Một số tính chất về biểu diễn của nửa nhóm hữu hạn

PHẠM THỊ LUYẾNMỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên nghành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS... 29 2 Một số t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHẠM THỊ LUYẾN

MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ BIỂU DIỄN

CỦA NHÓM HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên nghành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN QUỐC THƠ

NGHỆ AN - 2013

MỤC LỤC

1 Các khái niệm về biểu diễn nhóm hữu hạn và đặc trưng

1.1 Khái niệm về biểu diễn và đặc trưng của biểu diễn 4

1.2 Biểu diễn chính qui - Biểu diễn bất khả quy 9

1.3 Biểu diễn cuả nhóm Abel 22

1.4 Biểu diễn của nhóm hoán vị 24

1.5 Bảng đặc trưng và một vài ý nghĩa của bảng đặc trưng 29

2 Một số tính chất về biểu diễn tuyến tính của nhóm hữu hạn 35 2.1 Mở rộng Định lý Maschke và chiều ngược của Bổ đề Schur 35 2.2 Mối liên hệ giữ tích tenxơ và biểu diễn đối ngẫu 41

2.3 Ví dụ minh hoạ 45

MỞ ĐẦU

Lý thuyết biểu diễn có nguồn gốc từ lý thuyết đặc trưng của nhóm Abel

và được phát biểu cho các nhóm xyclic bởi Gauss, Dirichlat và sau đó được

mở rộng sang nhóm Abel hữu hạn bởi Frobenius, Burnside và Schur Cácnhà khoa học trên đều nhận thấy rằng biểu diễn nhóm đóng một vai tròquan trọng trong việc nghiên cứu nhóm hữu hạn trừu tượng Trong quyểnsách đầu tiên về biểu diễn nhóm xuất bản vào năm 1911 trong đó chứanhiều kết quả quan trọng về nhóm trừu tượng được chứng minh bằng cáchdùng đặc trưng nhóm Kết quả quan trọng nhất trong đó là Định lý Burn-side Nói một cách đơn giản, lý thuyết biểu diễn nghiên cứu các cách màmột nhóm tác động trên không gian véctơ bằng các tự đẳng cấu tuyếntính Lý thuyết biểu diễn nhóm không chỉ là một phần quan trọng trongđại số hiện đại mà còn có nhiều ứng dụng quan trọng trong lý thuyết số,

tổ hợp và cả Vật lý

Bố cục của luận văn của chúng tôi gồm hai chương:

Chương 1: Các khái niệm về biểu diễn nhóm hữu hạn và đặctrưng nhóm Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơbản, tổng quát về biểu diễn tuyến tính của nhóm hữu hạn, đặc trưng củamột biểu diễn, biểu diễn chính quy, biểu diễn bất khả quy, biểu diễn củanhóm Abel, biểu diễn của nhóm hoán vị, bảng đặc trưng và ý nghĩa củabảng đặc trưng

Chương 2: Một số tính chất về biểu diễn tuyến tính của nhómhữu hạn: Mở rộng Định lý Maschke, chiều ngược của Bổ đề Shur, mối

liên hệ giữa tích tenxơ và biểu diễn đối ngẫu, Điều kiện cần để các đặctrưng bất khả quy không phải là một chiều, thác triển của các đặc trưng,lập bảng đặc trưng của nhóm S5 và A5

Qua đây tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu xắc tới ngườithầy, người hướng dẫn khoa học của mình là TS Nguyễn Quốc Thơ, nhờ

sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của thầy mà luận văn đã được hoàn thànhmột cách có khoa học và đúng tiến độ Xin chân thành cảm ơn các thầy

cô công tác tại Đại học Vinh và Đại học Sài Gòn đã trực tiếp giảng dạy

và quan tâm, cảm ơn bạn bè đồng nghiệp và gia đình đã động viên, giúp

đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu Mặc dù đã có nhiều

cố gắng nhưng chắc chắn trong luận văn vẫn còn có nhiều sai sót, tác giảmong muốn nhận được sự chỉ bảo quý báu của các thầy cô và các bạn họcviên

Vinh, tháng 08 năm 2013

Tác giả

CHƯƠNG 1CÁC KHÁI NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN VÀ

ϕst = ϕsϕt

ϕe = idV

E được gọi là không gian biểu diễn của G (hay đơn giản, một G-khônggian) Số chiều của E trên K gọi là cấp của biểu diễn Nếu K = Q, R hoặc

C thì ta nói ϕ là một biểu diễn hữu tỉ, thực hoặc phức (tương ứng) của G.Biểu diễn ϕ được gọi là trung thành nếu nó là một đơn cấu nhóm; ϕ

được gọi là tầm thường nếu ϕs = idE (∀s ∈ G) và được gọi là 1-biểudiễn nếu E = K và ϕs = idK, (∀s ∈ G)

Ví dụ 1 : Biểu diễn cấp 1 Mỗi biểu diễn cấp 1 của G là một đồng cấu

trên K có cơ sở là {w} Giả sử: ϕ : G −→ GL(E) là một biểu diễn của G.Khi đó, với mọi s ∈ G, w ∈ E ta có:

Vậy ϕs là căn bậc g của đơn vị trong K∗

Ví dụ 2 : Biểu diễn của nhóm Sn

Giả sử G = Sn là nhóm đối xứng bậc n và E là không gian véctơ nchiều trên K với cơ sở {v1, v2, , vn}

Vậy ϕ là một biểu diễn của G

Từ đây trở đi, chúng tôi luôn giả thiết K = C, tức là chỉ xét các biểu

diễn phức

1.1.2 Định nghĩa Giả sử E là không gian véctơ hữu hạn n chiều trêntrường K và f : E −→ E một phép biến đổi tuyến tính có ma trận

A = (aij)i,j với cơ sở {e1, e2, , en} của E Khi đó:

và B = (bij)i,j lần lượt ứng với cơ sở {e1, e2, , en} và {e01, e02, , e0n} Khi

đó tồn tại ma trận khả nghịch T cấp n sao cho A = T BT−1 Xét đa thứcđặc trưng của f là:

Vậy vết của f không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở

1.1.3 Định nghĩa Giả sử ϕ : G −→ GL(E) là một biểu diễn của Gtrong không gian véctơ E Hàm số χϕ : G −→ C được định nghĩa bởi công

thức:

được gọi là đặc trưng của biểu diễn ϕ

Đặc trưng của 1-biểu diễn được gọi là 1-đặc trưng

1.1.4 Mệnh đề Nếu χ là đặc trưng của một biểu diễn ϕ có cấp n thì

(ii.) χ(s−1) = χ(s) ∀s ∈ G

(iii.) χ(sts−1) = χ(t) ∀s, t ∈ G

Chứng minh i) χ(e) = T r(ϕe) = T r(idE) = n

ii) Vì G có cấp hữu hạn, nên mỗi s ∈ G cũng có cấp hữu hạn, giả sử s có

cấp m.

Ta có sm = e ⇒ (ϕs)m = ϕs m = ϕe = idE Giả sử λ1, λ2, λn là các giátrị riêng của ϕs Khi đó λmi = 1 (i = 1, n)

Giữ nguyên các ký hiệu trong Mệnh đề 1.1.4 ta có:

1.1.5 Nhận xét Giá trị của hàm đặc trưng χ(s) tại mỗi s ∈ G là tổngcủa n căn bậc m của đơn vị, trong đó m là cấp của s và |χ(s)| ≤ n, dấu

“=” xảy ra khi và chỉ khi ϕs = λ.idE với λ ∈ K

*Đặc biệt χs = χe khi và chỉ khi ϕs = idE

Chứng minh Với mỗi s ∈ G ta có:

|λ3|+ +|λn| Hơn nữa, vìλi vàλj là các số phức nên|λi+λj| = |λi|+|λj|

khi và chỉ khi λi = kλj (với k là số thực dương)

Suy ra λ1 = λ2 = = λn

Đặt

= λ.Theo chứng minh Mệnh đề 1.1.4 ta có ϕms = idE và do λi = λ (i = 1, n)

là các giá trị riêng của ϕs Nên ϕs thoả 2 phương trình: Xm = idE và

h(X) là ước chung lớn nhất của hai đa thức này, ta thấy h(X) = X − λ

(vì Xm − λm không có nghiệm bội) Do đó ϕs = λidE.

Ngược lại, giả sử ϕs = λidE Ta có idE = ϕe = ϕms = λmidE

*) Đặc biệt χ(s) = χ(e) ⇔ ϕs = λidE (theo chứng minh trên), với λ = λi

là các giá trị riêng của ϕs

Mặt khác n = χ(e) = χ(s) = nλ ⇒ λ = 1 ⇒ ϕs = idE

Vậy ta có điều phải chứng minh 2

1.1.6 Định nghĩa Cho hai biểu diễn của nhóm G là: ϕ : G −→ GL(E)

tenxơ ϕ ⊗ ψ : G −→ GL(E ⊗ F ) của chúng được định nghĩa như sau:

(ϕ ⊕ ψ)s(v, w) = (ϕs(v), ψs(w))

(ϕ ⊗ ψ)s(v ⊗ w) = ϕs(v) ⊗ ψs(w)

1.1.7 Mệnh đề Giả sử χϕ, χψ là các đặc trưng của các biểu diễn

(i) Đặc trưng χ⊕ của biểu diễn tổng trực tiếp ϕ ⊕ ψ bằng χϕ+ χψ

(ii) Đặc trưng χ⊗ của biểu diễn tích tenxơ ϕ ⊗ ψ bằng χϕ.χψ

Chứng minh i) Giả sử ϕs và ψs được cho bởi các ma trận Φs và Ψs trongcác cơ sở {e1, e2, , en} của E và {ε1, ε2, , εm} của F

Ta có (ϕ ⊕ ψ)s(v, w) = (ϕs(v), ψs(w)) ⇒ biểu diễn ϕ ⊕ ψ được cho bởi

1.2 Biểu diễn chính qui - Biểu diễn bất khả quy1.2.1 Định nghĩa Gọi K[G] là tập hợp các tổ hợp tuyến tính hình thức

một vành, gọi là vành của nhóm G (với hệ số trong K) đối với 2 phép toánCộng: Σkss + Σlss = Σ(ks+ ls)s

Nhân: (Σkss)(Σltt) = Σkslt(st)

Đơn vị của K[G] là phần tử 1 = 1K.e (1K là phần tử đơn vị của trườngK; e là đơn vị của G)

Ta có G ⊂ K[G]t.c bằng cách đặt tương ứng s 7−→ 1.s, với s ∈ G Khi đó

K[G] là K-không gian véctơ với cơ sở G

Vậy ϕ là một biểu diễn của G 2

1.2.3 Định nghĩa Cho 2 biểu diễn ϕ : G −→ GL(E) và

1.2.4 Định nghĩa Giả sử ϕ : G −→ GL(E) là một biểu diễn của G.Không gianE0 ⊆ E được gọi là một G-không gian con hay không gian con

ổn định dưới tác động của ϕ nếu ϕsv ∈ E0, (∀s ∈ G, ∀v ∈ E0) Khi đóhạn chế của ϕ trên E0 xác định biểu diễn ϕ|E0 : G −→ GL(E0) được gọi

là biểu diễn con của ϕ (hay E0 là G-môđun con của E)

Nhận xét: Hạt nhân của G-đồng cấu f : E −→ F là G-môđun con củaE

Thật vậy, kerf ⊆ E Vì f là một G-đồng cấu nên:

∀v ∈ kerf, ∀σ ∈ G, ta có: (f.ϕσ)(v) = (ϕσ.f )(v)

Do đó kerf là G-môđun con của E

1.2.5 Định nghĩa Biểu diễn ϕ : G −→ GL(E) được gọi là biểu diễn bấtkhả quy nếu E không có G-không gian con nào khác ngoài E và 0 Nói cáchkhác, ϕ là biểu diễn bất khả quy nếu và chỉ nếu E là một K[G]-môđunđơn Trong trường hợp ngược lạiϕ được gọi là biểu diễn khả quy Một biểudiễn được gọi là hoàn toàn khả quy nếu mỗi G-môđun F, tồn tại G-môđuncon F0 sao cho E = F ⊕ F0

1.2.6 Định lý (Bổ đề Shur) Giả sử ϕ : G −→ GL(E) và

là một ánh xạ tuyến tính sao cho ψsf = f ϕs(∀s ∈ G) (nói cách khác, f làmột đồng cấu các K[G]-môđun với K là trường đóng đại số) Khi đó:(i.) Nếu ϕ và ψ không đẳng cấu với nhau, thì f=0

(ii.) Nếu E = F và ϕ = ψ thì f là một phép vị tự, tức f = λidE với hằng

số λ nào đó thuộc K

Chứng minh (i) Giả sử f 6= 0 Ta chứng minh f là đẳng cấu tức (ϕ ≈ ψ)

Vì f là một đồng cấu các K[G]-môđun từ E vào F suy ra kerf là G-khônggian con của E (Nhận xét 1.2.4) Vì ϕ là biểu diễn bất khả quy, suy ra

Do đó ϕ ≈ ψ, điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Từ (1) và (2) và theo (i) suy ra g = 0 Vậy f = λidE

Khi đó: (i) Nếu ϕ không đẳng cấu với ψ thì h0 = 0

(ii) Nếu E=F, ϕ = ψ thì h0 = λidE với λ = T r(h)

dimE

Chứng minh (i) ∀s ∈ G Ta chứng minh ψsh0 = h0ϕs, tức là cần chứng

Vì ϕ không đẳng cấu với ψ, nên theo Bổ đề Shur suy ra h0 = 0.

(ii) Vì E=F, ϕ = ψ nên, theo Bổ đề Shur suy ra h0 = λidE

1.2.8 Hệ quả Giả sử các biểu diễn ϕ : G −→ GL(E) và

Giả sử h và h0 lần lượt có ma trận (hij)i,j và (h0kl)k,l đối với cặp cơ sở

{ei} và {εi} Theo cách đặt h0 suy ra: h0ki = |G|1 P

t∈G

Ψkl(t−1)hljΦji(t)

Theo Hệ quả 1.2.7 nếu ϕ và ψ không đẳng cấu với nhau thì h0 = 0.Suy ra h0ki = 0 ∀k, i

Mặt khác, vế phải là một dạng tuyến tính của các biến hlj Suy ra mọi

hệ số của vế phải đều bằng 0

0 nếu trái lại

Chứng minh Gọi h : E −→ E là ánh xạ tuyến tính có ma trận (hij)i,j đốivới cơ sở {ei}1,n

1.2.10 Định lý (i) Nếu χ là đặc trưng của một biểu diễn bất khả quy thì

(ii) Giả sử χ0 là đặc trưng của biểu diễn bất khả quyψ không đẳng cấu với

ϕ, biểu diễn này được cho trong một cơ sở nào đó có ma trậnΨt = (Ψkl(t)),với t ∈ G

1.2.11 Hệ quả Giả sử E là một G-không gian với đặc trưng α và giả sử

E được phân tích thành tổng trực tiếp của các G-không gian bất khả quy

1 nếu Fi đăng cấu với F

0 nếu Fi không đăng cấu với F

1.2.12 Định nghĩa Giả sử E là một G-không gian với đặc trưng α, F làmột G-không gian bất khả quy với đặc trưng χ Khi đó sốhα, χi được gọi

là số lần xuất hiện của F trong E

Như thế, sai khác một đẳng cấu, mỗi G-không gian được phân tích duynhất thành tổng trực tiếp các G-không gian bất khả quy

1.2.13 Hệ quả Hai biểu diễn của G có cùng một hàm đặc trưng thì đẳngcấu với nhau

Chứng minh Vì theo Hệ quả 1.2.11 thì hai biểu diễn này có cùng số lầnxuất hiện của mỗi biểu diễn bất khả quy cuả G 2

Hệ quả này cho phép quy việc nghiên cứu các biểu diễn về việc nghiên cứucác đặc trưng của chúng Đặc biệt ta có nguyên lý sau đây về tính bất khảquy

1.2.14 Định lý Biểu diễn ϕ : G −→ GL(E) là biểu diễn bất khả quynếu và chỉ nếu đặc trưng χϕ của nó có chuẩn bằng 1 Tức là hχϕ, χϕi = 1

Chứng minh Giả sử E = m1E1 ⊕ m2E2 ⊕ ⊕ mhEh (với mi > 0) là sựphân tích của E thành tổng trực tiếp các G-không gian bất khả quy Trong

của G-không gian bất khả quy Ei

Vậy E đẳng cấu với E1 là một G-không gian bất khả quy 2

1.2.15 Mệnh đề Nếu ϕ là một biểu diễn bất khả quy cấp 1 và ψ là mộtbiểu diễn bất khả quy cấp tuỳ ý, thì ϕ ⊗ ψ cũng là biểu diễn bất khả quy.Chứng minh Giả sử χ1 là đặc trưng của biểu diễn ϕ, và α là đặc trưngcủa biểu diễn bất khả quy ψ

Theo 1.1.7 ta có đặc trưng của biểu diễn ϕ ⊗ ψ là χ = χ1.α Ta có

Theo Định lý 1.2.14 suy ra ϕ ⊗ ψ là biểu diễn bất khả quy 2

1.2.16 Định lý Đặc trưng rG của biểu diễn chính quy của G được chobởi công thức

rG(s) =



Chứng minh Giả sử ϕ : G −→ GL(C[G]) là biểu diễn chính quy củanhóm G Gọi {ti}1,n (ti ∈ G; n = |G|) là cơ sở của C[G], ∀s ∈ G Ta có:

{t1, t2, tn} 7−→ {ϕs(t1), ϕs(t2), , ϕs(tn)} Gọi Φs là matrận của phép biến đôi tuyến tính ϕs

1.2.18 Hệ quả Giả sư E1, E2, , Eh là tất cả các G-không gian bất khảquy đôi một không đẳng cấu với nhau, với các đặc trưng tương ứng là

χ1, χ2, , χh và các cấp tương ứng là n1, n2, , nh Ta có:

bất khả quy của G sinh ra một không gian véctơ con như thế nào trong

Ta cần chứng minh chúng sinh ra RC(G)

Gọi ϕ là đặc trưng của một biểu diễn bất khả quy của G với đặc trưng χ.Theo 1.2.20 ta có ánh xạ: ϕf = P

Vì mọi biểu diễn của G đều là tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khảquy

⇒ϕf = 0 với mọi biểu diễn ϕ (không nhất thiết bất khả quy)

⇒ϕf = 0 với ϕ là biểu diễn chính quy

1.2.22 Định nghĩa Cho nhóm G và a, x thuộc G Phần tử x−1ax, kýhiệu ax, được gọi là liên hợp với a bởi phần tử x.

Trong nhóm G ta xác định một quan hệ hai ngôi < như sau:

Chứng minh Giả sử C1, C2, , Ch là tất cả các lớp liên hợp trong G Ta

có dimRC(G) bằng số lớp liên hợp trong G (1)

1.3 Biểu diễn cuả nhóm Abel

1.3.1 Định lý (Lagrange) Giả sử G là một nhóm hữu hạn, S là một nhómcon của nó Khi đó |G| = h.|S| (với h là số lớp kề trái của S)

1.3.2 Định nghĩa Giả sử S là nhóm con của nhóm hữu hạn G Khi đóchỉ số của S trong G (tức số phần tử của tập các lớp kề trái G/S) đượcđịnh nghĩa bởi công thức:

[G : S] = |G|/|S|

1.3.3 Định nghĩa Cho G là một nhóm, kí hiệu:[G, G] = {x−1y−1xy\x, y}

được gọi là nhóm các hoán tử của G và [x, y] = x−1y−1 là một hoán tửcủa x và y

Chứng minh Gọi n1, n2, , nh là cấp của tất cả các biểu diễn bất khả quyđôi một không đẳng cấu của G.

Theo Hệ quả 1.2.18 suy ra |G| = n2

1 + n22 + + n2h(∗)

G là nhóm Abel khi và chỉ khi ab = ba, ∀a, b ∈ G ⇔ b = a−1ba, tức là mọiphần tử thuộc G chỉ liên hợp với chính nó Do đó G là nhóm Abel khi vàchỉ khi mọi lớp liên hợp của nó chứa đúng một phần tử

Theo Định lý 1.2.25 số biểu diễn bất khả quy của G bằng số lớp liên hợpcủa G và bằng |G|, tức là |G| = h

Từ (*) suy ra n21 + n22 + + n2h = h ⇔ n1 = n2 = = nh = 1

Định lý được chứng minh.2

1.3.6 Định lý (i) Có sự tương ứng 1-1 giữa các biểu diễn cấp 1 của nhóm

G với các biểu diễn bất khả quy của nhóm Abel G/[G,G]

(ii) Số các biểu diễn cấp 1 không đẳng cấu với nhau của G bằng chỉ số của[G,G] trong nhóm G

Chứng minh (i)(⇒) Giả sử ϕ : G −→ GL(C) ≈ C\{0} là biểu diễn cấp

1 cuả G

Xét tương ứng ϕ : G/[G, G] −→ GL(C)

Ta chứng minh ϕ là một biểu diễn

Do đó ϕ là ánh xạ.

*) ϕ là đồng cấu nhóm Thật vậy:

ϕ(s1A.s2A) = ϕ(s1s2A) = ϕ(s1s2) = ϕs1ϕs2 = ϕ(s1A)ϕ(s1A)

Do đó ϕ là biểu diễn cấp 1 của nhóm G/[G,G]-là nhóm Abel

Vậy ϕ cũng là một biểu diễn bất khả quy của G/[G,G] (Định lý 1.3.5).(⇐) Giả sử ψ là một biểu diễn bất khả quy của nhóm Abel G/[G,G] Suy

ra ψ là biểu diễn cấp 1 của nhóm G/[G,G] và có biểu diễn:

Xét ánh xạ ψ = ψ.π : G −→ GL(C) (Với π : G −→ G/[G, G] là phépchiếu tự nhiên)

Vì π và ψ là đồng cấu nhóm nên ψ cũng là đồng cấu nhóm

Vậy ψ là biểu diễn cấp 1 của G

(ii) Theo (i) suy ra số biểu diễn cấp 1 của G bằng số biểu diễn bất khảquy không đẳng cấu với nhau của nhómG/[G, G] bằng số lớp liên hợp củanhóm Abel G/[G, G] bằng |G/[G, G]| và bằng [G : [G, G]]

Vậy số biểu diễn cấp 1 không đẳng cấu với nhau của G bằng[G : [G, G]].2

1.4 Biểu diễn của nhóm hoán vị

1.4.1 Định nghĩa Cho X là một tập hợp, X 6= ∅, G là một nhóm G

được gọi là tác động trái trên X nếu tồn tại ánh xạ:

G × X −→ X(g, x) 7−→ g.x

Thoả các điều kiện sau:

i)g.(g0.x) = (gg0).x

1.4.2 Nhận xét Đặt AutX là tập tất cả các song ánh từ X vào X Dựavào Định nghĩa 1.4.1 dễ chứng minh được rằng ánh xạ:

ϕ : G −→ AutX

1.4.3 Định nghĩa Cho X là một tập hợp,X 6= ∅ và G là một nhóm Một

tác động của nhóm G lên tập X là một đồng cấu nhóm ϕ : G −→ AutX

Tác động của nhóm G lên tập X được gọi là bắc cầu nếu mọi cặp x,

x0 ∈ X thì tồn tại g ∈ G : x0 = g.x

1.4.4 Định nghĩa Với mọi x0 ∈ X Xác định tập con

1.4.6 Nhận xét Giả sử G là nhóm con của nhóm Sn tác động lên tập

X = {x1, x2, , xn} Khi đó, với mỗi g ∈ G, ánh xạ

ϕg : xi 7−→ gxi(i = 1, 2 , n) có ma trận Φ(g) gồm các phần tử là 0 và 1

và vết của ma trận này là χ(g) bằng số những phần tử trong X được cốđịnh bởi g

Giả sử X có r quỹ đạo là X1, X2, , Xr (r ≤ n) tác động bởi G Khi

đó G tác động bắc cầu trên mỗi Xj (j = 1, 2, r)

Thật vậy, xét quỹ đạo Xj, giả sử Xj = G.xh = {gxh\g ∈ G}

Lấy bất kỳ 2 phần tử xk, xl ∈ Xj ⇒ ∃g1, g2 ∈ G : xk = g1xh, xl = g2xh.Gọi g0 = g1.g2−1, ta có: g0.xl = g1.g2−1.g2xh = xk

Do đó G tác động bắc cầu trên mỗi Xj

Gọi Φi(g) là ma trận của g tác động lên Xi, có vết χi(g) bằng số nhữngphần tử trong Xi được cố định bởi g, chúng ta có thể viết:

1.4.7 Mệnh đề Giả sử G là nhóm con của nhóm Sn tác động lên tập

Thật vậy, vì G tác động bắc cầu trên X1 nên: với x1, xi ∈ X1(1 < i ≤ s),

1.4.8 Mệnh đề Giả sử G là nhóm hoán vị bắc cầu trênX = {x1, x2, , xn}

đối với H1 thì

X

g∈G

χ(g)χ(g) = r|G|

Chứng minh Vì G là nhóm hoán vị bắc cầu trên tập X = {x1, x2, , xn}

nên các nhóm con H1, H2, Hn liên hợp với nhau trong G Do đó, tồn tại

với H1 thì X cũng được phân tích thành r quỹ đạo đối với cácHi, i = 2, n.Thật vậy, giả sử r quỹ đạo của X đối với H1 là H1x11, H1x12, , H1x1r.Khi đó, Higx11, Higx12, , Higx1r là r quỹ đạo phân biệt của X đối với