Khai thác bài tập toán phần công thức biến đổi lượng giác tang và cotang

Thực tế trong thời gian học tập ở nhà trường phổ thông cũng như trên đại học, cho thấy: khi làm các bài tập liên quan tới các hàm số lượng giác thì mặc dù vẫn có được lời giải đúng cho b

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên Ngành: Phương pháp dạy học toán

Người hướng dẫn khoa học

ThS Nguyễn Văn Hà

hà nội - 2010

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, các thầy cô giáo trong khoa Toán và các thầy cô giáo tổ bộ môn phương pháp đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình học tập tại trường và tạo điều kiện cho em thực hiện khoá luận tốt nghiệp

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Văn

Hà, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo em trong quá trình học tập, nghiên

cứu và hoàn thành khoá luận này

Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Những số liệu và kết quả trong khoá luận là hoàn toàn trung thực Đề tài chƣa từng đƣợc công bố trong bất cứ một công trình khoa học nào

MỤC LỤC

trang

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài……… …….4

2 Mục đích nghiên cứu……….………… …….4

3 Nhiệm vụ nghiên cứu……… ………… ….…… 5

4 Phương pháp nghiên cứu……… …….…5

5 Cấu trúc khoá luận……… …… … 5

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN A Bài toán và lời giải của bài toán 1 Khái niệm……… …….……… 6

2 Vại trò, ý nghĩa của bài tập toán học……… …6

3 Phân loại bài toán……… 8

4 Phương pháp giải một bài toán……… ….9

B Nội dung chương trình lượng giác ở trung học phổ thông……… …12

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG DẠY HỌC A Các kiến thức cơ bản……… … 13

B Các dạng bài tập……… 20

Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của một góc khi biết giá trị giá trị lượng giác của góc liên quan tới góc đó…… ….….20

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức……….…… … 29

Dạng 3: Rút gọn biểu thức và tính giá trị của biểu thức……… 36

Dạng 4: Phương trình lượng giác……… 40

Dạng 5: Nhận dạng tam giác……… …… 57

Dạng 6: Tích phân……… …………63

C Bài tập luyện tập……… …………71

KẾT LUẬN ……….… … ….89

TÀI LIỆU THAM KHẢO……….………90

Thực tế trong thời gian học tập ở nhà trường phổ thông cũng như trên đại học, cho thấy: khi làm các bài tập liên quan tới các hàm số lượng giác thì mặc dù vẫn có được lời giải đúng cho bài toán, tuy nhiên lời giải nhiều khi còn quanh co, vòng vèo Nguyên nhân là do người làm toán không nắm vững các công thức biến đổi lượng giác, nhìn nhận vấn đề không được thoáng Với một bài toán nói chung và bài toán lượng giác nói riêng thì có nhiều cách giải khác nhau, có thể là phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ Trong đó có một phần lớn các bài toán trong đại số và giải tích có thể giải bằng cách lượng giác hoá, ta được cách giải ngắn gọn, dễ hiểu cho bài toán

Vì vậy, trong mọi kì thi luôn ra những bài toán liên quan tới lượng giác, các công thức biến đổi lượng giác

Xuất phát từ sự say mê của bản thân, ham muốn học hỏi, tìm tòi, nghiên cứu sâu hơn về lượng giác, với mong muốn có được kiến thức vững hơn về lượng giác để chuẩn bị cho việc giảng dạy sau khi ra trường, cùng với

sự động viên khích lệ của thầy giáo Nguyễn Văn Hà mà em đã chọn đề tài :

“Khai thác bài tập toán phần công thức lượng giác tang và cotang”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu chủ yếu của đề tài là:

- Giúp cho học sinh hệ thống tốt hơn các dạng bài tập về lượng giác, đặc biệt là các dạng bài tập liên quan tới hai công thức biến đổi lượng giác tang và cotang

- Nghiên cứu sâu hơn về lượng giác để có được kiến thức tốt hơn về lượng giác, đồng thời làm tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu với nhiệm vụ:

- Nghiên cứu lý luận chung

+ Bài toán và lời giải của bài toán

+ Nội dung chương trình lượng giác ở trường phổ thông

- Hệ thống hóa phương pháp giải các dạng bài tập liên quan tới hai công thức biến đổi lượng giác tang và cotang, dưới dạng cơ bản và nâng cao nhằm phục vụ cho việc giảng dạy: “Lượng giác cho học sinh phổ thông”

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Dựa vào những tài liệu sẵn có,

những thành tựu của nhân loại trên những lĩnh vực khác nhau để vận dụng vào phương pháp dạy học môn Toán

- Phương pháp quan sát điều tra: Là phương pháp quan sát một sự vật hiện tượng nào đó để thu lượm những số liệu, cụ thể đặc trưng cho quá trình diễn biến của hiện tượng

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Thực chất là đánh giá và khái quát kinh nghiệm, từ đó phát hiện ra những vấn đề cần nghiên cứu, hoặc khám phá những mối liên hệ có tính quy luật của hiện tượng giáo dục

- Phương pháp thực nghiệm giáo dục: Cho phép ta tạo nên những tác động giáo dục, từ đó xác định và đánh giá kết quả của những tác động đó

5 Cấu trúc khoá luận

Phần 1: Mở đầu

Phần 2: Nội dung, bao gồm 2 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận Chương 2: Ứng dụng trong dạy học Phần 3: Kết luận

PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

A BÀI TOÁN VÀ LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN

1 Khái niệm

Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm môt cách

có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt đươc ngay

Từ định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy: Bài toán là sự đòi hỏi phải đạt tới một mục đích nào đó Như vậy bài toán có thể đồng nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán như: đề toán, bài tập…

Bài tập là bài toán trong đó có những yêu cầu đặt ra cho người học nhằm đạt được mục đích dạy học nào đó

2 Vai trò, ý nghĩa của bài tập toán học

a Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh

Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm toán học và các kết luận toán học Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân tích dữ kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các kiến thức đã biết khác có liên quan đến bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến

thức mới nữa… Cuối cùng, chúng ta đi đến được lời giải của bài toán

Như vậy khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng được củng cố qua lại nhiều hơn

b Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh

Đặc điểm nổi bật của môn toán là một môn khoa học suy diễn, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề

Do đó lời giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác có thứ

tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rất rõ rệt

Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta năng lực sử dụng các phép suy luận hợp logic: suy luận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn…

Chúng ta biết rằng không thể có một phương pháp chung nào để giải được mọi bài toán

Mỗi bài toán có một hình, một vẻ khác nhau, muốn tìm được lời giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích: phải biết cách dự đoán kết quả, kiểm tra kết quả, biết cách liên hệ tới các vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp khái quát hoá…

Như vậy qua việc giải bài toán năng lực tư duy sáng tạo được rèn luyện

và phát triển

c Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh

Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứ của bộ môn khoa học nào là hiểu, nhớ và vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết được

các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó

Trong việc giảng dạy toán thì bài toán lại tham gia vào trong mọi tình huống của quá trình dạy học môn toán

Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán được sử dụng để tổ chức gây tình huống để dẫn dắt cho học sinh có thể đi đến định nghĩa khái niệm Bài toán được sử dụng đã nêu ra làm các ví dụ và phản ví dụ minh hoạ cho khái niệm Bài toán được sử dụng để luyện tập, củng cố vận dụng khái niệm

Trong giảng dạy định lý toán học: Bài toán có thể được sử dụng để tổ chức gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lý toán học Bài toán có thể được sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lý, đặc biệt là việc tổ chức hướng dẫn học sinh chứng minh định lý chính là việc tổ chức hướng dẫn học sinh tập tìm ra lời giải của một chương nào đó của môn học

Trong luyện tập toán học : Bài toán là phương tiện chủ yếu trong các tiết luyện tập toán học Trong đó người giáo viên phải xây dựng được một hệ thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng

cố các kiến thức và hình thành một số kĩ năng cơ bản nào đó

d Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh

Đặc biệt cơ bản trong tính cách của con người là: Mọi hoạt động đều có mục đích rất rõ ràng Khi giảng một bài toán ta luôn có định hướng mục đích rất rõ rệt, vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động của con người

Để giải một bài toán nhất là đối với các bài toán khó ta phải vượt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn nại và nhiều khi ta phải có quyết tâm rất lớn để giải bài toán đó

Nói theo cách của G.POLYA thì: “Khát vọng và quyết tâm giải được bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài toán”

Do vậy ta thấy rằng: Hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con người

3 Phân loại bài toán

Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được mục đích nhất định, thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi

a Phân loại theo hình thức bài toán:

Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán: Kết luận của bài toán đã cho hay chưa để phân chia bài toán thành 2 loại:

- Bài toán chứng minh: Là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa ra một cách rõ ràng trong đề bài toán

- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa sẵn sàng trong đề bài toán

b Phân loại theo phương pháp giải toán:

Người ta căn cứ vào phương pháp giải toán: Bài toán này có angôrit giải hay chưa để chia các bài toán thành hai loại:

- Bài toán có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theo một angôrit nào đó hoặc mang tính chất angôrit nào đó

- Bài toán không có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của

nó không theo một angôrit nào đó hoặc không mang tính chất angôrit nào đó

c Phân loại theo nội dung bài toán:

Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành các loại khác nhau như sau:

+ Bài toán số học

+ Bài toán đại số

+ Bài toán hình học

d Phân loại theo ý nghĩa giải toán:

Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải toán để phân loại bài toán: Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng nào đó, hay bài toán nhằm phát triển tư duy Ta có hai loại bài toán như sau:

- Bài toán củng cố kỹ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau khi học hoặc một vài kiến thức hay kỹ năng nào đó

- Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các kiến thức cũng như kỹ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo

4 Phương pháp giải một bài toán

Phương pháp tìm lời giải của bài toán: Dựa theo 4 bước của G.POLYA

a Bước 1: Tìm hiểu đề

Trước khi giải một bài toán ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìm hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:

- Những cái đã biết? cái gì chưa biết của bài toán ?

- Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay đổi biến thiên của bài toán

- Xác định các ẩn và giá trị hằng của bài toán

- Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết hay không ?

b Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Để tìm lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bước xây dựng chương trình giải là bước quyết định, đồng thời cũng là bước khó khăn nhất Bước này đòi hỏi chúng ta phải huy động các kiến thức đã biết để nhận xét, so sánh, bác bỏ từ đó mới có thể tiếp cận tới lời giải của bài toán

Chúng ta có thể tiến hành xây dựng chương trình giải theo phương pháp sau:

- Phương pháp đi xuôi:

Xuất phát từ các giả thiết của bài toán được lấy làm tiền đề, bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra các hệ quả logic của các tiền đề đó Tiếp tục chọn lọc trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận của bài toán làm tiền đề mới Lại bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra các hệ quả logic mới gần gũi hơn với kết luận Cứ tiếp tục quá trình ấy, chúng ta tìm ra được hệ quả logic trùng với kết luận của bài toán Khi ấy ta tìm được lời giải của bài toán

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:

Tiếp tục chúng ta chọn lọc trong đó để lấy ra tiền đề gần gũi với giả thiết của bài toán để làm kết luận mới từ đó rút ra tiền đề logic mới của các kết luận mới này…Quá trình ấy lại được tiếp diễn ta tìm được các tiền đề logic trùng với giả thiết của bài toán, ta được lời giải của bài toán

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:

c Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, ta dùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh

đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán

Trong bước thực hiện chương trình giải một bài toán cần chú ý phân biệt sự khác nhau giữa những điều đã thấy được và những điều suy ra được -chính là điều chứng minh được

d Bước 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán

Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm được của bài toán

Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán

Nghiên cứu các bài toán có liên quan

Ví dụ 1 Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau:

sẽ chứng minh tam giác đó có hai góc nào đó bằng nhau

Hơn nữa ta thấy trong đẳng thức đã cho thì vai trò của góc A và C là

Biến đổi đẳng thức đã cho bằng cách làm mất sự có mặt của góc B

B 180 (AC)

Vậy ABC là tam giác cân tại B

Ví dụ 2 Phân tích tìm lời giải của bài toán sau :

1 aP

Nhận xét cách giải: Để tính tổng S (hoặc P) là các tổng hữu hạn gồm n số

hạng, ta nhân tổng đó với a, rồi xét hiệu aS – S hoặc S – aS Từ đây ta tính được S

Bằng phương pháp tương tự ta có thể tính được tổng sau :

A a 2a2 3a3nan

B NỘI DUNG CHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chương 6 (ĐS10NC): Góc lượng giác và công thức lượng giác

Bài 1: Góc và cung lượng giác

Bài 2: Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

Bài 3: Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt Bài 4: Một số công thức lượng giác

Ôn tập chương 6

Chương 1 (ĐS&GT11NC): Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài 1: Các hàm số lượng giác Bài 2: Phương trình lượng giác

Bài 3: Một số dạng phương trình lượng giác cơ bản

Ôn tập chương 1

CHƯƠNG II ỨNG DỤNG TRONG DẠY HỌC

π4

π3

π 2

12

22

22

1

III Các công thức lƣợng giác cơ bản

1 Công thức lƣợng giác cơ bản

2

2 Giá trị lƣợng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a, Cung đối nhau: α và α

b, Cung bù nhau: α và π α

c, Cung hơn kém π: α và α π

1 tanα.tanβtanα tanβsin(α β) sinα.cosβ cosα.sinβ tan(α β)

1 tanα.tanβcotα.cotβ 1cos(α β) cosα.cosβ sinα.sinβ cot(α β)

cotα cotβcos(α β) cosα.cosβ sinα.sinβ c

21

2tanα cotα

sin2α

IV Các hệ thức cơ bản trong tam giác

1 Hệ thức cơ bản trong tam giác vuông

5 Bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác

* Các kí hiệu dùng cho phần hệ thức lượng trong tam giác:

• A, B,C lần lượt là ba góc BAC, CBA, ACB của   ΔABC

• h , h , h lần lượt là độ dài ba đường cao hạ từ đỉnha b c A, B, Ccủa ΔABC

• l , l , l lần lượt là độ dài ba đường phân giác trong của ba góc a b c A, B, C

• m , m , m là độ dài ba đường trung tuyến của a b c ΔABC

• r , r , r lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp góc a b c A, B, Ccủa ΔABC

0 0 0

0

sin 225

cos 225cos 225

10π3

103

2

31

a Hãy tính cos2α; sin 2α; tan 2α2 2 theo m (giả sử tan2α xác định)

tan

2 xác định)

Lời giải:

αsin

cos2



αtan

0

11

tan2β

14

  

 

Chứng minh rằng (khi các biểu thức có nghĩa):

2

2 2

tanα tanβ tanγ tanα tanβ tanγ

đpcm

Bài 6 (SGKĐS10NC_BT52b_T216)

Chứng minh rằng với α mà cos kα 0 (k 1,8)  và sinα 0 thì

VP tanα cotα tan3α cot3α tan3α tanα cot3α cotα

Bài 2 Chứng minh các đẳng thức sau:

a tan(α β) tanα tanβ tan(α β).tanα.tanβ;  

3tan3α tanα tan(α 60 ) tan(α 120 ).  

Lời giải:

a Ta có

Bài 3 Chứng minh các đẳng thức sau:

a cot xtan x2cot 2x;

cot x tan x 2tan2x2(cot 2xtan2x)

hay cot x tan x 2tan2x 4cot4x (2)

Từ (1) và (2) ta đi đến:

cot x tan x 2tan2x4tan4x 4(cot4x tan4x) 8cot8x

Vậy cot x tan x 2tan2x 4tan4x 8cot8x.   (3)

* Nhận xét: Lần lượt viết lại các đẳng thức (1), (2), (3) như sau:

cot x tan x 2 tan2 x2 tan2 x 2 cot 2 x

Khi đó với cách chứng minh tương tự như phần c, và sử dụng phương pháp

quy nạp toán học thì ta có công thức tổng quát sau:

VT tan3 tan17 tan23 tan37 tan43 tan57 tan63 tan77 tan83

(tan3 tan57 tan63 ).(tan17 tan43 tan77 ).(tan23 tan37 tan83 )

Bài 5 (Học Viện Quan Hệ Quốc Tế_2001-2002)

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:

* Lưu ý: Khi rút gọn một biểu thức phụ thuộc vào biến số mà ta được kết quả

là hằng số thì ta nói biểu thức ban đầu không phụ thuộc vào biến số

b 2 2 2 2 2

B sin α tan α 4sin α tan α 3cos α 

(Giả sử các biểu thức đã cho đều có nghĩa)

A tan10 tan20 tan30 tan70 tan80

tan10 tan20 tan30 tan40 cot 40 cot 30 cot 2 0 cot10

(tan10 cot10 ).(tan20

A tan10 tan20 tan30 tan70 tan80

tan10 tan20 tan30 tan40 cot40 cot30 cot20 cot10

(tan10 cot10 ).(tan20

tan(3.6 ).tan 42 tan 78 cot 54



[ tan18 tan(600 0 18 ).tan(600 0 18 )].cot540 0