Nghiên cứu các sai lầm của học sinh trung học phổ thông trong chủ đề phương trình và biện pháp khắc phục

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNGUYỄN VŨ TÚ NHIÊN NGHIÊN CỨU CÁC SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGHỆ AN, 2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN VŨ TÚ NHIÊN

NGHIÊN CỨU CÁC SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGHỆ AN, 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN VŨ TÚ NHIÊN

NGHIÊN CỨU CÁC SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN THUẬN

NGHỆ AN, 2013

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn VănThuận – người đã dành nhiều thời gian quý báu để hướng dẫn, chỉ bảo tôi tậntình, hỗ trợ và động viên khi tôi gặp khó khăn trong quá trình thực hiện luậnvăn

Bên cạnh đó, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệutrường Đại học Vinh, trường Đại học Sài Gòn, cùng toàn thể quý Thầy Côtrong khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian họctập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn

Ngoài ra, tôi cũng xin cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cô giáo và các emhọc sinh lớp 10A9, 10A10 trường THPT Đoàn Kết đã tạo điều kiện thuận lợi

và giúp đỡ tôi trong quá trình làm thực nghiệm sư phạm

Cuối cùng, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, ngườithân và bạn bè đồng nghiệp - những người đã không ngừng động viên, hỗ trợ

và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiệnluận văn

Vinh, tháng 10 năm 2013

Học viên thực hiệnNguyễn Vũ Tú Nhiên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 2

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : 2

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : 4

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU : 4

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : 5

5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC : 5

6 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN : 5

7 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN : 6

CHƯƠNG 1: NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 8

1.1 Sự cần thiết phát hiện, phòng tránh, khắc phục những sai lầm của học sinh khi giải phương trình 8

1.2 Một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải phương trình 9

1.2.1 Sai lầm liên quan đến khả năng suy luận : 9

1.2.1.1 Sai lầm về luận cứ : 9

1.2.1.2 Sai lầm về luận chứng : 12

1.2.1.3 Sai lầm về luận đề : 13

1.2.2 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán : 14

1.2.3 Các sai lầm về biến đổi, đặc biệt là các phép tương đương và hệ quả 17

1.2.4 Sai lầm do không nắm vững nội hàm khái niệm hoặc áp dụng công thức một cách máy móc : 23

1.2.4.1 Sai lầm do không nắm vững nội hàm các khái niệm toán học .23

1.2.4.2 Sai lầm do áp dụng định lý, công thức, quy tắc một cách máy móc 24

1.2.5 Sai lầm do hoạt động phân chia trường hợp riêng 26

1.2.5.1 Sai lầm do không hiểu bản chất của tham số, không hiểu chính xác nghĩa của cụm từ “giải và biện luận”, lẫn lộn giữa “biện luận theo m” và “tìm m” Khi giải biện luận phương trình có tham số m học sinh quy về tìm m để phương trình có nghiệm 26

1.2.5.2 Sai lầm do không ý thức được sự suy biến của tham số 28

1.2.5.3 Sai lầm do nắm không chính xác điều kiện để có thể thực hiện phép biến đổi tương đương 29

1.2.5.4 Khó khăn trong việc tìm ra tiêu chí phân chia 30

1.2.6 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt : 32

1.2.7 Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng : 35

1.2.8 Sai lầm do không hiểu bản chất đối tượng : 36

1.2.9 Sai lầm do chủ nghĩa hình thức : 37

1.3 Kết luận chương 1: 39

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÒNG TRÁNH VÀ SỬA CHỮA NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 40

2.1 Cơ sở lý luận : 40

2.2 Các biện pháp phòng tránh, khắc phục và sửa chữa sai lầm khi giải phương trình 47

2.2.1: Biện pháp 1: Tạo niềm tin và rèn luyện các thao tác tư duy 47

2.2.1.1 Tạo niềm tin: 47

2.2.1.2 Rèn luyện các thao tác tư duy: 50

2.2.2 Biện pháp 2: Thiết kế các tình huống hoạt động học tập hợp tác .52

2.2.3 Biện pháp 3: Tạo nhiều cơ hội để học sinh được thử thách với nhiều sai lầm 56

2.3 Kết luận chương 2 60

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 61

3.1 Mục đích thực nghiệm 61

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 61

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 61

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 61

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 64

3.3.1 Đánh giá định tính 64

3.3.2 Đánh giá định lượng 66

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm 67

KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :

Trong giai đoạn đổi mới hiện nay, trước yêu cầu của sự nghiệp côngnghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, để tránh nguy cơ bị tụt hậu về kinh tế vàkhoa học công nghệ thì việc cấp bách là phải nâng cao chất lượng giáo dục vàđào tạo Cương lĩnh xây dựng đất nước trong thời kỳ quá độ lên Chủ nghĩa xãhội (bổ sung, phát triển năm 2011) được Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ XIcủa Đảng thông qua đã dành những dòng khái quát nhất, cô đọng nhất, và có

thể nói là hay nhất về Giáo dục và đào tạo: “Đổi mới căn bản và toàn diện

giáo dục và đào tạo theo nhu cầu phát triển của xã hội; nâng cao chất lượng theo yêu cầu chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế, phục vụ đắc lực sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc” Tầm quan

trọng của giáo dục và đào tạo trong sự nghiệp của dân tộc đặt lên vai đội ngũ

những người làm công tác giáo dục nhiều trách nhiệm nặng nề “Trong các

môn khoa học và kĩ thuật, toán học giữ một vị trí nổi bật Nó còn là môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo” Theo tác giả Lê

Thống Nhất thì “Các nhà giáo dạy toán chính là huấn luyện viên cho môn

học này”.

Phương trình là một đối tượng xuất hiện trong chương trình toán phổthông xuyên suốt từ bậc tiểu học, trung học cơ sở đến trung học phổ thông,với vị trí khá quan trọng, ngay cả trong các đề thi kiểm tra học kỳ, kỳ thituyển sinh đại học, kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia Thực tế dạy học và quansát cho thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi thực hiện nhiệm vụ “giảiphương trình” Đặc biệt chúng tôi thường nhận thấy hiện tượng sau: Đặt thiếuhay thừa điều kiện cho phương trình, tìm thiếu hoặc thừa nghiệm cho phương

trình, sử dụng sai phép biến đổi tương đương trong các thao tác giải phươngtrình Điều đáng chú ý là có một số sai lầm thường bắt gặp ở nhiều học sinhkhác nhau, nó lặp đi lặp lại qua các thế hệ học sinh khác nhau Chúng ta đã

biết, quá trình nhận thức của con người đi từ “cái sai đến cái đúng rồi mới

đến khái niệm đúng” quá trình học toán của học sinh phổ thông cũng vậy, khi

học toán cũng mắc phải những sai lầm nhất định Việc học tập từ chính nhữngsai lầm ấy đối khi có thể mang đến sự khắc sâu về kiến thức cho bản thânngười học

Tuy nhiên, quan niệm thế nào về sai lầm, về cách sửa chữa nó lại khá

đa dạng trong cộng đồng các nhà nghiên cứu cũng như giáo viên Trên thếgiới, nhiều nhà khoa học nổi tiếng đã phát biểu nhiều ý kiến bổ ích cho vấn đề

này Chẳng hạn : J.A Komensky đã khẳng định “Bất kỳ một sai lầm nào cũng

có thể làm cho học sinh học kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay tới sai lầm đó, bằng cách hướng dẫn học sinh tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm” A.A Stoliar nhấn mạnh “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh” Từ những vấn đề nêu trên, chúng tôi

thấy cần thiết đặt ra các câu hỏi sau đây:

Sai lầm được nhìn nhận một cách khái quát như thế nào theo cách nhìntruyền thống ở Việt Nam và theo các lý thuyết học tập?

Tri thức về phương trình được đưa vào phương trình toán phổ thôngqua các khối lớp, bậc học như thế nào? Nhằm mục đích gì? Có những dạng,bài toán nào liên quan đến giải phương trình?

Học sinh thường gặp những sai lầm nào khi giải quyết các tình huốnggắn liền với nhiệm vụ giải phương trình? Tại sao học sinh thường phạm phảinhững sai lầm có tính chất lặp lại như vậy? Những sai lầm nảy sinh ra từ đâu?Nguyên nhân chính của nó là gì? Có thể giải thích như thế nào?

Có cách nào khắc phục những sai lầm đó hay không? Thực hiện nhưthế nào?

Tìm câu trả lời cho những câu hỏi trên theo chúng tôi là thực sự cầnthiết, vì nó không chỉ cho phép hiểu hơn về sai lầm, mà còn cho phép thấy rõ

những quan niệm hiện thời của một số nhà nghiên cứu và các giáo viên khinói tới sai lầm của học sinh Đặc biệt là sự cần thiết phải có một nghiên cứunghiêm túc về các sai lầm của học sinh khi học phương trình trên các phươngdiện: thể hiện, nguyên nhân, ngăn ngừa và khắc phục, mà cụ thể là trong giảiphương trình Điều này sẽ làm thuận lợi cho việc thiết lập và tổ chức nhữngtình huống sửa chữa sai lầm của học sinh một cách phù hợp Qua đó giúp bổsung và hoàn thiện vào phương pháp giảng dạy môn toán, nâng cao hiệu quảcho việc dạy học toán.

Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Nghiên cứu

các sai lầm của học sinh THPT trong chủ đề phương trình và biện pháp khắc phục” để nghiên cứu.

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU :

Từ những cây hỏi ban đầu đặt ra chúng tôi nhận thấy việc trả lời chúng

là rất cần thiết, song trong điều kiện hạn chế của một luận văn, chúng tôi sẽchỉ tìm cách trả lời một số câu hỏi sau và đó cũng chính là mục đích củanghiên cứu trong luận văn này

2.1 Sai lầm của học sinh được đánh giá như thế nào theo cách nhìntruyền thống ở Việt Nam và theo các lý thuyết học tập, đặc biệt theo quanđiểm didactic toán?

2.2 Tri thức về phương trình được đưa vào phương trình toán phổthông như thế nào?

2.3 Có những sai lầm nào của học sinh gắn liền với việc giải phươngtrình ? Có thể dự đoán và giải thích nguyên nhân dẫn đến sai lầm như thếnào?

2.4 Có những biện pháp nào để khắc phục sai lầm cho học sinh trongviệc giải phương trình ?

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU :

Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:

3.1 Tìm hiểu những quan niệm và phân loại về sai lầm trong các lý thuyết về học tập.

3.2 Tìm hiểu và phân tích một số sai lầm của học sinh trong giảiphương trình

3.3 Để hạn chế, sửa chữa những sai lầm đã chỉ ra cần thực hiện nhữngquan điểm nào?

3.4 Kết quả thực nghiệm sư phạm như thế nào?

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :

4.1 Nghiên cứu lí luận : Nghiên cứu các tài liệu về lý luận và phươngpháp giảng dạy môn Toán; các tài liệu đề cập đến sai lầm của học sinh để nắmbắt thêm các kiểu sai lầm của học sinh khi giải phương trình; các tài liệu vềTâm lý và Giáo dục học, các quan điểm đổi mới về phương pháp dạy họcToán làm cơ sở để đề xuất các quan điểm hạn chế và sửa chữa sai lầm của họcsinh

4.2 Nghiên cứu thực tiễn giảng dạy : Tìm hiểu thực trạng về những sailầm của học sinh thông qua hình thức dự giờ và thăm lớp, qua các bài kiểmtra của học sinh Đồng thời trao đổi kinh nghiệm với một số giáo viên vềnhững sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình

4.3 Thực nghiệm sư phạm : Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệmtính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm đã đề xuất nhằm khắcphục và sửa chữa những sai lầm của học sinh khi giải phương trình

5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC :

Nếu làm sáng tỏ được những khó khăn, sai lầm của học sinh THPT khilàm việc với phương trình và đề ra được những biện pháp sư phạm phù hợp

để khắc phục những khó khăn, sai lầm này thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quảdạy học môn Toán

6 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN :

6.1 Luận văn đã làm sáng tỏ và phân tích nguyên nhân dẩn đến sai lầmcủa học sinh Trung học phổ thông khi giải phương trình

6.2 Luận văn có thể sử dụng luận văn để làm tài liệu tham khảo chogiáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập giải phương trình ởtrường THPT

7 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN :

Phần Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

5 Giả thuyết khoa học

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Nội dung

Luận văn có 3 chương

Chương 1 : Những sai lầm thường gặp của học sinh Trung học phổ thông khi giải phương trình

1.1 Sự cần thiết phát hiện, phòng tránh, khắc phục những sai lầm của họcsinh khi giải phương trình

1.2 Một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải phương trình1.2.1 Sai lầm liên quan đến khả năng suy luận

1.2.2 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán

1.2.3 Sai lầm về biến đổi, đặc biệt là phép biến đổi tương đương và hệ quả1.2.4 Sai lầm do không nắm vững nội hàm, áp dụng công thức một cáchmáy móc

1.2.5 Sai lầm do hoạt động phân chia trường hợp riêng

1.2.6 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt

1.2.7 Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng

1.2.8 Sai lầm do không hiểu bản chất đối tượng

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm

Kết luận chung

Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 1 NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC

PHỔ THÔNG KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

1.1 Sự cần thiết phát hiện, phòng tránh, khắc phục những sai lầm của học sinh khi giải phương trình

Dạy Toán là dạy hoạt động toán học, hoạt động toán học chủ yếu củahọc sinh là hoạt động giải toán Kiến thức toán học của học sinh đạt được đếnmức độ nào được thể hiện rõ nét nhất qua chất lượng giải toán Vai trò của bàitập trong dạy hoc toán là vô cùng quan trọng theo P M Ecđơnnhiev: “Bài tậpđược coi là một mắt xích chính của quá trình dạy học Toán” Tuy nhiên, nóinhư vậy không có nghĩa là tách rời việc dạy học giải Toán với dạy học cáckhái niệm và định lý toán học Bởi lẽ, một khi học sinh mắc phải khó khăn,sai lầm khi giải một bài toán cụ thể nào đó đồng nghĩa với việc học sinh đãchưa nắm vững hoặc chưa vận dụng được nội dung lý thuyết đã học vào thựchành giải Toán Do đó, khi phát hiện thấy học sinh còn mắc phải nhiều khókhăn và sai lầm trong giải Toán thì người giáo viên nên nhấn mạnh lại nhữngđiểm cần chú ý trong quá trình dạy học khái niệm và định lý toán học

Đặt ra vấn đề nghiên cứu những khó khăn và sai lầm của học sinh khigiải phương trình là thật sự cần thiết, bởi lẽ, thực tiễn sư phạm cho thấy họcsinh khi giải phương trình hay mắc phải rất nhiều kiểu sai lầm Từ những sailầm bình thường về tính toán đến những sai lầm do biến đổi, do suy luận vàthậm chí có những kiểu sai lầm rất tinh, kín đáo không dễ phát hiện Tất cảnhững kiểu sai lầm ấy, nhìn nhận khách quan, là do người học Tuy nhiên,trong đó có một phần trách nhiệm không nhỏ của giáo viên Bởi vì giáo viênchưa chú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa kịp

thời các sai lầm của học sinh ngay trong các giờ học Toán; hoặc giáo viênphát hiện sai lầm của học sinh nhưng chưa làm rõ nguyên nhân, nguồn gốcchính dẫn đến sai lầm đó, hoặc chỉnh sửa một cách qua loa Vì những điềunày nên ở học sinh không khắc phục được sai lầm mà tệ hại hơn lại tiếp tụcsai lầm Chính vì thế nên J A Kômenxki đã viết: “Bất kỳ một sai lầm nàocũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay đếnsai lầm đó, và hướng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa khắc phục sai lầm”.

Như vậy, có thể khẳng định rằng, nghiên cứu những sai lầm của họcsinh để từ đó chọn lựa cách giảng dạy thích hợp là một việc làm cấp thiết Bởi

vì, nếu ta hình dung tốt, lường trước được những sai lầm thì ta sẽ có cách đểphòng tránh, ngăn ngừa; còn nếu không thì đôi khi rơi vào tình trạng “sai lầmnối tiếp sai lầm”, và do đó hạn chế đến chất lượng giáo dục

1.2 Một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải phương trình

Trong mục này chúng tôi sử dụng các ký hiệu riêng:

(?) Lời giải có sai lầm

(!) Phân tích và chỉ ra sai lầm

Trong mục này, chúng tôi sẽ đi phân tích sai lầm của học sinh khi giảiphương trình sẽ được tiếp cận, xem xét theo phương diện hoạt động toán học

1.2.1 Sai lầm liên quan đến khả năng suy luận :

Suy luận là một trong những hình thức của tư duy Suy luận là một quá

trình suy nghĩ để rút ra một mệnh đề mới từ một hoặc nhiều mệnh đề đã cho.Một suy luận thường có cấu trúc logic A  B, trong đó A là tiền đề, B là kếtluận Cách thức lôgic phản ánh cách thức rút ra kết luận tức là cách lập luận.Muốn suy diễn đúng đắn thì đương nhiên quy tắc suy luận phải nắm vững.Tuy nhiên, thực tiễn sư phạm cho thấy, học sinh thường bị hỏng kiến thức vềlogic, sử dụng mệnh đề sai hoặc ngộ nhận là mệnh đề đúng và do đó khi giảiToán chủ đề phương trình các em hay vấp phải những kiểu sai lầm sau:

1.2.1.1 Sai lầm về luận cứ :

Sai lầm về luận cứ là do dựa vào những mệnh đề sai do ngộ nhận, hoặc mệnh

đề chưa được chứng minh là đúng, hoặc dựa vào mệnh đề tương đương vớimệnh đề cần chứng minh

Điều kiện : x  0 Phương trình đã cho tương đương với :

3

2 2 1

2

21

x

x x

x

x x

Lời giải đúng là:

Điều kiện: x  0 Phương trình đã cho tương đương với:

x x

x x

x x

(!) Học sinh đã áp dụng công thức log log m

x x

(1) 3log 2 3 3log 4 3log 6

log 2 1 log 4 log 6

1.2.1.2 Sai lầm về luận chứng :

Sai lầm này chủ yếu là do suy luận không logic

Ví dụ 3: Cho phương trình bậc hai x2 + (1 – 2m )x + m2 + 3 = 0, với số thực

m là tham số Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình Hãy xác định m để

x và x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai đã cho, hay nói

cách khác là A không thể nhận giá trị âm và tham số m 11

4



 (do   0) Thếnhưng học sinh sai lầm ở chỗ là chỉ đơn thuần đi tìm giá trị nhỏ nhất cho biểuthức A = 2m2 – 4m – 5

Phương trình (1) có nghiệm t2  4 1 2t  m 0(2) có nghiệm

' 3 2 0

2

       Nguyên nhân dẫntới sai lầm là chuyển đổi bài toán sang bài toán không tương đương

Khi xem xét về khả năng suy luận của học sinh trong giải toán, ngoàicác sai lầm điển hình như đã phân tích, chúng ta còn thường thấy ở học sinh

có những sai lầm khác Chẳng hạn, học sinh thường sai lầm khi nhầm lẫn giữađiều kiện cần và điều kiện đủ Trong phần trình bày lời giải bài toán, học sinhthường sử dụng các ký hiệu ,  một cách tùy tiện, đặc biệt là phép toán kéotheo lại là nguyên nhân của rất nhiều sai lầm Sự hiểu biết mập mờ và thiếuthận trọng khi sử dụng các quy tắc suy luận dẫn tới sai lầm trong lý luận vàchứng minh

Thậm chí, ngay cả việc sử dụng từ nối “và”, “hoặc” cũng là điều khókhăn của rất nhiều học sinh

Ví dụ 5: Rất nhiều học sinh hay trình bày: A.B = 0  A = 0 và B = 0

1.2.2 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán :

Có nhiều bài toán, việc tiến hành giải trực tiếp gặp rất nhiều khó khănbuộc chúng ta phải chuyển sang giải gián tiếp, hoặc chuyển sang một bài toánkhác tương đương để việc giải quyết được dễ dàng hơn Tuy nhiên, thực tiễn

sư phạm cho thấy, trong quá trình chuyển đổi bài toán, học sinh vấp phải rấtnhiều sai lầm

Thật ra những sai lầm liên quan đến việc chuyển đổi bài toán cũngkhông độc lập hoàn toàn với sai lầm về luận chứng, luận cứ và các sai lầm do

biến đổi Bởi vì, từ một bài toán ban đầu, trong quá trình giải, các em học sinhlại chuyển sang một bài toán không tương đương.

Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

sin cosx x m sinxcosx  1 0(1)

(!) Học sinh không đặt điều kiện cho ẩn phụ t dẫn đến xét thiếu hợp

Điều kiện của t là  2  t 2 nên bài toán trở thành tìm m để phương trình(2) có nghiệm thỏa mãn  2  t 2

Ví dụ 7: Với giá trị nào của m thì phương trình sau đây vô nghiệm:

cos 2 cos 1 0(1)

m x m x (?) Đặt t = cosx,    1 t 1

Vậy với – 1 < m  0 thì phương trình đã cho vô nghiệm

(!) Ở bài toán này học sinh vấp phải sai lầm do việc chuyển đổi bài toánkhông chuẩn Bài toán yêu cầu phương trình ẩn x vô nghiệm, nhưng họcsinh lại chuyển thành yêu cầu phương trình ẩn t vô nghiệm mà không xét đếnđiều kiện của t

Trong bài toán này, điều kiện của t là    1 t 1 Do đó, để phươngtrình (1) vô nghiệm thì có 2 khả năng: hoặc phương trình theo ẩn t (phươngtrình (2)) vô nghiệm hoặc có nghiệm nhưng mọi nghiệm t  1;1

Đối với học sinh khá, giỏi thường khi đặt ẩn phụ học sinh có quan tâmđến điều kiện của ẩn nhưng lại đặt điều kiện quá rộng hoặc quá hẹp nên khichuyển từ bài toán ban đầu sang bài toán mới lại kéo theo những điều kiệnràng buộc khác

Ví dụ 8: Giải phương trình: x  1 + 2x 3 = 5

(?) Lời giải của học sinh:

Điều kiện của bài toán là: x  1 (*)

) 1 ( 5

v u

2 2

Thay (1) vào (2) ta được: v2 – 2(5 – v)2 = 1  v2 – 20v + 51 = 0 Giải phương trình này ta được hai nghiệm v1 = 17 và v2 = 3

Từ đó tính được x1 = 143 và x2 = 3 đều thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1 = 143, x2 = 3.

(!) Với cách đặt u = x  1, v = 2x 3 thì học sinh hoàn toàn đúng khiràng buộc điều kiện u  0, v  0 Tuy nhiên, khi chuyển phương trình đã cho(theo x) thành hệ phương trình (theo u, v) thì học sinh lại quên bổ sung thêmđiều kiện 0  u  5 và 0  v  5, bởi vì bài toán mới có phương trình u +

v = 5 Do đó nghiệm v1 = 17 của phương trình v2 – 20v + 51 = 0 không thỏamãn điều kiện này

Lời giải đúng là:

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 3

1.2.3 Các sai lầm về biến đổi, đặc biệt là các phép tương đương và hệ quả

Trong quá trình giải bất kỳ một bài toán nào, hầu như chúng ta đều phảithực hiện các phép biến đổi Hiển nhiên, có bài toán ta chỉ thực hiện vài phépbước biến đổi đơn giản từ giả thiết thì sẽ nhận được điều cần kết luận Tuynhiên, thực tế dạy học cho thấy, rất nhiều bài toán đòi hỏi chúng ta phải biếnđổi cầu kỳ hơn, vận dụng nhiều kiến thức hơn mới đạt được kết quả

Sai lầm do biến đổi tương đương hay hệ quả, thực ra có thể xếp vàokiểu sai lầm logic, bởi vì phép tương đương và hệ quả cũng thuộc về logictoán Học sinh hay nhầm lẫn khi sử dụng phép hệ quả mà cứ ngỡ là phéptương đương

Ví dụ 9: Giải phương trình: 3 5x  2 + 3 10x  3 = 1

(?) Hầu hết học sinh đều giải phương trình trên như sau:

Phương trình đã cho tương đương: (3 5x  2 + 3 10x  3)3 = 1

về sự tương đương Nhưng với lũy thừa bậc lẻ thì hầu như các em không bănkhoăn gì; do vậy, việc dùng tương đương đối với các em rất thoải mái

Trong ví dụ trên, với phép thế 3 2  x 1 + 3 x  1 = 1 từ (1) sang (2) làphép biến đổi hệ quả, không phải là phép biến đổi tương đương, do đó đã xuất

hiện nghiệm ngoại lai 2

Vậy phương trình có nghiệm x 2

(!) Sai lầm ở bài toán trên là phép biến đổi từ (1) sang (2) không phải làphép biến đổi tương đương vì VT (1) chưa xác định là không âm mà học sinh

đã sử dụng kỹ thuật “bình phương hai vế”

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 11: Giải phương trình sau :

33

3

3

11 03

x x

x

x

x x

Ở đây học sinh đã áp dụng công thức f x g x( ) ( )  f x( ) g x( ) màquên rằng công thức này chỉ đúng với f x ( ) 0 ; g x ( ) 0 Tương tự

( ) ( )

cos 2x 1 sin2x 2 sinxcosx(1)

(?) Bài giải của học sinh

cos 2 cos sin cos sin cos sin

1 sin2x= cos sin 2sin cos cos sin

Điều kiện để căn thức có nghĩa

cos sin  cos sin  0cos 2 0

 cosx sinx cosx sinx2  4

Dấu “=’ xảy ra  cosx 1 x k 2

(!) Nguyên nhân sai lầm khi giải hệ 0

0

A B A

Trường hợp 2 : 0

0

A B

Ví dụ 13: Tìm m để phương trình x 1 m x 2 (1) có nghiệm duy nhất(?)

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất  phương trình (2) có nghiệm

1.2.4 Sai lầm do không nắm vững nội hàm khái niệm hoặc áp dụng công thức một cách máy móc :

1.2.4.1 Sai lầm do không nắm vững nội hàm các khái niệm toán học

Thực tiễn sư phạm cho thấy trong quá trình vận dụng khái niệm, việckhông nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niệm sẽ dẫn tới học sinh hiểukhông trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm Mặt khác, nhiềukhái niệm toán học là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó, việcchưa hiểu hoặc hiểu không đúng khái niệm có liên quan, chắc chắn học sinh

sẽ không phát hiện hoặc lĩnh hội được trọn vẹn khái niệm mới

Sai lầm về các khái niệm toán học (đặc biệt là các khái niệm ban đầu có tínhchất nền tảng) sẽ dẫn đến hậu quả tất yếu học kém toán Vì vậy có thể nói sự

“mất gốc” của học sinh về kiến thức toán trước hết coi là sự “mất gốc” về cáckhái niệm Từ nhiều nguyên nhân khác nhau có thể dẫn tới sự khái niệm toánhọc một cách hình thức biểu hiện ở :

Học sinh không nắm vững nội hàm và ngoại diên của khái niệm nênnhận dạng và thể hiện khái niệm sai

Hiểu sai ngôn ngữ, kí hiệu trong định nghĩa khái niệm nên diễn đạt vàvận dụng sai khái niệm (khi xây dựng khái niệm khác, khi biến đổi tính toán,khi suy luận chứng minh)

Ví dụ 14: Do không nắm vững khái niệm nghiệm của phương trình nên khigiải phương trình x 1 x1 2    1 x 1 học sinh không thừa nhận kếtquả trên là nghiệm, do lâu nay học sinh nghĩ rằng nghiệm của phương trình làcác giá trị rời rạc, đơn lẻ mà không phải là một khoảng, một đoạn.

Ví dụ 15: Khi giải phương trình lượng giác do không hiểu rõ radian và độ làhai đơn vị đo khác nhau nên dẫn tới sai lầm khi viết nghiệm của các phươngtrình

725

x  k

1.2.4.2 Sai lầm do áp dụng định lý, công thức, quy tắc một cách máy móc

Theo phương hướng đổi mới chương trình và sách giáo khoa toán thìnhững nội dung phức tạp đã được tinh giản, giảm bớt những điều có tính chất

“hàn lâm”, giảm bớt những suy luận quá trừu tượng, giảm các phép biến đổicầu kỳ Và do đó, học sinh chỉ giải toán với những phép biến đổi đơn giản,chủ yếu là áp dụng định lý, các công thức, các quy tắc Tuy nhiên, không phảinội dung định lý nào cũng được học sinh nắm bắt trọn vẹn Khi giải toán,thường các em trong tư thế rất sẵn sàng vận dụng định lý, công thức, quy tắcvào giả thiết bài toán mà bỏ qua việc xem xét rằng giả thiết đó có thuộc phạm

vi áp dụng được định lý, công thức hay không Chính vì thế nhiều khi nhậnđược kết quả sai nhưng học sinh vẫn không phát hiện được vì sao mình đã sai

Trong quá trình giải toán, điều kiện cần nhất là học sinh phải nhớ côngthức hoặc phương pháp giải cho dạng toán đó Tuy nhiên, nếu quá rập khuôntheo công thức hoặc phương pháp đã có mà không xem xét đến những đặctrưng riêng của bài toán thì đôi khi cũng mắc phải sai lầm, thậm chí bế tắc,không giải tiếp được nữa

Chẳng hạn, đối với dạng toán giải phương trình: f ( x ) = g(x), thôngthường sẽ được trình bày như sau:

x ( g [ ) x ( f

) 1 ( 0

) x ( g

2

Giải phương trình (2) và chọn nghiệm thỏa điều kiện (1)

Tuy nhiên, nếu học sinh cứ cứng nhắc áp dụng cách giải trên cho mọibài toán có dạng như thế thì lắm lúc sẽ gặp rắc rối.

Lời giải đúng là:

Điều kiện bài toán là: 3 19 3 19

x   x  (*)Với điều kiện (*), đặt: t x2  3x 5 (t  0)  t2 x2  3x 5

“thừa” này tuy không sai nhưng nhiều khi gặp phải khó khăn,  cồng kềnhthì có thể phải chấp nhận thất bại ngay tại đó.

1.2.5 Sai lầm do hoạt động phân chia trường hợp riêng

Phân chia khái niệm là một thao tác ta thường gặp Còn trong giải toánthì thường xuyên ta phải xét trường hợp này, xét trường hợp kia, hay ta có thểgọi chung là phân chia trường hợp

Mặc dù việc thực hiện đổi mới chương trình và sách giáo khoa hiện nay

đã tinh giảm rất nhiều những bài toán có chứa tham số; nhưng phải hiểu mộtcách chính xác rằng chỉ tinh giảm những bài toán quá khó mà thôi Do đó,trong quá trình giải toán phổ thông, học sinh còn phải gặp khá nhiều bài toánliên quan đến hoạt động phân chia trường hợp, đặc biệt là những bài toán cóchứa tham số

Nhìn nhận từ góc độ tổng quát thì việc phân chia trường hợp trong quátrình giải toán vô cùng phong phú và đa dạng, nó không theo một khuôn mẫu

cố định nào Do đó, khi thực hiện học sinh gặp rất nhiều khó khăn, mắc phảirất nhiều sai lầm, thậm chí không tìm ra được cơ sở để phân chia trường hợp

1.2.5.1 Sai lầm do không hiểu bản chất của tham số, không hiểu chính xác nghĩa của cụm từ “giải và biện luận”, lẫn lộn giữa “biện luận theo m”

và “tìm m” Khi giải biện luận phương trình có tham số m học sinh quy

về tìm m để phương trình có nghiệm

Ví dụ 17: Giải và biện luận phương trình : x2  mx 4 0

Chỉ với bài toán đơn giản thế thôi cũng có thể tạo ra nhiều tình huốngsai lầm ở học sinh

Chẳng hạn, có học sinh không phân biệt được rằng giữa m và x khácnhau như thế nào, và bài toán trên ta phải đi tìm x hay là tìm m? Chúng tathừa nhận rằng những câu hỏi như thế chỉ tồn tại trong suy nghĩ của học sinh

và không được bộc lộ ra Do đó, nếu giáo viên cứ “vô tư”, không đọc ra đượcnhững suy nghĩ ấy của trò thì chắc chắn rằng những bài toán giải và biện luậnluôn luôn là lối bế tắc của các em

Có những học sinh khác phân biệt được biến số x và tham số m Tuynhiên, các em lại không hiểu rõ bản chất của tham số m là gì? Và do đó ápdụng máy móc việc tìm nghiệm của phương trình bậc hai:

“giải và biện luận”, nhiều học sinh cảm thấy rất khó hiểu cho dù giáo viên có

cố gắng giải thích thế nào đi nữa Chính vì thế, đa số học sinh lại hiểu cụm từ

“giải và biện luận” theo một nghĩa khác Các em thường nhầm lẫn việc giải vàbiện luận với tìm điều kiện, tham số để phương trình, bất phương trình cónghiệm Vì vậy, nhiều khi đứng trước một bài toán biện luận, học sinh lại đặtđiều kiện này điều kiện khác cho tham số

Ví dụ 18: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m :

m



 với m 3(!) Do không hiểu đúng nghĩa của cụm từ “giải và biện luận” nên học sinh

cứ mãi lo tìm điều kiện của tham số m để đạt được mục tiêu là phương trình

có nghiệm Dấu ấn của việc tìm nghiệm của phương trình vẫn còn in sâutrong suy nghĩ của học sinh, do đó các em không nghĩ đến rằng giải và biệnluận có nghĩa là xét xem với giá trị m nào thì phương trình có nghiệm và kể

cả trường hợp với giá trị m nào thì phương trình vô nghiệm

Giả sử có điều kiện là m 3thì ta thực hiện được phép chia 2m – 1 cho m –

3, nhưng không có nghĩa là ta thực hiện phép chia trước rồi buộc m phải khác3

Ví dụ 19: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m :

x 2m 3x m

(?) Học sinh đã phân chia trường hợp như sau:

* Xét trường hợp 1: với x2mphương trình đã cho trở thành:

nhiêu đi nữa thì cũng chẳng ảnh hưởng gì đến hai nghiệm tìm được là 3

1.2.5.2 Sai lầm do không ý thức được sự suy biến của tham số

Thông thường, tham số nhận các giá trị trong tập số thực Do vậy, nó

có khả năng nhận giá trị âm, giá trị dương hoặc bằng không Tuy nhiên, khánhiều học sinh vẫn không ý thức được điều này và họ thường rập khuôn, ápdụng những thuật giải cho bài toán mà không cần quan tâm đến sự thay đổicủa tham số sẽ làm ảnh hưởng lớn đến kết quả bài toán

Ví dụ 20: Tìm tham số m để phương trình sau vô nghiệm

mx2  2mx 1 0

(?) Đa số học sinh có lời giải :

Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi

(!) Giáo viên có thể thử với m = 0 thì phương trình đã cho trở thành 0.x2

– 2.0.x + 1 = 0 cũng vô nghiệm Tuy nhiên nếu chỉ dừng lại ở đó thì chắcchắn học sinh sẽ thắc mắc tại sao lại thử m = 0, có phải thử m bằng giá trị nàokhác không ? Và với những câu hỏi như thế nếu không được là rõ sẽ dẫn đếnsai lầm nối tiếp sai lầm khi học sinh gặp những bài toán tương tự

Ví dụ 21: Tìm tham số m để phương trình sau vô nghiệm :

Vậy m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán

(!) Sai lầm đầu tiên của học sinh là thừa nhận phương trình đã cho làphương trình bậc hai với mọi m Thứ hai, học sinh chưa rõ được sự suy biếncủa tham số nên đã rập khuôn ví dụ trên mà xem xét phương trình với trườnghợp m = 0 Thậm chí, có học sinh thử cả giá trị m = 1 và m = 2

1.2.5.3 Sai lầm do nắm không chính xác điều kiện để có thể thực hiện phép biến đổi tương đương

Ví dụ 22 : Giải phương trình sau :

1   1  1  

log x 1 log x1  log 7 x  (1)1(?) Đa số học sinh có lời giải

x x

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 3 hoặc x = - 17

(!) Thực ra phương trình (1) chỉ tương đương với phương trình

(!) Ở đây phương trình (1) chỉ biến đổi tương đương với điều kiện x 2

1.2.5.4 Khó khăn trong việc tìm ra tiêu chí phân chia

Thông thường các bài toán giải và biện luận đều dẫn tới việc phân chiatrường hợp riêng tùy theo các giá trị của tham số Thế nhưng, thực tiễn sưphạm cho thấy, điều khó khăn nhất của học sinh là không ý thức được sự cần

thiết phải phân chia; mà nếu ý thức được thì cũng không biết phân chia theokiểu gì đâỵ

Muốn phân chia trường hợp được chính xác, được rõ ràng thì điều quantrọng là phải tìm ra tiêu chí phân chia, tức là dấu hiệu làm cơ sở cho sự phânchiạ Tuy nhiên, việc phát hiện ra tiêu chí để tiến hành phân chia các trườnghợp cho từng bài toán là cả một vấn đề lớn đối với học sinh Do vậy họthường phân chia một cách tùy tiện, thiếu cơ sở nên khó tránh khỏi sai lầm; vàthậm chí nhiều học sinh phải chịu bế tắc, không tìm được cách giảị Bên cạnh

đó, nhiều học sinh khác tuy định hình được tiêu chí để phân chia nhưng trongquá trình thực hiện lại không vét hết được mọi trường hợp có thể xảy rạ Tấtnhiên, đối với những bài toán dạng này thì sự phân chia khá phức tạp, phânchia thành nhiều tầng và chính vì thế, học sinh thường khó tránh khỏi nhữngsai lầm như: bỏ sót trường hợp, có sự trùng lặp giữa các trường hợp hoặcphân chia chưa liên tục,

Ví dụ 24: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số a:

1 ax 2

x 2   + 2 = ẳ) Tham số a cần biện luận trong phương trình được ngụy trang khá kínđáu, do đó học sinh khó phát hiện ra tiêu chí để phân chia trường hợp cho ạNhiều học sinh đã phân tích, dự đoán để phân chia tham số a thành các trườnghợp a = 1 và a  1; bởi vì khi a = 1 thì x2  2 ax  1= (  x 1 ) 2 lúc đó dễ dàngthực hiện được phép khai căn Lại có những học sinh khác phân chia a theocác tiêu chí a = 0 và a  0; cũng dễ hiểu khi học sinh đưa ra tiêu chí này, bởi

vì khi a = 0 thì x2  2 ax  1= x2  1 luôn luôn dương nên không cần phải đặtđiều kiện gì thêm cho x, hơn nữa khi a = 0 thì vế phải của phương trình càng

“đẹp” hơn (vế phải bằng 0)

(!) Tiến hành cụ thể theo các trường hợp học sinh đã phân chia đều khôngbiện luận được trọn vẹn Chỉ có một lý do: dấu hiệu làm cơ sở cho sự phânchia của học sinh là không phù hợp

Đối với bài toán này, đầu tiên ta phải “gỡ bỏ lớp ngụy trang” để làmxuất hiện dấu hiệu làm cơ sở phân chia tham số a và sau đó có thể tiến hànhphân chia, cụ thể như sau:

3 2 x

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x = 2  3

Trường hợp 3: Nếu a > 2  a – 2 > 0: (2)  x2 – 2ax + 1= (a – 2)2

3 a 4 a 2 a x

2 2

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x = a  2 a2  4 a  3.Kết luận:

+ Nếu a < 2 thì phương trình (1) vô nghiệm

+ Nếu a  2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm: x = a  2 a2  4 a  3

1.2.6 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt :

Toán học đòi hỏi sự chính xác Chính xác ở đây không có nghĩa là kếtquả, là suy luận chính xác mà hiểu rộng hơn là ta phải sử dụng những ký hiệutoán học đúng lúc, đúng nơi; cách thức diễn đạt, ngôn ngữ diễn đạt phải ngắngọn, rõ ràng và đầy đủ

Thực tế sư phạm cho thấy, đa số học sinh phổ thông hiện nay, khi giảitoán các em chỉ quan tâm đến kết quả đúng hay sai mà xem nhẹ cách thứctrình bày Có những học sinh, khi giải một bài toán chỉ toàn sử dụng dấu “”hoặc dấu “” để liên kết các bước, thậm chí có học sinh trình bày lời giảikhông có một ký hiệu toán học nào cả mà chỉ “xuống dòng” rồi lại “xuốngdòng”

Chính vì không chú trọng đến ngôn ngữ diễn đạt nên khi gặp một đềtoán chỉ phát biểu bằng lời, học sinh sẽ rút ra dữ kiện giả thiết không đượcđầy đủ hoặc sẽ hiểu nội dung yêu cầu của bài toán lệch sang chiều hướngkhác.

Ví dụ 25: Tìm m sao cho phương trình f x( )x2  m2 x5m 1 0 chỉ

có một nghiệm thỏa mãn x > 1

(?) Học sinh giải như sau :

Để phương trình chỉ có một nghiệm thỏa mãn x > 1

0

m m

Vậy m = 16 thì phương trình có một nghiệm thỏa x > 1

(?) Học sinh khá hơn có lời giải như sau :

Xét hai trường hợp :

Trường hợp 1 : 3<x1x2

0

16 1

2

m S

Vậy m = 16 thì phương trình có một nghiệm thỏa x > 1

(!) Do quá chú trọng vào cụm từ “chỉ có một nghiệm” nên ở bài giải thứnhất học sinh đã hiểu rằng phương trình chỉ được có một nghiệm duy nhất màthôi Thật ra, với cách diễn đạt “chỉ có một nghiệm thỏa mãn x > 1” không cónghĩa là phương trình không được có hai nghiệm Chính vì vậy nên lời giảicủa các em không được trọn vẹn Ở bài giải thứ hai học sinh hoàn toàn hiểubài toán nhưng lại làm gọn hai trường hợp x1   1 x2 và 1 x 1 x2 thành mộttrường hợp x1   1 x2 x1  1 x2