Khai thác bài tập toán phần công thức biến đổi lượng giác

Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận về bài toán, việc phân loại bài toán và phương pháp tìm lời giải bài toán nhằm mục đích xây dựng hệ thống bài tập đa dạng phong phú, đáp ứng yêu

Trường đại học sư phạm hà nội 2

KHoa Toán

********

Trần thị la

khai thác bài tập toán phần công thức

biến đổi lượng giác

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

Th.S Nguyễn Văn Hà

Hà Nội - 2010

LỜI CẢM ƠN Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tôi đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo trong tổ phương pháp và các bạn sinh viên trong khoa Qua đây tôi muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo

trong tổ phương pháp , đặc biệt là thầy Nguyễn Văn Hà người đã định hướng

cho tôi lựa chọn đề tài, dẫn dắt chỉ bảo tận tình chu đáo giúp tôi hoàn thành nhanh chóng khóa luận của mình

Xin cảm ơn tất cả các thầy cô giáo !

Sinh viên

Trần Thị La

MỤC LỤC

4 Phương pháp tìm lời giải của bài toán: Dựa theo 4 bước của Polia 14

Chương II: Ứng dụng trong dạy học 21

giác thầy giáo đã đặt đề tài cho tôi là “ Khai thác bài tập toán phần công

thức biến đổi lƣợng giác ’’ Nội dung chủ yếu của đề tài là việc phân chia

các dạng bài tập có liên quan đến việc sử dụng các công thức biến đổi lượng giác sin, cosin, và đưa ra một loạt các dạng bài tập giúp củng cố khắc sâu và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận về bài toán, việc phân loại bài toán và phương pháp tìm lời giải bài toán nhằm mục đích xây dựng hệ thống bài tập đa dạng phong phú, đáp ứng yêu cầu giảng dạy phần công thức biến đổi lượng giác ở trường phổ thông

- Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập trong sách giáo khoa góp phần

nâng cao chất lượng dạy và học toán ở trường phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu 2 nội dung :

- Cơ sở lý luận về bài toán, lời giải bài toán, ý nghĩa của bài toán, phân loại bài toán, phương pháp giải bài toán Toán học

- Nghiên cứu các công thức biến đổi lượng giác ở lớp 10 trường phổ thông Phân loại các dạng toán, khai thác và xây dựng các bài tập toán có liên quan đến các công thức lượng giác sin, cosin

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận chung về bài toán và lời giải bài toán, ý nghĩa

bài toán, phân loại bài toán, phương pháp tìm lời giải bài toán, các công thức biến đổi lượng giác

- Quan sát điều tra thực tiễn việc giải bài tập toán phần công thức biến đổi lượng giác

Chương 1: Cơ sở lý luận

Chương 2: Ứng dụng trong dạy học

Phần 3: Kết luận

PHẦN II: NỘI DUNG

CHƯƠNG I: Cơ cở lý luận

1 Bài toán và lời giải của bài toán

1.1 Bài toán

Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có

ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay

Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài toán là

sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó Như vậy bài toán có thể đồng nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán: đề toán, bài tập

1.2 Các yếu tố cơ bản của bài toán

Trong định nghĩa về bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp thành của một bài toán đó là : Sự đòi hỏi của bài toán và mục đích của bài toán

Ví dụ: Cho 2 đường tròn (O), (O’) cắt nhau ở A và B Một cát tuyến

thay đổi quay quanh B cắt 2 đường tròn (O), (O’) lần lượt tại M, N

a Chứng minh rằng trung trực của MN đi qua điểm cố định

b Tìm tập hợp trung điểm P của MN

Trong bài toán này 2 yếu tố cơ bản hợp thành đó là:

Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ "Chứng minh rằng", “ Tìm tập hợp’’

Mục đích của bài toán thể hiện qua: '' Trung trực của MN đi qua điểm cố định ''; “ Tập hợp trung điểm P của MN’’

Ví dụ :

'' Chứng minh rằng phương trình bậc 3: x3

+ ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm ''

Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ " Chứng minh rằng " Mục đích của bài toán thể hiện qua: '' phương trình bậc 3: x3

+ ax2 +

bx + c = 0 luôn có nghiệm ''

1.3 Lời giải của bài toán

Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện

để đạt tới mục đích đã đặt ra

Như vậy ta thống nhất lời giải, bài giải, cách giải, đáp án của bài toán Một bài toán có thể có :

Một lời giải

Không có lời giải

Nhiều lời giải

Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải được bài toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải

Ví dụ: Bài toán có nhiều lời giải:

'' Trong giỏ vừa thỏ vừa gà

Một trăm cái cẳng bốn ba cái đầu

Hỏi có mấy gà mấy thỏ ?''

Cách 1: Phương trình 1 ẩn

Gọi x là số con gà (x nguyên dương) Do đó số con thỏ là 43-x

Ta có phương trình là: 2.x + 4.(43 - x) = 100

Giải phương trình ta được x=36

Trả lời: Số gà là 36 con, số thỏ là 7 con

Cách 2: Hệ phương trình 2 ẩn

Gọi x là số con gà (x nguyên dương)

Gọi y là số con thỏ (y nguyên dương)

43

=

y +

x

Giải hệ phương trình ta được x= 36, y= 7

Trả lời: Số gà là 36 con, số thỏ là 7 con

Cách 3: Giả thiết tạm

Giả sử 43 con vật đều là gà cả

Vậy số chân của 43 con vật là: 2  43= 86 (chân)

Số chân hụt đi là: 100 - 86 = 14 (chân)

Số chân hụt đi so với điều kiện đã cho là do ta giả sử tất cả 43 con vật đều là gà cả, tức là ta đã bớt đi mỗi con chó 2 chân

Vậy số con thỏ là: 14 : 2 = 7 (con), số con gà là: 43 - 7 = 36 (con)

Trả lời: Số gà là 36 con, số thỏ là 7 con

Cách 4: Giả thiết tạm

Giả sử 43 con vật đều là thỏ cả

Vậy số chân của 43 con vật là: 4  3 = 172 (chân)

Số chân dư ra là: 172 - 100 = 72 (chân)

Số chân dư ra so với điều kiện đã cho là do ta giả sử tất cả 43 con vật đều là thỏ cả, tức là ta đã thêm vào cho mỗi con gà 2 chân

Vậy số con gà là: 72 : 2 = 36 (con), số con chó là: 43 - 36 = 7 (con) Trả lời: Số gà là 36 con, số thỏ là 7 con

Cách 5: Giả thiết tạm

Giả sử cả 43 con vật gà cũng như thỏ đều 3 chân Do đó số chân của 43 con vật sẽ là: 3  43 = 129 (chân)

Số chân dư ra là : 129 - 100 = 29 (chân)

Số chân dư ra 29 chân là do ta giả sử gà và chó đều 3 chân, tức là ta đã tăng lên cho mỗi con gà 1 chân và đồng thời giảm đi mỗi con thỏ 1 chân Vậy 29 chân dư ra số con gà lớn hơn số con thỏ là 29 con Do đó

ta có:

Số con thỏ là : (43 - 29) : 2 = 7 (con)

Số con gà là : 7 + 29 = 36 (con)

Trả lời: Số gà là 36 con, số thỏ là 7 con

2 ý nghĩa của bài toán

2.1 Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh

Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm toán

học và các kết luận toán học Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân

tích dữ kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán

và các kiến thức đã biết khác có liên quan tới bài toán, tổng hợp lại để

đề ra kiến thức mới Và cứ như vậy các kiến thức mới tìm ra lại cùng

các kiến thức đã biết trước được phân tích, tổng hợp lại để đề ra các kiến

thức mới nữa Cuối cùng chúng ta đi đến được lời giải của bài toán

Như vậy khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có

trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán

cũng được củng cố qua lại nhiều lần

Ví dụ: Tìm m để 2 đồ thị sau tiếp xúc nhau:

m xsinx

y

1 cosx x

2 cos 2

1 y

cosxsinx

m xsinx

1 cosx

x 2cos2

m xsinx

1 cosx

x 2cos2

x

0 cosx

m xsinx

1 cosx

x 2cos21

sin 1 cos 2cos21

)(0

cos

sin 1 cos 2cos21

II x

x

m x x x

x

I x

m x x x

1

0 cosx

22

k x

)12(2

k m

k x

(k  Z)

Xét hàm số: f(x) = x + sinx , x R

Ta có : f’(x) = 1 + cosx với  x R

Khi đó phương trình: x + sinx = 0 có nghiệm duy nhất x = 0

Suy ra hệ (II) có nghiệm khi và chỉ khi m = 1

 Thông qua cách giảI này củng cố cho học sinh các kiến thức sau:

- Phương pháp điều kiện định nghĩa tiếp xúc trong dạng bài tập tìm điều kiện của tham số để 2 đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với nhau

- Cách giảI phương trinh lượng giác cơ bản cosx, sinx

- Ngoài ra thông qua đó học sinh còn liên hệ tới việc giảI bài toán này bằng phương pháp nghiệm kép, nhưng cách này gây khó khăn trong việc xác định m

x g y

x f y

có nghiệm kép

2.2 Rèn luyện và phát triển tƣ duy cho học sinh

Đặc điểm nổi bật của toán học cũng như của môn toán là một khoa học suy diễn, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề Do vậy nên lời giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác có thứ tự chặt chẽ để

đi đến 1 mục đích rất rõ rệt Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta năng lực sử dụng các phép suy luận hợp lôgíc: Suy luận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo qui tắc suy diễn,

Chúng ta biết rằng không thể có 1 phương pháp chung nào để giải được mọi bài toán Mỗi bài toán có một hình vẻ khác nhau, muốn tìm ra được lời giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích: phải biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp khái quát hoá Như vậy qua việc giải bài toán năng lực tư duy sáng tạo được rèn luyện

Trong việc giảng dạy toán thì bài toán lại tham gia vào trong mọi tình huống của quá trình dạy học môn toán

Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán được sử dụng để tổ chức gây tình huống để dẫn dắt cho học sinh có thể đi đến định nghĩa khái niệm; Bài toán được sử dụng để nêu ra làm các ví dụ hoặc phản ví dụ minh hoạ cho khái niệm; bài toán được sử dụng để luyện tập củng cố vận dụng khái niệm

Trong giảng dạy định lý toán học : Bài toán có thể được sử dụng để tổ chức gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lý toán học; Bài toán có thể được sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lý; Đặc biệt là việc tổ chức hướng dẫn học sinh chứng minh định lý chính là việc tổ chức hướng dẫn học sinh tập tìm ra lời giải của một bài toán cơ bản có nhiều ứng dụng trong một phần hay một chương nào đó của môn học

Trong luyện tập toán học: Bài toán là phương tiện chủ yếu trong các tiết luyện tập toán học Trong đó người giáo viên phải xây dựng được một

hệ thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng cố các kiến thức và hình thành một số kỹ năng cơ bản nào đó

2 4 Bồi dƣỡng phát triển nhân cách cho học sinh

Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con người là mọi hoạt động đều có mục đích rất rõ ràng Khi giải một bài toán ta luôn có định hướng mục đích rất rõ rệt, vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động của con người Để giải một bài toán, nhất là đối với các bài toán khó người giải phải vượt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại, và nhiều khi người ta phải có quyết tâm rất lớn để giải bài toán đó Nói theo cách của G.POLIA là " Khát vọng và quyết

tâm giải được bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài toán" Do vậy ta thấy rằng: Hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con người

3 Phân loại bài toán

Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được mục đích nhất định, thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi

3.1 Phân loại theo hình thức bài toán

Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán: Kết luận của bài toán đã cho hay chưa để phân chia bài toán ra thành 2 loại:

- Bài toán chứng minh: Là bài toán kết luận của nó đã được đưa ra một cách rõ ràng trong đề bài toán

- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa có sẵn trong đề bài toán

3.2 Phân loại theo phương pháp giải bài toán

Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: Bài toán này có angôrit giải hay chưa để chia các bài toán thành hai loại

- Bài toán có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theo một angôrit nào đó hoặc mang tích chất angôrit nào đó

- Bài toán không có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của

nó không theo một angôrit nào hoặc không mang tính chất angôrit nào

3.3 Phân loại theo nội dung bài toán

Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành các loại khác nhau như sau:

Bài toán số học

Bài toán đại số

Bài toán hình học

3.4 Phân loại theo ý nghĩa giải toán

Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán: Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng nào đó, hay là bài toán nhằm phát triển tư duy Ta có hai loại bài toán như sau:

Bài toán củng cố kỹ năng: Là bài bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau khi học một hoặc một vài kiến thức cũng như kỹ năng nào đó

Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các kiến thức cũng như kỹ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng

tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo

4 Phương pháp tìm lời giải của bài toán: Dựa theo 4 bước của G.POLIA

Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, nhữngyếu tố thay đổi, biến thiên của bài toán

Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán

Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết hay không?

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Để tìm được lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bước xây dựng chương trình giải là bước quyết định, đồng thời cũng là bước khó khăn nhất Bước này đòi hỏi chúng ta biết huy động các kiến thức đã biết để nhận xét, so sánh, bác bỏ, từ đó mối có thể tiếp cận tới lời giải của bài toán

Đối với những bài toán không có angôrit giải, chúng ta sẽ phải tiến hành xây dựng chương trình giải theo phương pháp sau:

a Phương pháp đi xuôi:

Xuất phát từ các giả thiết của bài toán được lấy làm tiền đề Bằng suy luận hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả lôgic của các tiền đề đó Tiếp tục chọn lọc trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận của bài toán làm tiền đề mới Lại bằng suy luận hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả lôgic mới gần gũi hơn với kết luận Cứ tiếp tục quá trình ấy chúng

ta tìm ra được hệ quả lôgic trùng với kết luận của bài toán Khi ấy ta tìm được lời giải của bài toán

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:

D X (trong đó A,C là các giả thiết còn X là kết luận)

b Phương pháp đi ngược:

Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán Bằng suy luận hợp lôgic chúng ta đi ngược lên để tìm các tiền đề lôgic của kết luận này Tiếp tục chúng ta chọn lọc trong đó để lấy ra tiền đề gần gũi với giả thiết của bài toán để làm kết luận mới từ đó rút ra các tiền đề lôgíc mới của các kết luận mới này Quá trình ấy lại được tiếp diễn ta tìm được các tiền đề lôgic trùng với giả thiết của bài toán, ta có được lời giải của bài toán

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:

A C

X (trong đó A, B là giả thiết còn X là kết luận)

Chú ý: Thông thường trong nhiều trường hợp để tìm được lời giải của bài

toán ta thường kết hợp cả 2 phương pháp - đi xuôi và đi ngược

Ví dụ: Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau:

'' Chứng minh rằng nếu ABC thoả mãn điều kiện a = 2bcosC thì

ABC là tam giác cân''

Hd:

Để chứng minh một tam giác là tam giác cân ta có nhiều cách: hoặc chứng minh 2 cạnh nào đó bằng nhau, hoặc chứng minh 2 góc nào đó bằng nhau

ở đây ta thấy giả thiết của bài toán cho biết đẳng thức liên hệ giữa góc

và cạnh, do đó ta có 2 hướng chứng minh đó là: chuyển về đẳng thức liên hệ giữa góc và khi đó ta sẽ chứng minh tam giác đã cho có 2 góc bằng nhau hoặc ta có thẻ chuyển về đẳng thức liên hệ giữa các cạnh và khi đó ta sẽ chứng minh tam giác đã cho có 2 cạnh bằng nhau

Để thực hiện được công việc chuyển đổi đó ta sẽ cần sủ dụng đến 2 định

lý sin và cosin.ta có 2 cách giải:

Cách 1: Sử dụng định lý sin

Ta có: a = 2bcosC

C B

0 C)sin(B

C)sin(B C)sin(B sinA

2sinBcosC

sinA

4RsinBcosC

2RsinA

2c2b 2a 2a

2ab

2c2b2a2b a

2bcosC

a

Vậy tam gác ABC cân tại A

c Phương pháp sử dụng các phép suy luận quy nạp

Trong toán học để đi tới lời giải của bài toán thì có rất nhiều phương pháp Tuy nhiên không phải phương pháp nào cũng có thể đi tới lời giải của bài toán

Có những bài toán mà ta đã sử dụng nhiều phương pháp: Phương pháp

đi xuôi, phương pháp đi ngược, thậm chí kết hợp cả hai phương pháp đó

mà vẫn chưa tìm được lời giải của bài toán đó Lúc này ta cần chuyển

hướng suy nghĩ theo một hướng khác, tạm gọi là phương pháp sử dụng các phép suy luận qui nạp, nghĩa là: Suy nghĩ đến bài toán liên quan, có tính chất gần giống với bài toán ta cần giải - Có thể là bài toán con, bài toán tương tự, bài toán đặc biệt, đôi khi là bài toán khái quát

Bằng cách phân tích sử dụng lời giải của các bài toán có liên quan với bài toán đã cho, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra lời giải của bài toán đã cho

Theo G.POLIA chúng ta thường phải đặt ra các câu hỏi sau: " Anh có biết một bài toán nào gần giống bài toán của anh không?"; " Đây là một bài toán gần giống với bài toán của anh đã giải được rồi Anh có thể dùng được nó làm gì không?"; " Nếu anh không giải được bài toán đã cho, thì trước hết hãy giải bài toán gần giống với nó

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, ta dùng các phép suy luận hợp lôgic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán

Trong bước thực hiện chương trình giải một bài toán cần chú ý phân biệt sự khác nhau giữa những điều đã thấy được và những điều suy ra được - chính là điều chứng minh được

Bước 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán

Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm được của bài toán

Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán

Nghiên cứu các bài toán có liên quan

5 Các phép Suy Luận Qui Nạp trong Toán Học

Trong đó: X1, X2, , Xn: Là các tiền đề Y:Là kết luận

Nếu X1, X2, , Xn là hằng đúng thì ta nói phép suy luận đó hợp lôgic Lúc đó ta gọi X1, X2, , Xn là các tiền đề lôgic, còn Y là hệ quả lôgic Nếu các tiền đề trong phép suy luận hợp lôgic là đúng thì ta có hệ quả lôgic của nó là đúng

Nếu các tiền đề trong phép suy luận hợp lôgic là sai thì hệ quả lôgic của nó có thể đúng hoặc sai

5.2 Suy luận quy nạp ( Suy luận nghe có lý)

Suy luận quy nạp là suy luận đi từ cái đúng riêng đến kết luận chung

Từ cái ít tổng quát đến cái tổng quát hơn

Đặc trưng của suy luận quy nạp là:

- Quá trình suy luận không tuân theo quy tắc suy diễn

- Kết luận mang tính ước đoán có thể đúng có thể sai cần phải kiểm nghiệm

- Các phép suy luận qui nạp có nhiều ứng dụng trong giải toán, trong việc sáng tạo toán học

a Suy luận quy nạp không hoàn toàn

Suy luận quy nạp không hoàn toàn là phép suy luận mà kết luận thuộc tính A thuộc vào tất cả các phần tử của tập đang xét trên cơ sở biết thuộc tính A thuộc vào một số phần tử nào đó của tập đó

A1A2 An A

b Suy luận tương tự

Suy luận tương tự là suy luận mà việc rút ra kết luận về 2 đối tượng

A và B giống nhau ở các dấu hiệu nào đó trên cơ sở đã biết hai đối tượng đó có một số dấu hiệu giống nhau từ trước

Ví dụ: A có các dấu hiệu a, b, c, d

B có các dấu hiệu a, b, c

 Kết luận B cũng có dấu hiệu d

Suy luận tương tự có ứng dụng rất nhiều trong việc tìm tòi và sáng tạo toán học, tuy nhiên cần tránh dập khuôn máy móc

c Suy luận khái quát hoá

Suy luận khái quát hoá là suy luận đi từ một đối tượng hay một nhóm đối tượng sang một nhóm đối tượng rộng hơn chứa đối tượng ban đầu bằng cách dựa vào đặc điểm đặc trưng của nhóm đối tượng xuất phát

Ví dụ: Nếu có hai điểm A1, A2, và G là trọng tâm của hệ hai điểm thì ta có:

GA1 + GA2 = 0

Nếu có ba điểm A1, A2, A3, G là trọng tâm hệ ba điểm ta có:

GA1 + GA2 + GA3 = 0

Vậy nếu hệ n điểm Ai ,G là trọng tâm hệ n điểm thì

i n

= 1

 GAi = 0

d Suy luận đặc biệt hoá

Suy luận đặc biệt hoá là suy luận đi từ nhóm đối tượng rộng đến một nhóm đối tượng hẹp hơn chứa trong tập hợp đối tượng ban đầu

Trong phép suy luận đặc biệt hoá cần chú ý các trường hợp đặc biệt giới hạn suy biến : Tiếp tuyến với đường cong là giới hạn của cát tuyến với đường cong khi hai giao điểm của cát tuyến trùng nhau; Đoạn thẳng là trường hợp suy biến tam giác; Điểm có thể coi là đường tròn suy biến có bán kính bằng không

CHƯƠNG II : ỨNG DỤNG TRONG DẠY HỌC

1 HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC

* CT cộng : sin(a ± b) sinacosb sinbcosa

cos(a b) cosacosb sinasinb

a2sina2cos cos2a

2sinacosa

sin2a

34cos cos3a

a34sin 3sina sin3a

a2sin  

;

2

cos2a1

a2cos  

* CT chia đôi : 2

t1

2t sina



2 t 1

2 t 1 cosa

ba2cos cosbcosa   

2

basin2

ba2sin cosbcosa     

2

bacos2

ba2sin sinbsina    

2

basin2

ba2cos sinbsina    

21sinasinb cos(a b) cos(a b)

I BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1: (SGK ĐSNC 10 trang 213)

Sử dụng 750 = 450 + 300, hãy tính giá trị lượng giác của góc 750

Sử dụng 150 = 450 - 300, hãy tính giá trị lượng giác của góc 150

1)3(4

2 osin30osin45 ocos30o

cos45 )o30ocos(45

sin75

ocos75   ;

Bài 2: (SGK ĐSNC 10 trang 214)

Biết

3

1

π

a , hãy tính các giá trị lượng giác của góc

2a

Giải

Ta có:

3

22 cosa 3

1

π

a nên cosa < 0

3

22

cosa 

6

223 2

a2cos 2

cosa1

2

a2

Vậy

6

223 2

acos   Hoàn toàn tương tự ta có:

6

223 2

asin  

3 2 2

2tan

 a ; 3 2 2

2a

2 sin4a cos4a biết cos2a =

53

3

16

7πsin16

5πsin16

3πsin16

πsin

4 cos(a + b), biết:

2

1 cosb cosa

;3

1 sinbsina    

Giải

1 Ta có:

5

3

Vậy

5

3 sina   Mà

25

12 5

4)5

3( cossin2 2sin a  a a   

25

7 25

9 25

16 a2sin a2cos cos2a     

10

1 2

acos 10

1 2

cosa1

2

1 2

1 2a)2cos (12

1

1

)2

cos2a1

()2

cos2a1

2(

1 a2asin22cos

1 a4cos a4

ba2sin

cosbcosa    

2

sin2cos2 sinsina b  ab ab

2

3 sinbsina

cosbcosa

2

ba

t

t b

t  

)

13

5)

Giải

Hướng dẫn:

1 Ta có cosa = 6

3

Sử dụng công thức cộng ta tính được: cos( a + π

n cosb cosa

m sinb sina

2

2

cos2sin

2

b a b a

b a b a

Do π

2 < a < π nên cosa < 0 và sina > 0 (2)

Sử dụng công thức nhân đôi ta có: sin2a = - 5

x0

18

5x3

22

6

142

x0

18

5x3

22

Giải

Vì 0 < a <

2

π, nên sin

2

a > 0, cos

2

a > 0 Vậy ta có:

5

42

5

312

cosa1

5

312

cosa1

a

5

522

acos  ;

2

12

atan  ; 2

2

acot 

Bài 9: (SBT ĐSNC 10 trang 204)

Cho sina = m

1 Hãy tính cos2a, sin22a, tan22a theo m ( giả sử tan2a xác định )

2 Hỏi sin2a, tan2a có xác định duy nhất bởi m hay không?

)2m(124m2a

2cos

2a2sin

2πsin3

π

2

33

2π

2

3-)3

πsin(2 

Bài 10: (SBT ĐSNC 10 trang 205)

Cho cosa = m Hãy tính

2

a2cos ;

2

a2sin ;

2

a2tan theo m ( Giả sử

2

atan xác định )

Giải

Từ cosa = m ta có:

2

m12

cosa1

cosa1

2

a2sin    

m1

m12

a2cos2

a2sin2

3πcos

9

7πcos9

5πcos9

πcos

4

πcos1

8

π2

2

2 m 2 m

2

2m2m

2

2m2m

1)2(mcosasin2a

15

3cos15

2cos15cos   

sin18

01o2sin18o

1824sin

01)o2sin18o

1821)(4ssino

(sin18

0o1822sin1

o1834sino

3sin18

o1822sin1

o1834sino

12sina

12sina  cosa =

13

52)13

12(

3

π sina =

26

312

1

( 2 sin200 cos200) cos400 cos800

=

o8sin20

1

( 2 sin400cos400) cos800

=

o16sin20

1

( 2 sin800 cos800) =

16

1o

16sin20

osin160 

Bài 6: Tính: B = sin50sin150……sin750

sin850

sin100 cos200 cos400

=

ocos10

cos10

9

2

osin80

2

πa

2

πa

2cos

1   

sin2a = 2sina cosa =

4

52

10

; cos2a = 2 cos2a – 1 =

41

5

Suy ra : sin4a =

4

52

30a

ok72o

18a

ok360a

o904a

ok360a

o904a

Mà 0 < a < 900 nên a = 180

Bài 8: Tính tổng:

A = sin2100 + sin2200 + … + sin21800

B = cos2100 + cos2200 + ……+ cos2100

Giải

A + B = (sin2100 + cos2100) + (sin2200 + cos2200) +….+ (sin2

1800 + cos21800) = 18

A - B = (sin2100 - cos2100) - (sin2200 - cos2200) -….- (sin21800 - cos21800) = cos200 + cos400 +…….+ cos3600

Suy ra: 2sin100 (A - B) = sin100 (cos200 + cos400 +…….+ cos3600)

= (sin300 – sin100) + (sin500 – sin300) + … + (sin3700 – sin3500)

Bài 1: (SGK ĐSNC 10 trang 215)

Chứng minh rằng mọi biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số:

1 A = cos2(a + x) + cos2x - 2cosx cosa cos(a + x)

2 B = sin4x sin10x – sin11x sin3x – sin7x sinx

Giải

1 Ta có:

a2sin2

a2sin2

a24coscosa)

(12

a22cos

a))cos(2xcosa

a)cos(2x(1

2

a22cos

x))cosxcos(a)

2

a(x2(cos2

a24cos

x)cosxcos(a2

a24cos2

a2)cos2

a(x24cos

x)cos(a1)cosx

2(cosa2

x))cos(a(cosa

A = sin4a + sin2acos2a - cos4a B = 1+ sin4a - cos4a 1+cos4a + sin4a

C = cosa + mcos3a + cos5asina + msin3a +sin5a D = cos2a + sin4a - cos6acos2a - sin4a - cos6a

Giải

A = 2sin2a cosa2sina sin3a = tana (công thức biến đổi tổng thành tích)

B = 1+ sin2acos2a - 1 + 2sin

22a 1+ 2cos2a- 1 +2sin2acos2a =

2sin2a(cos2a + sin2a) 2cos2a(cos2a + sin2a) = tan2a

C = 2sin3acos2a+ msin3a

2cos3acos2a + mcos3a =

sin3a(2cos2a + m) cos3a(2cos2a + m) = tan3a

D = 2sin2 sin4a- sin4a

2sin2a sin4a+ sin4a =

sin4a(2sin2a -1) sin4a(2sin2a +1 ) =

sin2a- sin300 sin2a + sin300

= 2sin(a- 15

0)cos(a+ 150) 2sin(a+ 150)cos(a- 150) = tan (a - 15

0) cot (a + 150)

Bài 3: (SBT ĐS 10 trang 191) Rút gọn biểu thức:

1

cosacos2a

1

sinasin2a



  2

2

a2cos1

a24sin



3

sinacosa

1

sinacosa

)2

ao(4522sinsina

1

sinasin2a



1)sina(2cosacosa

a22cos

1)sina(2cosa

a24sin

a216cos2

a2sin

2

a2cos2

a216sin



3

sinacosa

1

sinacosa

a2sin2

a22sin

2

acos2

a2sin2

a22cos





=

)2

acos - 2

asin(2

a2sin

)2

acos 2

asin-2

a

= - cot

2a

4

2

a4cos

)2

ao(4522sinsina

=

2

a4cos

2sina2

a4cos

a)0cos(90

= sin

2

a

Bài 4: ( SBT ĐS 10 trang191) Chứng minh biểu thức sau là những hằng

số không phụ thuộc vào a, b

a) tan

32a

a) tan

2asin)3

acos3

asin3

asin3

acos

=

3

2acos3

2asin3

acos3

asin

3

a2sin3

a2

3

2acos3

2asin3

2asin3

2a2cos



Bài 5: Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số:

C = 8(cos8x - sin8x) – cos6x - 7cos2x

Giải

C = 8(cos4x - sin4x) (cos4x + sin4x) - cos6x - 7cos2x

= 8(cos2x - sin2x) (1 – 2sin2x cos2x) - cos6x - 7cos2x

= 8cos2x(1 - 1

2 sin

22x) - cos6x - 7cos2x

= cos2x - 4cos2x sin22x – cos6x

= cos2x - sin4x sin2x - cos2x cos4x + sin4x sin2x

= cos2x – (cos2x cos4x + sin4x sin2x) = cos2x - cos2x = 0

Bài 6: Cho biết cosx = cosb cosa

2 cos

a-x2 =

1

2 (cosx- cosa)1

2 (cosx + cosa)

= cosacosb - cosa cosacosb +cosa

( do cosx = cosb cosa )

= cosb+1cosb-1 = 2 tan2 b2 Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào a, x

Bài 7: (SGK ĐSNC 1 trang 44) Đơn giản hóa biểu thức sau

3

πsin(

a)3

4

π(2