Một số phương pháp giải phương trình bậc ba trong toán phổ thông

Lời cảm ơn Trong thời gian học tập tại khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, được sự dạy dỗ chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo, em đã tiếp thu được nhiều tri thức khoa h

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*****************

Trần thị ly

Một số phương pháp giải phương trình

bậc ba trong toán phổ thông KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

Chuyên ngành : Đại số

Người hướng dẫn khoa học

Nguyễn Thị Bình

Hà NộI - 2008

Lời cảm ơn

Trong thời gian học tập tại khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2, được sự dạy dỗ chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo, em đã tiếp thu được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy, các cô trong khoa Toán - những người đã chăm lo, dìu dắt cho chúng em được trưởng thành như ngày hôm nay Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô giáo

Nguyễn Thị Bình - người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều

ý kiến quý báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này

Do trình độ của bản thân còn nhiều hạn chế, mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng bài luận văn của em vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy

em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô trong khoa và các bạn

Lời cam đoan

Khóa luận là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập, nghiên cứu

ở bậc phổ thông và trong quá trình học đại học Bên cạnh đó em cũng được

sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong tổ Đại số cũng như

trong khoa toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Nguyễn Thị Bình

Vì vậy em xin khẳng định kết quả của đề tài: ”Một số phương pháp giải phương trình bậc ba trong toán phổ thông” không có sự trùng lặp với kết

quả của các đề tài khác

Mục lục

Lời cảm ơn……… 1

Lời cam đoan……… 2

Mục lục……… 3

Mở đầu……… 4

Chương 1: Một số kiến thức liên quan……… 5

1.1 Đa thức……… 5

1.2 Phương trình một ẩn……… 7

Chương 2: Các phương pháp giải phương trình bậc ba trong toán phổ thông……… 8

2.1 Giải phương trình bậc ba bằng phương pháp Cacnado……… 8

2.2 Các phương pháp giải khác của phương trình bậc ba……… 18

2.3 Giải phương trình bậc ba trên máy tính điện tử……… 37

2.4 Tính chất nghiệm của phương trình bậc ba……… 39

Chương 3: ứng dụng hệ thức Vieta cho phương trình bậc ba……… 45

3.1 Kiến thức cơ bản……… 45

3.2 Các ứng dụng ……… 45

Kết luận……… 59

Tài liệu tham khảo……… 60

Mở đầu Trong nhà trường phổ thông môn toán giữ một vị trí vô cùng quan trọng

Nó giúp học sinh học tốt hầu hết các môn học và là công cụ của nhiều ngành khoa học kĩ thuật, có nhiều ứng dụng to lớn trong đời sống

Muốn học giỏi nói chung và học giỏi toán nói riêng thì phải luyện tập, thực hành nhiều Nghĩa là ngoài việc nắm rõ lý thuyết các em còn phải làm nhiều bài tập Đối với học sinh bài tập thì rất nhiều và đa dạng nhưng thời gian thì hạn hẹp đồng thời các em khó có điều kiện chọn lọc những bài toán hay có tác dụng thiết thực cho việc học tập rèn luyện tư duy toán học của mình

Trong môn toán, phương trình giữ vị trí hết sức quan trọng không những

là đối tượng nghiên cứu Đại số mà còn là công cụ đắc lực của giải tích Nó được giới thiệu ngay từ những năm đầu của bậc phổ thông ở các dạng đơn giản Đa phần các em được làm quen với phương trình bậc một, bậc hai còn các phương trình bậc cao các em ít được làm quen Ngày nay phương trình bậc ba, bậc bốn đã giải được bằng căn thức Xong ở phổ thông số phức đưa vào chỉ ở mức giới thiệu, do đó việc áp dụng cách giải này thế nào cho các em

dễ hiểu và dễ nắm bắt là cả một vấn đề

Với những lí do thiết thực trên cùng với niềm đam mê của bản thân và

sự hướng dẫn nhiệt tình của cô giáo Nguyễn Thị Bình em đã mạnh dạn thực

hiện bài luận văn của mình với tiêu đề:

”Một số phương pháp giải phương trình bậc ba trong toán phổ thông”

Đề tài của em bao gồm các nội dung chính sau:

Chương 1: Một số kiến thức liên quan

Chương 2: Các phương pháp giải phương trình bậc ba trong toán phổ thông Chương 3: ứng dụng của hệ thức Vieta cho phương trình bậc ba

Chương 1: một số kiến thức liên quan

Đối với đa thức không ta bảo nó không có bậc

* Nghiệm của một đa thức

Giả sử c là một phần tử tùy ý của vành A

f(x) = a0 + a1x + … + an-1xn-1 + anxn (an 0) là một đa thức tùy ý của

vành A[x]

+) Phần tử f(c) = a0 + a1c + … + an-1cn-1 + ancn  A có được bằng cách thay x bởi c gọi là giá trị của f(x) tại c

+) Nếu f(c) = 0 thì c là một nghiệm của f(x) Tìm nghiệm của f(x) trong A gọi là giải phương trình Đại số bậc n có dạng:

Người ta coi một đa thức có một nghiệm bội cấp m như một đa thức có m nghiệm trùng nhau

Nếu ta chia f(x) cho (x – c) thì được dư bằng không hoặc một đa thức bậc

không Vì bậc (x - c) = 1 Vậy dư là một phần tử r  A

α α α α α α (-1)

a

* Nghiệm hữu tỉ

Cho f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0  [x]Z Nếu phân số tối giản

qp

Hệ quả Với số hữu tỉ α là nghiệm của đa thức:

f(x) = xn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = 0 thì α là số nguyên và α là ước của

a x a x a xa 0

Chương 2: Các phương pháp giảI phương trình bậc ba trong toán phổ

thông 2.1 Giải phương trình bậc ba bằng phương pháp Cacnado

Phương trình và hàm bậc ba được nghiên cứu khá kĩ trong chương trình phổ thông và luyện thi đại học dưới góc độ giải tích Tuy nhiên ít sách trình bày công thức nghiệm của phương trình bậc ba, trong mục này chúng ta sẽ đi chứng minh công thức Cacnado cho việc giải phương trình bậc ba, công thức này cũng rất có ích trong việc chứng minh các tính chất nghiệm của phương trình bậc ba trong các mục tiếp theo

Trước tiên ta nhận xét rằng với mọi phương trình bậc ba tổng quát

a x1 3b x1 2c x1  d1 0(a1 0) (*) Đều có thể đưa về dạng: 3 2



3 3

20

20

pz

3zp

Với 2 nghiệm phức liên hợp là:

3

4 27sin

p27

Nghiệm của phương trình bậc ba được cho trong bảng sau

Dạng tổng quát

a x b x c x d 0(a10)hay x3ax2 bx c 0 Đưa về dạng rút gọn bằng cách

3 11

y 2 rc  +2

3 ;

3 12

y 2 rc  +4

3(*) Nhận xét:

Công thức nghiệm của phương trình bậc ba khá cồng kềnh nên sau khi tìm được 1 nghiệm thực ta nên phân tích đa thức ra thừa số và giải tiếp phương trình bậc hai để được 2 nghiệm (thực hoặc phức) còn lại

3 15x365x2 93x440

4 3x341x2 113x 11 0 

(*) Chú ý

áp dụng công thức Cacnado ta sẽ giải được mọi phương trình bậc ba ở tất

cả các dạng Tuy nhiên nếu làm như thế sẽ rất phức tạp và mất rất nhiều thời gian Vì vậy đứng trước một bài toán yêu cầu phải giải một phương trình bậc

ba nào đó ta nên tìm ra những lời giải hay và ngắn gọn nhất Sau đây là một

số phương pháp được coi là tối ưu nhất để giải các dạng của phương trình bậc

ba Tuy nhiên trong sách giáo khoa phổ thông hiện nay kiến thức về số phức mới chỉ đựơc giới thiệu sơ qua trong chương trình toán lớp 12 nên học sinh chưa thể làm thành thạo tất cả các bài toán liên quan đến phương trình bậc ba trên trường số phức được Vì vậy để cho người đọc nắm được 1 cách nhanh nhất mục đích yêu cầu của bài toán ta chỉ giải những bài toán này trên trường

số thực, từ đó sẽ tự vận dụng và mở rộng những kiến thức đó và giải bài toán trên trường số phức

2.2 Các phương pháp giải khác của phương trình bậc ba

Trong chủ đề này chúng ta sẽ quan tâm tới 3 phương pháp chủ yếu được

sử dụng để giải phương trình bậc ba

1 Sử dụng phương trình bậc hai để giải và biện luận phương trình bậc ba (phương pháp phân tích thành nhân tử)

2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

3 Sử dụng phương pháp đồ thị để giải và biện luận phương trình bậc ba

2.2.1 Sử dụng phương trình bậc hai để giải và biện luận phương trình bậc ba

Phương pháp chung Cho phương trình: ax3 bx2 cx d 0 (1)

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đoán nghiệm x của (1) 0

0g(x ) 00g(x ) 0

0g(x ) 00

+ Nếu ac3 b d3 (a,d0) thì (1) có nghiệm x c

b

 

2 Với các phương trình có chứa tham số có thể coi tham số là ẩn để thực hiện việc phân tích đa thức

2x3

a Giải phương trình với m3

b Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt không dương

b Phương trình (5) có 3 nghiệm phân biệt không dương khi phương trình (*)

có 2 nghiệm phân biệt không dương (x1x2 0) khác -1

' g

Phương trình (6) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình f (x)0

có 2 nghiệm phân biệt x 1

m



Để (7) có đúng 2 nghiệm thì ta có những trường hợp sau :

Trường hợp 1: Phương trình g(x) = 0 có đúng 1 nghiệm kép x1

Bài 4 Cho phương trình x3 (2m 1)x 2 3(m4)x m 120

a Giải phương trình với m = -12

b Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Bài 5 Cho phương trình x3 2mx2 m x2   m 1 0

Xác định m để:

a Phương trình có đúng 1 nghiệm

b Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt

c Phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Bài 6 Cho phương trình x32mx2 (2m2 1)xm(m2  1) 0

Xác định m để:

a Phương trình có 3 nghiệm phân biệt

b Phương trình có 2 nghiệm dương

c Phương trình có đúng 1 nghiệm âm

Phương pháp chung

Bước 1: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Cách 1: Giả sử x là nghiệm của phương trình, khi đó 0

Suy ra x < x thì phương trình vô nghiệm 0

Vậy (1) nếu có nghiệm x thì nghiệm đó là duy nhất 0

Cách 2: Xét hàm số y4x33xm

Miền xác định D

y' 12x2  3 0, x D

Suy ra hàm số luôn đồng biến

Vậy (1) nếu có nghiệm x thì nghiệm đó là duy nhất 0

Bước 2: Xác định nghiệm của phương trình

Đặt a 3 m m2 1 và 1(a 1)

2 a

   ta được 4   3 3 m

Hay  là nghiệm của phương trình 4x3 3xm

Bước3: Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất

+ Đặt a  31 2 và 1( 13 2 31 2 )

2

4   3 3 1

  x là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1 3 3

Bước 1: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Cách 1: Giả sử x là nghiệm của phương trình, khi đó 0

+ Nếu x0 1 thì

0 0 02

2 0

 Phương trình (*) vô nghiệm

Vậy (2) nếu có nghiệmx0( x0 1) thì nghiệm đó là duy nhất

Vậy đường thẳng ym với m 1 cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm duy nhất Do

đó phương trình nếu có nghiệm x thì nó là nghiệm duy nhất 0

Bước 2: Xác định nghiệm của phương trình

Đặt a  3 m m2 1 và 1(a 1)

   ta được

4   3 3 m   x là nghiệm của phương trình 4x3 3xm

Bước 3: Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất

12

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1 3 3

 os cũng là nghiệm của phương trình

Bước 3: Kết luận: Vậy phương trình có 3 nghiệm

Bài toán 4: Giải phương trình x3 px q 0 (*)

Phương pháp chung Xét 3 khả năng:

3xt2h

đó để biện luận theo m số nghiệm của phương trình F(x,m) = 0 bằng việc ứng dụng đồ thị (C), ta có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Biến đổi (1) về dạng f(x) = h(x,m)

Bước 2: Khi đó số nghiệm của (1) là số giao điểm của (C) và đồ thị hàm số

y = h(x,m)

Chú ý 1:

Thông thường y = h(x,m) là đường thẳng (d) Ta xét các dạng thường gặp

của (d) bao gồm:

1) Nếu h(x,m) = h(m) (chỉ phụ thuộc tham số m) khi đó:

+ (d): y = h(m) là đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm M(0,h(m))

+ Bằng việc tịnh tiến (d) theo Oy và song song với Ox ta biện luận được số nghiệm của phương trình (1)

Sử dụng tính chất đặc thù của đồ thị hàm bậc ba ta có thể giải được nhiều

bài toán liên quan tới phương trình bậc ba, ví dụ như:

Cho phương trình ax3bx2cx d 0  (a0) (1 ) '

Khi đó nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = ax3bx2cx d với trục Ox, do đó:

1) Phương trình (1 )' có ba nghiệm phân biệt

 (C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt

 Hàm số có cực đại, cực tiểu và yCĐ.yCT < 0

2) Phương trình (1 )' có ba nghiệm phân biệt dương

 Hàm số có cực đại, cực tiểu tại x ,x thoả mãn 1 2

y(x ).y(x ) 0ay(0) 0

3) Phương trình (1 )' có ba nghiệm phân biệt âm

Hàm số có cực đại, cực tiểu tại x ,x thoả mãn 1 2

y(x ).y(x ) 0ay(0) 0

5) Phương trình (1 )' có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt khi đó hãy xét dấu các nghiệm

Hàm số luôn đơn điệu

Hàm số có cực đại, cực tiểu và

yCĐ.yCT < 0

b) Để phương trình có ba nghiệm phân biệt điều kiện cần và đủ là:

       Khi đó giả sử ba nghiệm là x1x2x3 ta có nhận xét rằng:

x  0 x  2 x

x 3mx 3(m 1)x (m  1) 0 với giá trị nào của m thì phương trình có ba nghiệm phân biệt dương

0

Kết hợp (I) và (II) ta được 3  m 1 2 thoả mãn điều kiện đầu bài

2.3 Giải phương trình bậc ba trên máy tính điện tử

2.3.1 Giải phương trình bậc ba trên máy tính điện tử Casio fx-500 MS

Máy tính điện tử Casio fx-500 MS hoặc Casio fx-570 MS hiện đang được dùng khá phổ biến trong trường phổ thông Các máy này có khả năng giải toán cao (màn hình 2 dòng, giải phương trình và hệ phương trình, tính gần đúng đạo hàm và tích phân, tính toán đại số theo biểu thức với nhiều kí hiệu,…)

Để giải phương trình bậc ba trên máy tính điện tử Casio fx-500 MS trước tiên

ta bấm phím ON (mở máy) rồi làm theo các thao tác sau:

+ Vào MODE MODE trên màn hình hiện EQN (phương trình)

+ Bấm phím 1 , hiện UNKNOWNS? (số ẩn ? hoặc chuyển )

+ Bấm (chuyển qua phương trình), hiện DEGREE? (bậc của phương trình

+ Bấm tiếp = , hiện nghiệm x = 2

+ Bấm tiếp = , hiện nghiệm x3 

(*) Chú ý

- Nếu phương trình bậc ba có nghiệm phức thì khi hiện nghiệm x2  ở góc trái màn hình sẽ hiện kí hiệu RI Khi ấy giá trị x2  mới chỉ cho phần thực Để tìm phần ảo ấn SHIFT = , máy sẽ hiện phần ảo (có kí hiệu i ở dưới giá trị ảo)

- Muốn giải phương trình bậc ba khác (thay các hệ số khác) ta chỉ cần bấm phím = cho tới khi trên màn hình hiện a? thì thay các hệ số như trên

- Để giải phương trình bậc ba trên máy Casio fx-570 MS ta làm tương tự như

trên Casio fx-500 MS với 1 vài thay đổi sau:

+ Vào MODE MODE MODE hiện EQN MAT VCT Bấm 1 và thực

hiện các thao tác tiếp theo như trên Casio fx-500 MS

2.3.2 Giải phương trình bậc ba trên Maple

Maple là 1 chương trình tính toán rất vạn năng, nó cho phép giải quyết các

tính toán toán học (với các hệ số bằng chữ), giải các phương trình đại số, vi

phân, vẽ đồ thị,…

Để giải phương trình nói chung phương trình bậc ba nói riêng ta chỉ cần

dùng duy nhất 1 lệnh Solve (giải phương trình)

Các tính chất nghiệm của phương trình bậc ba có thể phát biểu cho phương trình bậc ba đầy đủ a x1 3 b x1 2 c x1  d1 0 (a10) Tuy nhiên ta luôn đưa phương trình trên về dạng 3 2

x ax bx c 0 nên để đưa ra các công thức thu gọn, tiện và đủ dùng trong các mục tiếp theo chúng ta chỉ phát biểu các tính chất nghiệm cho phương trình bậc ba x3ax2 bx c 0

2.4.1 Định lí 1 (Định lí Vieta về nghiệm của phương trình bậc ba)

Phương trình bậc ba: x3 ax2bx c 0 (2.1) có ba nghiệm (kể cả nghiệm phức) x , x , x thỏa mãn các tính chất sau: 1 2 3

+ Tính chất 1: T1 x1 x2 x3  a

+ Tính chất 2: T2 x x1 2 x x2 3 x x3 1b

+ Tính chất 3: T3 x x x1 2 3  c

Chứng minh

Vì x , x , x là nghiệm của phương trình (2.1) nên phân tích đa thức ra thừa 1 2 3

số ta được đồng nhất thức sau đúng với mọi x

x3 ax2 bx c (xx )(x1 x )(x2 x )3

x3(x1x2 x )x3 2(x x1 2 x x2 3x x )x3 1 x x x1 2 3Đồng nhất 2 vế ta được T ,T ,T 1 2 3

+ Từ kết quả của định lí 1 ta cũng suy ra được các tính chất sau về mối liên

hệ giữa nghiệm của phương trình bậc ba với các hệ số của nó