Một số dạng bài toán về phương trình, bất phương trình mũ logarit

37 Chương 3: một số dạng bài toán về phương trình, bất phương trình mũ - logarit có chứa tham số .... Với những lý do trên cùng với lòng say mê nghiên cứu cùng sự giúp đỡ nhiệt tình của

lời cảm ơn

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đó nhận được sự quan tâm, tạo điều kiện về vật chất và tinh thần của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số nói riêng và khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung, sự hỗ trợ động viên của các bạn sinh viên Em xin trân thành cám ơn sự giúp đỡ quý báu này

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, Th.s Phạm Lương Bằng đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để

em có thể hoàn thành khoá luận

Do thời gian và trình độ nhận thức còn hạn chế, mặc dù đã rất cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu xót Vì vậy, em kính mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo và sự đóng góp ý kiến của các bạn sinh viên để khoá luận của em có thể hoàn thiện hơn nữa

Em xin trân thành cám ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Bùi Thị Trang

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan những vấn đề em tr×nh bày trong kho¸ luận là của bản th©n em kh«ng trïng kết quả của t¸c giả kh¸c

Nếu sai em xin chịu hoàn toàn tr¸ch nhiệm

Sinh viªn

Bïi Thị Trang

Mục lục

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khoá luận 2

NỘI DUNG Chương 1: kiến thức cơ bản 3

1.1 Kiến thức cơ bản về hàm số mũ 3

1.2 Kiến thức cơ bản về hàm logarit 4

Chương 2: một số dạng bài toán về phương trình, bất phương trình mũ – logarit 7

2.1 Bài toán 1: Dạng bài toán sử dụng các tính chất của hàm số mũ – logarit 7

2.2 Bài toán 2: Dạng bài toán sử dụng đặt ẩn phụ 15

2.3 Bài toán 3: Dạng bài toán sử dụng phương pháp hàm số 29

2.4 Bài toán 4: Dạng bài toán không mẫu mực 37

Chương 3: một số dạng bài toán về phương trình, bất phương trình mũ - logarit có chứa tham số 45

3.1 Bài toán 1: Dạng bài toán có chứa tham số sử dụng các tính chất của hàm số mũ – logarit 45

3.2 Bài toán 2: Dạng bài toán có chứa tham số sử dụng đặt ẩn phụ 48

3.3 Bài to¸n 3: D¹ng bµi to¸n cã chøa tham sè sö dông tÝnh chÊt cña

hµm sè 55

3.4 Bµi to¸n 4: D¹ng bµi to¸n cã chøa tham sè kh«ng mÉu mùc 60

kÕt luËn 64

tµi liÖu tham kh¶o 65

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Có thể nói rằng hàm số mũ và hàm số logarit cùng với các bài toán liên quan đến hai hàm số này là phần kiến thức khá khó trong phân phối chương trình toán phổ thông Chúng ta có thể gặp những bài toán mà dễ dàng tìm ra lời giải nhưng có những bài toán ta phải đau đầu mới tìm ra đáp án Muốn tìm ra được lời giải thì học sinh phải phân loại được các dạng bài toán về phương trình và bất phương trình mũ - logarit Là sinh viên ngành toán, em nhận ra được cái khó của việc giải phương trình và bất phương trình mũ - logarit Thông qua đề tài này em muốn tìm hiểu thêm để phục vụ cho việc giảng dạy ở trường phổ thông sau này

Với những lý do trên cùng với lòng say mê nghiên cứu cùng sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo, Th.s Phạm Lương Bằng, em đã chọn đề tài: "MộT Số DạNG BàI TOáN Về PHƯƠNG TRìNH,

BấT PHƯƠNG TRìNH Mũ - LOGARIT"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của đề tài mà em lựa chọn là tổng hợp tất các dạng bài toán về phương trình và bất phương trình mũ - logarit Từ đó giúp học sinh phân loại được các dạng bài toán về phương trình và bất phương trình mũ - logarit vào các bài tập cụ thể để tìm ra lời giải một cách dễ dàng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày cơ sở lý thuyết

- Nghiên cứu các dạng bài toán về phương trình và bất phương trình mũ - logarit

- Xây dựng hệ thống bài tập minh hoạ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

* Đối tượng nghiên cứu

- Các dạng bài toán về phương trình, bất phương trình mũ - logarit

- Các dạng bài toán về phương trình, bất phương trình mũ - logarit

có chứa tham số

- Chương trình toán phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- So sánh, phân tích, tổng hợp

- Căn cứ vào các phương pháp giải phương trình, bất phương trình

mũ - logarit để phân dạng ra một số dạng bài toán về phương trình, bất phương trình mũ - logarit

6 Cấu trúc khoá luận

Ngoài lời cám ơn, mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận của em gồm 3 chương:

Chương 2: Một số dạng bài toán về phương trình, bất phương trình

mũ - logarit

Chương 3: Một số dạng bài toán về phương trình, bất phương trình

mũ - logarit có chứa tham số

Nội dung Chương 1 kiến thức cơ bản

a x b a  x

Điều kiện cã nghĩa: loga x cã nghĩa khi:

010

a a x

* Đồ thị của hàm số có 2 dạng và luôn cắt trục Ox tại điểm B(1, 0)

* Đồ thị của hàm số y = logax và của hàm số y = ax đối xứng nhau qua

đường phân giác thứ nhất

31

log 2log 5

x x

x

x x

x x

x x

Vậy bất phương trình có nghiệm là:  3; 5  1; 5 

b) Biến đổi bất phương trình về dạng:

c) Bất phương trình tương đương với:

2 2

2

2

11

x x

x x

x x x

2.2 Bài toán 2: Các dạng bài toán đặt ẩn phụ

a) Phương pháp

Ta sử dụng các dạng đặt ẩn phụ sau:

 Sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình, bất phương trình ban đầu thành một phương trình, bất phương trình với một ẩn phụ

 Sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình, bất phương trình ban đầu ban đầu thành một phương trình, bất phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x

 Sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình, bất phương trình ban đầu thành hệ phương trình, hệ bất phương trình với k ẩn phụ

 Sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình, bất phương trình ban đầu thành hệ phương trình, hệ bất phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x b) Ví dụ

Bài 1 Giải các phương trình sau:

 

2

1 2

Vậy phương trình có 3 nghiệm là: x  log 2;3 x0

Bài 2 Giải bất phương trình mũ:

Vậy nghiệm của bất phương trình là [-1; 1]

b) Đặt t3 ,(x t0), khi đó bất phương trình tương đương với:

Vậy bất phương trình có nghiệm là [0,1][2,+∞)

c) Viết lại bất phương trình dưới dạng:

2 2

Bài 3 Giải các phương trình sau:

log 6 log 6 log 6

log3

44

x

x

x x

Vậy phương trình có nghiệm là: 1; log35

4

x x c) Điều kiện: x  0

 2 

2 2

x x

10 3

log x 3 log x log x3log x0

Đặt tlog3x, khi đó bất phương trình có dạng:

t 3t log2x0log3x3 log 3xlog2x 0

2.3 Bài toán 3: Các dạng bài toán sử dụng phương pháp hàm số a) Phương pháp

Ta thường sử dụng các tính chất sau:

 Sử dụng tính liên tục của hàm số

 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

 Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số

 Sử dụng định lí Lagrange

Định lí: cho hàm số f(x) liên tục trên a b và f’(x),  f ' x tồn tại

trên a b thì luôn ,   c a b, sao cho f c'( ) f b( ) f a( )

Định lí: nếu hàm số y f x lồi hoặc lõm trên miền D thì

phương trình f  x  sẽ có không quá hai nghiệm thuộc D 0b) Ví dụ:

Bài 1 Giải các phương trình sau:

Vì vậy khi x  thì (x)3 f là hàm nghịch biến còn g x là hàm đồng biến

x x

 Nếu 3x thì vế trái âm, vế phải dương 4

 Nếu x  thì vế trái dương, vế phải âm 4

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x 4

Dễ thấy (x)f là hàm nghịch biến trên , và f(2) 1 (*) y2.

Vậy x 212 4096 là nghiệm của phương trình

e) Viết lại phương trình dưới dạng:

Với điều kiện (*) thì (2) tương đương:

Vậy (**) có nghiệm duy nhất t  0

Suy ra x  là nghiệm duy nhất của phương trình 2

Xét hàm số f x( )log3x ,thấy ngay hàm số đồng biến x

Khi đó (2) được biến đổi như sau:

133

Vậy nghiệm của bất phương tr×nh lµ ( , 3) (4,61]

Khi đó phương trình có dạng:

2 1 3

Vậy phương trình có nghiệm x và 0 x  1

c) Viết lại phương trình dưới dạng:

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

x  là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy x  là nghiêm duy nhất của phương trình 1

Bài 3 Giải các bất phương trình sau:

2

2 1

Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  1

Vậy bất phương trình có nghiệm là: x  1

40

x x

x

x x

Chương 3: một số dạng bài toán về phương trình, Bất phương trình mũ - logarit có chứa tham số

3.1 bài toán 1: Dạng bài toán có chứa tham số sử dụng tính chất của hàm số mũ - logarit

Xét :

2 2

a

a

a a

m  phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 3 Giải và biện luận bất phương trình:

2 1

Ta sử dụng các dạng đặt ẩn phụ sau:

 Sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình,bất phương trình ban đầu thành một phương trình, bất phương trình với một ẩn phụ

 Sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình, bất phương trình ban đầu thành một phương trình, bất phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x

 Sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình, bất phương trình ban đầu thành hệ phương trình với k ẩn phụ

Chú ý: Giải phương trình mũ - logarit có chứa tham số bằng đặt ẩn phụ, nhất thiết ta phải đi tìm điều kiện đúng của ẩn phụ

Từ (*) và (**) suy ra:với 2m phương trình (1) có nghiệm 9

Bài 2 Giải và biện luận phương trình:

NhËn xÐt r»ng:

2 2

v v

Bài 3 Xác định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

Khi đó điều kiện đúng cho t là: 1  t 2

Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt thuộc 1, 2

Vậy với 10m11phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc 1, 2

2m thì thỏa mãn điều kiện đầu bài

Bài 5 Với 0a , giải bất phương trình: 1

S

m P

Bài 3 Với a > 0, giải và biện luận bất phương trình:

2

2x  a 4x a

Giải:

Điều kiện: a24x  0 2xaxlog2a

Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất là: xlog2a

3.3 Bài toán 3: Dạng bài toán có tham số sử dụng tính chất của hàm

số

a) Phương pháp

Ta sử dụng các tính chất sau:

 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

đoạn 4,0

m  , phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 3 Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm:

(1)

x m x



Giải:

t Vậy (1) nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi (2) nghiệm đúng với 0mọi t  1

Xét hàm số:

1

t y t

Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi t 1 m 1

3.4 Bài toán 4: Dạng bài toán có tham số không mẫu mực

- Phương trình, bất phương trình có nghiệm duy nhất

- Phương trình, bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số

- Phương trình, bất phương trình có nghiệm đúng với mọi xD

- Phương trình, bất phương trình tương đương với một phương trình hoặc một bất phương trình khác

Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm là xx0suy ra:

Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi x0 4x0 x02

Thayx  vào (1),ta được: m = 1 0 2

Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất

Điều kiện cần:

Giả sử m = 1, khi đó (1) có dạng:

2 2

Vậy x2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy với m = 1 phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 2 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với  x  1,3 :

Điều kiện cần: bất phương trình nghiệm đúng với  x  1,3 suy ra nghiệm đúng với x = 1; x = 2, tức là ta có:

822

Vậy m  8 là điều kiện cần để (1) nghiệm đúng với  x  1,3

Điều kiện đủ: Với m  8, ta có:

2 2

Bài 3 Tìm điều kiện của m để bất phương trình sau nghiệm đúng

Đó là điều kiện cần để bất phương trình nghiệm đúng   x  2, 4

* Điều kiện đủ: Giả sử m 4, khi đó:

áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái, ta được:

- Điều kiện cần: m = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất

- Điều kiện đủ: Thay m = 0 vào phương trình xem có thỏa mãn không? Bài 2 Tìm x để phương trình sau nghiệm đúng với mọi a:

loga  x 3 1 loga x  2 x (1)Hướng dẫn:

- Điều kiện cần: Giả sử (1) nghiệm đúng với mọi a, suy ra đúng với a  0

Thay a  vào phương trình (1), suy ra 0 x  1

- Điều kiện đủ: thay x  vào phương trình xem có thỏa mãn a1  không? Bài 3 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất:

2

2 2

Kết luận

Đề tài này đã trình bày một số dạng bài toán về phương trình, bất phương trình mũ - logatit

Đề tài thực hiện với mong muốn đóng góp kinh nghiệm giúp các

em học sinh có thể phân loại được các dạng bài toán về phương trình, bất phương trình mũ - logarit

Dù đã hết sức cố gắng xong do bước đầu bắt tay vào nghiên cứu, trình độ và kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu xót Em rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn

Em xin trân thành cám ơn!

Sinh viên

Bùi Thị Trang

Tài liệu tham khảo

[1] Trần Phương, Lê Hồng Đức, “Đại số sơ cấp”, Nxb Đại học quốc gia

[4] Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Thắng,” Các bài giảng về hàm số

mũ và loga”, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội

[5] Đoàn Quỳnh ( tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan ( chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng,” Giải tích

12 nâng cao”, Nxb giáo dục - 2008