Nghiên cứu sự chuyển hóa giữa các dạng tri thức vận dụng vào dạy học nội dung phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian: Luận văn Thạc s Nghệ An

Từ những lí do trên chúng tôi quyết định lựa chọn đề tài của luận văn là: “Nghiên cứu sự chuyển hoá giữa các dạng tri thức và vận dụng vào dạy học nội dung phương pháp toạ độ trong mặt p

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH -

NGUYỄN QUANG SÁNG

NGHI£N CøU Sù CHUYÓN HO¸ GI÷A C¸C D¹NG TRI THøC

Vµ VËN DôNG VµO D¹Y HäC NéI DUNG PH¦¥NG PH¸P

TO¹ §é TRONG MÆT PH¼NG Vµ KH¤NG GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGHỆ AN, 2013

MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Nâng cao chất lượng dạy học môn Toán là một trong những nhiệm vụ

cấp thiết của ngành giáo dục hiện nay Đổi mới phương pháp dạy học theohướng tích cực hoá quá trình nhận thức của học sinh đã được Luật Giáo dục, cácNghị quyết của Trung Ương Đảng, Quốc hội, Chính phủ và Bộ Giáo dục - Đàotạo xác định

Đất nước ta đang trên con đường đổi mới, cần có những con người pháttriển toàn diện, năng động và sáng tạo Để đạt được mục tiêu đó, trước hết bắtđầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phảiđổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụthuộc vào rất nhiều yếu tố, một yếu tố quan trọng là đổi mới PPDH trong đó cóPPDH môn Toán

Kết luận của Bộ Chính trị về việc thực hiện Nghị quyết Trung ương 2(2009) nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới PPDH, khắc phục lối truyền thụ một chiều.Phát huy PPDH tích cực, sáng tạo…”

Luật Giáo dục (2005) cũng quy định: “Nhà nước phát triển giáo dục nhằmnâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài…”, “Phương pháp giáodục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của ngườihọc…”

Chương trình môn Toán (2006) đã viết: “Môn Toán có vai trò quan trọngtrong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông… Cùng với việc tạođiều kiện cho HS kiến tạo những tri thức và rèn luyện kỹ năng Toán học cần thiết,môn Toán có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung…”

1.2 Trong những năm gần đây việc đổi mới PPDH ở nước ta đã có một số

chuyển biến tích cực Các PPDH hiện đại như dạy học phát hiện và giải quyếtvấn đề, dạy học khám phá, dạy học kiến tạo… đã được một số giáo viên ápdụng Những sự đổi mới đó nhằm tổ chức các môi trường học tập mà trong đó

HS được hoạt động trí tuệ nhiều hơn, có cơ hội để khám phá và kiến tạo tri thức,

qua đó HS có điều kiện tốt hơn lĩnh hội bài học và phát triển tư duy cho bản thân

họ Tuy nhiên, thực tế cũng còn rất nhiều giáo viên vẫn còn gặp khó khăn trongviệc tiếp cận và thực hiện các PPDH mới

1.3 Mục tiêu dạy học môn Toán là trang bị những kiến thức cơ bản, cần

thiết, tiên tiến nhất cho học sinh, đặc biệt là tri thức phương pháp, rèn luyện kỹnăng ứng dụng toán học trong nghiên cứu khoa học và thực tiễn, phát triển trítuệ, trau dồi những phẩm chất, tình cảm, đạo đức tốt đẹp cho học sinh Bảo đảmtính phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng các học sinh có năng khiếu toánhọc

Từ những lí do trên chúng tôi quyết định lựa chọn đề tài của luận văn là:

“Nghiên cứu sự chuyển hoá giữa các dạng tri thức và vận dụng vào dạy học

nội dung phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và không gian” với mong

muốn đóng góp một phần nhỏ vào việc dạy học môn Toán cho đối tượng là họcsinh THPT

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu sự chuyển hoá giữa các dạng tri thức (tri thức sự vật, tri thứcphương pháp, tri thức chuẩn và tri thức giá trị) trong quá trình nhận thức toánhọc để vận dụng vào dạy học môn toán nhằm góp phần đổi mới phương phápdạy học và nâng cao chất lượng giáo dục

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

3.1 Nghiên cứu các dạng tri thức môn toán và sự chuyển hoá giữa các

dạng tri thức đó trong quá trình nhận thức

3.2 Nghiên cứu các biện pháp vận dụng những tác động tích cực của sự

chuyển hoá các dạng tri thức trong quá trình nhận thức toán học vào dạy họcmôn toán

3.3 Đề xuất phương án dạy học một số nội dung cụ thể của môn toán

THPT dựa trên các biện pháp sư phạm đã đề xuất

3.4 Thử nghiệm sư phạm để kiểm chứng các biện pháp sư phạm đã đề

xuất trong luận văn

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

4.2 Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn

4.3 Phương pháp thực nghiệm

4.4 Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê toán.

5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Giữa các dạng tri thức môn toán có sự chuyển hoá, ảnh hưởng lẫn nhautrong quá trình nhận thức và nếu giáo viên quan tâm đến việc phát hiện các ảnhhưởng qua lại giữa các dạng tri thức trong quá trình nhận thức đó để vận dụngvào dạy học thì góp phần nâng cao chất lượng học tập môn Toán của học sinh

6 DỰ KIẾN ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN

6.1 Về mặt lý luận: Hệ thống hoá tư liệu về lý luận dạy học toán làm

thành một tài liệu tham khảo trong công tác chuyên môn

6.2 Về mặt thực tiễn: Góp phần làm sáng tỏ sự chuyển hoá giữa các dạng

tri thức môn Toán trong quá trình nhận thức làm cơ sở đề xuất phương án dạyhọc môn Toán

7 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có 3chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Một số định hướng và đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ởtrường phổ thông

1.2 Một số đặc điểm của tri thức toán học và nhiệm vụ của môn Toán ởtrường phổ thông

1.3 Về các dạng tri thức môn Toán

1.4 Thực trạng dạy học môn Toán ở trường THPT hiện nay (Khảo sát tạitrường THPT Nguyễn Sỹ Sách – huyện Thanh Chương - Nghệ an)

1.5 Kết luận chương 1

Chương 2: Sự chuyển hoá giữa các dạng tri thức môn Toán trong quá trình nhận thức và một số biện pháp dạy học.

2.1 Sự chuyển hoá giữa các dạng tri thức môn Toán trong quá trình dạyhọc

2.2 Một số biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán dựa trên sựchuyển hoá giữa các dạng tri thức

2.3 Đề xuất phương án dạy học một số nội dung môn Toán THPT theohướng khai thác sự chuyển hoá giữa các dạng tri thức

2.4 Kết luận chương 2

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3.1 Xác định mục đích thử nghiệm

3.2 Tường trình quá trình thử nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thử nghiệm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT

1.1.1 Đặt vấn đề

Luật giáo dục Nước cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam đã quy định:

“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,

tư duy sáng tạo của người học; Bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khảnăng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên” (Luật giáo dục 2005,chương 1, điều 5)

Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trongNghị quyết Trung ương 4 khóa VII (1 - 1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóaVII (12 - 1996), được thể chế hóa trong luật giáo dục (2005), được cụ thể hóatrong các chỉ thị của Bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14 (4 - 1999)

Luật Giáo dục, điều 28.2 (Luật giáo dục năm 2005), đã ghi “Phương phápgiáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo củaHS; Phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; Bồi dưỡng phương pháp

tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tìnhcảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS” Những quy định này phảnánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục để giải quyết mâu thuẫn yêu nhu cầuđào tạo con người mới với thực trạng lạc hậu PPDH ở nước ta hiện nay

Sự phát triển của xã hội đang đòi hỏi phải nâng cao chất lượng giáo dục

và đào tạo Nền kinh tế nước ta đang chuyển từ cơ chế kế hoạch hoá tập trungsang kinh tế thị trường có sự quản lí của nhà nước Công cuộc đổi mới này đề ranhững yêu cầu đổi mới đối với hệ thống giáo dục đòi hỏi chúng ta, cùng vớinhững thay đổi về nội dung, cần có những thay đổi mới căn bản về PPDH.Trong tình hình hiện nay việc dạy học theo kiểu thuyết trình tràn lan vẫn đangngự trị, nhiều thầy giáo vẫn chưa từ bỏ lối dạy cũ: Thầy nói nhiều mà khôngkiểm soát được việc học của học trò, làm trò trở thành bị động, hoàn toàn lệthuộc người thầy trong quá trình học tập

Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người xây dựng xã hội công nghiệphoá, hiện đại hoá, với thực trạng lạc hậu của PPDH đã làm nảy sinh và thúc đẩycuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trong nghành giáo dục và đào tạo

từ nhiều năm nay với tư tưởng chủ đạo “Tích cực HĐ học tập”, “HĐ hoá ngườihọc”, “Dạy học tích cực”… Những ý tưởng này đều bao hàm yếu tố tích cực, cótác dụng thúc đẩy đổi mới PPDH nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục và đào tạo,tạo tiền đề cho Việt Nam hoà nhập vào cộng đồng quốc tế

1.1.2 Phương pháp dạy học

Về khái niệm “PPDH”đã được các nhà lý luận dạy học quan tâm từ lâu

Đã có nhiều định nghĩa về PPDH được đưa ra nhưng đến nay vẫn chưa có sựthống nhất Mỗi định nghĩa đưa ra được xuất phát từ một cách tiếp cận vấn đề

Vì có nhiều cách viếp cận vấn đề PPDH nên mỗi định nghĩa được đưa ra có tínhhợp lí, có thể chấp nhận được ở một phần nhưng lại chưa được thừa nhận ở mộtvài điểm nào đó Điều này cho thấy tính phức hợp và nhiều cấp độ khi mô tả vàđịnh nghĩa “phương pháp dạy học” Một số nhà nghiên cứu lí luận dạy học vàPPDH quá thiên về PPDH chung ở góc độ lí luận dạy học, hoặc quá nhấn mạnhcác PPDH cụ thể trong đặc trưng bộ môn của họ

Bản chất của PPDH ở trong sự thống nhất và ảnh hưởng qua lại củaphương pháp dạy và phương pháp học Trong khuôn khổ của các PPDH phứchợp có các cách thức được sắp xếp theo thứ bậc một cách mềm dẻo, các cáchthức đó đồng thời giải thích ảnh hưởng nhiều mặt (tính đa chức năng) của mộtphương pháp dạy học và nhận thức được nguyên nhân đối với những khó khăntrong nghiên cứu và trình bày các phương pháp dạy học

Lí luận dạy học và các PPDH bộ môn nghiên cứu các PPDH trong cácthành tố của nó, trong cấu trúc bên trong của nó; những điều kiện vận dụng nócũng như các ảnh hưởng và chỉ dẫn người dạy những vấn đề về phương pháp,thông qua những ý đồ tương đối,… và thông qua các chiến lược về phươngpháp Các mối quan hệ của PPDH…

Trong giáo dục, PPDH luôn được đặt trong mối quan hệ với các thành tốcủa quá trình giáo dục Nếu bỏ qua một số quan hệ mang tính điều kiện, thì cácmối quan hệ cơ bản được xác định là: Mục tiêu – Nội dung – Phương pháp Mốiquan hệ này được biểu thị bằng sơ đồ sau:

Trong mối quan hệ này, các thành tố của quá trình giáo dục không thểtách rời, luôn gắn bó chặt chẽ và có tác động trực tiếp với nhau

1.1.3 Đổi mới phương pháp dạy học ở trường THPT

Đổi mới PPDH được xác định là sự thay đổi từ các PPDH tiêu cực, thụđộng đến các PPDH tích cực, sáng tạo Trong PPDH thụ động giáo viên dùng lốitruyền thụ áp đặt một chiều của người dạy đến người học: người học tiếp thumột cách thụ động, theo các phương thức ghi nhớ và tái hiện Trong PPDH tíchcực người dạy tổ chức, định hướng nhận thức, phát huy vai trò chủ động, tíchcực của học sinh để học sinh tự chiếm lĩnh tri thức và hình thành kỹ năng thôngqua các hoạt động tìm tòi, khám phá, phát hiện và giải quyết vấn đề

Đổi mới PPDH hướng tới phát huy các mặt tích cực của phương pháptruyền thống để nâng cao chất lượng dạy học, nâng cao hiệu quả giáo dục và đạotạo hoặc đưa ra các PPDH mới vào nhà trường trên cơ sở các thành tựu của khoahọc, công nghệ hiện đại Đổi mới PPDH ở THPT phải thực hiện đồng bộ vớiviệc đổi mới mục tiêu và nội dung giáo dục, đổi mới đào tạo và bồi dưỡng GV,đổi mới cơ sở vật chất và thiết bị, đổi mới chỉ đạo và đánh giá giáo dục THPT…

Đó là quá trình lâu dài, phải kiên trì, tránh nôn nóng, cực đoan bảo thủ; phải biết

kế thừa những thành tựu về PPDH của đội ngũ GV THPT ở nước ta và học tậpnhững kinh nghiệm thành công của các nước, kế thừa và phát huy các mặt tích

Mục tiêu

Phương phápNội dung

cực của các PPDH truyền thống và vận dụng hợp lý các PPDH mới Mức độthực hiện đổi mới PPDH ở trường THPT tùy thuộc vào điều kiện và hoàn cảnh

cụ thể, cũng như phụ thuộc vào sự cố gắng của từng địa phương, của GV từngtrường, từng lớp

Với định hướng tích cực hoá người học, đổi mới PPDH sẽ thiết thực gópphần thực hiện mục tiêu giáo dục nói chung hay giáo dục THPT nói riêng, tạođiều kiện để cá thể hoá dạy học và khuyến khích dạy học phát hiện những kiếnthức trong bài học Từ đó phát triển được các năng lực, sở trường của từng HS,rèn luyện, đào tạo HS trở thành những thế hệ thông minh, lao động sáng tạo

Để đảm bảo thành công của việc đổi mới PPDH ở trường THPT thì ta cầnchú ý tới các giải pháp chính sau đây:

- Đổi mới nhận thức, trong đó cần trân trọng khả năng chủ động, sáng tạocủa GV và HS

- Đổi mới hình thức tổ chức dạy học, dạy học cá thể, dạy học theo nhóm,theo lớp, dạy học ở hiện trường, tăng cường trò chơi trong học tập

- Sắp xếp phòng học để tạo môi trường HĐ thích hợp, đổi mới phươngtiện dạy học, phiếu học tập, đổi mới cách đánh giá GV và HS

Đổi mới PPDH là quá trình áp dụng các PPDH hiện đại, các công nghệdạy học hiện đại vào nhà trường trên cơ sở phát huy những yếu tố tích cực củacác PPDH truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của HS,chuyển từ học tập thụ động, ghi nhớ kiến thức là chính sang học tập tích cực,chủ động, sáng tạo, chú trọng bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năngvận dụng kiến thức vào thực tiễn Để đổi mới phương pháp học tập của HS tấtnhiên phải đổi mới phương pháp giáo dục của GV và đổi mới môi trường diễn racác hoạt động giáo dục Đổi mới phương pháp giáo dục là quá trình:

+ Chuyển từ giáo dục truyền thụ một chiều, học tập thụ động, chủ yếu làghi nhớ kiến thức để đối phó với thi cử sang: học tập tích cực, chủ động, sángtạo, chú trọng hình thành năng lực tự học dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn, tổ chức

của GV, “Những gì mà học sinh nghĩ dược, nói được, làm được, GV không làmthay, nói thay”.

+ Đổi mới các hình thức tổ chức giáo dục làm cho việc học tập của họcsinh trở nên lí thú, gắn với thực tiễn, gắn với cuộc sống; kết hợp dạy học cá nhânvới dạy học theo nhóm nhỏ, tăng cường sự tự tương tác, giúp đỡ lẫn nhau giữa

HS trong quá trình giáo dục

1.2 Một số đặc điểm của tri thức toán học và nhiệm vụ của môn toán ở trường THPT.

1.2.1 Khái niệm tri thức

Theo Từ điển Tiếng Việt: “Tri thức là những điều hiểu biết có hệ thống về

sự vật, hiện tượng tự nhiên hoặc xã hội”

Như vậy, hiểu theo một nghĩa chung nhất, tri thức là những điều hiểu biết

có hệ thống về sự vật, hiện tượng trong tự nhiên và xã hội

“Tri thức là sản phẩm của hoạt động lao động xã hội và tư duy của conngười, làm tái hiện lại trong tư tưởng, dưới hình thức ngôn ngữ những mối liên

hệ khách quan hợp quy luật của thế giới khách quan đang được cải biến trênthực tế” (Từ điển Triết học)

Tri thức là kết quả của quá trình con người nhận thức thực tại khách quan

đã được kiểm nghiệm qua thực tiễn, là phản ánh trung thực thực tại khách quantrong ý thức con người dưới hình thức những biểu tượng và khái niệm, đượcdiễn đạt trong ngôn ngữ Tri thức là kết quả của quá trình tư duy tích cực, trithức không bao giờ là một cái gì cứng đờ và bất biến mà ngày càng được pháttriển Sự phát triển của tri thức trong quá trình nhận thức được tiến hành theocon đường chính xác hoá chúng, bổ sung, đào sâu, phân hoá chúng, đem lại chochúng tính hệ thống và khái quát Muốn có tri thức, con người phải tiến hànhhoạt động nhận thức

Tri thức là điều kiện, là mục đích của tư duy Nó tham gia vào quá trình tưduy, đồng thời tri thức là sản phẩm của tư duy Tri thức vừa là phương tiện, vừa

là điều kiện và cũng là mục đích của hoạt động Trong hoạt động thì yếu tố tri

thức hoạt động cần xem xét những tri thức nào cần cho hoạt động Sau mỗi quátrình học tập, người học không chỉ đơn thuần thu được những tri thức khoa học(khái niệm mới, định lý mới, ) mà còn phải nắm được những tri thức phươngpháp (dự đoán, giải quyết, nghiên cứu ).

Người ta phân biệt hai loại tri thức: tri thức kinh nghiệm và tri thức khoahọc Tri thức kinh nghiệm là sự đúc rút những cách tiến hành các thao tác, hànhđộng đạt được hiệu quả cao nhưng chưa đặt ra vấn đề lí giải nguyên nhân, chưachú ý khám phá bản chất, quy luật của sự vận động Thông thường tri thức kinhnghiệm được hình thành do cộng đồng xã hội tạo ra, mang dấu ấn xã hội Trithức khoa học khác với tri thức kinh nghiệm là ở chỗ luôn đặt ra vấn đề khámphá bản chất của sự vật, quy luật của sự vận động Tri thức khoa học là kết quảcủa hoat động tìm tòi, khám phá, nghiên cứu có mục đích của các nhà khoa học

Theo quan điểm của nhà tâm lí học Đavưđôp (Nga), tri thức đưa vàogiảng dạy trong các trường học phải là tri thức khoa học Giáo dục phải hướngtới hình thành cho học sinh những tri thức khoa học, tri thức phản ánh quy luậtcủa sự vận động Hơn nữa, phải hình thành cho học sinh năng lực tìm tòi, khámphá thế giới xung quanh Tuy nhiên, hoạt động dạy học có những quy luật riêngcủa nó, phụ thuộc vào những điều kiện cụ thể Do đó dẫu có hướng tới dạy trithức khoa học cho học sinh, chúng ta phải luôn luôn xem xét đến tính vừa sức

và hiệu quả của hoạt động dạy học

Theo nhà Menchinxkaia, trí tuệ con người gồm hai yếu tố tri thức cấuthành, đó là tri thức về đối tượng được phản ánh và tri thức về các phương thứcphản ánh Để đào tạo thế hệ trẻ thành những người phát triển toàn diện, nhữngngười sẽ là chủ của xã hội trong những năm sắp tới, dạy học phải quan tâm trang

bị cho họ cả hai yếu tố tri thức nói trên một cách hài hòa

Như vậy tri thức là một tổ hợp do nhiều dạng, nhiều yếu tố cấu thành Dù

đó là tri thức kinh nghiệm hay tri thức khoa học thì đó đều là sản phẩm của quátrình tích lũy, sáng tạo của nhân loại tạo nên Tri thức được truyền từ đời nàyqua đời khác, tri thức được sản sinh trong quá trình hoạt động của cá nhân hay

cộng đồng, đươc hoàn thiện và không ngừng phát triển trong hoạt động của xãhội loài người Trường học là nơi chuyển giao, truyền lại và đào tạo nguồn nhânlực để tái tạo, phát triển kho tàng tri thức của nhân loại, tạo nên những giá trịmới cho nhân loại Nghiên cứu các dạng tri thức ở quy mô tổng thể hay từnglĩnh vực, từng bộ môn khoa học là cơ sở để ứng dụng, phát triển nguồn tri thức.

1.2.2 Một số đặc điểm của tri thức Toán.

Đặc trưng của tri thức Toán học là tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng.Tính trừu tượng của Toán học và của môn Toán do chính đối

tượng của Toán học quy định Theo Ăng ghen, “Đối tượng của Toán học thuầntuý là những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giớikhách quan”

Sự trừu tượng hoá trong Toán học diễn ra trên những bình diện khácnhau Có những khái niệm Toán học là kết quả của sự trừu tượng hoá những đốitượng vật chất cụ thể, chẳng hạn khái niệm số tự nhiên, hình bình hành Nhưngcũng có nhiều khái niệm là kết quả của sự trừu trượng hoá những cái trừu tượng

đã đạt được trước đó, chẳng hạn khái niệm nhóm, vành, trường, không gianvectơ …

Toán học có nguồn gốc thực tiễn Số học ra đời trước hết là do nhu cầuđếm Hình học phát sinh do sự cần thiết phải đo lại ruộng đất bên bờ sông Nin(Ai Cập) sau những trận lụt hàng năm Toán học có ứng dụng rộng rãi trongthực tiễn Tính trừu trượng hoá cao độ làm cho Toán học có tính phổ dụng, cóthể ứng dụng được nhiều lĩnh vực rất khác nhau của đời sống thực tế và có thểứng dụng vào rất nhiều ngành khoa học: Vật lý học, Hoá học, Sinh học,… và trởthành công cụ có hiệu lực của các ngành đó

Tri thức Toán học có tính lôgic và tính thực nghiệm Khi xây dựng Toán

học người ta dùng suy diễn lôgic, cụ thể là dùng phương pháp tiên đề Theophương pháp đó, xuất phát từ các khái niệm nguyên thuỷ và các tiên đề rồi dùngcác quy tắc lôgic để định nghĩa các khái niệm khác và chứng minh các mệnh đềkhác

Cần chú ý rằng Toán học có thể xét theo hai phương diện Nếu chỉ trìnhbày lại những kết quả Toán học đã đạt được thì nó chỉ là một khoa học suy diễn

và tính lôgic nổi bật lên Nhưng nếu nhìn Toán học trong quá trình hình thành vàphát triển, trong quá trình tìm tòi phát minh, thì trong phương pháp của nó vẫn

có tìm tòi, dự đoán, vẫn có “thực nghiệm” và quy nạp Phải chú ý cả hai phươngdiện đó mới có thể hướng dẫn học sinh học toán, mới khai thác được đầy đủtiềm năng môn Toán để thực hiện mục đích giáo dục toàn diện

1.2.3 Nhiệm vụ của môn Toán

Từ vị trí của môn Toán trong việc thực hiện mục tiêu đào tạo có chấtlượng người lao động mới, năng động, sáng tạo, phát triển toàn diện, môn toán

có 4 nhiệm vụ sau đây:

Nhiệm vụ thứ nhất, truyền thụ tri thức, kỹ năng Toán học và kỹ năng vận

dụng Toán học vào thực tiễn Làm cho học sinh nắm vững hệ thống kiến thức vàphương pháp toán học cơ bản, phổ thông, theo quan điểm hiện đại và tinh thầncủa giáo dục kỹ thuật tổng hợp và có khả năng vận dụng được những kiến thức

và phương pháp toán học vào kỹ thuật lao động, quản lý kinh tế, vào việc họccác môn học khác (như vật lý, sinh học, hoá học, ) Đây là nhiệm vụ rất quantrọng vì chỉ có trên cơ sở nắm vững và vận dụng được kiến thức, phương pháp

toán học mới có điều kiện rèn luyện các mặt khác.Bác Hồ đã dạy: “Cần đảm

bảo cho học sinh những tri thức phổ thông, chắc chắn, thiết thực, thích hợp với nhu cầu về tiền đồ xây dựng nước nhà ”.

Nhiệm vụ thứ hai là phát triển năng lực trí tuệ chung Làm cho học sinh

nắm được phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập

để từ đó rèn luyện năng lực tư duy lôgic, độc lập, chính xác, linh hoạt và sángtạo, phát triển trí tưởng tượng không gian, có tiềm lực tập dượt nghiên cứu khoahọc, có khả năng tự học, có hiểu biết về nhận thức luận duy vật biện chứng trongtoán học

Đế thực hiện nhiệm vụ này, môn Toán cần được khai thác nhằm góp phầnphát triển những năng lực trí tuệ chung như tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng

không gian, tư duy lôgic và tư duy biện chứng, rèn luyện các thao tác tư duy nhưphân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát, , các phẩm chất tư duy như linh hoạt,độc lập, sáng tạo,

Nhiệm vụ thứ ba là giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và

thẩm mĩ Góp phần rèn luyện, giáo dục cho học sinh ý thức làm chủ, lòng yêunước, yêu chủ nghĩa xã hội, yêu lao động được thể hiện qua động cơ hăng sayhọc tập, có hoài bão lớn góp sức mình xây dựng đất nước trong thời kỳ côngnghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước

Cũng như các bộ môn khác, quá trình dạy học môn Toán phải là một quátrình thống nhất giữa giáo dưỡng và giáo dục Để làm được nhiệm vụ này, ngườigiáo viên dạy Toán một mặt phải thực hiện phần nhiện vụ chung giống như giáoviên các bộ môn khác: phát huy tác dụng gương mẫu, tận dụng ảnh hưởng củatập thể học sinh, phối hợp với giáo viên chủ nhiệm, Nhưng mặt khác còn cầnkhai thác tiềm năng của nội dung môn Toán để đóng góp phần riêng của bộ mônvào việc thực hiện nhiệm vụ này

Nhiệm vụ thứ tư là đảm bảo chất lượng phổ cập, đồng thời chú trọng phát

hiện và bồi dưỡng năng khiếu về Toán Việc đảm bảo chất lượng phổ cập xuấtphát từ yêu cầu khách quan của xã hội và từ khả năng thực tế của học sinh Mộtmặt, xã hội đòi hỏi mỗi học sinh ra trường phải đảm nhiệm công việc lao độngxây dựng và bảo vệ tổ quốc, nếu cơ sở Toán học không vững thì sẽ ảnh hưởngtới năng suất lao động, tới hiệu suất công tác

Mặt khác, những nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý học khẳng định rằngmọi học sinh có sức khoẻ bình thường đều có thể tiếp thu một nền văn hoá phổthông, trong đó có học vấn Toán học phổ thông Bên cạnh đó việc phát hiện vàbồi dưỡng được những mầm mống nhân tài là rất cần thiết, rất quan trọng bởi vìnước ta đang cần những nhà Toán học xuất sắc góp phần xây dựng nền Toánhọc hiện đại, nền khoa học kỹ thuật tiên tiến, góp phần xây dựng Tổ quốc

1.3 Về các dạng tri thức của môn Toán.

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, trong dạy học môn toán cần chú ý đế bốndạng tri thức: tri thức sự vật, tri thức phương pháp, tri thức chuẩn và tri thức giátrị hay còn gọi là tri thức đánh giá Đối với các môn học khác, tuy có sự biểuhiện khác nhau, cũng có các dạng tri thức này Sau đây chúng tôi phân tích mộtcách khái quát các dạng tri thức đó đối với môn Toán.

1.3.1 Tri thức sự vật.

Tri thức sự vật là tri thức về “toàn bộ những yếu tố và quá trình được sắpxếp theo một trật tự nhất định, cấu thành sự vật hoặc hiện tượng” (Từ điển Triếthọc) Trong môn Toán, tri thức sự vật là tri thức về một khái niệm (khái niệm vềmột đối tượng hoặc một quan hệ toán học), một vấn đề Toán học được trình bàytrực diện (như là định nghĩa, định lí…) hoặc một ứng dụng Toán học…

1.3.1.1 Việc hình thành một hệ thống các khái niệm là nền tảng của toàn

bộ kiến thức Toán học của học sinh, là tiền đề hình thành khả năng vận dụnghiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời có tác dụng góp phần phát triển nănglực trí tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng cho người học Bởi vậy mà việcdạy học các khái niệm Toán học có một vị trí quan trọng hàng đầu Trong quátrình hình thành khái niệm cho học sinh ta có thể đi theo con đường quy nạphoặc theo con đường suy diễn

Theo con đường quy nạp, xuất phát từ một số trường hợp cụ thể (như môhình, hình vẽ, thí dụ cụ thể,…), người ta dẫn dắt học sinh bằng cách trừu tượnghoá và khái quát hoá tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ởnhững trường hợp cụ thể đó, từ đó đi đến định nghĩa của khái niệm đó Đối vớicon đường này chứa đựng khả năng phát triển những năng lực trí tuệ như trừutượng hoá, khái quát hoá, so sánh

Theo con đường suy diễn, nghĩa là việc định nghĩa khái niệm mới xuấtphát từ định nghĩa của khái niệm mà học sinh đã biết

Sau khi định nghĩa theo con đường này cần thiết phải lấy thí dụ cụ thể đểchứng tỏ rằng khái niệm được định nghĩa như vậy thực sự tồn tại Con đường

hình thành khái niệm này có tác dụng tốt để phát huy tính chủ động sáng tạo củahọc sinh.

Khi ta định nghĩa một khái niệm (dưới dạng tường minh hoặc khôngtường minh), thì nội dung (các tính chất đặc trưng) và phạm vi (tập hợp các đốitượng thoả mãn định nghĩa) của nó được xác định Phạm vi của một khái niệm

sẽ còn được sáng tỏ hơn nhờ sự phân chia khái niệm Ví dụ, học sinh sẽ hiểu rõhơn về định nghĩa đường cônic:

“Cho điểm F cố định và đường thẳng  cố định không đi qua F Tập hợp

các điểm M sao cho tỉ số

( , )

MF

d M F bằng một số dương e cho trước được gọi là

đường cônic Điểm F được gọi là tiêu điểm, gọi là đường chuẩn và e gọi làtâm sai của đường cônic” Nếu biết rằng phạm vi của khái niệm này bao gồm(Elíp là đường có tâm sai e < 1, Parabol là đương cônic có tâm sai e = 1 vàHypebol là đường cônic có tâm sai e > 1)

1.3.1.2 Việc dạy học định lí Toán học nhằm cung cấp cho học sinh một

trong những vốn kiến thức cơ bản của bộ môn Đó là những cơ hội rất thuận lợi

để phát triển ở học sinh khả năng suy luận và chứng minh, góp phần phát triểnnăng lực trí tuệ Dạy học các định lí Toán học có thể thực hiện theo hai conđường: con đường suy diễn và con đường có khâu suy đoán Hai con đường nàyđược minh hoạ bởi sơ đồ:

Việc đi theo con đường nào không phải là tuỳ tiện mà tuỳ theo nội dungđịnh lí và tuỳ theo điều kiện cụ thể về học sinh.

Khi dạy cho học sinh các định lí, cần phải làm cho học sinh hiểu và nắmvững được một hệ thống các kiến thức Sau mỗi phần, mỗi chương cần tiến hành

hệ thống hoá các định lí, chú ý nêu rõ mối liên hệ giữa chúng Mối liên hệ giữanhững định lí có thể là mối liên hệ chung riêng: Một định lí có thể là một trườnghợp mở rộng hay đặc biệt của một định lí nào đó đã biết Chẳng hạn, định líCôsin trong tam giác có thể coi là mở rộng của định lí Pitago, cũng có thể coiđịnh lí Pitago là một trường hợp đặc biệt của định lí Côsin trong tam giác, hay ta

có thể mở rộng định lí Talet trong mặt phẳng thành định lí Talet trong khônggian,… Mối liên hệ giữa những định lí cũng có thể là mối liên hệ suy diễn: Định

lí này suy ra định lí kia

1.3.1.3 Thuật toán được hiểu như một quy tắc mô tả những chỉ dẫn rõ

ràng và chính xác để người (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt đượcmục đích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định Ở trường phổ thông họcsinh được hoạt động với nhiều thuật toán như thuật toán cộng, trừ, nhân, chiacác số tự nhiên và số hữu tỉ, thuật toán tìm ước chung lớn nhất của hai số, bộichung nhỏ nhất của hai số, thuật toán giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn,thuật toán giải phương trình bậc hai dưới dạng chuẩn,… Phát triển tư duy thuậttoán trong nhà trường phổ thông là cần thiết, nhất là trong thời đại máy tính hiệnnay, bởi:

Thứ nhất, tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được việc tự độnghoá trong những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắcphục sự ngăn cách giữa nhà trường và xã hội tự động hoá

Thứ hai, tư duy thuật toán giúp học sinh làm quen với cách làm việc trongkhi giải bài toán bằng máy tính điện tử

Thứ ba, tư duy thuật toán giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhàtrường phổ thông, nhất là môn Toán

Thứ tư, tư duy thuật toán góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chungnhư phân tích, tổng hợp, khái quát hoá,… và hình thành những phẩm chất củangười lao động mới như tính ngăn nắp, kỉ luật, tính phê phán và thói quen tựkiểm tra,…

Thuật toán có thể phát biểu dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc sơ đồ khốihoặc ngôn ngữ phỏng trình

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d:

0 0 0

/ / / 0

/ / / 0

M x y z và có vectơ chỉ phương là u a b c( ; ; )/ / /

Để xét vị trí tương đối của d và d’ ta làm như sau:

Th1: u và u/ cùng phương, xét xem M có thuộc d’ không:

+ Nếu Md/ thì d d /+ Nếu Md/ thì d//d/.Th2: u và u/không cùng phương, ta giải hệ phương trình:

1.3.1.4 Ở trường phổ thông dạy toán là dạy hoạt động toán học, có thể

xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Hệ thống bàitập toán học là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trongviệc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩxảo ứng dụng Toán học vào thực tiễn Hệ thống các bài tập toán học được sửdụng với những dụng ý khác nhau Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuấtphát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra,…

Mỗi bài toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đềuchứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau Cụthể:

Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinhnhững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

Với chức năng giáo dục, bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giớiquan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đứcngười lao động mới

Với chức năng phát triển, bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy của họcsinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chấtcủa tư duy khoa học

Với chức năng kiểm tra, bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy vàhọc, đánh giá khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển của học sinh

Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rờinhau Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức

là hàm ý nói việc thực hiện chức năng ấy được tiến hành một cách tường minh

và công khai Ví dụ bài tập “Cho tam giác ABC với trọng tâm G Hãy dựngvectơ tổng GA GB 

Từ đó suy ra GA GB GC 0    

”

Bài tập này trước hết nhằm củng cố kĩ năng dựng vectơ tổng theo quy tắchình bình hành, củng cố các tri thức về tính chất trung tuyến tam giác, tính chấttâm của hình bình hành, tính chất trung điểm của đoạn thẳng Điều đó thể hiệntường minh chức năng dạy học của bài tập này

Khi giải bài tập này, người giáo viên hướng dẫn học sinh liên tưởng đếnkết quả một bài tập đã giải trước đó về tính chất trung điểm của đoạn thẳng (nếu

O là trung điểm của đoạn thẳng AB thì OA OB 0   

), nếu biết thay thế tổng

Mặt khác từ sự thống nhất nêu trên giữa tính chất của một điểm và trungđiểm của đoạn thẳng (hai điểm) với một điểm là trọng tâm tam giác (ba điểm)gợi lên một ý tưởng khái quát đối với một tứ giác ABCD (bốn điểm), một ngũgiác hay một đa giác nói chung: có hay không một điểm O sao cho

OA OB OC OD 0   

Rõ ràng nếu ABCD là hình bình hành thì O chính là tâm của nó Như thếchức năng phát triển của bài toán đã cho được thể hiện rõ ràng: luyện tập chohọc sinh kĩ năng vận dụng tương tự hoá, khái quát hoá, phát triển ở học sinh tưduy biện chứng, khả năng dự đoán khoa học…

Cần chú ý rằng các tri thức sự vật mà ta nói trên đây là những tri thức cụthể trong dạy học Toán Các khái niệm, định nghĩa, định lý… được trình bàytrong SGK phải được truyền thụ cho hoc sinh thông qua quá trình hoạt động dạyhọc Toán Dạy Toán là dạy hoạt động Toán học, do đó học sinh cần thiết đượcbiết các quá trình hình thành các khái niệm, định lý, biết vận dụng kiến thức, cóniềm tin vào khả năng Toán học của mình Đặc trưng của tri thức Toán học làtrừu tượng hoá cao độ và lôgic chặt chẽ Vì vậy trong hoạt động dạy học, ngoàisuy diễn lôgic, cần thiết phải coi trọng nguyên tắc trực quan, quy nạp, trực giáctoán học Dạy học Toán cần phải cân đối các quan hệ giữa trực quan và trừutượng, giữa ước lượng, dự đoán và các suy luận có lý

1.3.2 Tri thức phương pháp.

Tri thức phương pháp được hiểu là tri thức về “hệ thống các nguyên tắc,

hệ thống các thao tác có thể nhằm đi từ những điều kiện nhất định ban đầu tớimột mục đích xác định”

Hệ thống các nguyên tắc, các thao tác nói trên được rút ra từ tri thức sựvật, từ tri thức về các quy luật khách quan để con người điều chỉnh hoạt độngnhận thức và hoạt động thực tiễn Tri thức phương pháp không có sẵn trong thếgiới hiện thực mà do con người lĩnh hội được trên cơ sở những quy luật kháchquan đã được nhận thức và được trình bày thành lý luận

Theo quan điểm của một số nhà nghiên cứu về PPDH, tri thức phươngpháp có thể phân loại thành nhóm tri thức phương pháp tiếp cận vấn đề và nhómtri thức phương pháp giải quyết vấn đề.

1.3.2.1 Nhóm tri thức phương pháp tiếp cận vấn đề

a Tri thức phương pháp tiếp cận vấn đề trong một hệ thống cấu trúc Cáctri thức toán học đều được đặt trong một hệ thống cấu trúc nào đó, chẳng hạn:Khi tiếp cận phương pháp giải phương trình bậc hai, ta cần xem xét nó được đặttrong hệ thống kiến thức về phương trình và bất phương trình, hay hệ thống các

đa thức, hoặc khi nghiên cứu về tam giác đều và các tính chất của nó thì ta cầnđặt nó trong hệ thống các hình đa giác, gần hơn nữa là trong hệ thống các hìnhtam giác, hệ thống các hình đa giác đều,…

b Trong quá trình tiếp cận một tri thức toán học để nghiên cứu và lĩnh hộitri thức đó, chúng ta cần phải tìm hiểu đến quá trình lịch sử của nó Chẳng hạn,lịch sử về tập hợp các số tự nhiên: Người ta cho rằng số tự nhiên bắt nguồn từcác từ dùng để đếm sự vật và bắt đầu bằng một số Một bước tiến quan trọngđầu tiên là con người bắt đầu biết trừu tượng hoá việc biểu diễn các số bằng cácchữ số Điều này đã cho phép con người phát triển một hệ thống nhằm ghi lạicác số lớn Ví dụ người Ai Cập cổ đại có một hệ thống chữ số với các hìnhtượng để diễn tả 1, 10 và tất cả các luỹ thừa của 10 cho đến một triệu Hay dạy

về định lý Pitago trong tam giác vuông cũng vậy Trong Toán học, định lýPitago (còn gọi là định lý Pythagore theo tiếng Pháp, hay định lý Pythagorastheo tiếng Anh) là một liên hệ trong hình học phẳng giữa ba cạnh của một tamgiác vuông Định lý này được đặt tên theo nhà triết học và nhà toán học Hy LạpPitago sống vào thế kỷ 6 trước công nguyên, mặc dù định lý toán học này đãđược biết đến bởi các nhà toán học Ấn Độ, Hy Lạp, Trung Quốc từ nhiều thế kỷtrước… Qua đó học sinh sẽ thấy được vai trò và ứng dụng của Toán học trongcuộc sống

c Đặc trưng của tri thức Toán học là trừu tượng hoá cao độ và lôgic chặtchẽ Các tri thức Toán học luôn nằm trong một mối liên hệ chặt chẽ với nhau

Khi nghiên cứu một đối tượng toán học hay tiếp cận một tri thức toán học nào

đó, chúng ta luôn xem xét đến mối liên hệ giữa tri thức đó với các tri thức liênquan, tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, tri thức sau dựa và tri thức trước,tất cả như những mắt xích liên kết với nhau một cách chặt chẽ Ví dụ khi xâydựng phương trình tổng quát của đường thẳng thì trước hết ta phải nêu đượcđịnh nghĩa vectơ pháp tuyến của đường thẳng

1.3.2.2 Nhóm tri thức phương pháp giải quyết vấn đề

Phương pháp là cách thức cần thực hiện để giải quyết một kiểu nhiệm vụnào đó Phương pháp có thể được tích luỹ từ kinh nghiệm sống hay trong quátrình nghiên cứu khoa học Nhóm tri thức phương pháp giải quyết vấn đề baogồm như: phương pháp chứng minh; các phương pháp trong chương trình toánphổ thông như: phương pháp đạo hàm; phương pháp tam thức bậc hai; phươngpháp toạ độ; phương pháp vectơ; phương pháp đồ thị; …

a Phương pháp chứng minh

Trong quá trình dạy học chứng minh cần truyền thụ cho học sinh nhữngtri thức phương pháp liên quan đến chứng minh Đó là những tri thức về các quytắc kết luận lôgic không được dạy tường minh ở trường phổ thông và chỉ được

sử dụng dưới dạng tắt Đối với những tri thức phương pháp không quy địnhtrong chương trình nhưng lại giúp học sinh dễ dàng thực hiện một số hoạt độngquan trọng trong chương trình, ta có thể đề cập ở mức độ thấp nhất: chỉ tậpluyện những hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp đó Những trithức như thế cần được thầy giáo vận dụng một cách có ý thức trong việc ra bàitập, trong việc hướng dẫn và bình luận hoạt động của học sinh Nhờ đó học sinhđược làm quen với những phương pháp tương ứng và nhận ra sự cần thiết củanhững phương pháp này Ví dụ, rèn luyện khả năng chứng minh hình học Ví dụnày được trình bày dựa theo Walsch, 1975

Một con đường có hiệu quả để phát triển ở học sinh năng lực chứng minhtoán học là tạo điều kiện cho học sinh luyện tập dần những hoạt động ăn khớpvới một chiến lược giải toán chứng minh hình học Chiến lược này kết tinh lại ở

học sinh như một bộ phận kinh nghiệm mà họ thu lượm được trong quá trìnhgiải những bài toán này Đương nhiên, sự kết tinh này không nên để diễn ra mộtcách tự phát mà trái lại cần có những biện pháp được thực hiện một cách có mụcđích, có ý thức của thầy giáo

Thầy giáo luôn lặp đi lặp lại một cách có dụng ý những chỉ dẫn hoặcnhững câu hỏi như:

- Hãy vẽ một hình theo những dự kiện của bài toán Những khả năng cóthể xảy ra?

- Giả thiết nói gì? Giả thiết còn có thể biến đổi như thế nào?

- Từ giả thiết suy ra được điều gì? Những định lí nào có giả thiết giốnghoặc gần giống với giả thiết của bài toán?

- Kết luận nói gì? Điều đó còn có thể phát biểu như thế nào?

- Những định lí nào có kết luận giống hoặc gần giống với kết luận của bàitoán?

- Đã biết bài toán nào tương tự hay chưa?

- Cần có kẻ thêm đường phụ hay không? v.v…

Đồng thời, cần chú ý truyền thụ những tri thức về những phương pháp suyluận, chứng minh như suy ngược (suy ngược, tiến, lùi), suy xuôi, phản chứngtheo con đường thông báo chúng nhân quá trình tiến hành hoạt động Đặc biệt,cần cho học sinh nắm vững được những tri thức sau:

Phép suy xuôi có sơ đồ sau, trong đó A là một định nghĩa, tiên đề hoặcmột mệnh đề đúng nào đó, còn B là mệnh đề cần chứng minh

A = A0 A1 … An = B

Bước 1 Bước 2 Bước n

Phép suy ngược có hai trường hợp: suy ngược tiến và suy ngược lùi vớicác sơ đồ như sau, trong đó A, B, C có nghĩa như sơ đồ suy xuôi:

B = B0 B1 … Bn = A (suy ngược tiến)

Bước 1 Bước 2 Bước n

B = B0 B1 … Bn = A (suy ngược lùi)

Bước 1 Bước 2 Bước n

Các phép suy xuôi và suy ngược lùi là những phép chứng minh trong khiphép suy ngược tiến chỉ có tính chất tìm đoán

b Một số phương pháp giải bài tập được vận dụng ở trường THPT

Phương pháp toạ độ để giải một số bài toán sơ cấp Chẳng hạn sử dụngphương pháp toạ độ để giải bài toán bất đẳng thức sau đây:

Ví dụ 1: Cho x, y, z tuỳ ý Chứng minh rằng:

Ta có thể dùng phương pháp toạ độ để giải phương trình hay bất phương trình

Ví dụ 2: Giải phương trình: sinx 2 sin 2 x sinx 2 sin 2 x 3Xét trong không gian hai vectơ sau:

Ta đi đến u, v  là hai vectơ cùng chiều, tức là có hệ sau:

Vậy hệ phương trình trở thành sinx = 1

Nghiệm của phương trình đã cho là: x  k2, k 

1.3.2.3 Do tri thức phương pháp có tính đa dạng, phong phú nên khó có

thể có chuẩn phân loại cho các tri thức này Tuy nhiên cần thiết đề cập các loạihình tri thức phương pháp cần luyện tập cho học sinh và cần phát hiện thông quahoạt động giải toán sau đây

a Những tri thức phương pháp định hướng cho hoạt động nhận thức:

- Tri thức phương pháp tiến hành những hoạt động cụ thể như: cộng haiphân số; tính đạo hàm của một hàm số; tính số chỉnh hợp chập k của n; dựngảnh của một đường tròn qua phép đối xứng trục; …

- Những tri thức phương pháp tiến hành những hoạt động toán học phứchợp như định nghĩa; chứng minh; xác định giao điểm của một đường thẳng vớimột mặt phẳng

- Những tri thức phương pháp tiến hành hoạt động trí tuệ phổ biến trongmôn Toán hoạt động tư duy hàm: xác lập sự tương ứng giữa hai hình ảnh và tạoảnh qua phép dời; hoạt động phân chia các trường hợp riêng.

- Những tri thức phương pháp tiến hành hoạt động ngôn ngữ, lôgic như:dịch sang ngôn ngữ vectơ, toạ độ, biến hình, mệnh đề ba điểm A, B, C thẳnghàng; lập mệnh đề đảo của mệnh đề cho trước, liên kết hai mệnh đề thành tuyểnhoặc hội của chúng,…

b Trong dạy học Toán, tri thức phương pháp là tri thức có ý nghĩa công

cụ, phương tiện để tiến hành các hoạt động nhằm phát hiện, tìm tòi, lĩnh hội tri

thức sự vật Tri thức phương pháp có liên hệ với hai loại phương pháp khác

nhau về bản chất: những phương pháp có tính chất thuật toán và những phươngpháp có tính chất tìm đoán

* Những phương pháp có tính chất thuật toán:

+ Theo nghĩa hẹp: Thuật toán là một dãy thứ tự các thao tác được thựchiện trên một số hữu hạn các số liệu và đảm bảo sau một số hữu hạn bước sẽ đạtmột kết quả nào đó

- Tính hữu hạn: Số bước cần thực hiện, số dữ liệu, số thao tác cần làmtrong mỗi bước đều hữu hạn

- Tính xác định: Thể hiện tính rõ ràng, không mập mờ và thực thi đượccủa các thao tác qua từng bước

- Tính đúng đắn: Với dữ liệu cho trước, sau một bước hữu hạn thì thuậttoán đảm bảo đem lại kết quả và kết quả này là duy nhất

Ví dụ 1 : Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng : ax+ by = c và đường thẳng ,

 : a’x + b’y = c’ Ta đưa về bài toán xét nghiệm hệphương trình bậc nhất hai ẩn Thuật toán giải và biện luận hệ hai phương trìnhbậc nhất hai ẩn:

Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ và tính các định thức:

Bước 2: Biện luận:

- Nếu D 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) là

x

y

D x D D y D

- Nếu D 0 và D x 0 (hoặc D y 0) thì hệ phương trình vô nghiệm

- Nếu D D x D y0 thì hệ phương trình có vô số nghiệm thoả mãnphương trình ax + by = c

có thể mỗi bước không thực thi được; kết quả thực hiện mỗi bước có thể khôngduy nhất; việc thực hiện đầy đủ một dãy hữu hạn các bước không đảm bảo chắcchắn đem lại kết quả

Ví dụ 2: Tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (P):

Bước 3: Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua H.

* Những phương pháp có tính chất tìm đoán.

Ở trường phổ thông qua thực tiễn dạy học Toán cho thấy không phải lúcnào cũng tìm được các phương pháp có tính chất thuật toán để giải quyết cácvấn đề Chẳng hạn không có được thuật toán giải các phương trình bậc ba một

ẩn trong trường hợp phương trình đó không có nghiệm hữu tỉ Trong thực tiễngiải các bài toán về phương trình lượng giác phức tạp hay các bài toán chứngminh các bất đẳng thức cần phải dự đoán, mò mẫm, thêm bớt các biểu thức thíchhợp mới có thể tìm được lời giải Trong những trường hợp nói trên cần vận dụngcác phương pháp có tính chất tìm đoán dựa vào các suy luận có lý, xem xét cáctrường hợp đặc biệt, các trường hợp riêng, liên tưởng đến các bài toán đã giảimới có thể tìm được lời giải

Ví dụ 3 Cho 2 số a, b thoả mãn phương trình a - 2b + 2 = 0 Chứng minh

rằng a2 b2 6a 10b34 a2 b2  10a 14b74 6

Chứng minh: a 32 b 52  a 52 b 72 6

Xét đường thẳng d: x - 2y + 2 = 0 và các điểm A(3; 5), B(5; 7) và M(a; b)

Ta có M d, và A, B nằm về 2 phía đường thẳng d Gọi A’ là điểm đối xứng với

A qua đt d thì: MA + MB = MA’+ MBA’B, dấu “=” xảy ra khi M là giao điểmcủa đường thẳng d và đường thẳng A’B, …, a = 2, b = 3.5

1.3.3 Tri thức chuẩn.

Tri thức chuẩn là những tri thức liên quan đến những chuẩn mực nhấtđịnh, những quy định, những yêu cầu tuân thủ những nguyên tắc nhất định đượcdùng để làm thước đo đánh giá hoạt động nhận thức giúp cho việc học tập vàgiao lưu tri thức Ví dụ như quy định về những đơn vị đo lường, quy ước về làmtròn số cho các giá trị gần đúng… hoặc các chuẩn mực của việc trình bày giảthiết, kết luận, trình bày chứng minh của bài toán…

Tri thức chuẩn có tính tối thiểu, nhằm đảm bảo mọi học sinh cần phải có

và có thể đạt được sau mỗi lần tiếp thu các tri thức mới Chẳng hạn, sau khi học

về phương trình chính tắc của elip,khi xác định các yếu tố liên quan chúng tacần đưa phương trình dạng chuẩn đó là dạng chính tắc:

Ví dụ: Tìm toạ độ các tiêu điểm, độ dài trục lớn, độ dài trục bé của Elíp có

1.3.4 Tri thức giá trị.

Tri thức giá trị có nội dung là những mệnh đề đánh giá, bình luận… khixem xét một nội dung nào đó

Ví dụ, chúng ta có thể đáng giá: “Bất đẳng thức Côsi là bất đẳng thức cónhiều ứng dụng trong Toán học” hoặc bình luận “Phương pháp toạ độ là phươngpháp giải toán mang tính chất hiện đại”…

Tri thức giá trị là một khâu quan trọng của quá trình dạy học Nó vừa cóvai trò kiểm chứng kết quả của một định lý, một định nghĩa hay một bài toán,vừa góp phần điều chỉnh quá trình nhận thức của học sịnh về các tri thức đó

Ví dụ khi học xong vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn, giáoviên yêu cầu học sinh vận dụng vào bài toán:

Cho đường tròn (C) x2  y2  2x4y 1 0 và đường thẳng : 3x - 4y +

m = 0 Tìm m để đường thẳng:

Tuy nhiên sự đổi mới đó cũng gặp không ít khó khăn Khó khăn chủ yếu

do một bộ phận giáo viên chưa tích cực hưởng ứng, chưa thể hiện sự nhiệt huyếtđối với sự nghiệp giáo dục Hoạt động bồi dưỡng giáo viên chưa đáp ứmg hếtyêu cầu đổi mới phương pháp, vì thế chất lượng và hiệu quả giáo dục chưa theokịp với yêu cầu đổi mới của đất nước Nhìn chung chất lượng giáo dục còn ởmức thấp so với các nước phát triển trong khu vực và trên thế giới

Đặc biệt khi dạy các kiến thức Toán học, hầu như các giáo viên chỉ trìnhbày, giới thiệu kiến thức có trong sách giáo khoa, mà không có giải thích cụ thể

để học sinh hiểu rõ bản chất của các hiện tượng toán học Do vậy làm các emhọc sinh đang dần ngày một chán môn Toán và cảm thấy rất khó khi tiếp xúc vớiToán học

Khi dạy xong mỗi tiết lý thuyết là đến tiết bài tập, giáo viên chỉ giảng dạybằng cách chữa các bài tập một cách thuần tuý, chưa làm nỗi bật được mối quan

hệ biện chứng giữa các bài tập này với các bài tập khác, giữa những kiến thứcđang học với những kiến thức cũ Khi dạy xong một chương nào đó giáo viênkhông hệ thống lại các dấu hiệu để nhận biết một đối tượng toán học nằm ởtrong các chương thậm chí chỉ trong một chương Hay khi hướng dẫn học sinhgiải một số bài tập, giáo viên không khuyến khích học sinh tìm tòi nhiều lời giảikhác nhau cho bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau Mà giáo viên chỉ làm được

nhiệm vụ giải các bài tập mà sách giáo khoa đã nêu, hoặc là cho học sinh lênbảng trình bày lời giải bài toán là xong Vì vậy mà không khuyến khích HS tìmtòi nhiều lời giải khác khi nhìn nó dưới nhiều góc độ khác nhau

Từ những điều đó mà trong quá trình học Toán học sinh ít được rèn luyệnvận dụng các kiến thức đã học, để giải quyết những vấn đề liên quan trong thực

tế Nhiều HS khi gặp các bài toán thực tế thường bở ngỡ, lúng túng, không biếtgiải bài toán đó như thế nào Điều này thể hiện tính yếu kém về mặt thực tiễncủa học sinh qua việc vận dụng một số quan điểm biện chứng của tư duy toánhọc

Từ những vấn đề nêu trên càng cho ta thấy nguyên nhân của sự yếu kémcủa học sinh hiện nay, có một phần không nhỏ thuộc về giáo viên trong quátrình dạy học chưa biết phối hợp các dạng tri thức Toán, nhất là tri thức phươngpháp, sự chuyển hoá giữa các dạng tri thức vào việc hướng dẫn học sinh tìm lờigiải bài toán, đó là một vấn đề còn nhiều bất cập

Nguyên nhân: Qua vấn đề nêu trên ta thấy rằng thực trạng việc phối hợp

các dạng tri thức Toán, nhất là tri thức phương pháp, sự chuyển hoá giữa cácdạng tri thức vào việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán ở trường phổthông hiện nay còn nhiều điều phải bàn

Qua tìm hiểu chúng tôi thấy rằng: Hầu hết các giáo viên phổ thông chưathật sự quan tâm mấy đến vấn đề về mối liên hệ giữa các tri thức; Giáo viênchưa có ý thức rèn luyện cho học sinh khả năng tự tìm tòi học hỏi để đưa ra mộtlời giải hay, chính xác; Giáo viên cũng chưa hiểu tầm quan trọng của việc phốihợp các dạng tri thức Toán trong dạy học giải bài tập toán; Một số giáo viên đãphần nào có biết song cũng không rõ được các biện pháp để thực hiện có mộtcách có hiệu quả; Bên cạnh đó các tài liệu viết về vấn đề này nói chung còn hạnchế Nhưng cũng một phần nào do trình độ HS còn hạn chế còn theo nếp cũ,chưa đổi mới phương pháp Cho nên, sự tiếp thu tri thức khoa học thật sự chưahiệu quả Giáo viên còn dạy theo kiểu truyền thống “thầy giảng trò ghi, thầy đọc

trò chép”, phương pháp lạc hậu đó đẩy HS có thói quen học vẹt, học tủ, họclệch, học để đi thi.

1.5 Kết luận chương 1

Trong chương I, luận văn hệ thống một số vấn đề liên quan đến đổi mớiphương pháp dạy học Toán; nêu một số khái niệm về tri thức, đặc điểm của trithức Toán và các dạng của tri thức Toán

Bên cạnh đó luận văn đề cập đến thực trạng dạy học Toán của các trườngTHPT hiện nay Đây cũng là cơ sở để đề xuất một số biện pháp nâng cao hiệuquả dạy học môn toán dựa trên sự chuyển hoá giữa các dạng tri thức và phương

án dạy học một số nội dung môn toán THPT theo hướng khai thác sự chuyểnhoá giữa các dạng tri thức

là sự chuyển hóa giữa các dạng tri thức Do đặc điểm môn học, sự chuyển hóa

đó diễn ra ở các môn học khác nhau có sự khác nhau Trong chương này chúngtôi tìm hiểu sự chuyển hóa giữa các dạng tri thức trên trong dạy học phươngpháp toạ độ trong mặt phẳng va không gian

2.1 Sự chuyển hoá giữa các dạng tri thức môn Toán trong quá trình dạy học.

Giữa các dạng tri thức môn Toán luôn có sự chuyển hoá, ảnh hưởng lẫnnhau trong quá trình nhận thức Từ tri thức sự vật học sinh hình thành tri thứcphương pháp mới, tri thức phương pháp lại có vai trò giúp học sinh hình dungđược sự hình thành và phát triển của tri thức sự vật và hiểu rõ hơn bản chất củatri thức sự vật Hay là sự chuyển hoá giữa tri thức sự vật và tri thức chuẩn trongquá trình dạy học Trong quá trình dạy học, người giáo viên không chỉ có nhiệm

vụ truyền thụ cho học sinh tri thức sự vật mà còn phải giúp học sinh hiểu đượcgiá trị của chúng, thậm chí các em có thể tự đánh giá được bài làm của mình khitiếp thu một tri thức sự vật nào đó như một định lý, một bài toán,

Trong phần này chúng tôi xin được đề cập đến sự chuyển hoá giữa cácdạng tri thức môn Toán trong quá trình dạy học phương pháp toạ độ trong mặtphẳng và không gian Đây là một vấn đề phức tạp và đa dạng, chịu sự ảnhhưởng của nhiều yếu tố Do đó chúng tôi chỉ xem đây là một sự tìm hiểu bướcđầu trong quá trình tìm kiếm các hình thức và quy luật của quá trình chuyển hóagiữa các dạng tri thức trong môn toán Trước hết chúng tôi mô hình hóa các mối

quan hệ giữa các dạng tri thức trong môn Toán và sự chuyển hóa giữa chúng bởi

2.1.1.1 Sự chuyển hoá từ tri thức sự vật sang tri thức phương pháp

Sự chuyển hoá từ tri thức sự vật sang tri thức phương pháp có thể phânchia theo các dạng sau:

a Tri thức sự vật được sử dụng vào nhiều tình huống khác nhau được môhình hoá, được khái quát hoá thành một dạng công cụ để sử dụng trong các tìnhhuống khác nhau

Ví dụ: Tri thức về véc tơ

Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ ( ; )u x y , ( '; ')v x y ta có

1) u v  (x x y y ';  '),u v  (x x y y ';  ')2) ku( ; )kx ky

3) u  x2  y24) u v u v c  os( , )u v 

.u v xx  ' yy'

Tri thức sự vật

Tri thức phương pháp

5) Góc giữa hai véc tơ os( , ) 2 2' 2' 2

+) Vận dụng tri thức hai vectơ bằng nhau vào giải một số bài toán sau:

Bài toán 1: Tìm đỉnh thứ 4 của hình bình hành khi biết 3 đỉnh A(x1; y2), B(x2;

, dấu bằng xảy ra  u v , cùng phương.

Thật vậy, ta có u v  u v c . os( , )u v  u v . vì os( , ) 1c u v  

B

A

 u v c  os( , )u v  u v   cos( , ) 1u v    ( , ) 0u v    u v  cùng hướng.,

- Bất dẳng thức mở rộng đối với 3 véctơ u v    w  u  v  w

về một dạng khác không? Liệu có thể vận dụng được tọa độ, véctơ hay hìnhhọc? Từ đó cho học sinh tự trình bày lời giải

Lời giải

Ta có:

2 2

2 2

là độ dài của vectơ nào?

Lời giải

2 2

(Do u v  u v )

Nâng dần mức độ khó khăn: các ví dụ đưa ra chưa nhìn thấy ngay đượcphương pháp; tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh tháo gỡ, học sinh phảibiến đổi, liên hệ với các sơ đồ ứng với từng phương pháp rồi so sánh, phân tích,tổng hợp; cuối cùng mới tìm ra lời giải thỏa đáng (sơ đồ nhận thức phải xét tạithời điểm cụ thể và ứng với luồng kiến thức nhất định)

Bài toán 3: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng:

véctơ, kết luận bài toán như là tích vô hướng của hai véctơ nào đó,… gợi chocác em nghĩ đến sử dụng kiến thức véctơ Và sau đó tự mình đưa ra lời giải.



2 2

1 1

a  b có thể xem là độ dài của véctơ có tọa độ như thế nào?

 Hãy phát biểu bài toán dưới một dạng khác?

Từ đó học sinh suy nghĩ phải thay đổi phương pháp chứng minh, xem

Ta sẽ dựa trên cơ sở chuyển hóa tri thức giải một số bài toán sau:

Bài toán 1 Cho 2n số dương a1,a2,…,a n; b1,b2, ,b n Chứng minh rằng:

1 1 2 2 n n ( 1 2 n) ( 1 2 n)

a b  a b   a b  a a  a  b b  b Lời giải: