Phương pháp chặt cân bằng cho hệ động lực rời rạc

6 1.3 Tính điều khiển được, quan sát được và biểu diễn tối thiểu của hệ động lực tuyến tính, rời rạc, bất biến.. • Chương 2: Tính ổn định của hệ động lực rời rạc tuyến tính... Tên đề tài

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy HÀ BÌNH MINH - Ngườithầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khóaluận của mình

Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới anh PHẠM VĂN DUẨN, người đã tậntình giúp đỡ chỉ bảo và hướng dẫn em trong quá trình gõ Tex và hoànthành bài khóa luận Anh cũng là người cung cấp thêm tư liệu và kiếnthức giúp em giải đáp được những điều còn chưa hiểu

Đồng thời em xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô trong tổ Toán ứngdụng và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốtbài khóa luận này

Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời gian,

do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nênkhông tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy, em kínhmong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn

En xin chân thành cảm ơn!

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập

và nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáotrong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ HÀ BÌNHMINH

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảomột số tài liệu ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài " Phương pháp chặt cân bằngcho hệ động lực rời rạc" không có sự trùng lặp với kết quả của các

đề tài khác

Mục lục

1.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc 1

1.2 Hàm truyền 3

1.2.1 Phép biến đổi z 3

1.2.2 Hàm truyền 5

1.2.3 Một số phép toán với ma trận hàm truyền 6

1.3 Tính điều khiển được, quan sát được và biểu diễn tối thiểu của hệ động lực tuyến tính, rời rạc, bất biến 7

1.3.1 Tính điều khiển được 7

1.3.2 Tính quan sát được 9

1.3.3 Biểu diễn tối thiểu 10

Chương 2: Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc 13 2.1 Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc 13

2.2 Phương trình Lyapunov 15

2.3 Ma trận Grammian điều khiển, Grammian quan sát 16

Chương 3: Mô hình rút gọn bằng phương pháp chặt cân bằng 20 3.1 Biểu diễn cân bằng 20

3.2 Mô hình rút gọn bằng phương pháp chặt cân bằng 25

Tài liệu tham khảo 31

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Điều khiển là bài toán có ý nghĩa ứng dụng quan trọng trong đờisống, đặc biệt là trong lĩnh vực điện tử, viễn thông và xử lý tín hiệunói riêng Các vấn đề trong các lĩnh vực này thường được mô hìnhhóa bởi một mô hình toán học Có rất nhiều vấn đề cơ bản cầnnghiên cứu trong lĩnh vực điều khiển Một trong số những vấn đề

có tính chất kinh điển là bài toán điều khiển Nó có ứng dụng rộngrãi trong ngành toán ứng dụng, nên từ trước đến nay, nó vẫn luôn

là đề tài mà các nhà khoa học rất quan tâm và nghiên cứu Để cóthể hiểu rõ hơn về bài toán này em đã chọn đề tài “Phương phápchặt cân bằng cho hệ động lực rời rạc” để làm đề tài nghiêncứu cho khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu

Bài toán điều khiển tuyến tính là phần nền tảng cơ bản và quantrọng của lý thuyết điều khiển nói chung: các phát triển mới về kháiniệm điều khiển nâng cao đều có sự gợi ý về tư tưởng từ lý thuyếtđiều khiển tuyến tính

Khóa luận này em trình bày về phương pháp chặt cân bằng cho hệđộng lực rời rạc

Nội dung bao gồm phần sau:

• Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc

• Chương 2: Tính ổn định của hệ động lực rời rạc tuyến tính

• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình.

4 Đối tượng nghiên cứu

Phương pháp chặt cân bằng cho hệ động lực rời rạc và các kiến thứcliên quan

Nội dung chính

1 Tên đề tài

Phương pháp chặt cân bằng cho hệ động lực tuyến tính rời rạc

2 Kết cấu của nội dung

Gồm 3 chương:

• Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc

- Hệ động lực tuyến tính rời rạc

- Các khái niệm về hàm truyền

- Tính điều khiển được, quan sát được và biểu diễn tối thiểu của

hệ rời rạc

• Chương 2: Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc

- Tính ổn định

- Phương trình Lyapunov

- Ma trận Grammian điều khiển, Grammian quan sát

• Chương 3: Mô hình rút gọn bằng phương pháp chặt cân bằng

- Biểu diễn cân bằng

- Mô hình rút gọn bằng phương pháp chặt cân bằng

3 Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu

• Sử dụng phương pháp nghiên cứu của lý thuyết điều khiển

• Phương pháp quan sát, đọc sách

Phương trình (1.1) và (1.2) được gọi là phương trình trạng thái.

xk là một vectơ thực n chiều được gọi là vectơ trạng thái của hệ

uk là một vectơ thực m chiều được gọi là vectơ đầu vào

yk là một vectơ thực r chiều được gọi là vectơ đầu ra

vectơx0 là trạng thái ban đầu của hệ, các thành phần của xk là các biếntrạng thái

Các ma trận A, B, C, D là ma trận thực có kích thước tương ứng là

n× n, n× m, r × n, r × m

Định lý 1.1.2 Hệ động lực tuyến tính rời rạc bất biến (1.1) và (1.2) có

Ví dụ 1.1.3 Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc cho bởi phương trình:

xk +1 = 3xk + 4uk, x0 = 2,

yk = 5xk + 6uk.Tính x3 và y3:

ROC là tập hợp những giá trị của Z làm cho X(z) có giá trị hữu hạn.

X2(z)(3) Vi phân trong miền Z:

1.2.2 Hàm truyền

Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc bất biến:

xk +1 = Axk+ Buk,

yk = Cxk+ Duk.Giả sử X(z), Y(z) và U(z), lần lượt là các biến đổi z củaxk, yk, uk Lấyphép biến đổi z ta được:

R(z) = (zI − A)−1, (1.9)

G(z) = C(zI − A)−1B + D (1.10)Vậy ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.2.4 Ma trận G(z) xác định như trên được gọi là matrận hàm truyền Ma trận hàm truyền G(z) có kích thước r× m Nhân

tử thứ (i, j) của G(z) biến đầu vào thứ j thành đầu ra thứ i

Do đó mà được gọi là ma trận hàm truyền hoặc đơn giản là hàmtruyền Tiện cho việc tính toán, ma trận hàm truyền G(z) được viết nhưsau:

G(z) = A B

C D

!.Các mô hình không gian trạng thái (A, B, C, D) như trên là biểu diễn

1.2.3 Một số phép toán với ma trận hàm truyền

Gọi G1(z) và G2(z) là hàm truyền của 2 hệ S1 và S2 Khi đó ta có:Tổng của 2 hàm truyền G1(z) + G2(z) biểu diễn hàm truyền của các kếtnối song song S1và S2:

G1(z)+G2(z) = A1 B1

C1 D1

!+ A2 B2

Chuyển vị liên hợp của G(z):

G∼(z) ≡ GT(−z) = BT(−zI − AT)−1CT + DTTương đương:

Nghịch đảo của ma trận hàm truyền G(z) kí hiệu là bG(z)

Ta có G(z)G(z) =b G(z)G(z) = Ib nếu G(z) là ma trận vuông và D làkhả nghịch khi đó:

b

G(z) ≡ G−1(z) = A− BD−1C −BD−1

D−1C D−1

!

1.3 Tính điều khiển được, quan sát được và biểu diễn tối

thiểu của hệ động lực tuyến tính, rời rạc, bất biến

1.3.1 Tính điều khiển được

Định nghĩa 1.3.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc (1.1) và (1.2) đượcgọi là điều khiển được nếu cho bất kỳ hai trạng thái x0, x1 luôn tồn tạimột chuỗi hữu hạn của đầu vào {u0, u1, , uN −1} chuyển từ x0 tới x1,sao cho xN = x1

Đặc biệt nếu x0 = 0 thì hệ trên gọi là kiểm soát được

Định lý 1.3.2 Hệ động lực tuyến tính rời rạc (1.1) và (1.2) hoặc cặp(A, B) gọi là điều khiển được khi và chỉ khi ma trận điều khiển được

CM = (B, AB, , An −1B) có hạng bằng n

Chứng minh Từ định lý (1.1.1), ta biết rằng nghiệm của hệ động lựctuyến tính rời rạc là:

xN = AN−1Bu0 + AN−2Bu1 + + BuN −1

Vì vậy, xN có thể được biểu diễn như một sự tổ hợp tuyến tính của

Ak−1B, k = N, , 1

Vì vậy, nếu chọn u0, , uN thích hợp sao cho xN được thực hiện khi vàchỉ khi dãy {AiB} có hữu hạn các cột sinh ra Rn, điều này của tính điềukhiển được

Tương đương với rank(CM) = n

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.3.3 Xét hệ rời rạc cho bởi phương trình trạng thái:

Vậy hệ đã cho là điều khiển được

1.3.2 Tính quan sát được

Định nghĩa 1.3.4 Hệ động lực tuyến tính rời rạc (1.1) và (1.2) được

gọi là quan sát được nếu có tồn tại một chỉ số N mà trạng thái ban đầu

x0 có thể được xác định hoàn toàn từ chuỗi đầu vào u0, u1, , uN −1 và

các đầu ra y0, y1, , yN

Bằng cách chứng minh tương tự Định lý (1.3.4), ta có kết quả sau:

Định lý 1.3.5 Hệ động lực tuyến tính rời rạc (1.1) và (1.2) hoặc cặp

(A, C) là quan sát được khi và chỉ khi ma trận quan sát được OM =

Vậy hệ đã cho là quan sát được.

1.3.3 Biểu diễn tối thiểu

Định nghĩa 1.3.7 Một biểu diễn không gian trạng thái (A, B, C, D)của hàm truyền G(z) được gọi là biểu diễn tối thiểu của G(z) nếu matrận A có kích thước nhỏ nhất có thể, nghĩa là nếu (Ao, Bo, Co, Do) làbất kỳ biểu diễn khác của G(z) thì hạng của Ao là lớn hơn hoặc bằnghạng của A

Một biểu diễn bất kỳ của hàm G(z) về biểu diễn tối thiểu, phân tích

đó được gọi là phân tích Kalman

Định lý 1.3.8 (Định lí Kalman) Cho G(z) được biểu diễn dưới dạng:

x¯co (k) là không điều khiển được nhưng quan sát được.

Hơn nữa ma trận hàm truyền từ u tới y được cho bởi:

G(z) = ¯Cco(sI − ¯Aco)−1B¯co+ DTức là ( ¯Aco, ¯Bco, ¯Cco, D) là biểu diễn tối thiểu của G(z)

Định lý 1.3.9 Một biểu diễn không gian trạng thái (A, B, C, D) của

G(z) là tối thiểu khi và chỉ khi (A, B) điều khiển được và (A, C) quansát được

Chứng minh Ta chứng minh điều kiện cần bằng phương pháp phảnchứng

Giả sử nếu G(z) là biểu diễn tối thiểu nhưng (A, B) không điều khiểnđược hoặc (A, C) không quan sát được, từ phân hoạch Kalman ta thấytồn tại một biểu diễn khác của G(z) có kích thước nhỏ hơn mà có tínhđiều khiển được và quan sát được Điều này mâu thuẫn với giả thiết

G(z) là biểu diễn tối thiểu

Ngược lại, gọi (A, B, C, D) và (A0, B0, C0, D0) là hai biểu diễn tối thiểucủa G(z)

Giả sử rằng bậc của A0 là n0 < n Khi hai biểu diễn cùng một hàmtruyền và ta cần phải có các thông số đó là:

CAi−1B = C0(A0)i−1B0,Nghĩa là:

OMCM = O0MC0M.VớiOM,CM tương ứng biểu thị các ma trận quan sát được và điều khiểnđược của biểu diễn (A, B, C, D)

O0M, C0M tương ứng biểu thị khả năng quan sát và khả năng điều khiển

được của biểu diễn (A0, B0, C0, D0).

Mặt khác: rank (OMCM) = n và rank (O0MC0M) = n0 < n

Điều này là mâu thuẫn, vì rank (OMCM) = rank (O0MC0M)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Tính ổn định của hệ động lực

tuyến tính rời rạc

2.1 Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc

Định nghĩa 2.1.1 Trạng thái cân bằng của hệ động lực

là vectơ xe thỏa mãn Axe = 0

Định nghĩa 2.1.2 Trạng thái cân bằng xe gọi là ổn định tiệm cận nếuvới mọi trạng thái ban đầu , vectơ xk luôn hội tụ về xe khi k tiến đếndương vô cùng, nghĩa là x(k) → xe, k → +∞

Định lý 2.1.3 Hệ (2.1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các giátrị riêng của A nằm trong đường tròn đơn vị

Chứng minh Hệ (2.1) có nghiệm tổng quát là:

xk = Akx0

Do đó:

x(k) −→ 0 ⇐⇒ Ak −→ 0(k −→ ∞)

Ta sẽ chỉ ra rằng điều này xảy ra khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêngcủa A nằm trong đường tròn đơn vị.

Để AJit

→ 0 khi và chỉ khi λi nằm trong đường tròn đơn vị

Vậy Ak → 0 khi và chỉ khi các giá trị riêng của Anằm trong đường trònđơn vị

Định nghĩa 2.1.4 Một ma trận A có tất cả các giá trị riêng nằm trongđường tròn đơn vị được gọi là một ma trận rời rạc ổn định Nghĩa là

• Tính các giá trị riêng của ma trận A : Eig(A) = [eig(A)]

Ta thấy X là nghiệm duy nhất của (2.1)

2.3 Ma trận Grammian điều khiển, Grammian quan sát

Định nghĩa 2.3.1 Cho A là ma trận rời rạc ổn định, thì ma trận

lần lượt được gọi là Grammian điều khiển và Grammian quan sát

Định lý 2.3.2 Cho A là ma trận rời rạc ổn định thì Grammian điềukhiển CG thỏa mãn phương trình Lyapunov rời rạc

là đối xứng và xác định dương khi và chỉ khi (A, B) là điều khiển được.Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử (A, B) điều khiển được được và A

Do (A, B) điều khiển được nên rank(CG) = n , nên điều này vô lý

Do A ổn định nên 1 − ¯λλ 6= 0, do đó xTCGx = 0

Điều này trái với giả thiết CG là ma trận xác định dương

Vậy (A, B) quan sát được

Định lý 2.3.3 Cho A là ma trận rời rạc và ổn định thì Grammian quan

sát CG thỏa mãn phương trình Lyapunov rời rạc

Điều này trái với giả thiết OG là ma trận xác định dương.

Vậy (A, C) quan sát được

Mô hình rút gọn bằng phương

pháp chặt cân bằng

3.1 Biểu diễn cân bằng

Định nghĩa 3.1.1 Cho(A, B, C, D) là biểu diễn tối thiểu của G(z).Nếu CG = OG = Σ = diag(σ1, , σn) thì (A, B, C, D) được gọi là biểudiễn cân bằng của G VớiCG, OG tương ứng là ma trận Grammian điềukhiển, Grammian quan sát,σ1 ≥ · · · ≥ σn > 0,σi là các trị riêng Hankel.Định lý 3.1.2 Nếu (A, B, C, D) là biểu diễn tối thiểu của G(z) thìluôn tồn tại ma trận T không suy biến sao cho:

(A,e B,e C, D) = (Te −1AT, T−1B, CT, D)

là biểu diễn cân bằng của G(z)

Chứng minh Do (A, B, C, D) là biểu diễn tối thiểu nên (A, C)quan sátđược và (A, B) điều khiển được

Do đó tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương CG, OG tương ứng

là nghiệm của các phương trình Lyapunov:

CG− ACGAT = BBT, (3.1)

OG− ATOGA= CCT (3.2)Theo phân hoạch Cholesky, tồn tại Lc, Lo sao cho:

CG = LcLTc,

OG = LoLTo.Phân hoạch SVD LToLc bởi: LToLc = U ΣVT với U, V là các ma trậntrực giao và Σ = diag(G1, , Gn)

Σ −AeTΣAe= CeTC.e

Vậy (A,e B,e C, De ) = (T−1AT, T−1B, CT, D) với T = LcVΣ−12 là biểudiễn cân bằng của G(z).

Thuật toán đưa biểu diễn tối thiểu của một hệ động lực tuyến tínhrời rạc về biểu diễn cân bằng được trình bày sau đây

Bước 3: Tìm các giá trị suy biến của ma trận LToLc:

LToLc = U ΣVT

A = T−1AT,e

B = T−1B,e

Thử lại:

T−1CGT−T = TTOGT = Σ = diag

5, 3574 1, 4007 0, 12383.2 Mô hình rút gọn bằng phương pháp chặt cân bằng

Định lý 3.2.1 Cho (A, B, C, D) là biểu diễn cân bằng của G(z), nếu

A, B, C, Σ được phân hoạch dạng:

"

Br

B2

#, C = h

Cr C2

i,Σ =

"

Σr 0

0 Σ2

#(3.7)

Br B2i

Suy ra: Σr − ArΣATr = BrBrT

Tương tự, thay (3.7) vào (3.9), ta có: Σr − ATrΣAr = CrTCr

Vậy (Ar, Br, Cr, D) là biểu diễn cân bằng của Gr(z) b,

max[φ−1(jw) ¯B(jw) ¯B∗(jw)φ−∗(jw) ¯C∗(jw) ¯C(jw)].

(3.10)Trong đó: σmax(M) là giá trị riêng lớn nhất của ma trận M

Ta có Σ2 = diag(σr +1, , σn) và Σ2 thỏa mãn:

A22Σ2 + Σ2AT22+ B2B2T = 0

ta được:

¯B(jw) ¯B∗(jw) = φ(jw)Σ2 + Σ2φ∗(jw)

Thế những biểu thức của B(jw) ¯¯ B∗(jw) và C¯∗(jw) ¯C(jw) vào (3.10) ta

được:

σmax[G(jw)−Gr(jw)] = λ

1 2

max{[Σ2+ φ−1(jw)Σ2φ∗(jw)][Σ2 + φ−∗(jw)Σ2φ(jw)]}nếu d= n − 1 thì Σ2 = σ2, ta có:

σmax[G(jw) − Gr(jw)] = σn{[1 + θ(jw)][λ + θ(jw)]}

Trong đó:θ = φ−∗(jw)φ(jw) và θ−∗ = θ là vô hướng, |θ(jw)| = 1

Dùng bất đẳng thức tam giác ta có:

σmax[G(jw) − Gr(jw)] ≤ σn[1 + |θ(jw)|] = 2σn

Vậy ta có điều phải chứng minh

Thuật toán 2: Mô hình rút gọn bằng phương pháp chặt cụt cân

bằng

Đầu vào: Cho hệ ma trận A, B, C

Đầu ra: Mô hình rút gọn với ma trận AR, BR và CR

Giả sử A là ma trận ổn định

Bước 1: Tìm biểu diễn được cân bằng từ thuật toán 1

Bước 2: Chọn q là bậc của mô hình rút gọn

Bước 3: Biểu diễn được cân bằng có dạng:

"

Br

B2

#, C = h

Lấy kết quả của ví dụ 3.1.3 ta có các ma trận cân bằng là:

Do đó AR là ổn định

Ma trận BR, CR là: BR = 1, 8634

0, 6885

!, CR = 

1, 8602 −0, 6885

• Trong luận văn này em đã trình bày được cơ sở lý thuyết, chứngminh các định lý, đưa ra các ví dụ minh họa của bài toán điềukhiển của hệ động lực tuyến tính rời rạc.

• Đưa ra được tiêu chuẩn Klman để kiểm tra tính điều khiển được

và tính quan sát được của bài toán

• Được học hỏi và sử dụng phần mềm Matlab để tính toán: Tínhđược giá trị riêng của ma trận, nhân các ma trận, tính hạngcủa ma trận, để kiểm tra tính điều khiển được, tính quan sátđược, tính ổn định một cách đơn giản và nhanh nhất

• Thông qua quá trình thực hiện luận văn em đã hiểu sâu hơn vềmột bài toán điều khiển, về hệ tuyến tính thời gian liên tục, tínhquan sát được, tính điều khiển được, tính ổn định của bài toán.Biết vận dụng chúng để lấy ví dụ và làm các bài tập Ngoài ra

nó còn giúp em củng cố lại các kiến thức về ma trận: hạng của