Một số mối liên quan giữa biến đổi laplace với hàm gamma

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN THỊ PHƯƠNG MỘT SỐ MỐI LIÊN QUAN GIỮA BIẾN ĐỔI LAPLACE VỚI HÀM GAMMA KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ PHƯƠNG

MỘT SỐ MỐI LIÊN QUAN GIỮA

BIẾN ĐỔI LAPLACE VỚI HÀM GAMMA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÀO

LỜI CẢM ƠN

Nhân dịp luận văn được hoàn thành tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc

tới TS Nguyễn Văn Hào đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực

hiện luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, các thầy cô trong khoa ToánTrường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiệnthuận lợi để tác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình học tập, thựchiện đề tài và nghiên cứu khoa học

Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi những hạnchế và thiếu sót nhất định Tác giả xin chân thành cảm ơn những ý kiến đónggóp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên để luận văn hoàn thànhnhư hiện nay

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Tác giả

Trần Thị Phương

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào khóa luận tốt nghiệp “Một số mối liên quan giữa biến đổi Laplace với hàm Gamma”

được hoàn thành bởi sự nhận thức của chính bản thân tác giả và không trùngvới bất kỳ khóa luận nào khác

Trong quá trình làm khóa luận tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhàkhoa học với sự tôn trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Tác giả

Trần Thị Phương

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Số phức và mặt phảng phức 3

1.2 Hàm chỉnh hình 5

1.3 Lý thuyết tích phân phức 8

Chương 2 Biến đổi Laplace 11

2.1 Định nghĩa và ví dụ 11

2.2 Tính chất cơ bản của biến đổi Laplace 18

2.3 Biến đổi Laplace ngược 20

2.3.1 Một số khái niệm 20

2.3.2 Một số phương pháp tìm hàm gốc 21

2.4 Tích chập của biến đổi Laplace 25

2.4.1 Định nghĩa và ví dụ 25

2.4.2 Ảnh của tích chập qua biến đổi Laplace 26

Chương 3 Một số mối liên quan giữa biến đổi Laplace với hàm Gamma 30

3.1 Khái niệm về hàm Gamma và một số tính chất cơ bản 303.2 Một số mối liên quan giữa biến đổi Laplace với hàm Gamma 35

3.2.1 Biến đổi Laplace của một số hàm nhận được qua hàm Gamma 35 3.2.2 Mối liên quan của hàm gamma với biến đổi Laplace về chuỗi 37

Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng

với biến đổi Fourier là hai biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trongviệc giải các bài toán trong lĩnh vực vật lý Qua biến đổi Laplace, các phéptoán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thànhcác phép toán đại số (giống như cách mà hàm logarit chuyển một phép toánnhân các số thành phép cộng các logarit của chúng)

Hàm Gamma là một hàm có nhiều tính chất đăc biệt đem lại nhiều ứngdụng trong các nghành khoa học khác nhau Qua tiếp cận với lý thuyết biếnđổi Laplace và hàm Gamma, được sự định hướng của người hướng dẫn tôi

đã chọn đề tài “Một số mối liên quan giữa biến đổi Laplace với hàm Gamma” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Khóa luận được cấu trúc

thành 3 chương

Chương 1 Chúng tôi trình bày một số kiến thức căn bản nhất về lý

thuyết hàm biến phức, cần thiết cho mục đích nghiên cứu về biến đổi Laplace

và nghiên cứu mối quan hệ của phép biến đổi này với hàm Gamma

Chương 2 Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách hệ thống về

khái niệm biến đổi Laplace, các tính chất cơ bản của phép biến đổi này cùngmột số phép toán giải tích liên quan đến biến đổi này

Chương 3 Đây là phần chính của khóa luận, ở đây chúng tôi trình bày

lý thuyết về hàm Gamma và mối liên quan giữa biến đổi Laplace với hàmGamma, cụ thể là biến đổi Laplace của một số hàm nhận được qua hàmGamma và mối liên qua của hàm Gamma với biến đổi Laplace của chuỗi

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận văn nghiên cứu

về mối liên quan giữa biến đổi Laplace với hàm Gamma

3 Phương pháp nghiên cứu.

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu

Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

4 Dự kiến đóng góp của đề tài Trình bày một cách hệ thống về phép

biến đổi Laplace, hàm Gamma và mối liên quan giữa chúng

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Số phức và mặt phảng phức

Số phức là số có dạng z = x + iy; với x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà i2 = −1

Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, được ký hiệu lần lượt bởi

z1+ z2 = (x1+ x2) + i (y1+ y2)và

z1.z2 = (x1+ iy1) (x2+ iy2)

= (x1x2− y1y2) + i (x1y2+ x2y1) Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là số được xácđịnh bởi

eiθ = cosθ + isinθ Bởi vì eiθ = 1 nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox vànửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z Cuối cùng ta lưu ýrằng nếu z = r.eiθ và ω = s.eiϕ thì

z.ω = r.s.ei(θ +ϕ)

1.2 Hàm chỉnh hình

Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm f (z) xác định trên miền D Cho z một số gia ∆z

sao cho z + ∆z ∈ D Nếu tồn tại giới hạn

f0(z) = n.a0.zn−1+ (n − 1).a1.zn−2+ + an−1

Định nghĩa 1.2.2 Hàm f (z) được gọi là chỉnh hình tại z0 ∈ D nếu tồn t ại

số r > 0 sao cho f (z) là C- khả vi tại mọi z ∈ S(z0, r) Nếu hàm f (z) chỉnhhình tại mọi z ∈ D thì nó được gọi là chỉnh hình trên D

Ví dụ 1.2.2 Hàm 1

z chỉnh hình trên tập mở bất kỳ trong C không gian chứa

Định lý 1.2.1 Giả sử chuỗi ∑∞

n=0

cn.zn có bán kính hội tụ là R > 0 Khi đó tổng f (z) của chuỗi là một hàm chỉnh hình trên D và

1lim

n→∞

n

p|n.cn| =

1lim

n→∞

n

p|cn| = R.

Lấy z0 tùy ý mà z0< R Đặt

f0(z) = ∑

n≥1

an.n.(z − z0)n−1

1.3 Lý thuyết tích phân phức

Định nghĩa 1.3.1 Cho hàm f (z) xác định trên đường tròn trơn từng khúc γ.

Chia γ thành n phần nhỏ bởi các điểm chia η0,η1, ,ηn (η0 là điểm đầu và

ηn là điểm cuối của đường cong) Chọn tùy ý điểm ηv∗ và lập tổng

γ

f(z)dz

≤R

γ

| f (z)| dz ≤ l max f (z)

5 Nếu z = ϕ(η) là hàm giải tích ánh xạ 1-1 đường cong τ lên đườngcong γ = ϕ(τ) thì

Chương 2

Biến đổi Laplace

2.1 Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 2.1.1 Giả sử f là hàm biến thục hoặc phức của biến t > 0 và s

là tham số thực hoặc phức Biến đổi Laplace của hàm f được xác định và kýhiệu bởi

Ký hiệu L( f ) được sử dụng cho biến đổi Laplace của hàm f , và tích phântrên là tích phân Riemann thông thường với cận vô tận Hàm F(s) được gọi

là hàm ảnh của biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace được gọi là thựchay phức nếu biến số s của hàm ảnh F(s) là thực hay phức

Tham số s thuộc một miền nào đó trên đường thẳng thực hoặc trong mặtphẳng phức Chúng ta sẽ chọn s thích hợp sao cho tích phân (2.1) hội tụ.Trong toán học cũng như trong kỹ thuật, miền của biến s đóng một vai tròhết sức quan trọng Tuy nhiên, trong một trường hợp đặc biệt, khi các phươngtrình vi phân giải được, miền của tham số s thường không cần xét đến Khibiến s là phức ta thường sử dụng ký hiệu s = x + iy Ký hiệu L là biến đổiLaplace, nó tác động lên hàm f = f (t) và sinh ra một hàm mới theo biến s

Dĩ nhiên, ta có ... biến đổi Laplace ngược tích chập biến đổiLaplace

Chương Chúng tơi trình bày định nghĩa tích chất hàm Gamma< /b>

và mối liên quan hàm Gamma biến đổi Laplace, bao gồm biến đổiLaplace... dụng cho biến đổi Laplace hàm f , tích phântrên tích phân Riemann thông thường với cận vô tận Hàm F(s) gọi

là hàm ảnh biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace gọi thựchay phức biến số s hàm ảnh... 3

Một số mối liên quan giữa< /b>

biến đổi Laplace với hàm< /b>