Một số hướng hình học nghiên cứu hệ autonom phẳng

Lúc này một số hướng hìnhhọc như nghiên cứu chỉ số của điểm cân bằng, chỉ số của đường congpha sẽ hỗ trợ đắc lực cho việc phác họa lược đồ pha, cũng như cung cấpthông tin về bản chất và

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Trần Văn Bằng

- Người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thànhbài khóa luận của mình Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy

cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoànthành tốt bài khóa luận này

Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thờigian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học chonên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy, em kínhmong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Luyện Thị Xuân

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng

dẫn tận tình của TS Trần Văn Bằng.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã thamkhảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Một số hướng hình học

nghiên cứu hệ autonom phẳng” không có sự trùng lặp với kết quả củacác đề tài khác

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Luyện Thị Xuân

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Phương trình vi phân cấp hai trong mặt phẳng pha 3

1.2 Hệ autonom phẳng và sự tuyến tính hóa 8

Chương 2 Một số hướng hình học nghiên cứu hệ autonom phẳng 15 2.1 Chỉ số của một điểm 15

2.2 Chỉ số tại vô cực 24

2.3 Lược đồ pha tại vô cực 29

2.4 Chu trình giới hạn và các đường cong đóng khác 34

2.5 Tính toán của lược đồ pha 37

2.6 Đường Homoclinic và Heteroclinic 41

Kết luận 45

Tài liệu tham khảo 46

về một số tính chất Vật lý (như trạng thái cân bằng) của hệ cơ học mô tảbởi (I).

Điều đó cũng đúng khi ta tổng quát hóa hệ (II) thành:

Thực tế, việc vẽ (phác họa) lược đồ pha của (IV) là rất phức tạp khi

X và Y có độ phi tuyến cao Để xử lý tình huống đó, cách thông thường

là ta sử dụng hệ tuyến tính hóa của (IV) Tuy nhiên khi hệ tuyến tính hóa

đồng nhất không thì ta phải dùng cách khác Lúc này một số hướng hìnhhọc như nghiên cứu chỉ số của điểm cân bằng, chỉ số của đường congpha sẽ hỗ trợ đắc lực cho việc phác họa lược đồ pha, cũng như cung cấpthông tin về bản chất và độ phức tạp của chúng.

Mặt khác, khi vẽ lược đồ pha trong mặt phẳng thì ta thường không

mô tả được đầy đủ thông tin ở vô cực Lúc đó ta cần tới kỹ thuật chiếunổi

Một số đối tượng đặc biệt của lược đồ pha như chu trình giới hạn,đường danh giới phân chia hai miền đặc biệt (Xem mục 2.4), là cácđường rất khó xác định chính xác khi vẽ Do đó cần tới một số kỹ năngphác họa đồ thị

Với những lý do nêu trên và mong muốn tìm hiểu về phương phápmặt phẳng pha, tôi đã chọn đề tài:

"Một số hướng hình học nghiên cứu hệ autonom phẳng."

Nội dung khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1, trình bày khái quát về phương pháp mặt phẳng pha, nghiêncứu phương trình vi phân cấp 2 và sự tổng quát hóa

Chương 2, đề cập tới một số hướng hình học của phương pháp mặtphẳng pha

Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực bảnthân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi nhữngthiếu sót Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạnđọc để đề tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Phương trình vi phân cấp hai trong mặt

phẳng pha

1.1.1 Phương trình autonom trong mặt phẳng pha

Xét phương trình autonom cấp hai dạng:

Mặt phẳng Oxy được gọi là mặt phẳng pha của phương trình (1.1).Từ

hệ (1.2) ta có mối liên hệ giữa x và y xác định bởi phương trình vi phân

Trên đường cong pha chúng ta đưa vào các mũi tên chỉ hướng biếnđổi của x theo thời gian t Có thể thấy, nếu y = ˙x> 0 thì x tăng khi y tăng,nếu y = ˙x< 0 thì x giảm khi t tăng Do đó, hướng của đường cong pha

luôn từ trái sang phải ở nửa trên mặt phẳng và từ phải sang trái ở nửa mặtphẳng dưới

Mỗi điểm P(x, y) trên mặt phẳng pha tương ứng với một trạng tháivật lý (x, ˙x) chỉ vị trí và vận tốc của hệ mà phương trình vi phân (1.1) mô

tả, do đó P-được gọi là một trạng thái của hệ vật lý đó

Trạng thái cân bằng của hệ vật lý là trạng thái không biến đổi theothời gian, tức là ta có ˙x≡ 0 Khi đó ta cũng có ¨x ≡ 0 Do đó, trong mặtphẳng pha, trạng thái cân bằng tương ứng với các điểm P(x, 0) với x lànghiệm của phương trình ¨x= ˙yhay

Vì thế, các điểm P(x, 0) với x thỏa mãn (1.4) được gọi là điểm cân

bằngcủa (1.1) hoặc (1.2)

Trong mặt phẳng pha, biểu diễn các đường cong pha cùng với hướng

của chúng được gọi là lược đồ pha.

Phương pháp mặt phẳng pha là phương pháp sử dụng lược đồ pha đểđưa ra các tính chất của nghiệm x = x(t) của phương trình vi phân cấphai (1.1), cũng như mô tả các tính chất vật lý của hệ xác định bởi (1.1).Giả sử A, B là hai điểm trên một đường cong pha Khi đó thời gian đểtrạng thái P(x, y) biến đổi từ A tới B dọc theo đường cong đó được gọi là

thời gian chuyển từ A tới B Đó là một đại lượng không phụ thuộc vàothời điểm P bắt đầu từ A và xác định bởi:

TAB =

Z

c AB

dx

Các tính chất định tính có thể quan sát qua lược đồ pha bao gồm:i) Mỗi đường cong pha kín tương ứng với một nghiệm tuần hoàn của(1.1) Tuy nhiên có nghiệm tuần hoàn của (1.1) tương ứng với đườngcong pha không kín

ii) Mỗi điểm cân bằng tương ứng với một nghiệm hằng của (1.1).iii) Quan sát quanh điểm cân bằng trong lược đồ pha ta có thể suy ratính chất ổn định hay không ổn định của trạng thái cân bằng vật lý.Chẳng hạn:

+) Nếu gần một điểm cân bằng, các đường cong pha là các đường

cong kín bao quanh nó thì điểm cân bằng đó được gọi là một tâm, đó là

điểm cân bằng ổn định

+) Nếu mỗi đường cong pha trong một lân cận của điểm cân bằngđều có hướng về điểm cân bằng thì đó là một điểm cân bằng ổn định.+) Nếu dịch trạng thái cân bằng một chút nó có thể thuộc vào đườngcong pha có hướng đi xa khỏi điểm cân bằng thì đó là điểm cân bằngkhông ổn định

1.1.2 Ví dụ về phương trình con lắc đơn trong mặt phẳng pha

Con lắc đơn Hình 1.1 bao gồm một phần tử P khối lượng m được treovào một điểm cố định O bởi một sợi dây hay thanh mảnh có độ dài a, daođộng trong mặt phẳng đứng Nếu bỏ qua ma sát và sức cản thì phương

Hình 1.1: Con lắc đơn với độ dịch chuyển góc x.

trình chuyển động của con lắc được viết là:

Tích phân phương trình này ta có phương trình các đường cong pha:

Từ đây ta có lược đồ pha cho bởi Hình 1.2: Chú ý rằng mỗi giá trị

Hình 1.2: Con lắc đơn với độ dịch chuyển góc x.

của tham số C cho ta một đường cong pha (nếu y thực) Các đường congpha đi qua hai điểm (−π, 0) và (π, 0) ứng với C = ω2, ứng với −ω2 <

C < ω2, ứng với C > ω2

Các điểm cân bằng bao gồm (x, 0) với x thỏa mãn sinx = 0 Do đó ta

có các điểm cân bằng tại (nπ, 0), n ∈ Z

Quan sát lược đồ pha ta thấy:

i) Điểm (0, 0) là một tâm, do đó là điểm cân bằng ổn định

ii) Điểm (π, 0) là một điểm cân bằng không ổn định

iii) Các đường cong pha dạng sóng phía trên và phía dưới Hình 1.2

có y = ˙x không đổi dấu nên x liên tục tăng (hoặc giảm) theo t Điều đóứng với chuyển động quay tít của con lắc

1.2 Hệ autonom phẳng và sự tuyến tính hóa

1.2.1 Mặt phẳng pha tổng quát

Xét hệ autonom cấp một tổng quát:

˙

x= X (x, y), ˙y= Y (x, y), (1.8)

với các hàm X (x, y),Y (x, y) đủ trơn

Hệ này được gọi là autonom vì biến thời gian t không xuất hiện ở vếphải của (1.8)

Các nghiệm x(t), y(t) của (1.8) được biểu diễn trên một mặt phẳngvới hệ tọa độ Đề - các x, y

Khi t tăng (x(t), y(t)) vạch ra một đường cong định hướng trong mặtphẳng gọi là đường cong pha

Dạng thích hợp cho điều kiện ban đầu của (1.8) là:

x= x0, y = y0 tại t = t0, (1.9)

trong đó x0, y0 là các giá trị ban đầu tại thời điểm t0

Phương trình vi phân xác định đường cong pha là ˙y/ ˙x= dy/dx vàdọc theo đường cong pha ta có:

Lược đồ mô tả những đường cong pha được gọi là lược đồ pha.Mỗi điểm (x, y) được gọi là một trạng thái của hệ, như trước đây.Lược đồ pha cho thấy sự biến đổi các trạng thái của hệ, bắt đầu từ trạngthái ban đầu tùy ý.

Tại các điểm mà tại đó X 6= 0 được gọi là các điểm thường của (1.10)

Có một và chỉ một đường cong pha đi qua một điểm thường (x0, y0),không phụ thuộc vào thời điểm t0-trạng thái đạt tới điểm (x0, y0) Do đó,

có vô hạn nghiệm của (1.8), chỉ khác nhau bởi phép dịch chuyển thờigian, cùng sinh ra một đường cong pha

Tuy nhiên, phương trình (1.10) có thể có điểm kì dị tại đó X (x, y) = 0.Các điểm mà cả X (x, y), Y (x, y) đều bằng không:

X(x, y) = 0,Y (x, y) = 0, (1.11)

được gọi là điểm cân bằng.

Nếu (x1, y1) là một nghiệm của (1.11) thì x(t) = x1, y(t) = y1 là mộtnghiêm hằng của (1.8) và xác định đường cong pha suy biến Điểm đó

còn được gọi là điểm cố định.

Do dy/dx = Y (x, y)/X (x, y) là phương trình vi phân của đường congpha, nên các đường cong pha cắt đường cong được xác định bởi phươngtrình Y (x, y) = cX (x, y) sẽ có cùng độ dốc (hệ số góc) c Các đường cong

Y = cX được gọi là các đường đẳng tà (có hệ số góc không đổi) Haiđường đẳng tà đặc biệt Y (x, y) = 0 (đường có độ dốc bằng 0) và X (x, y) =

0 (đường có độ dốc vô hạn) là các đường rất hữu ích trong phác họa lược

đồ pha Các điểm giao của các đường đẳng tà là các điểm cân bằng Giữacác đường đẳng tà, X (x, y) và Y (x, y) phải có một dấu Chẳng hạn, ởtrong một miền của mặt phẳng (x, y) cùng với X (x, y) > 0 và Y (x, y) > 0,các đường cong pha phải có độ dốc dương Điều này cũng xảy ra nếu

X(x, y) < 0 và Y (x, y) < 0 Tương tự, nếu X (x, y) và Y (x, y) trái dấu nhautrong một miền thì đường cong pha phải có độ dốc âm

Ví dụ 1.1 Xác định vị trí các điểm cân bằng và phác họa các đường

cong pha của hệ:

˙

x= y(1 − x2), ˙y= −x(1 − y2)

Điểm cân bằng xảy ra tại điểm là nghiệm của hệ:

y(1 − x2) = 0, x(1 − y2) = 0

Nghiệm của các phương trình tương ứng là: x = ±1, y = 0 và x = 0,

y = ±1, nên ta có năm cặp nghiệm (0, 0), (1, 1), (1, −1), (−1, 1) và(−1, −1) là những điểm cân bằng

Các đường cong pha thỏa mãn phương trình vi phân:

dy

dx=−x(1 − y2)y(1 − x2) ,giải phương trình này ta có:

⇔ (1 − x2)(1 − y2) = A,(A là hằng số)

Chú ý rằng các nghiệm đặc biệt x = ±1 và y = ±1 ứng với trường hợp

A= 0 Những nghiệm này và vị trí của các điểm cân bằng giúp chúng ta

vẽ lược đồ pha Hình 1.3 các đường cong cắt trục x = 0 với độ dốc bằng 0

và các đường cong pha cắt trục y = 0 với độ dốc vô hạn tại các điểm cắt.Hướng của đường cong pha có thể nhận được nhờ tính liên tục: bắtđầu tại điểm (0, 1), ta có ˙x> 0 nên đường cong pha sẽ chạy từ trái sangphải

1.2.2 Ví dụ về mô hình dân số

Hình 1.3:Lược đồ pha cho ˙ x = y(1 − x2); ˙ y = −x(1 − y2); các đường nét đứt là đường đẳng tà với độ dốc bằng 0 và độ dốc vô hạn.

Hình 1.4: Lược đồ pha cho (a): ˙ x = y, ˙ y = −x (b): ˙ x = xy, ˙ y = −x2.

Ví dụ 1.2 Bài toán về loài săn mồi - con mồi (Mô hình của Volterra)

Trong một hồ cá có 2 loài cá: A (con mồi) ăn thực vật và giả thiết là

có nguồn cung dồi dào và B (loài săn mồi) ăn A Chúng ta sẽ xây dựngmột mô hình thô cho sự tương tác của A và B

Gọi x(t) là số lượng của loài A và y(t) là số lượng của loài B Chúng

ta giả sử rằng A tương đối sống lâu và sinh sản rất nhanh nếu còn lại mộtmình

Khi đó, trong thời gian δ t, có một sự gia tăng số lượng được cho bởi:

axδ t, a > 0

Tỉ lệ sinh tử tự nhiên (a > 0) và ”gia tăng âm”

−cxδt, c > 0,

do A bị ăn thịt bởi B (số lượng được ăn trong thời gian này được giả định

là tỉ lệ thuận với số lượng gặp gỡ giữa A và B) Sự gia tăng số lượng của

˙

với b > 0, d > 0 Hệ phương trình (1.12)+(1.13) là một hệ phương trìnhphi tuyến có dạng (1.8)

Bây giờ chúng ta vẽ lược đồ pha trong mặt phẳng x, y và chỉ quan tâmtới góc phần tư x > 0, y > 0 Điểm cân bằng là nghiệm của:

X(x, y) = ax − cxy = 0,Y (x, y) = −by + xyd = 0,

đó là tại (0, 0) và (b/d, a/c) Đường cong pha được cho bởi:

Hình 1.5 biểu diễn các đường cong trong một trường hợp cụ thể.Hướng trên đường cong pha nhận được từ dấu của ˙x tại một điểm bất kìthậm chí là trên đường y = 0 nhờ tính liên tục Từ (1.13) và (1.12), cácđường đẳng tà với độ dốc 0 xuất hiện khi ˙y = 0, đó là đường y = 0 và

x= b/d, đường đẳng tà với độ dốc vô hạn xuất hiện khi ˙x= 0, là cácđường x = 0 và y = a/c

Do các đường cong pha đóng, nên sự biến thiên của x(t) và y(t) bắtđầu từ số lượng ban đầu bất kì đều tuần hoàn, số lượng lớn nhất của Athu được vào khoảng 1/4 chu kì sau thời điểm số lượng của B đạt lớnnhất Khi A bị ăn khiến B phát triển mạnh, và dân số x của A giảm, cuốicùng lại gây ra sự sụt giảm của B Khi đó, sự thiếu hụt của loài săn mồidẫn đến sự hồi sinh của A và chu kì bắt đầu lại một lần nữa

Một sự thay đổi đột ngột trong trạng thái do các nguyên nhân bênngoài, chẳng hạn như một mùa xấu cho các loại thực vật thì ta hi vọng

Hình 1.5:Lược đồ pha điển hình cho mô hình săn mồi-con mồi.

sẽ chuyển trạng thái sang một đường cong kín khác, nhưng không có xuhướng cân bằng số lượng và cũng không khiến cho loài nào tuyệt chủng

Γ là một chu tuyến (đường cong trơn kín) với hướng ngược kim đồng hồ

và chỉ gồm các điểm thường (nói riêng nó không đi qua điểm cân bằng).Cho Q là một điểm trên Γ (Hình 2.1), khi đó có một và chỉ một đườngcong pha đi qua Q Các đường cong đó thuộc tập các đường mô tả bởiphương trình:

dy

dx =

Y(x, y)

Trong thời gian δ t > 0 tọa độ của điểm biểu diễn Q, (x, y) sẽ tăng (δ x, δ y)với :

δ x = X (xQ, yQ) δ t, δ y = Y (xQ, yQ) δ t

Do đó, vector S = X (x, y) tiếp xúc với đường cong pha đi qua Q và chỉtheo hướng tăng của t Độ nghiêng của nó được đo bởi góc ϕ theo hướngngược chiều kim đồng hồ từ hướng dương của trục x tới hướng của S và:

Ví dụ 2.1 Vạch ra sự biến thiên của vector S và góc ϕ khi:

X(x, y) = 2x2− 1, Y (x, y) = 2xy,

và Γ là đường tròn đơn vị có tâm tại gốc tọa độ

vị Gọi θ là góc cực của các điểm biểu diễn và đặt x = cos θ , y = sin θtrên Γ Khi đó:

(X ,Y ) = (cos 2θ , sin 2θ ) , 0 ≤ θ ≤ 2π

Vector này được biểu diễn trong Hình 2.2 Góc ϕ nhận các giá trị 0,1

2π , 2π , 4πtại A, B,C và A0 khi chúng ta vạch ngược chiều kim đồng hồ trên đườngtròn

Hình 2.2: Theo một vòng trọn vẹn ngược chiều kim đồng hồ ϕ tăng 4π.

Trong mọi trường hợp, sự biến đổi của ϕ, ký hiệu [ϕ]Γ phải là mộtbội số của 2π,

trong đó IΓ là một số nguyên dương, âm, hoặc bằng 0 IΓ được gọi là chỉ

số của Γ đối với trường vector S = X (x, y), Γ được mô tả ngược chiềukim đồng hồ Trong ví dụ trên IΓ = 2

Biểu thức của IΓ nhận được theo cách sau:

Giả sử như trong Hình 2.3(a), đường cong Γ được mô tả ngược chiềukim đồng hồ một lần bởi vector vị trí r và có biểu diễn tham số:

r(s) = (x (s) , y (s)) , s0 ≤ s ≤ s1 (2.5)Trong đó:



Sau khi tính toán ta có:

trả về giá trị ban đầu của nó sau khi hoàn thành một chu kỳ Từ công thức(2.4), ΓR bao quanh gốc IΓ lần ngược chiều kim đồng hồ nếu IΓ dương vàtheo chiều kim đồng hồ nếu IΓ âm Điều này được minh họa trong Hình2.3 cho IΓ= 2 Chúng ta cũng có thể thay thế (2.7) bằng một đường dọctheo đường cong ΓR, khi đó các biến là X và Y , cụ thể:

IΓ= 12π

Z 2π

0

2dθ

Định lý 2.1 Giả sử Γ nằm trong một miền đơn liên trong đó X ,Y và các

đạo hàm cấp một của chúng liên tục, X ,Y không đồng thời bằng 0 (Nói

cách khác không có điểm cân bằng trong đó) Khi đó IΓ = 0.

Chứng minh: Theo định lý Green nếu Γ là một đường cong không tựcắt, kín, nằm trong miền đơn liên trên đó các hàm P (x, y) và Q (x, y) cócác đạo hàm riêng cấp một liên tục thì

trong đó DΓ là phần trong Γ Trong (2.7) ta viết:

( ở đó Xx là ∂ X

∂ x ) Khi đó (2.7) trở thành tích phân đường:

IΓ= 12π

P= XYx−Y Xx

X2+Y2 , Q = XYy−Y Xy

X2+Y2 ,thỏa mãn các điều kiện của định lý Green vì X2+Y2 6= 0 trên Γ và trong

Hình 2.4: Chu tuyến C tạo thành từ 2 chu tuyến Γ và Γ0theo hướng ngược chiều kim đồng hồ Các chấm đại diện cho điểm cân bằng ở ngoài C.

Chứng minh: Trong Hình 2.4 gọi AA’ là một cầu nối Γ và Γ0, xét chutuyến C được mô tả bởi đường ABAA’B’A’A trong Hình 2.4 do C không

chứa điểm cân bằng nào nên IC = 0 (Định lý 2.1) Tuy nhiên theo (2.4):

có vẻ độc lập với Γ, có lẽ nó gắn với các điểm đặc biệt trong mặt phẳnghơn là các đường cong kín,

Nếu các điều kiện trơn của đường (X ,Y ) được thỏa mãn trong mộtmiền chứa một điểm cân bằng duy nhất thì bất kỳ đường cong đơn, kín Γbao quanh điểm đó đều sinh ra cùng một số IΓ

Do đó ta bỏ qua sự phụ thuộc Γ, ta có khái niệm chỉ số của điểm cânbằng

Định lý 2.2 Nếu Γ bao quanh n điểm cân bằng P1, P2, Pn thì

ở đây Ii là chỉ số của điểm Pi, i= 1, 2, n

Chứng minh: Chúng ta minh họa chứng minh qua trường hợp có 2điểm cân bằng, tại P1, P2 Xây dựng một chu tuyến C bao gồm Γ Haiđường nối A1A01 và A2A02, và các đường γ1 và γ2 tương ứng quay quanh