Phương pháp giải một số bài toán chứa tham số

Tìm điều kiện của tham số m để họ bất phương trình ..... Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các đối tượng nói trên và được sự hướng dẫn của thầy hướng dẫn, em đã quyết định chọn đề tài “

- 2 -

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian thực hiện đề tài khóa luận tốt nghiệp, dưới sự chỉ bảo tận tình của thầy hướng dẫn và được phía nhà trường tạo điều kiện thuận lợi Em đã có một quá trình nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nghiêm túc để hoàn thành đề tài Kết quả thu được không chỉ do nỗ lực của bản thân mà còn có sự giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình và các bạn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo đã giúp đỡ

em Đặc biệt là thầy Vương Thông thầy đã hướng dẫn, hỗ trợ em hoàn

thành tốt đề tài về phương pháp, lý luận và nội dung trong suốt thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp

- 3 -

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành dưới sự tìm hiểu, nghiên cứu của bản

thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Vương Thông

Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiêm cứu của một nhà khoa học Em xin khẳng định kết quả của khóa luận này là không sao chép từ bất kì đề tài nào Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan của mình

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Hoàng thị Cẩm Nguyên

- 4 -

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

Chương 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 3

1.1 Hàm số chứa tham số 3

1.1.1 Tìm các điểm đặc biệt của họ hàm số 3

1.1.2 Cho họ hàm số y f x m( , ), m là tham số Tìm m để họ đồ thị tương giao với một đường nào đó trong mặt phẳng. 13

1.1.3 Cho điểm M có tọa độ phụ thuộc vào tham số m Tìm quỹ tích điểm M khi m thay đổi. 18

1.2 Phương trình chứa tham số 26

1.2.1 Tìm điều kiện của tham số m để họ phương trình f x m ,  có 0 nghiệm trên D 26

1.2.2 Tìm điều kiện của tham số m để họ phương trình f x m ,  có 0 nghiệm thỏa mãn một số điều kiện nào đó trên D 31

1.3 Bất phương trình chứa tham số 36

1.3.1 Tìm điều kiện của tham số m để họ bất phương trình 36

1.3.2 Tìm điều kiện của tham số m để họ bất phương trình

 ,  0

f x m 

- 5 -

có nghiệm thỏa mãn một số điều kiện nào đó trên D. 39

1.4 Hệ phương trình ( bất phương trình) chứa tham số 42 1.5 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức toán học 47

CHƯƠNG 2: XÉT MỘT SỐ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ DẠNG

Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ một vị trí hết sức quan trọng Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác, là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế Muốn học tốt môn toán thì ngoài nắm vững lí thuyết thì còn cần phải làm nhiều bài tập và luyện tập Trong môn toán ở phổ thông có rất nhiều dạng bài toán chứa tham số được phân chia thành nhiều bài toán nhỏ trong chương trình học Tuy nhiên các dạng bài toán này chưa được phân loại rõ ràng và hệ thống đầy đủ cũng chưa đưa ra được các phương pháp giải một cách tường minh

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các đối tượng nói trên và được

sự hướng dẫn của thầy hướng dẫn, em đã quyết định chọn đề tài

“Phương pháp giải một số bài toán chứa tham số ” để trình bày trong

khóa luận tốt nghiệp đại học

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của khóa luận này là phân dạng và đưa ra phương pháp giải một cách chi tiết các bài toán chứa tham số

- 7 -

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a) Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là phương pháp giải của dạng bài toán chứa tham số

b) Phạm vi nghiêm cứu

Phạm vi nghiên cứu là một số dạng bài tập và phương pháp giải các bài toán chứa tham số

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu là phân loại, hệ thống các dạng bài toán chứa tham số

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích và tổng hợp kiến thức

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1 : Một số bài toán có chứa tham số

Chương 2 : Xét một số cấu trúc đại số dạng X  d

- 8 -

Chương 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ VÀ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1.1 Hàm số chứa tham số

1.1.1 Tìm các điểm đặc biệt của họ hàm số

Giả sử ta có họ hàm số y f m x( , ) trong đó m là tham số thuộc tập

hợp A nào đó ( A có nhiều hơn 1 giá trị ) Ứng với mỗi giá trị m A ta

có một hàm số cụ thểvà tương ứng với nó một đồ thị cụ thể Khi m thay

đổi, m A ta được một họ các hàm số và do đó có tương ứng một họ đồ thị này

Có thể phân các điểm trên mặt phẳng tọa độ thành 3 loại:

- Điểm mà mọi đồ thị của họ hàm số đã cho đi qua (điểm cố định),

- Điểm chỉ có 1 số đồ thị của họ đã cho đi qua,

- Điểm không có đồ thị nào của họ đã cho đi qua

1.1.1.1 Điểm mà mọi đồ thị của họ hàm số đã cho đi qua (điểm cố định)

Điểm M x y được gọi là điểm cố định của họ hàm số đã cho thì ( , )0 0

mọi đồ thị của họ tương ứng với mọi m A đều đi qua M

f x a x a x    có nhiều hơn n nghiệm a

khi và chỉ khi đa thức đồng nhất bằng đa thức không, tức là khi và chỉ khi a0 a1  a n , từ đó ta có hệ phương trình ẩn 0 x y , giải hệ 0, 0phương trình này ta tìm được x y 0, 0

Từ đây, suy ra: F m' 0 ( m A)

- 10 -

Phương pháp gán giá trị.

Không phải khi nào đồ thị hàm số cũng có thể đưa về dạng đa thức,

chúng ta sẽ sử dụng phương pháp này trong các trường hợp đó

- Bước 1: Ta gán cho m giá trị thứ nhất, ta sẽ có được hàm số f x 1( )

Gán cho m giá trị thứ hai, ta sẽ tìm được hàm số f x 2( )

- Bước 2: Tìm giao điểm của các hàm số f x ,1( ) f x 2( )

- Bước 3: Ta chứng minh giao điểm đó là điểm cần tìm

Bước 3: Ngược lại: thay x02;y0 vào họ hàm số ta được: 0

- 11 -

Vậy họ đồ thị này luôn đi qua 1 điểm cố định(2,0)

Cách 2 Gọi M x y là điểm cố định cần tìm, khi đó ( , )0 0

0 2

- 12 -

12

x x

 



  

Vậy đồ thị của (1) và (2) giao nhau tại 2 điểm M1( 1,0) và M2(2,0)Gọi N x y là giao điểm của (1) và (3) Vậy ( , )1 1 x là nghiệm của phương 1

x x





  

Vậy đồ thị của (1) và (3) giao nhau tại 2 điểm N1(2,0)M1 và N2(3,12)

Ta sẽ chứng minh họ hàm số đi qua N1(2,0) với mọi m

Thật vậy: thay tọa độ điểm N1(2,0)vào họ hàm số (*) ta được:

- 13 -

( Dạng hàm số này suy biến khi m  ) 1

Từ (i) ta suy ra: 2  2   

Rõ ràng họ tiệm cận này luôn đi qua điểm (0,1) đccm

VD3: Xác định  , sao cho đồ thị của hàm số

1

mx y

Cách 1 Vì ( 1, 1) A   và B(2,2) là các điểm cố định, nên tọa độ của chúng

thỏa mãn phương trình đường cong với mọim 1,m , ta có: 2

m m

m m

y0x m0 x y0 0  y0 0 (  m 1,m 2)

Điều này tương đương với 0 0

00

Vì ( 1, 1)A   là điểm cố định của họ đồ thị này nên thay x0  1,y0   1

vào (i) ta được:   1

Vì B(2, 2) là điểm cố định của họ đồ thị này nên thay x0 2,y0  vào 2

Với  2, 1 đồ thị suy biến thành y khi 2 m và 2 y  khi 1

1

m  nhưng theo đầu bài 2 giá trị này bị loại trừ

1.1.1.2 Điểm mà không có đồ thị nào của họ đồ thị đã cho đi qua

a) Phương pháp giải

- Bước 1: Gọi điểm N x y là điểm mà không có đồ thị nào của  0, 0

họ đường cong đã cho đi qua, khi đó y0  f m x( , )0  m A hay phương trình y0 f m x , 0 (ẩn số m) vô nghiệm 0

- Bước 2: Từ điều kiện vô nghiệm của phương trình đó suy ra quan

hệ tung độ y và hoành độ 0 x của điểm N 0

- 16 -

Chú ý: Do tính chất đơn trị của hàm số, chúng ta suy ra nếu một họ đồ thị có điểm cố định P x y thì các điểm có tọa độ ( , )1 1 (x x y 1,  y1)sẽ là những điểm mà không có đồ thị hàm số nào của họ đồ thị đã cho đi qua

Có thể thấy rằng các điểm x y thỏa mãn điều kiện trên là các điểm 0, 0

nằm bên trong hai góc nhọn tạo bởi các đường thẳng 1y x  và

y x

- 17 -

VD2: Cho hàm sốy x 33mx22m21x m 25m Tìm trên 1đường thẳng 1x tất cả những điểm mà đồ thị của hàm số không bao giờ đi qua

Điều này tương đương với  ' 16 3(1 y0) 0 hay là: 0 13

3

y  Vậy trên đường thẳng 1x , đồ thị của hàm số không bao giờ đi qua những điểm có tung độ: 13

x m

 



Tìm trên mặt phẳng tọa độ tất cả những điểm mà tiệm cận xiên của đồ thị của hàm số không thể đi qua khi m thay đổi

- 18 -

1.1.2 Cho họ hàm số y f x m( , ), m là tham số Tìm m để họ đồ thị tương giao với một đường nào đó trong mặt phẳng

a) Đưa ra bài toán

Cho họ hàm sốy f x m( , ), m là tham số, cho hàm sốy g u ( ) Gọi F và

G là đồ thị tương ứng của chúng Khi m thay đổi thì F cũng thay đổi tương ứng Khi đó giữa F và G có thể xảy ra một số trường hợp sau:

1 F và G không cắt nhau

2 F và G tiếp xúc nhau tại điểm A có hoành độ x x 0

3 F và G cắt nhau tại các điểm có hoành độ là x x1, ,2 ,x n

Phương pháp giải: Việc khảo sát sự tương giao giữa đồ thị của các hàm

số y f x m y g x , ;  ( )tương đương với việc khảo sát sự có nghiệm của phương trình ( , )f x m g x( ) Phương trình ( , )f x m g x( )có bao nhiêu nghiệm thì F và G có bấy nhiêu giao điểm

- Bước 1: Ta thiết lập phương trình ( , )f x m g x( ) (*)

- Bước 2: Từ phương trình trên và theo yêu cầu bài toán ta có

Nếu 2 đồ thị không cắt nhau thì phương trình (*) vô nghiệm

Nếu 2 đồ thị tiếp xúc với nhau thì hệ sau có nghiệm

 

 ,  (

)( )

m m

Nếu 2 đồ thị cắt nhau tại bao nhiêu điểm thì phương trình sau có từng đó nghiệm: ( , )f x m g x( )

- Bước 3: Tìm m thỏa mãn yêu cầu bài toán

b) Ví dụ minh họa

VD1: Cho hàm sốy x 3m x   Với giá trị nào của m thì đồ thị 1 1hàm số tiếp xúc với trục hoành

Điều này xảy ra khi:

 Hoặc phương trình x2     có nghiệm kép, tức là x 1 m 0

- 20 -

VD2: Cho hàm số

2

mx x m y

ta được tiệm cận xiên là y mx m  21, m 0

Cách 1 Gọi parabol luôn tiếp xúc với tiệm cận xiên m là: 0

12

Chứng minh rằng với mọi m đồ thị của hàm số luôn tiếp xúc với hai

đường thẳng cố định Xác định phương trình của hai đường thẳng đó

ax  a m b x m  b mPhải có nghiệm kép  Điều này tương đương với: m 0

a b

a b

a) Xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành

b) Với những giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại

ba điểm phân biệt với hoành độ dương

x m





b, Những điểm nằm phía trong parabol

Bài 3: Giả sử đồ thị của hàm số yax2bx c a ,  cắt trục hoành 0Chứng minh rằng khi đó đường thẳng 2y ax b sẽ cắt đồ thị đã cho

1.1.3 Cho điểm M có tọa độ phụ thuộc vào tham số m Tìm quỹ tích điểm M khi m thay đổi

- 24 -

Đối với quỹ tích xác định, chúng ta nên chia thành hai trường hợp sau: i) Nếu điểm cần tìm quỹ tích nằm trên đồ thị hàm số đã cho thì chỉ cần tìm biểu thức của hoành độ điểm ấy:

x m





  a) Tìm quỹ tích của tâm đối xứng của đồ thị hàm số khi m thay đổi

b) Tìm tìm tất cả các đường thẳng (cố định ) trên mặt phẳng tọa độ mà

đồ thị của hàm số không bao giờ cắt với mọi giá trị của m

Giải

a) Trước hết ta tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

 Tiệm cận ngang: lim 2

1 (1)(2)

Từ (1) ta có m  thay vào (2) ta được1 x y  Vậy quỹ tích của 1 x

tâm đối xứng khi m thay đổi là đường thẳngy  1 x

b) Cách 1 Giả sử y ax b  là đường thẳng không cắt đồ thị với m Khi

đó phương trình:

2

( 0)1

- 26 -

- Nếu phương trình (1) có nghiệm kép x   m 1

Phương trình (1) có nghiệm kép với mọi m khi và chỉ khi :

2 2

( hệ này vô nghiệm)

Vậy phương trình (1) không thể có nghiệm kép với mọi m

- Nếu phương trình (1) vô nghiệm với mọi m

thì  (am a b m   )24a bm b  20 (m)

hay là (a1)2m22a2 a ab b m  (a b )28a0 ( m)

Ta thấy với 1a biểu thức  là một tam thức bậc hai có hệ số cao nhất

là(a1)2  nên 0  không thể luôn < 0 với mọi m Vậy phương trình (1)

không thể vô nghiệm m

Vậy không tồn tại đường thẳng thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Cách 2 Giả sử y ax b  là đường thẳng không cắt đồ thị với m Khi đó phương trình:

vô nghiệm với mọi m Viết lại phương trình dưới dạng:

ax b x m   ax b x     vô nghiệm với mọi m 1 2 0

Điều này tương đương với

- 27 -

Từ (2) ta suy ra x ax b  Thay vào (3) ta được: x2    (4) x 2 0

Mặt khác nếu ta thay x ax b  vào (*) ta được

2

2

2 01

VD3: Cho hàm sốy x 33x24x 1

Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng 1y mx m   luôn cắt đồ thị tại một điểm I cố định Xác định m để đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt I, M, N Trong trường hợp đó, tìm quỹ tích điểm giữa MN khi

Để đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt, phương trình

M N A

12

M N A

Điểm A trùng với điểm I(1,1)

Vậy quỹ tích điểm giữa đoạn MN là điểm cố định I(1,1)

Cách 2 Đường thẳng 1 y mx m   mà có điểm cố định suy ra phương trình mx m    t hỏa mãn với mọi m 1 y 0

Thấy rằng điểm I(1,1) chính là tâm đối xứng của đồ thị Do đó trong trường hợp đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm ( trong đó có một giao điểm là điểm I) thì 2 giao điểm kia phải đối xứng nhau qua I, tức I là điểm giữa của đoạn MN ( với mọi 1m , điều kiện để đường thẳng cắt

đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt)

- 29 -

Vậy khi m thay đổi và m quỹ tích điểm giữa MN là điểm I(1,1) 1

VD4: Tìm quỹ tích các giao điểm của đồ thị sau với các trục tọa độ

2

11

Khi y1 thì phương trình có nghiệm m = 01 m 0

Khi y1 thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 1

a) Khi m thay đổi tìm quỹ tích điểm uốn của đồ thị hàm số

b) Vớim Chứng minh rằng với mọi k, đường thẳng 13 y kx k   luôn luôn cắt đồ thị đã cho tại một điểm I cố định

c) Vớim Xác định k sao cho đường thẳng đó cắt đồ thị tại 3 điểm 3phân biệt T, M, N Trong đó trường hợp đó, tìm quỹ tích điểm giữa đoạn

MN

Đáp số: a, y2x33x

b, ( 1,1)I 

c,k quỹ tích là đường 0 x 2

Bài 3: Cho hai hàm số y x 3x2  và 5 y x 32x2mx 1

a) Chứng minh rằng với mọi m đồ thị của hai hàm số trên luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B

b) Tìm quỹ tích điểm giữa đoạn AB khi m thay đổi

Đáp số: b, y4x32x2 12x 9

- 31 -

1.2 Phương trình chứa tham số

1.2.1 Tìm điều kiện của tham số m để họ phương trình f x m , 0

có nghiệm trên D

a) Bài toán

Cho họ phương trình chứa tham số, khi m thay đổi phương trình sẽ thay đổi theo, khi đó phương trình có thể có nghiệm hoặc không có nghiệm Vậy có những giá trị của tham số sẽ làm cho phương trình có nghiệm Bài toán đặt ra giúp chúng ta có thể tìm điều kiện của tham số m

để phương trình có nghiệm Ta sử dụng các phương pháp giải sau:

- Phương pháp đặt ẩn phụ

Bước 1: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ

Bước 2: Chuyển phương trình đã cho về phương trình chứa ẩn phụ Giải phương trình chứa ẩn phụ, đối chiếu với điều kiện ẩn phụ đã nêu để tìm nghiệm thích hợp của phương trình này

Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình ban đầu theo hệ thức đặt

Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số ( )y f x

Bước 2: Dựa vào bẳng biến thiên ta xác định m để đồ thị hàm số ( )

y g u cắt đồ thị hàm sốy f x( )

Đó là điều kiện cần để (1) có nghiệm duy nhất

Điều kiện đủ: Giả sử m 248, khi đó (1) có dạng

VD2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Vậy phương trình (1) có nghiệm với mọi a

VD3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

nghiệm

2

0 2

 , thì 3y010 0 vậy (2) hiển nhiên

có nghiệm, hay là ( )f x nhận giá trị y với x nào đó 0

ii) Nếu 3y020 0 thì (2) là phương trình bậc 2 đối với x Do đó, (2)

Như vậy dẫn đến 2 trường hợp sau:

i) Nếu 2m thì max ( ) min ( )

1.2.2 Tìm điều kiện của tham số m để họ phương trình f x m ,  có 0

nghiệm thỏa mãn một số điều kiện nào đó trên D

a) Bài toán

Để giải bài toán này ta thường dùng hương pháp điều kiện cần và đủ:

- Bước 1: Nhận xét về tính chất nghiệm của phương trình, từ nhận xết

đó và điều kiện ràng buộc suy ra các giá trị của tham số

- Bước 2: Với giá trị tìm được của tham số cần chứng tỏ rằng phương trình thỏa mãn điều kiện ràng buộc