Biến đổi fourier, hàm suy rộng và toán tử giả vi phân

Lý do chọn đề tài Lý thuyết hàm suy rộng và xây dựng các không gian hàm có nhiều ứng dụng lớn trong vật lý và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, nó phục vụ cho việc nghiên cứu tính k

Lời cảm ơn!

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa toán đã giúp đỡ

em trong thời gian vừa qua Đặc biệt em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân

thành và xâu sắc nhất tới thầy giáo, Tiến sĩ Bùi Kiên Cường đã tận tình

hướng dẫn, nghiêm khắc để em hoàn thành tốt khoá luận và trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng em xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện, đóng góp những ý kiến hữu ích để em hoàn thành tốt luận văn này

Phúc Yên, ngày 09 tháng 5 năm 2007

Tác giả

Mai Thị Thu Trang

Khoá luận tốt nghiệp

Mục lục

Trang

Mục lục 1

Mở đầu 3

1 Lý do chọn đề tài 3

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Cấu trúc luận văn 4

Kí hiệu 5

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn, không gian banach 6

1 Không gian định chuẩn, không gian Banach 6

2 Toán tử tuyến tính 7

3 Không gian liên hợp 8

1.2 Không gian Hilbert 9

1.3 Không gian L p   , 1  p  11

1 Không gian L 1  11

2 Không gian L p  (1 p  ) 12

3 Không gian L  13

4 Tích chập 13

1.4 Không gian Schwartz -  n S  18

1 Không gian Schwartz  n S  18

2 Sự hội tụ trong không gian  n S  21

1.5 Đạo hàm suy rộng (Đ.h.s.r) 23

1 Đạo hàm suy rộng 23

2 Tính chất của đạo hàm suy rộng 23 Chương 2 biến đổi Fourier

Khoá luận tốt nghiệp

2.1 Phép biến đổi Fourier trong 1  n

L ( ) 27

1 Định nghĩa và ví dụ 27

2 Các tính chất 28

2.2 Phép biến đổi Fourier trong    n S 33

1 Định nghĩa và ví dụ 33

2 Các tính chất 34

3 Biến đổi Fourier ngược 38

2.3 Biến đổi Fourier trong không gian 2  n L  43

1 Định nghĩa 43

2 Các tính chất 43

Chương 3 Không gian các hàm suy rộng 3.1 Định nghĩa và ví dụ 46

3.2 Toán tử trong không gian 50

các hàm suy rộng 50

3.3 Giá của hàm suy rộng 53

3.4 Biến đổi Fourier trong  n S   55

Chương 4 Toán tử giả vi phân 4.1 Biểu trưng 60

4.2 Toán tử giả vi phân 65

1 Định nghĩa và ví dụ 65

2 Các tính chất 66

4.3 Nhân Schwartz và tích phân động 70

1 Nhân Schwartz 70

2 Tích phân động 72

Chương 5 nghiệm của phương trình đạo hàm riêng 1 Phương trình đạo hàm riêng với hệ số hằng 78

2 Phương trình không dừng với hệ số hằng 82

3 Phương trình đạo hàm riêng (giả) eliptic 84

Kết luận 89

Tài liệu tham khảo 90

Khoá luận tốt nghiệp

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết hàm suy rộng và xây dựng các không gian hàm có nhiều ứng dụng lớn trong vật lý và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, nó phục vụ cho việc nghiên cứu tính kì dị của hàm và hàm suy rộng trong giải tích vi địa phương Chính vì thế việc nghiên cứu các không gian hàm là cần thiết đối với mỗi sinh viên

Trong quá trình học tập em đã tiếp thu được một số kiến thức: mở đầu

là chuỗi Fourier, đẳng thức Parseval trong giải tích, tiếp đến là tích phân Lebegeus, phương trinh đạo hàm riêng, giải tích hàm….Chính những kiến thức này đã tạo điều kiện, động lực thôi thúc em tìm hiểu và quyết định chọn

đề tài: “Biến đổi Fourier, hàm suy rộng và giải tích vi địa phương”

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về phép biến đổi Fourier trong một số không gian hàm: không gian 1     2

L  ,S  ,L  và không gian hàm suy rộng  n

S 

- Nghiên cứu về không gian các hàm suy rộng

- Bước đầu làm quen và tìm hiểu về giải tích vi điạ phương

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp phân tích đánh giá tổng hợp

- Phương pháp phân nhóm học tập

Khoá luận tốt nghiệp

5 Cấu trúc luận văn

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị: trình bày về các không gian hàm và tích chập, dùng tích chập để chứng minh tính trù mật của  n

Chương 4 Toán tử giả vi phân

Chương 5 Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng: phương trình đạo hàm riêng với hệ số hằng, phương trình không dừng với hệ số hằng, phương trình giả eliptic

Khoá luận tốt nghiệp

Khoá luận tốt nghiệp

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian định chuẩn,

không gian banach

1 Không gian định chuẩn, không gian Banach

Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính) là

không gian tuyến tính X trên trường k (k  hoặc k  ) cùng với một ánh

xạ từ X vào tập số thực  kí hiệu là  và đọc là chuẩn, thoả mãn các tiên đề

sau:

1)  x X x, 0, x   0 x  , ( là phần tử không của X) 2)    x X,  k, x   x

3) x y, X x,  y x  y

Số x gọi là chuẩn của vector x Không gian định chuẩn được kí hiệu là X Các tiên đề 1),2),3) gọi là các tiên đề chuẩn

Định nghĩa 1.2 Dãy điểm  x của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ n

tới điểm x, nếu lim n 0

Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi

dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Khoá luận tốt nghiệp

2 Toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.5 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường k ánh xạ

A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu A thoả mãn các

Định nghĩa 1.6 Cho X và Y là hai không gian định chuẩn Toán tử tuyến

tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số 0

c sao cho:

,

Ax c x  x X (1.1)

Định nghĩa 1.7 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định

chuẩn X vào không gian định chuẩn Y hằng số c0 nhỏ nhất thoả mãn hệ

thức (1.1) gọi là chuẩn của toán tử A và ta kí hiệu là A

Định lý 1.8 Cho A là một toán tử tuyến tính ánh xạ không gian định chuẩn X

vào không gian định chuẩn Y khi đó 3 mệnh đề sau tương đương

1) A liên tục

2) A liên tục tại điểm x nào đó trong X 0

3) A bị chặn

Định lý 1.9 Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không

gian định chuẩn Y Nếu A bị chặn thì

Khoá luận tốt nghiệp

3 Không gian liên hợp

Định nghĩa 1.10 Cho không gian định chuẩn X trên trường k Ta gọi không gian I X k các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là không gian liên hợp  , 

(hay không gian đối ngẫu) của không gian X và kí hiệu là X* (thay cho kí hiệu

Khoá luận tốt nghiệp

1.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.13 Cho không gian tuyến tính X trên trường K (K  hoặc



K ) ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích

Descarts X X  vào trường k kí hiệu là ( , )  thoả mãn tiên đề:

1) x y X,  , thì    x y,  x y,

2) x y z X, ,  ta có xy z,      x z,  y z,

3) x y,   X,  k ta có x y,  x y,

4)  x X khi đó  x x   0, x  và  x x,   0 x 

Các phần tử x y z, , , được gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số  x y gọi ,

là tích vô hướng của hai nhân tử x y, Các tiền đề 1),2),3),4) gọi là hệ tiền đề tích vô hướng

Định lý 1.14 (Bất đẳng thức Schwartz)

Đối với mỗi x X ta đặt x   x x, (1.2) khi đó x y, X ta có bất đẳng thức schwartz

 x y,  x y (1.3)

Hệ quả 1.15 Công thức (1.2) xác định 1 chuẩn trên không gian X

Định nghĩa 1.16 Ta gọi một tập H  gồm những phần tử x y z, , nào đấy

là không gian Hilbert, nếu tập H thoả mãn các điều kiện:

1) H là không gian tuyến tính trên trường k

2) H được trang bị một tích vô hướng ( , ) 

3) H là không gian Banach với chuẩn x   x x, , x H

Ta gọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không

gian Hilbert con của không gian Hilbert H

Khoá luận tốt nghiệp

Ví dụ 1.17 Kí hiệu  n là không gian vector thực n chiều Với

Định lý 1.18 (Định lý Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không

gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

f (x)x,a, x  H trong đó phần tử aH được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và ta có

f  a (1.5)

Chứng minh: (xem giải tích hàm - Nguyễn Phụ Hy)

Nhận xét: Nhờ định lý Riez mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên không

gian Hilbert H tương ứng một đối một với phần tử a trong H Hiển nhiên

tương ứng đó vừa tuyến tính vừa đẳng cự Vì vậy ta có thể đồng nhất mỗi phiếm hàm f  H * với phần tử a  H nghĩa là H H Nói cách khác không gian Hilbert là không gian tự liên hợp

Khoá luận tốt nghiệp

Bổ đề 1.22 (Bổ đề Fatou)

Giả sử  f là dãy các hàm trong k L 1  sao cho

1) Với mỗi k ta có f x k 0 hầu khắp nơi trên 

Khoá luận tốt nghiệp

Định lý 1.24 Không gian C 0  các hàm khả vi liên tục có giá compact trù mật trong L 1  tức là  f L 1  và     0, f 1 C 0  sao cho

Không gian C 0  trù mật trong L p  với 1 p  

Định lý 1.29 Kí hiệu L p   là không gian liên hợp của L p 

( 1 p  ) Khi đó L p   = L q  trong đó q>1 thoả mãn 1 1

1

p q

Khoá luận tốt nghiệp

Nghĩa là nếu : L p   là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

Hệ quả 1.31 L 2  là không gian tự liên hợp

Định lý 1.32 Không gian L 2  là không gian phản xạ với 1 p  

Định lý1.34 L p  là không gian Banach 1 p  

Hệ quả 1.35 Nếu 1 p  thì một dãy Cauchy trong L p  bao giờ cũng

có một dãy con hội tụ từng điểm hầu khắp nơi trên 

Khoá luận tốt nghiệp

Khoá luận tốt nghiệp

+ Xét với 1 p   đặt      

n

p p

p p L

p L

Khoá luận tốt nghiệp

Như vậy tồn tại    

Khoá luận tốt nghiệp

n n

1 p

do đó nếu x  supp( f g ) thì tồn tại

ysupp(g) sao cho x - y  supp(f) hay x  supp(f)+supp(g)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Khoá luận tốt nghiệp

p

L  (1.6) Giả sử  0 và hàm f   n

Vậy định lý được chứng minh 

1.4 không gian Schwartz -  n

f   sup p x  f x   với mọi đa chỉ số  ,

0

C    n

S 

Khoá luận tốt nghiệp

Ví dụ 1.45 Hàm   2

x

f x e thuộc vào  n

S  Thật vậy,

+ Trước hết ta chứng minh với n=1 Khi đó   x 2

Khoá luận tốt nghiệp

Khoá luận tốt nghiệp

Bổ đề 1.47 Cho m là một số nguyên không âm, f   n

S  và y n là một điểm cố định Nếu f và các đạo hàm đến cấp m của nó triệt tiêu tại y thì tồn tại  n

Trong đó P là các đa thức Suy ra hàm f biểu diễn được dưới dạng (1.8) 1

theo công thức Taylor: 2      

: m 1

   

   trong đó h là các hàm trơn vô hạn nếu   n

Khoá luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.50 Ta nói rằng    n

k

f S  hội tụ về f   n

S  trong không gian  n

S  và viết f k Sf nếu f  f k  , 0 khi k , với mọi

Khoá luận tốt nghiệp

1.5 Đạo hàm suy rộng (Đ.h.s.r)

1 Đạo hàm suy rộng

Định nghĩa 1.51 Giả sử    1 , 2 , ,n là một đa chỉ số Hàm

  2,loc 

f x L  được gọi là đạo hàm suy rộng cấp  trong miền   n

của hàm f x L 2,loc  , nếu đối với hàm tuỳ ý g C 0   ta có:

hầu khắp nơi trên 

Bổ đề 1.53 f x 0 hầu khắp nơi trên    ,  thì f x 0 hầu khắp nơi trên 

2 Tính chất của đạo hàm suy rộng

Tnh chất 1.54 Nếu hàm f có d h s r cấp  thì đạo hàm suy rộng cấp 

Khoá luận tốt nghiệp

Tinh chất 1.55 Đạo hàm suy rộng cấp  không phụ thuộc vào thứ tự lấy tích phân

Tinh chất 1.56 Nếu các hàm f , f có đạo hàm suy rộng 1 2 f , f 1 2 trong miền

 thì hàm số f c f 1 1c f 2 2 cũng có đạo hàm suy rộng cấp  trong  và

   

 trên  + Với 1 

Khoá luận tốt nghiệp

Theo công thức Ostrogradsky (x 1 0 trên , và với x 10)

Do đó đ.h.s.r theo x của hàm 1 f  x 1 tồn tại và bằng si gnx 1

Chú ý: Trong ví dụ 1.56 hàm f  x 1 với i2 không tồn tại đạo hàm

Tính chất 1.59 Nếu D f là đ.h.s.r của f trên miền  thì n D f cũng

là đ.h.s.r của f trên một miền con tuỳ ý   '

Khoá luận tốt nghiệp

Tính chất 1.60 Khác với đạo hàm cổ điển, đạo hàm suy rộng D f được xác định ngay với cấp  mà không cần sự tồn tại của các đạo hàm cấp thấy hơn

Khoá luận tốt nghiệp

Chương 2 biến đổi Fourier

2.1 Phép biến đổi Fourier trong 1  n

(2 ) f (x) dx (vì e ix 1)

Ta lại có f     

n

n 1

Khoá luận tốt nghiệp

f     f  

Khoá luận tốt nghiệp

n

n L

    không phụ thuộc vào giá trị  suy ra ˆf  liên tục đều trên n

f hội tụ đều tới ˆ f trong  n

Chứng minh Giả sử các hàm f , f kL1  n ,k1,2, thoả mãn:

Khoá luận tốt nghiệp

Khoá luận tốt nghiệp

Mệnh đề 2.7 (công thức liên hợp) Cho f g L,  1 n khi đó ta có

Khoá luận tốt nghiệp

Vậy ta có điều phải chứng minh 

Khoá luận tốt nghiệp

2.2 Phép biến đổi Fourier trong  n

f  Fx  2 2 ( )

n

n ix

2

x ix

Khoá luận tốt nghiệp

ix j j

R

2 1

Khoá luận tốt nghiệp

đồng thời biến đổi Fourier của đạo hàm một hàm số làm mất đạo hàm áp

dụng điều này ta có thể tìm ˆf của hàm

Khoá luận tốt nghiệp

Mệnh đề 2.13. Nếu f   n

S  thì ˆ f   n

S  và F : f  fˆ là ánh xạ liên tục trên  n

Khoá luận tốt nghiệp

Khoá luận tốt nghiệp

3 Biến đổi Fourier ngược

Vậy T f g y  0      Tf y  Tg y (T là ánh xạ tuyến tính) Vậy Tf

chỉ phụ thuộc vào giá trị của hàm f tại điểm y mà không phụ thuộc vào hàm

f Hơn nữa vì T là ánh xạ tuyến tính nên ta có:       Tf y c y f y Trong

Khoá luận tốt nghiệp

Chứng minh Dễ dàng thấy rằng J là ánh xạ tuyến tính Vì vậy để

chứng minh J liên tục ta chỉ cần chứng minh J liên tục tại 

S  + Với mọi f   n

 f 

Vậy J F F J 

Định lý 2.17. Nếu f   n

S  thì

Khoá luận tốt nghiệp

 

n

n ix 2

f (x)J  f   2   e f  d



F suy ra định lý được chứng minh 

Khoá luận tốt nghiệp

Định nghĩa 2.18 (Biến đổi Fourier ngược) Toán tử tuyến tính

 

n

n ix 2 x

Chứng minh Dễ dàng chứng minh được F là ánh xạ tuyến tính

Theo mệnh đề 2.17 ta có T f  f  JF  ˆ f   f , f S  n

n

S 1

Khoá luận tốt nghiệp

 

n

n ix 2

n

ix 2

n

ix 2

Vậy định lý được chứng minh 

Nhận xét Trong công thức 2.7 nếu g f ta được:

S  suy ra biến đổi Fourier là đẳng cấu trên  n

S  (2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh 

Khoá luận tốt nghiệp

2.3 Biến đổi Fourier trong không gian  n

+ Tương tự ta định nghĩa được biến đổi Fourier ngược của f

Khoá luận tốt nghiệp

Khoá luận tốt nghiệp

Khoá luận tốt nghiệp

Chương 3 Không gian các hàm suy rộng

 

u,c f c g c u, f c u,g , c ,c  , f ,g S  + u liên tục nếu: u, f k  u, f khi f k Sf

Định nghĩa 3.1. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên  n

S  được gọi là một hàm suy rộng

Nếu u,v là các hàm suy rộng, c thì:

 u v, f  u, f  v, f

cu, f c u, f , f S Với 2 phép toán này thì tập hợp tất cả các hàm suy rộng trở thành một không gian tuyến tính Không gian này kí hiệu là  n

S 

Ví dụ 3.2. Cho u là một hàm bị chặn theo kiểu đa thức ( polynomially bounded functions) xác định trên  n ( liên tục, liên tục từng khúc hoặc một hàm tổng quát, đo được) thì phiếm hàm được định nghĩa bởi:

Khoá luận tốt nghiệp

Hai hàm u ,u được gọi là các hàm suy rộng bằng nhau khi 1 2 u = 1 u hầu 2

khắp nơi ( theo nghĩa độ đo Lebesgue ) Sử dụng kí hiệu u trên  n và hàm suy rộng tương ứng

Đặc biệt 0 kí hiệu là 

 - hàm tại điểm gốc kí hiệu là y khi được xét như một phiếm

hàm trên các không gian hàm phụ thuộc vào giá trị của y