chứa ẩn trong dấu giá tri tuyệt đối, chứa ẩn trong căn thức, chứa ẩn dưới mẫu

* Về tư duy:

Học sinh được phát triển về tư duy thuật giải trong việc giải phương trình theo thuật giải, hoặc theo một hệ thống quy tắc xác định; được rèn luyện tính linh hoạt và khả năng sáng tạo khi giải những phương trình theo nội dung, những phương trình không mẫu mực

Học sinh được rèn luyện tính quy củ, tính kế hoạch, tính kỉ luật, tính cẩn thận, chính xác và thói quen tự kiểm tra trong việc giải phương trình 2.1.2 Nội dung chủ đề phương trình ở Đại số 10 nâng cao

Chủ đề phương trình trong chương trình Đại số 10 nâng cao bao gồm các nội dung sau:

- Đại cương về phương trình (2 tiết)

- Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn (2 tiết)

- Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai (1tiết)

2.2 Những kiến thức về phương trình ở Đại số 10 nâng cao

2.2.1 Kiến thức cơ bản trong Đại số 10 nâng cao

2.2.1.1 Các định nghĩa và định lí

* Định nghĩa phương trình:

Cho hàm số f  f x( ) và yg x( ) có tập xác định lần lượt là D vàfg

D Đặt DDf  Dg

Mệnh đề chứa biến " ( )f x g x( )" gọi là phương trình một ẩn, x gọi là

ẩn số (ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình

Số x0D gọi là một nghiệm của phương trình f x( )g x( ) nếu

" (f x )g x( )" là mệnh đề đúng

Ví dụ: Điều kiện của phương trình x2 4x là 3 x24x 3 0

* Phương trình tương đương

2) ( ) ( )f x h x g x h x( ) ( ) nếu ( )h x   0 x D.

* Phương trình hệ quả

Phương trình f x1( )g x1( ) gọi là phương trình hệ quả của phương trình ( )f x g x( ) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình ( ) ( )

* Phương trình chứa tham số

Phương trình chứa tham số là phương trình ngoài ẩn còn có những chữ khác Các chữ này được xem là những số đã biết và được gọi là tham số

Ví dụ: 2mx2 5mx 3 0 là phương trình tham số với ẩn x và tham số m 2.2.1.2 Phương trình dạng ax   b 0

* Cách giải và biện luận:

 a  : Phương trình có nghiệm duy nhất 0 x b

Với m  thì 2 (2)0x  : Phương trình nghiệm đúng với mọi x0  R

Với m  2 thì (2)0x 12: Phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: Nếu m2  4 0 m 2, ta có:

3(2)

2

x m

 : Phương trình có nghiệm duy nhất

Kết luận:

Với m   , phương trình (1) vô nghiệm 2

Với m  , phương trình (1) có vô số nghiệm 2

Với m  2 và m 2, phương trình (1) có nghiệm duy nhất 3

2

x m





2.2.1.3 Phương trình dạng ax2 bx  c 0

* Cách giải và biện luận:

a  : Trở về giải và biện luận phương trình 0 bx c  0

Nếu   0thì phương trình vô nghiệm

Nếu   thì phương trình có nghiệm kép  0 x1 x2 b

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình: mx2 2(m2)xm 3 0 (1)

Hướng dẫn: Xét 2 trường hợp của m:

Trường hợp 1: Với m  , ta được: 0 (1) 4 3 0 3

+ Nếu   0m4: Phương trình (1) có nghiệm kép 1

2

x  + Nếu   0m4, thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

Với 0m , thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: 4

- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

- Phân tích đa thức thành nhân tử: Cho đa thức: f x( )ax2 bxc có hai nghiệm x và 1 x , khi đó nó có thể phân tích thành nhân tử như sau: 2

 1 2

f x a xx xx

- Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng:

Nếu 2 số có tổng là S và tích là P thì chúng là các nghiệm của phương trình: x2SxP0

- Xác định dấu của các nghiệm:

+ Phương trình có hai nghiệm trái dấu: P 0( hoặc a c 0)

+ Phương trình có hai nghiệm cùng dấu:  0,P 0

+ Phương trình có hai nghiệm dương:  0,P0,S 0

2.2.1.4 Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

* Cách giải:

- Tìm điều kiện xác định của phương trình

- Đưa phương trình về dạng bậc nhất hoặc bậc hai

- Giải và biện luận phương trình nhận được và đối chiếu với điều kiện

- Kết luận nghiệm của phương trình đã cho

Ta thấy x  1 không thỏa mãn điều kiện ( )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 3

2.2.1.5 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

* Phương trình dạng ax  b  cx  d (1)

Cách giải 1:

(2)(1)

Giải phương trình (2) và phương trình (3) Sau đó lấy hợp hai tập nghiệm của hai phương trình ta được tập nghiệm của phương trình (1)

Cách giải 2: Bình phương hai vế: (1)(axb)2 (cxd)2

Trở về giải và biện luận phương trình dạng ax2 bx  c 0

* Phương trình dạng: f x( ) g x( )

Cách giải:

Ta có:

( ) 0( ) ( )

Ta thấy x0 à v x2 đều không thỏa mãn điều kiện (2)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 2

2.2.1.6 Phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai

* Phương trình dạng: f x ( )  g x ( ).

Cách giải: Phương trình

2

( ) 0( ) ( )

Như vậy, phương pháp chung để giải phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai là bình phương hai vế để khử dấu căn

9

x

x x

2.2.2 Các dạng bài tập về phương trình ở Đại số 10 nâng cao

2.2.2.1 Giải và biện luận phương trình ax b 0

Bài 1: Giải và biện luận phương trình: a x2 a x( b) (1) b

* Hướng dẫn:

Ta có: (1)a a( 1)xb a( 1) (2)

Trường hợp1: Nếu

0( 1) 0

Với b  , phương trình (2) nghiệm đúng với mọi 0 x  R

Với b  0, phương trình (2) vô nghiệm

+ Với a  thì 1 (2)0x : Phương trình nghiệm đúng với mọi 0 xR

Trường hợp 2: Nếu

0 ( 1) 0

* Sai lầm thường gặp:

- Viết phương trình (2)a xb là sai khi giản ước ngay (a 1)

- Với a  , phương trình 0 (2) 0x   b, học sinh đã vội kết luận ngay phương trình (2) vô nghiệm mà không biện luận theo b

- Kết luận sai, chẳng hạn: Với b  0 thì phương trình đã cho vô nghiệm

* Các bài toán liên quan:

Bài toán tương tự: Tìm m để phương trình vô nghiệm, vô số nghiệm, có

nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất

* Chú ý: Trong trường hợp bài toán có nhiều tham số, chúng ta cần khéo léo

biện luận theo các tham số đó để xét hết các trường hợp xảy ra

Bài 2: Tìm m để phương trình có tập nghiệm là R

Như vậy: Với m2 hoặc m3, phương trình (2) có vô số nghiệm

Với m  và 2 m  phương trình (2) vô nghiệm 3

Kết luận: Vậy m  hoặc 2 m  là các giá trị cần tìm 3

* Nhận xét: Ví dụ trên là dạng đặc biệt với a  , khi đó ta đi biện luận cho b 02.2.2.2 Giải và biện luận phương trình dạng ax2bx c 0

Bài 1: Cho phương trình: mx2(2m1)x m   (1) 1 0

a Giải phương trình (1) với 3

5

m

b Chứng minh rằng (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

c Tìm các giá trị của m để (1) có một nghiệm lớn hơn 2

Do đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Vậy với mọi giá trị của m phương trình (1) luôn có nghiệm

c Với m  , phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là: 0 x1 1, x2 m 1

Ở câu b, nếu ta tính ngay được  1, rồi ta kết luận ngay phương trình

có hai nghiệm phân biệt là sai Sai lầm ở chỗ nếu m  thì (1) không còn là 0phương trình bậc hai Vì vậy ta cần xét hai trường hợp m  và 0 m  0

* Các bài toán liên quan:

- Câu b có thể được phát biểu như sau: Tìm m để phương trình có

nghiệm

- Bài toán về điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai: Tìm m để

phương trình có nghiệm, có hai nghiệm phân biệt hay vô nghiệm

- Bài toán nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỉ: Tìm m để phương trình có

nghiệm nguyên

Bài 2: Cho phương trình: x4(3m2)x2  (1) 1 0

a Giải phương trình với m 2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S   2 3 , 2 3

b Ta nhận thấy (2) có hai nghiệm thì hai nghiệm cùng dấu (vì P  ) 0

Vậy (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm kép dương

* Sai lầm thường gặp: Không đặt điều kiện cho t hoặc tìm được t nhưng

không so sánh điều kiện t0

* Các bài toán liên quan:

Bài toán tương tự: Tìm m để phương trình có bốn nghiệm hay phương

trình vô nghiệm

2.2.2.3 Bài tập ứng dụng định lí Vi-ét

Bài 1: Cho phương trình: x22(k1)x2k 5 0

a Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi k

b Tìm k để phương trình có hai nghiệm cùng dấu Khi đó hai nghiệm mang

dấu gì

c Tìm k để phương trình có tổng hai nghiệm bằng 6 Tìm hai nghiệm đó

d Tìm k để x12x22đạt giá trị nhỏ nhất

* Hướng dẫn:

a Ta có:   (k1)2 (2k5)k2 4k 6 (k2)22 0 k

Vậy phương trình có nghiệm với mọi k

b Ta đã có   , để phương trình có hai nghiệm cùng dấu thì  0

Khi đó phương trình đã cho có dạng: x2 6x 3 0 x1,2  3 6

d Với mọi k, phương trình có hai nghiệm x x thỏa mãn: 1, 2 1 2

Bài 2: Cho phương trình: x22(m3)x4m  (1) 1 0

a Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương

b Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

* Hướng dẫn:

a Phương trình (1) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi:

000

- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm

- Biểu diễn S và P theo m

- Khử m bằng quy tắc cộng đại số hay quy tắc thế

* Nhận xét: Qua các bài tập trên ta rút ra các bài toán ứng dụng định lí Vi-ét:

- Xét dấu các nghiệm của phương trình: Tìm m để phương trình có hai

nghiệm dương, có hai nghiệm âm, hai nghiệm trái dấu

- Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm, ví dụ: Lập phương trình

2.2.2.4 Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, chứa ẩn trong dấu căn bậc hai quy về bậc nhất hoặc bậc hai Bài 1: Giải và biện luận phương trình:

Do đó phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: x1m1 à v x2 m 3

Xét nghiệm x1 thỏa mãn điều kiện ( ) : 1 1 2

Với m   , phương trình (1) có nghiệm 3 x 6

Với m 1, phương trình (1) có nghiệm x 2

Với m 2, phương trình (1) có nghiệm x 3

Với m 0, phương trình (1) vô nghiệm

Với m  { 3,2,0,1}, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

- Tìm thiếu điều kiện, chẳng hạn:Điều kiện xác định là:

- Kết luận sai hoặc thiếu, chẳng hạn thiếu m 3,m 2

* Các bài toán liên quan: Ta có bài toán sau:

Tìm m để phương trình (1): Có nghiệm, có nghiệm duy nhất hoặc vô

(2)2

2 (3)2

x

m x

m x

+ Với

2

0

22

42