Xây dựng hệ thống bài tapạ cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian e3

Em khẳng định kết quả của đề tμi "Xây dựng hệ thống bμi tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian E3" không có sự trùng lặp với các kết quả của các đề tμi... Dạng bμi tập viết phươ

Trường đại học sư phạm hμ nội 2

Khoa toán

*************

NGUYễN VĂN HƯNG

XÂY DựNG Hệ THốNG BμI TậP CHO Lý THUYếT MảNH THAM Số

Lời cảm ơn

Em xin bμy tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GVC.PGS.TS.Nguyễn Năng Tâm, người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn vμ giúp đỡ em hoμn thμnh khoá luận của mình Đồng thời, em xin chân thμnh cảm ơn đến các thầy cô trong tổ hình học vμ các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học sư phạm Hμ Nội 2, ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho

em hoμn thμnh khoá luận nμy

Trong khuôn khổ có hạn của một khoá luận, do điều kiện thời gian,

do trình độ có hạn vμ cũng lμ lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy, em kính mong nhận được sự góp ý quý báu của thầy cô vμ các bạn

Em xin chân thμnh cảm ơn !

Hμ Nội, ngμy 02 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Văn Hưng

LờI CAM ĐOAN

Khoá luận nμy lμ kết quả của bản thân em trong quá trình học tập

vμ nghiên cứu khoa học Bên cạnh đó, em được sự quan tâm của các thầy, cô trong khoa Toán đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của thầy GVC.PGS.TS.Nguyễn Năng Tâm

Trong khi nghiên cứu hoμn thμnh bản khoá luận nμy em đã tham khảo một số tμi liệu đã ghi trong phần tμi liệu tham khảo

Em khẳng định kết quả của đề tμi "Xây dựng hệ thống bμi tập cho

lý thuyết mảnh tham số trong không gian E3" không có sự trùng lặp với các kết quả của các đề tμi

Hμ Nội, ngμy 02 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Văn Hưng

MụC LụC

Trang

A.mở đầu 1

1 Lý do chọn đề tμi 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phạm vi, đối tượng nghiên cứu 2

5 ý nghĩa khoa học vμ thực tiễn của đề tμi 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

B.nội dung 3

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị 3

1 Đại cương lý thuyết về mảnh tham số trong không gian  3 3

1.1 Định nghĩa mảnh tham số trong không gian  3 3

1.2 Định nghĩa đường toạ độ, đường vectơ tiếp túc 3

1.3 Định nghĩa chính quy, điểm trù dị, mảnh tham số chính quy 9

1.4 Định nghĩa tiết diện của mảnh tham số r tại điểm phương trình tiết diện của v, phương pháp tuyến

4 1.5 Định nghĩa hai mảnh tham số tương đương, quan hệ tương đương

5 1.6 Định nghĩa mảnh tham số kiểu đồ thị 6

1.7 Ví dục tương ứng cho phần lý thuyết trình bμy 6

Chương 2 Hệ thống bμi tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian E3 9

Dạng 1 Dạng bμi tập viết phương trình tham số của các mặt trong không gian E3 9

Dạng 2 Dạy bμi tập xác định ảnh của các mảnh tham số có phương trình cho trước 14

Dạng 3 Dạy bμi tập liên quan đến mặt tịnh tiến 19 Dạng 4 Dạy bμi tập liên quan đến điểm chính qua, điểm kì dị, mảnh

chính quy, tham số hoá mảnh 22 C.kết luận vμ đề nghị 38 D.tμi liệu tham khảo 39

A Mở ĐầU

1 Lý do chọn đề tμi

Toán học lμ môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian vμ các phép biến đổi Nói một cách khác, người ta cho rằng đó lμ môn học về " Hình vμ Số" theo quan điểm chính thống, nó lμ môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiền đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) vμ ký hiệu toán học Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong tiết học toán Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh lμ "ngôn ngữ của vũ trụ"

Hình học lμ một phần của toán học, hình học lμ ngμnh toán học nghiên cứu liên hệ không gian Trong hình học người ta chia ra nhiều nhánh khác nhau trong đó có hình học vi phân

Hình học vi phân lμ một nhánh của hình học sử dụng các công cụ

vμ phương pháp của phép tính vi phân vμ tích phân cũng như đại số tuyến tính vμ đại số đa tuyến tính để nghiên cứu các vấn đề của hình học

Hình học vi phân được phát triển mạnh mẽ từ đầu thế kỷ XIX Gauss lμ một trong những nhμ toán học tiên phong trong lĩnh vực nμy Cuối thế kỷ XIX tất cả những nghiên cứu được tập hợp vμ hệ thống hoá lại bởi các nhμ toán học Jran Gastan Dar boux vμ Luigi Bian chi

Lý thuyết về các đường cong trong mặt phẳng không gian cũng như về các mặt cong trong không gian Euclid ba chiều đã trở thμnh cơ sở cho sự phát triển hình học vi phân Việc xây dựng hệ thống bμi tập của môn học nμy sẽ giúp em hiểu rõ hơn bản chất của hình học vi phân

Trong khuôn khổ có hạn của một khóa luận tốt nghiệp, em chỉ dừng lại ở việc "Xây dựng hệ thống bμi tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian E3"

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tμi nghiên cứu việc xây dựng hệ thống bμi tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian 3

E Trên cơ sở đó xây dựng được hệ thống bμi tập một cách khoa học, rõ rμng vμ chính xác qua đó thấy được

ý nghĩa của việc học tập môn học nμy, hiểu sâu vμ nắm vững kiến thức của như lý thuyết trong quá trình giải bμi tập

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

a Trình những lý thuyết cơ sở về lý thuyết mảnh tham số

b Trình bμy những ví dụ dể hiểu lý thuyết

c Trình bμy hệ thống các bμi tập từ dễ đến khó về lý thuyết mảnh tham số trong không gian 3

E

4 Phạm vi vμ đối tượng nghiên cứu

- Về khách thể nghiên cứu: Do trong khuôn của một khóa luận cho phép em chỉ nghiên cứu lý thuyết vμ bμi tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian 3

E

- Về đối tượng nghiên cứu

+ Nghiên cứu cách xây dựng lý thuyết mảnh thanh số trong không gian E3

+ Nghiên cứu hệ thống bμi tập từ dễ đến khó lý thuyết trên

5 ý nghĩa khoa học vμ thực tiễn của đề tμi

Đề tμi "Xây dựng hệ thống bμi tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian 3

E " giúp em hiểu thêm về hình học vi phân vμ biết cách áp dụng giải bμi tập vμ có cái nhìn đúng đắn về môn học nμy

6 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo trình, tμi liệu tham số vμ các tạp chí toán học, các bμi giảng chuyên đề, các giáo trình hình học, các tμi liệu liên quan tới nội dung nghiên cứu, kiến thức thực hμnh vμ đặc biệt lμ sự nhiệt

b nội dung Chương 1: các kiến thức chuẩn bị

1.đại cương lý thuyết mảnh tham số trong không

gian e 3

1.1.định nghĩa mảnh tham số trong không gian e 3

Giả sử U lμ một tập mở khác  của R2, ánh xạ r từ tập mở U vμo không gian Euclid 3 chiều E3 :

r : U  E3(u,v)  r(u,v)

lμ một mảnh tham số trong E3 ( r : khả vi đến lớp cần thiết )

tập U gọi lμ miền tham số hay miền xác định của mảnh

1.2 định nghĩa đường toạ độ, trường véc tơ tiếp xúc

Với mỗi điểm (u0,v0) U thì các tập hợp Au u v| ( , 0)U},

lμ những cung tham số của E3, cung tham số u r(u,v0) trong E3 ( u thay

đổi một khoảng J R nμo đó, u0J) gọi lμ đường toạ độ v  v0; cungtham số v  r2(v) = r(u0,v) trong E3 gọi lμ đường toạ độ u  u0.theo

định nghĩa đạo hμm thì r u: u  r u v u ( , 0) lμ một trường véc tơ tiếp xúc

dọc theo cung r1 ; v  r u v v ( 0, ) lμ một trường véc tơ tiếp xúc dọc theo cung r2

1.3 định nghĩa điểm chính quy, điểm kì dị, mảnh tham số chính quy

Cho mảnh tham số :

r : U  E3(u,v)  r(u,v)

điểm (u0,v0)  U ( hay điểm r(u0,v0)  E3) gọi lμ điểm chính quy của r nếu hai véc tơ r u v u( ,0 0) vμ r u v v( ,0 0) độc lập tuyến tính điểm không

chính quy của r gọi lμ điểm kì dị của r nếu mọi điểm của U đều lμ điểm chính quy thì r gọi lμ mảnh chính quy

1.4 định nghĩa tiếp diện của mảnh tham số r tại điểm, phương trình tiếp diện của r tại điểm, pháp tuyến của mảnh

Tại điểm chính quy (u0,v0) của mảnh tham số r, gọi 2 - phẳng trong

E3 đi qua r(u0,v0) với không gian véc tơ chỉ phương

0 0 0 0 ( , ), ( , )

mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của r tại điểm ( u0,v0) ; đường thẳng qua r(u0,v0) thẳng góc với tiết diện tại (u0,v0) lμ pháp tuyến của r tại (u0,v0) Trong toạ độ afin ( x,y, z) của E3 viết :

r( u,v)  (x(u,v), y(u,v), z(u,v))

(trong đó (u,v)  x(u,v), y(u,v), z(u,v) lμ những hμm số trên U) thì phương trình tiếp diện của r tại (u0,v0) lμ :

1.5 định nghĩa hai mảnh tham số tương đương, quan hệ tương đương

Cho hai mảnh tham số trong E3 :

r : U  E3 vμ r : 3

UE

Nếu có một vi phôi :U  U ( lμ một ánh xạ đồng phôi khả vi

vμ ánh xạ ngược   1:UU cũng khả vi) sao cho r  r  thì ta nói r tương

đương với r vμ gọi  lμ một phép tham số giữa U vμ U ( hay từ r sang

r) nếu có phép đổi tham số như trên thì từ U   ( )U , r  r  ta có ( ) ( ).

* Ta suy ra các tính chất từ hai mảnh tham số tương đương :

1 Quan hệ tương đương giữa các mảnh tham số trong E3 lμ quan hệ tương đương theo nghĩa thông thường

2 Mỗi lớp tương đương gọi lμ một mảnh Vậy để cho một mảnh ta

chỉ cần cho một mảnh tham số đại diện cho nó trong E3 vμ r gọi lμ một tham số hoá của mảnh

3 Quan hệ tương đương bảo tồn hướng giữa các mảnh tham số trong

E3 (định thức   0) cũng lμ quan hệ tương đương theo nghĩa thông thường

4 Mỗi lớp tương đương theo quan hệ ấy gọi lμ một mảnh định hướng để cho một mảnh định hướng ta cũng chỉ cần cho một mảnh tham

số đại diện cho nó

1.6 định nghĩa hai mảnh tham số tương đương, quan hệ tương đương

Cho U lμ một tập mở trong mặt phẳng R2  {( ,x x i j),i j} Giả sử trong E3 cho một hệ toạ độ afin dạng (x1, x2, x3) Khi đó mảnh tham số :

Khi hệ vectơ { , }    phụ thuộc tuyến tính thì mọi điểm cua mảnh

đều lμ điểm kì dị

Ví dụ 1.2 : ánh xạ r : R2 E3

(u,v)  r (u,v)  ( cos , sin , )a u b u v (a 0,b 0)

Lμ một mảnh tham số chính quy, ảnh của nó lμ mặt trụ eliptic

r : R2 E3 , (u,v)  ( cos cos , cos sin , sin )a u v a u v a v (a 0) lμ

một mảnh tham số tại các điểm (u,v) mμ .

2

u  k

ảnh của nó lμ mặt cầu tâm O bán kính a cung toạ độ r v1( v0) có ảnh lμ kinh tuyến tròn lớn

2 2 2 2

0 {x y z a ,y (tanv x) } trừ đi cực bắc (0, 0 ,1) vμ cực nam (0 , 0 ,-1) Cung toạ độ r u2( u0) có ảnh lμ vĩ tuyến tròn

0 0 ( , )

Chương 2: hệ thống bμi tập cho lý thuyết mảnh

tham số trong không gian E 3

Dạng 1: Viết phương trình tham số của các mặt trong không gian E 3

Bμi 1.1: Viết tham số hoá( hay phương trình tham số ) của các mặt

tròn xoay sau đây trong E3:

xx u v a u v, y y u v , a.cos sinu v, zz u v , a.sinu

khi đó phương trình tham số hoá của mặt bậc hai lμ :

c) Ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt hypeb«l«it hai tÇng trßn xoay quanh trôc Oz lμ :

d) Ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt parab«l«it trßn xoay quay quanh trôc

Bμi 1.2 : Trong E cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz, một

đường cong  nằm trong mặt phẳng Oxy vμ thuộc về một phía của trục

Ox Giả sử khi quay quanh Oz thì  quét thμnh một mặt tròn xoay (S)

a) Cho biết phương trình tổng quát của  , hãy viết phương trình tổng quát của (S)

b) Cho biết phương trình tham số của , hãy viết phương trình tham số của (S)

Bμi 1.4 : Giả sử S lμ một mặt trong 3

E tạo bởi một đường thẳng  vừa quay xung quanh trục Oz vừa tịnh tiến theo phương trục Oz của hệ toạ độ

đề các vuông góc Oxyz Viết phương trình tham số của mặt S trong những trường hợp sau :

a) Tốc độ quay lμ , tốc độ tịnh tiến lμ k  k 0, đường thẳng 

cắt vuông góc với trục Oz Mặt S tạo thμnh gọi lμ mặt đinh ốc ( tổng quát)

b) Tốc độ quay lμ , tốc độ tịnh tiến lμ k  k  0, đường thẳng 

cắt vuông góc với trục Oz Mặt S tạo thμnh gọi lμ mặt đinh ốc đứng

c) Tốc độ quay lμ , quãng đường tịnh tiến lμ một hμm  của góc quay, đường thẳng  cắt vuông góc với trục Oz mặt S tạo thμnh gọi lμ mặt cônôit đứng

Bμi giải :

a) Gọi u lμ góc quay được sau một thời gian t vμ gọi v lμ quãng

đường tịnh tiến được sau thời gian t thì u  t, v k  t do đó sk u. ,

.cos sin

X x uy u, Y x.sinuy.cosu, Z z

còng sau thêi gian t ®iÓm M* ph¶I tÞnh tiÕn thμnh ®iÓm MX Y Z, , k u. 

quü tÝch c¸c ®iÓm M  lμ mÆt S nªn ph−¬ng tr×nh cña mÆt S lμ :

 ,   .cos  .sin ,  .sin  .cos ,   . 

c) r u v  ,  u sin ,v u cos ,v ua (a const)

d) r u v  ,  x0 a.cos cos ,u v y0 b.cos sin ,u v z0 c.sinu

( x y z a b c0, 0, 0, , , lμ h»ng sè , abc 0) e)   2 2 2 2 21 2

Ng−îc l¹i, cho ®iÓm M x y z , ,    S tho¶ m·n x 0,y 0 th× cã :

tõ x u v, y u v, zu v. ta cã : 1.( )

2

2

c) Ta tiÕn hμnh khö u vμ v :

Ta cã :

sin cos

ta cã : xx0a.cos cosu v, yy0b.cos sinu v, zz0c.sinu

hay lμ x x0 cos cosu v

a

, y y0 cos sinu v b

, z z0 sinu c

Ng−îc l¹i, cho ®iÓm M x y z , ,    S th× z z0 1

0

0

.cos cos cos sin sin

u v



1 0

zx y bỏ đi điểm O(0, 0, 0),

điểm nμy lμ đỉnh của (S)

Ng−ợc lại, cho điểm M x y z , ,    S mμ M  0 khi đó z  0 ( vì z  0

u x

v y



 (3) Rõ dμng cần có điều kiện u v 0

Xem u v. vμ uv lμ hai ẩn thì từ (1) vμ (3) suy ra :

  (5) Từ (4) vμ (5) rõ rμng luôn tìm đ−ợc u,v với

điều kiện c x a z  0 vμ u,v nμy thoả mãn (1), (2) vμ (3)

Suy ra điểm M x y z , ,  của (S) thuộc vμo r(U) khi vμ chỉ khi

Bμi 1.6 : Cho tập mở liên thông cung V của 2

R vμ mảnh tham số chính quy r : 3

V E chứng minh rằng nếu mọi pháp tuyến của mảnh đều đi

qua một điểm cố định C thì ảnh của r(V) của mảnh nằm trên một mặt cầu tâm C

định C nên pháp tuyến tại điểm r  t lμ đường thẳng nối C với

Suy ra mọi điểm M của r V  đều nằm trên mặt cầu tâm C bán kính a

Dạng 3 : bμi toán liên quan tới mặt tịnh tiến

Bμi 1.7 : Trong không gian 3

E , cho hai hμm vectơ : 3  

a) Chứng minh rằng hai đường toạ độ cùng họ của mặt tịnh tiến, chẳng hạn đường uu1 vμ đường uu2, lμ ảnh của nhau qua phép tịnh tiến

b) Chứng minh rằng mặt parabôlôit eliptic hay mặt parabôlôit hypebôlic lμ những mặt tịnh tiến

c) Chứng minh rằng quỹ tích trung điểm các đoạn thẳng nối hai

điểm bất kì nằm trên hai cung cho trước trong 3

c) Cho hai cung bất kì  u  O A u  vμ  v  O B v  Với hai

điểm M   u vμ N   v của hai cung đó thì trung điểm I của đoạn

Chøng minh r»ng víi mét sè a 0, tËp ®iÓm

V E ,

m¶nh tham sè r cung  gäi lμ mét ®−êng chuÈn cña mÆt kÎ r V  Mçi

®−êng th¼ng r u v 0 ,   u0 v A u. 0 gäi lμ mét ®−êng sinh th¼ng cña mÆt

trùng nhau Chứng minh rằng mặt kẻ r(V) lμ khả triển khi vμ chỉ khi r chính quy vμ       u ,A u ,A u phụ thuộc tuyến tính

c) Mặt kẻ r(V) gọi lμ mặt trụ nếu các đường sinh thẳng của nó song song với nhau Chứng minh rằng r(V) lμ mặt trụ khi vμ chỉ khi A u 

vμ A u  phụ thuộc tuyến tính

d) Mặt kẻ r(V) gọi lμ mặt nón nếu các đường sinh thẳng của nó nằm trên những đường thẳng đồng quy tại một điểm I nμo đó điểm I gọi

lμ đỉnh nón Mặt kẻ r(V) gọi lμ mặt tiếp tuyến nếu các đường sinh thẳng của nó đều nằm trên những tiếp tuyến của đường chuẩn

Chứng minh rằng nếu r lμ một mảnh chính quy vμ r(V) lμ mặt trụ, hay mặt nón, hay mặt tiếp tuyến thì r(V) lμ mặt khả triển

e) Giả sử r(V) lμ mọt mặt khả triển mμ không phải lμ mặt trụ vμ

Chứng minh rằng nếu  u0   u0  thì có một lân cận Q của

b) Đường sinh thẳng của r(V) ứng với uu0 xác định bởi ham số hoá r u v 0 ,   u0 v A u. 0 Giả sử r chính quy thì tại mỗi điểm r(u,v)

đều tồn tại tiếp diện của r(V)

Pháp vectơ tiếp diện tại điểm r(u,v) lμ n u v , r u vu , r u vv , Do

đó dọc theo đường sinh thẳng uu0, pháp vectơ của tiếp diện lμ:

   phụ thuộc tuyến tính

Từ đó ta có điều phải chứng minh

c) r(V) lμ mặt trụ khi vμ chỉ khi A u  có phương không đổi Vì

d) Giả sử r lμ mảnh chính quy Nếu r(V) lμ mặt trụ thì theo câu c), hai vectơ A u 

vμ A u  phụ thuộc tuyến tính Do đó ba vectơ   u ,

 

A u



, A u  phụ thuộc tuyến tính Suy ra r(V) lμ mặt khả triển

Nếu r(V) lμ mặt nón thì có thể viết A u I u với I lμ đỉnh nón

Do đó A u    u Rõ rμng khi đó   u A u     ,A u ,A u  phụ thuộc tuyến tính Suy ra r(V) lμ mặt khả triển

Nếu r(V) lμ mặt tiếp tuyến thì có thể viết A u    u Khi đó hiển nhiên hệ vectơ       u ,A u ,A u  phụ thuộc tuyến tính Suy ra r(V) lμ mặt khả triển

 u0  u0

    với mọi uJ0, khi đó  1 u   u      u .A u  0