Về định lí birkhoff và một số vấn đề liên quan trong lí thuyết ergodic

Ti¸p töc quy n¤p, chóng ta ành ngh¾a vîi méi Mj khæng réng v âng... Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½Chùng minh ành l½ Ergodic cõa Birkhoff.... p döng ành l½ Ergodic cõa Birkhoff cho

Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½

LÍI CƒM ÌN

Em xin ch¥n th nh c£m ìn sü gióp ï cõa c¡c th¦y cæ gi¡o trong têGi£i t½ch, c¡c th¦y gi¡o cæ gi¡o trong khoa to¡n, c¡c th¦y gi¡o cæ gi¡otrong tr÷íng HSP H  Nëi 2 v  c¡c b¤n sinh vi¶n °c bi»t em xin b y

tä láng bi¸t ìn s¥u s­c cõa m¼nh tîi T.S T¤ Ngåc Tr½ ng÷íi ¢ tªn t¼nhgióp ï em trong suèt qu¡ tr¼nh ho n th nh khâa luªn n y

Do l¦n ¦u ti¶n l m quen vîi cæng t¡c nghi¶n cùu khoa håc, hìn núa

do thíi gian v  n«ng lüc cõa b£n th¥n cán h¤n ch¸, m°c dò r§t cè g­ngnh÷ng ch­c ch­n khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât Em k½nh mong nhªn

÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v  c¡c b¤n º khâa luªncõa em ÷ñc ho n thi»n hìn

LÍI CAM OAN

Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu ho n th nh khâa luªn n y em câ thamkh£o mët sè t i li»u ¢ ghi trong ph¦n t i li»u tham kh£o

Em xin cam oan khâa luªn ÷ñc ho n th nh bði sü cè g­ng né lüccõa b£n th¥n em trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu, b¶n c¤nh â emnhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n ch¿ b£o tªn t¼nh cõa T.S T¤ Ngåc Tr½ công nh÷c¡c th¦y cæ gi¡o trong khoa to¡n

Em k½nh mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ v  c¡cb¤n º khâa luªn cõa em ÷ñc ho n thi»n hìn

H  Nëi, ng y 10 th¡ng 05 n«m 2013

Sinh vi¶n

Ho ng Thà Li¶n

Möc löc

1.1 Giîi thi»u 6

1.2 Khæng gian ë o 8

1.2.1 C¡c ành ngh¾a 8

1.2.2 C¡c v½ dö cõa khæng gian ë o 9

1.3 T½ch ph¥n 10

1.3.1 C¡c ành ngh¾a 10

1.3.2 C¡c khæng gian Lp 11

1.3.3 C¡c ành l½ hëi tö 11

1.4 ë o b§t bi¸n 12

2 ERGODIC V€ ÀNH L BIRKHOFF 13 2.1 ành ngh¾a cõa Ergodic 13

2.2 °c tr÷ng cõa Ergodic 14

2.3 C¡c v½ dö 16

2.3.1 C¡c ph²p quay mët ÷íng trán 16

2.3.2 nh x¤ k²p 17

2.3.3 nh x¤ li¶n ph¥n sè 18

3

2.4 Sü tçn t¤i cõa c¡c ë o Ergodic 18

2.5 Ph²p truy to¡n v  Ergodic ìn trà 21

2.5.1 ành l½ ph²p truy to¡n cõa Poincare 21

2.5.2 Ergodic ìn trà 22

2.5.3 V½ dö 24

2.6 ành l½ Ergodic cõa Birkhoff 24

2.6.1 K¼ vång câ i·u ki»n 24

2.6.2 ành l½ Ergodic cõa Birkhoff theo tøng iºm 26

2.7 C¡c h» qu£ cõa ành l½ Ergodic cõa Birkhoff 32

2.7.1 C¡c h» qu£ 32

2.7.2 Ùng döng 34

2.8 Mët sè b i tªp ùng döng 38

2.8.1 B i tªp 1: 38

2.8.2 B i tªp 2: 39

2.8.3 B i tªp 3: 41

2.8.4 B i tªp 4: 41

Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½

LÍI MÐ †U

1 Lþ do chån · t i

Gi£i t½ch h m l  mët ng nh to¡n håc ÷ñc x¥y düng ¦u th¸ k¿ XX

v  ¸n nay v¨n ÷ñc xem l  mët ng nh to¡n håc cê iºn Trong qu¡ tr¼nhph¡t triºn gi£i t½ch h m ¢ t½ch lôy ÷ñc mët sè nëi dung h¸t sùc phongphó, nhúng k¸t qu£ m¨u müc, têng qu¡t cõa gi£i t½ch h m ¢ x¥m nhªp

v o t§t c£ c¡c ng nh to¡n håc câ li¶n quan v  sû döng ¸n cæng cö gi£it½ch v  khæng gian vectì Ch½nh i·u â ¢ mð rëng khæng gian nghi¶ncùu cho c¡c ng nh to¡n håc

Vîi mong muèn ÷ñc nghi¶n cùu, t¼m hiºu s¥u s­c v· bë mæn n y;

°c bi»t l  i s¥u v o t¼m hiºu v· l½ thuy¸t Ergodic v  mët sè v§n · li¶nquan, t¼m hiºu v· ành l½ Birkhoff v  ùng döng cõa nâ gióp c¡c b¤n åchiºu rã hìn v· chóng Vîi l½ do tr¶n còng vîi sü am m¶ cõa b£n th¥n

v  sü h÷îng d¨n nhi»t t¼nh cõa T.S T¤ Ngåc Tr½, em ¢ chån · t i:" V·

ành lþ Birkhoff v  mët sè v§n · li¶n quan trong lþ thuy¸t Ergodic"

2 C§u tróc cõa khâa luªn

Khâa luªn n y gçm 2 ch÷ìng

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

åc t i li»u, ph¥n t½ch, so s¡nh, têng hñp

MËT SÈ KI˜N THÙC CÌ SÐ

1.1 Giîi thi»u

Cho X l  mët khæng gian to¡n håc X²t ¡nh x¤ T : X → X L§y

x ∈ X v  l°p l¤i ùng döng cõa ¡nh x¤ T èi vîi x ta ÷ñc mët d¢y{x, T (x), T2(x), T3(x), } ¥y gåi l  quÿ ¤o cõa x

N¸u Tn(x) = x th¼ iºm x ÷ñc gåi l  tu¦n ho n vîi chu k¼ n

Ta x²t b i to¡n nh÷ sau: Cho T : [0, 1] → [0, 1] v  cè ành mët o¤n[a, b] ⊂ [0, 1],cho x ∈ [0, 1] T¦n sè m  c¡c quÿ ¤o cõa x n¬m trong [a,b]

l  g¼? Tr÷îc h¸t ta ¢ bi¸t h m °c tr÷ng χA cõa tªp A ÷ñc x¡c ànhbði:

Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½Th¼ sè l¦n n iºm ¦u ti¶n trong quÿ ¤o cõa x n¬m trong [a,b] l :

lim

n→∞

1n

ii N¸u E ∈ β th¼ ph¦n bò cõa nâ X\E ∈ β;

iii N¸u En ∈ β, n=1,2,3 l  d¢y ¸m ÷ñc c¡c tªp hñp trong β th¼

Cho X l  mët tªp v  β l  mët σ-¤i sè c¡c tªp con cõa X, ta câ:

ành ngh¾a 1.4: Mët h m sè µ : β → R+∪ {∞} ÷ñc gåi l  mët ë on¸u:

Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½N¸u µ(X) = 1 th¼ µ l  ë o x¡c su§t v  (X, β, µ) t÷ìng ùng l  khænggian x¡c su§t.

ành ngh¾a 1.5: Mët d¢y c¡c ë o x¡c su§t µn hëi tö y¸u ¸n µ khi

n → ∞ n¸u vîi méi f ∈ C(X, R)

N¸u f câ d§u b§t k¼, ta °t f = f+− f− vîi f+ = max{f, 0} ≥ 0v 

f− = max{−f, 0} ≥ 0th¼ ta ành ngh¾a t½ch ph¥n cõa h m f b§t k¼ tr¶n

Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½

ành ngh¾a 1.12: f ÷ñc gåi l  kh£ t½ch tr¶n X n¸u:

Vîi p ≥ 1 b§t k¼, ta ành ngh¾a khæng gian Lp(X, β, µ)chùa c¡c h m

o ÷ñc f : X → C sao cho |f|p l  kh£ t½ch Metric tr¶n Lp(X, β, µ) l d(f, g) = kf − gkp, ð â

kf k = (

Z

|f |pdµ)1/p.N¸u (X, β, µ) l  khæng gian ë o húu h¤n v  n¸u 1 ≤ p < q th¼

Lq(X, β, µ) ⊂ Lp(X, β, µ)

1.3.3 C¡c ành l½ hëi tö

ành l½ 1.1:(ành l½ hëi tö ìn i»u)

Gi£ sû fn: X → R l  mët d¢y t«ng c¡c h m kh£ t½ch tr¶n (X, β, µ).N¸u R fndµ l  d¢y bà ch°n cõa c¡c sè thüc th¼ lim

n→∞ fn tçn t¤i h.k.n v kh£ t½ch v 

Cho (X, β, µ) l  mët khæng gian x¡c su§t Mët ph²p bi¸n êi

T : X → X ÷ñc gåi l  o ÷ñc n¸u T−1B ∈ β vîi ∀B ∈ β

ành ngh¾a 1.15: Ta nâi r¬ng T l  mët ph²p bi¸n êi b£o to n ë ohay µ ÷ñc gåi l  ë o T-b§t bi¸n n¸u µ(T−1B) = µ(B) vîi ∀B ∈ β.Chó þ: L1

(X, β, µ) = { f : X → R /f o ÷ñc v R |f | dµ < ∞}.

Nhªn x²t: µ ÷ñc gåi l  T-b§t bi¸n n¸u v  ch¿ n¸u T ∗ µ = µ Vi¸t

M (X, T ) = {µ ∈ M (X)/T ∗ µ = µ}

Ch֓ng 2

ERGODIC V€ ÀNH L

BIRKHOFF

2.1 ành ngh¾a cõa Ergodic

ành ngh¾a 2.1 : Cho (X, β, µ) l  mët khæng gian x¡c su§t v  cho

T : X → X l  mët ph²p bi¸n êi b£o to n ë o Ta nâi r¬ng T l  mëtph²p bi¸n êi Ergodic (ho°c µ l  mët ë o Ergodic) n¸u vîi B ∈ β câ

T−1B = B ⇒ µ(B) = 0 ho°c 1

Chó þ: N¸u T−1A = A vîi 0 < µ(A) < 1 th¼ câ thº c­t T : X → X

th nh T : A → A v  T : (X\A) → (X\A) vîi c¡c ë o x¡c su§t b§tbi¸n t÷ìng ùng 1

Chùng minh Vîi méi j≥0 Ta câ bao h m thùc

Chùng minh

Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½(i) ⇒ (ii) Gi£ sû r¬ng T l  Ergodic v  f ∈ L1(X, β, µ) vîi f ◦ T = f

Gi£ sû T l  Ergodic Khi â ta câ

f (T x) = e2πiq(x+p/q) = e2πi(qx+p) = e2πiqx = f (x)

M  f khæng l  h m h¬ng i·u n y m¥u thu¨n vîi t½nh ch§t 2.3

Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½vîi ∀n ∈ Z Khi α /∈ Q, e2πinα 6= 1 trø khi n=0 Do â cn = 0 vîi n 6= 0.

Do â f câ chuéi Fourier c0, ngh¾a l , f l  h m h¬ng h.k.n

Vªy T l  Ergodic

2.3.2 nh x¤ k²p

Cho X=R/Z v  ành ngh¾a T : X → X bði T(x)=2x mod 1

T½nh ch§t 2.5

nh x¤ k²p T l  Ergodic èi vîi ë o Lebesgue µ

Chùng minh Cho f ∈ L2(X, β, µ) v  gi£ sû r¬ng f ◦ T = f µ-h.k.n.Gi£ sû f câ chuéi Fourier

vîi ∀m ∈ Z, j=0,1,2 bê · Riemann-Lebesgue nâi r¬ng an → 0 khi

|n| → ∞ Do â, n¸u m 6= 0, ta câ am = a2j m → 0khi j → ∞ Do â vîi

m 6= 0, ta câ am = 0 Tùc f câ chuéi Fourier l  a0 v  ph£i l  mët h¬ng

sè h.k.n

Vªy T l  Ergodic

2.4 Sü tçn t¤i cõa c¡c ë o Ergodic

ành ngh¾a 2.2: µ ∈ M(X, T ) ÷ñc gåi l  iºm cüc trà n¸u câ

µ = αµ1+ (1 − α)µ2vîi µ1, µ2 ∈ M (X, T ), 0 < α < 1 th¼ ta câ µ = µ1 = µ2

ành l½ 2.7 C¡c m»nh · sau ¥y l  t÷ìng ÷ìng:

i ë o x¡c su§t T- b§t bi¸n µ l  Ergodic;

ii µ l  mët iºm cüc trà cõa M(X,T)

Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½

µ2(T−1A) = µ(T

−1A ∩ (X\B))µ(X\B) = µ2(A)ngh¾a l  µ1 v  µ2 còng thuëc M(X,T)

Tuy nhi¶n, chóng ta câ thº vi¸t µ nh÷ tê hñp lçi khæng t¦m th÷íng

µ = µ(B)µ1+ (1 − µ(B))µ2.V¼ vªy µ khæng l  cüc trà i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t Vªy µ l Ergodic

ành l½ 2.8 Cho T : X → X l  mët ¡nh x¤ li¶n töc cõa mët khæng gianmetric compact th¼ tçn t¤i ½t nh§t mët ë o Ergodic trong M(X,T).Chùng minh

Theo ành l½ 2.7, nâ t÷ìng ÷ìng vîi chùng minh r¬ng M(X,T) câ

th¼ ð tr¶n ¢ ch¿ ra r¬ng M0 l  khæng réng M  M0 âng, do â compact

Chóng ta x²t h m sè ti¸p theo f1 v  ành ngh¾a

Lªp luªn nh÷ tr¶n M1 l  mët tªp con khæng réng âng cõa M0

Ti¸p töc quy n¤p, chóng ta ành ngh¾a

vîi méi Mj khæng réng v  âng

B¥y gií chóng ta s³ xem x²t c¡c giao

Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½

Z

fjdµ1 =

Z

fjdµ2.Vªy µ∞ l  cüc trà

2.5 Ph²p truy to¡n v  Ergodic ìn trà

2.5.1 ành l½ ph²p truy to¡n cõa Poincare

Cho (X, β, µ) l  khæng gian x¡c su§t

ành l½ 2.9.(ành l½ ph²p truy to¡n cõa Poincare)

Cho T : X → X l  ph²p bi¸n êi b£o to n ë o cõa (X, β, µ) v  cho

A ∈ β câ µ(A) > 0 Th¼ vîi x ∈ A µ-h.k.n, quÿ ¤o {Tnx}∞n=0 quay l¤i A

B¥y gií ta gi£ sû r¬ng n>m v  T−mF ∩T−nF 6= ∅ N¸u y n¬m trong giao

n y th¼ Tmy ∈ F ; Tn−m(Tmy) = TnF ∈ F ⊂ A i·u n y m¥u thu¨nvîi ành ngh¾a cõa F V¼ vªy T−mF ; T−nF l  ríi nhau V¼ {T−kF }∞n=0

l  hå ríi nhau n¶n ta câ

ành ngh¾a 2.3 Cho (X, β) l  khæng gian ë o v  cho T : X → X

l  mët ph²p bi¸n êi o ÷ñc N¸u câ duy nh§t ë o x¡c su§t T-b§tbi¸n th¼ ta nâi r¬ng T l  Ergodic ìn trà

Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½(ii) → (i): Gi£ sû r¬ng µ, v l  c¡c ë o x¡c su§t T-b§t bi¸n, ta s³ch¿ ra r¬ng µ = v L§y t½ch ph¥n biºu thùc trong (ii) ta câ

R f dµ = lim

n→∞

1 n

(i) → (ii) Cho M(X, T ) = {µ} N¸u (ii) l  óng th¼ theo ành l½ hëi

tö Dominated ta c¦n ph£i câ c(f) = R f dµ Gi£ sû (ii) l  sai th¼ câ thºt¼m f ∈ C(X) v  c¡c d¢y nk ∈ N v  xk∈ X sao cho

Do â v 6= µ i·u n y m¥u thu¨n vîi Ergodic ìn trà

2.5.3 V½ dö

Cho T = R/Z, T : X → X : x 7→ x+α mod 1, α l  væ t th¼ T l Ergodic ìn trà (v  µ= ë o Lebesgue l  ë o x¡c su§t b§t bi¸n ìntrà)

Chùng minh Cho m l  mët ë o x¡c su§t b§t bi¸n ta s³ ch¿ ra r¬ng

·u khi n → ∞ Do â

Do â ta câ R f dm = R f dµ vîi méi f ∈ C(X) V¼ vªy m = µ

2.6 ành l½ Ergodic cõa Birkhoff

2.6.1 K¼ vång câ i·u ki»n

ành ngh¾a 2.4 Cho µ l  ë o tr¶n (X,β) Mët ë o v l  li¶n töctuy»t èi vîi µ v  vi¸t v  µ n¸u vîi B ∈ β m  µ(B) = 0 ta luæn câ

Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½v(B) = 0.

Nhªn x²t: Nh÷ vªy v l  li¶n töc tuy»t èi n¸u c¡c tªp câ v-ë o 0 th¼công câ µ-ë o 0 (nh÷ng câ thº câ nhi·u hìn c¡c tªp câ v-ë o 0).V½ dö Cho f ∈ L1(X, β, µ)l  khæng ¥m v  ành ngh¾a ë o v bði

Hìn núa, f l  duy nh§t theo ngh¾a n¸u g l  h m o ÷ñc câ còngt½nh ch§t th¼ f=g h.k.n

Cho M ∈ β l  mët tiºu σ-¤i sè Chó þ r¬ng µ ành ngh¾a mët ë otr¶n M b¬ng mët sü h¤n ch¸ Cho f ∈ L1(X, β, µ) Th¼ chóng ta câ thº

Ta th§y v  µ/A Do â theo ành l½ Radon-Nikodym, câ mët h m sè

M o ÷ñc duy nh§t E(f/M) sao cho

v(A) =

ZE(f /M ) dµ

Ta gåi E(f/M) l  k¼ vång câ i·u ki»n cõa f èi vîi σ-¤i sè M

Ta th÷íng ành ngh¾a E(f/M) vîi f khæng ¥m º ành ngh¾a cho

h m f b§t k¼ , ta chia f th nh ph¦n ¥m v  d÷ìng f = f+− f− ð â

f+, f− ≥ 0 v  ành ngh¾a

E(f /M ) = E(f+/M ) − E(f−/M )

V¼ vªy chóng ta câ thº xem k¼ vång câ i·u ki»n nh÷ mët to¡n tû

E(f /M )dµ vîi ∀A ∈ M

2.6.2 ành l½ Ergodic cõa Birkhoff theo tøng iºm

°t I = {B ∈ B/T−1B = B} l  σ-¤i sè cõa c¡c tªp T-b§t bi¸n

ành l½ 2.12.(ành l½ Ergodic cõa Birkhoff)

Cho (X, β, µ) l  khæng gian x¡c su§t v  T : X → X l  mët ph²p bi¸n

êi b£o to n ë o Cho I biºu thà σ-¤i sè cõa c¡c tªp T b§t bi¸n Th¼vîi méi f ∈ L1(X, β, µ), ta câ

1n

fn = f + f ◦ T + + f ◦ Tn−1

Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½Vîi n ≥ 1, lªp

f ≥ Fn− Fn◦ Ttr¶n tªp A = {x /Fn(x) > 0}

N¸u g ∈ L1(X, β, µ)v  n¸u

Bα = {x ∈ X/ sup

n≥1

1n

χB α v  nh÷ vªy fχC n hëi tö ¸n fχC n khi n → ∞ Hìn núa |fχC n| ≤ |f |

Do â, theo ành l½ hëi tö trëi

p döng b§t ¯ng thùc cüc ¤i, ta câ, vîi ∀n ≥ 1

Vîi tr÷íng hñp têng qu¡t, chóng ta l m vîi sü h¤n ch¸ cõa T tr¶n A,

T : A → A, v  ¡p döng b§t ¯ng thùc cüc ¤i tr¶n c¡c tªp con º câ

֖c

Z

B α ∩A

g dµ ≥ αµ(Bα∩ A)

Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½Chùng minh ành l½ Ergodic cõa Birkhoff.

Thay f, α v  γ bði −f, −γ v  −α v  sû döng gi£ thi¸t −f∗ = −f∗ v 

1n

Dnk ∩ Bk

n −ε = Dkn.V¼ T−1Dn

k = Dn

k n¶n ta ÷ñc

Z

D n k

f dµ ≥ k

nµ(D

n

k)

Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½

Do â

R

D n k

2.7 C¡c h» qu£ cõa ành l½ Ergodic cõa

Birkhoff

2.7.1 C¡c h» qu£

H» qu£ 2.15 Cho (X, β, µ) l  khæng gian x¡c su§t v  cho T : X → X

l  mët ph²p bi¸n êi b£o to n ë o Ergodic Cho f ∈ L1(X, β, µ) Th¼

1n

L¤i câ

ZE(f /I) dµ =

Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½N¸u T l  Ergodic v  n¸u B ∈ β th¼ vîi µ − h.k.n x ∈ X, t¦n sè m c¡c quÿ ¤o cõa x n¬m trong B ÷ñc ÷a ra bði µ(B), ngh¾a l 

lim

n→∞

1

ncardj ∈ {0, 1, , n − 1} /Tjx ∈ B = µ(B) µ − h.k.n.Chùng minh

Ta câ t¦n sè m  c¡c quÿ ¤o cõa x n¬m trong B ÷ñc ÷a ra bði

V¼ v¸ tr¡i bà ch°n (bði 1), ¡p döng ành lþ hëi tö trëi ta ÷ñc

n−1

X

j=0

µ(A) → µ(A)2khi n → ∞

i·u n y cho µ(A) = µ(A)2 Do â µ(A) = 0 ho°c 1 v  v¼ vªy T l Ergodic

X²t ¡nh x¤ T : [0, 1] → [0, 1] vîi T(x)=10x mod 1

D¹ d ng th§y r¬ng, vîi b§t k¼ èi sè n o chóng ta câ ¡nh x¤ k²p, v 

ë o Lebesgue µ tr¶n [0,1] l  ë o Ergodic b§t bi¸n èi vîi T

Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½

¥y l  sü chuyºn ti¸p giúa ¡nh x¤ T v  khai triºn nhà ph¥n L÷u þr¬ng n¸u x ∈ [0, 1] câ khai triºn nhà ph¥n

Do â, iºm x câ khai triºn nhà ph¥n duy nh§t

Cè ành k ∈ {0, 1, , 9} Khi â d¹ th§y r¬ng xj = k n¸u v  ch¿ n¸u

Tj(x) ∈ [kr,k+1r ) V¼ vªy

1

n card{0 ≤ j ≤ n−1/xj = k} =

1n

â µ(X10(k)) = 1 cho méi k=0,1, ,9

B¬ng ành lþ Ergodic cõa Birkhoff chóng ta s³ ch¿ ra r¬ng chú sè

h ng ¦u l  chú sè k xu§t hi»n vîi t¦n sè ÷ñc cho bði cæng thùc:

log10(1 + 1

k).

Tr÷îc h¸t chó þ r¬ng, chú sè h ng ¦u cõa 2n l  k n¸u v  ch¿ n¸u tçn t¤i

sè nguy¶n r ≥ 0 sao cho

k.10r ≤ 2n< (k + 1).10r

(v½ dö:2.100 ≤ 250 < 3.100 ch¿ ra r¬ng chú sè h ng ¦u cõa 250 l  2).Suy ra

log10(k.10r) ≤ log102n < log10[(k + 1).10r]

(nlog102 mod 1)n∈N= 0, log102 mod 1, 2log102 mod 1, 3log102 mod 1,

= 0, log102 mod 1, log102 + log102 mod 1,

2log102 + log102 mod 1,

Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½

l  quÿ ¤o cõa 0 vîi ph²p quay T theo α

ành l½ 2.19 H¦u nh÷ méi x ∈ [0, 1],t¦n sè m  k sè tü nhi¶n x£y ratrong vi»c khai triºn li¶n ph¥n sè cõa x l 

1log 2log (

(k + 1)2k(k + 2)).

Chùng minh: Cho λ biºu thà ë o Lesbegue v  µ biºu thà ë oGauss, khi â λ-h.k.n v  µ-h.k.n

x ∈ [0, 1] l  væ t¿ v  câ væ h¤n khai triºn li¶n ph¥n sè

Cho T biºu thà ¡nh x¤ li¶n ph¥n sè Khi â

→R χ( 1

k+1 ,1k]dµ

= log 21 [ log(1 + 1k) − log(1 + k+11 )]

= log 21 logk(k+2)(k+1)2vîi µ-h.k.n

Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½

Tø ành l½ Ergodic cõa Birkhoff h¢y suy ra r¬ng n¸u T l  mët ph²p

bi¸n êi Ergodic cõa khæng gian x¡c su§t (X, β, µ) v  f ≥ 0 l  o ÷ñc

nh÷ng R f dµ = ∞ th¼

1n

n−1

X

j=0

f (Tjx) → ∞ µ − h.k.n

( Gñi þ: x¡c ành fM = min(f, M ) v  l÷u þ fM ∈ L1(X, β, µ) p döng

ành l½ Ergodic cõa Birkhoff cho méi fM.)

Gi£ sû f ≥ 0 l  o ÷ñc v  gi£ sû r¬ng R f dµ = ∞

èi vîi méi sè nguy¶n M>0 x¡c ành

fM(x) = min{f (x), M }, 0 ≤ fM ≤ M, do â fM ∈ L1(X, β, µ).Hìn núa

Vîi K ≥ 0 tòy þ Khi R fMdµ → ∞, ∃M > 0 sao cho R fMdµ ≥ K

Do â vîi ∀ x /∈ N ta câ

∞

X

j=0

f (Tjx) → ∞vîi µ − h.k.n x ∈ X

Khâa luªn tèt nghi»p T.S T¤ Ngåc Tr½

Vîi {xn}, ph¥n o¤n mët ph¦n tû cõa xn Cho [a, b] ⊂ [0, 1]

Cho l ∈ Z\{0} v  º cho fl(x) = e2πilx

Do â ∃Nl ∈ β, µ(Nl) = 0 , do â

1n

Khi â f(x) = k óng khi 1

∞

P

k=1

k(k+1) k+2

n−1

X

j=0

f (Tjx) = ∞vîi µ − h.k.n x ∈ X

Vîi ë o Gauss v  ë o Lebesgue l  tªp hñp gièng nh÷ ë o khæng

Ta câ

lim

n→∞

1n