Giải gần đúng phương trình vi phân thường

Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến việc giải phương trình vi phân, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò rất quan trọng tr

Lời nói đầu

Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển chia thành hai lĩnh vực đó là: Toán học lý thuyết và toán học ứng dụng Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến việc giải phương trình vi phân, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết toán học

Chúng ta biết rằng chỉ một số ít phương trình vi phân thường là có thể tìm được nghiệm chính xác Trong khi dó phần lớn các phương trình vi phân nảy sinh từ các bài toán thực tiễn đều không tìm được nghiệm chính xác Do vậy chúng ta phải nhờ tới các phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng Xuất phát từ nhu cầu đó, các nhà khoa học đã nghiên cứu tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng phương trình vi phân thường

Là một sinh viên chuyên nghành toán em may mắn có cơ hội nghiên

cứu về đề tài: “Giải gần đúng phương trình vi phân thường” Dưới sự giúp

đỡ tận tình, sự chỉ bảo ân cần của thầy giáo: TS Nguyễn Văn Hùng Với sự say mê toán, sự tích cực tìm tòi nghiên cứu của mình em đã hoàn thành được

đề tài nghiên cứu này

Đề tài của em gồm 3 phần: Lời nói đầu, nội dung, kết luận

Nội dung gồm:

Chương 1: Các kiến thức bổ trợ Chương 2: Giải gần đúng phương trình vi phân thường

Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy giáo: TS Nguyễn Văn Hùng đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành đề tài này

Em xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo khoa toán, các thầy cô

lớp k32 cử nhân toán, đã giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho em trong suốt quá trình hoàn thành bản khóa luận này

Do lần đầu tiên tiếp xúc với nghiên cứu khoa học và do thời gian có hạn nên đề tài của em chắc chắn không thể tránh khỏi thiếu sót Em mong được sự thông cản của các thầy cô giáo cùng các bạn sinh viên

Hà nội ngày 5 tháng 4 năm 2010

Một hàm số x xác định trên tập N các số tự nhiên khác không được gọi là dãy số vô hạn (hay gọi là dãy số Tập giá trị của dãy số x gồm vô số phần tử x 1 x x1;  2 x2; ;x n  x n Người ta thường viết dãy số dưới dạng x x1, 2, ,x n,

Dãy số x x1, 2, ,x n, được gọi là dãy dừng nếu tồn tại số nguyên dương N sao cho 0 x n c với mọi nN0 Ở đây c là một hằng số nào đó (và gọi là hằng số dừng)

Dãy số x x1, 2, , x n được gọi là:

Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho x n M với mọi 1,2,

n

Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho x n m với mọi n1,2, Dãy bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới

1.1.2 Giới hạn của dãy số

Ta nói rằng dãy số  x có gới hạn là a nếu với mọi số dương n  cho

trước (nhỏ hơn bao nhiêu tùy ý), tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi

nN thì x n  a  Ta viết lim n

n x a

  hay viết là limx n a

1.1.3 Tổng n số hạng đầu tiên của dãy số:

Cho dãy số  x tổng n số hạng đầu tiên của dãy số được kí hiệu là n

a Khái niệm sai phân:

Giả sử f R: R là một hàm số cho trước và h là một hằng số khác 0

là sai phân cấp hai của hàm số y f x 

i i

      1   2   2     

n n

i i

h

p x i

n

i

n i



i i n i

k k





Sai phân cấp i của đa thức bậc n là:

   được gọi là sai số tương đối của a

Ví dụ 1: Cho số xn a; 3,14;a n

3,14a 3,15 ;  a 0,01 3,14a3,142 ;  a 0,002

Ví dụ 2: Cho số xe a; 2,71;a e

2,71a 2,718 ;  a 0,008 2,71a 2,7182 ;  a 0,0082Trong phép đo nói chung sai số tuyệt đối càng nhỏ càng tốt

Ví dụ 3: A500 m  a 0,09

B4km  b 10m

Phép đo B chính xác hơn phép đo A

Vậy độ chính xác của phép đo phản ánh qua sai số tương đối

Thu gọn a là vứt bỏ một số các chữ số bên phải của a để được một số

a ngắn gọn hơn nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết



a Chữ số có nghĩa: Là mọi chữ số khác 0 và cả chữ số 0 nếu nó kẹp

giữa 2 chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại

a8,60432 0,001 10

Chọn 1

2

 thì a có ba chữ số chắc là: 8,6,0 còn lại ba chữ số không chắc là: 4,3,2

Ta xét việc chọn : Giả sử số a được biết:

 p.10p p q.10p q



Vậy i1 vốn là chắc Ta chọn  để sao cho khi thu gọn đến đúng bậc

i1 thì có i1 vẫn là chắc Muốn vậy ta phải có:

1.10i

Giả sử hàm f x 1, x là hàm số khả vi liên tục theo tất cả các biến n

1.2.2.3 Sai số của một thương

1 2

x y x

1.2.3 Bài toán ngược của bài toán sai số

Giả sử y f x x 1, 2, ,x n Cần tính xi để  y    0cho trước Theo công thức tổng quát của sai số tính toán ta phải có:

1

n y i

f xi

R

12

V

R h r

0,1

0,0033,12

Cấp của phương trình là đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong phương trình

Hàm số y x được gọi là nghiệm của phương trình (1.3.1.1) nếu thay y x ; 'y ' x , ; y n  n  x vào (1.3.1.1) thì ta được đồng nhất thức

Hàm số y  x c, cR có đạo hàm riêng theo biến xđến cấp n

được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình n(1.3.1.1)

Nếu:  x y, D (D là miền xác định của phương trình) ta có thể giải

ra đối với c; c x y,

Hàm y x c, thỏa mãn k(1.3.1.1)

Thì  x y chạy khắp D với c,  R

1.3.2 Một số phương trình vi phân đã biết cách giải

a Phương trình vi phân có biến số phân li:

Nếu c c1 0 thì (3) là phương trình thuần nhất cấp 1

1 10; 0; a b 0



  (1.3.1.4) 1:

z y và đưa về phương trình tuyến tính không thuần nhất

1.3.3 Định lý Pica-Lindolov (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm)

Giả sử hàm f x y xác định và liên tục trong miền G:  ,

 

 , ; 0 ; 0 

G x y xx a y y b Đồng thời thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y Khi đó tồn tại một

dãy nghiệm gần đúng của phương trình dy f x y ,

    (1.3.1.5) ……

Dãy hàm n x  gọi là nghiệm gần đúng của phương trình đã cho Ta

sẽ chứng minh dãy n x  hội tụ đều Gọi  x là nghiệm đúng của phương

trình, ta có:      

0

x x

Chương 2: Các phương pháp giải gần đúng

phương trình vi phân thường

i Nếu f x y là Lipsit đối với biến y trong miền G thì liên tục đều  ,

theo biến y , đối với mỗi x sao cho  x y, G

ii Nếu f x y là hàm liên tục theo  , x thỏa mãn điều kiện Lipsit đối

với biến y trong miền G thì f x y là liên tục trong miền G  ,

2.1.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard

Xét bài toán Cauchy:

Tìm y x thỏa mãn điều kiện:  

     

0

x x

y x  y   f t y t dt (2.1.2.3) Nội dung của phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard là thay côh việc tìmnghiệm đúng của (2.1.2.3) ta tìm nghiệm gần đúng thứ n theo công thức quy nạp:

Trong đó y x là nghiệm đúng của phương trình (2.1.2.3) Trừ từng vế  

của (2.1.2.3) cho (2.1.2.4) ta được:

Áp dụng liên tiếp (9) ta được:

1 !

n n

Khi n  thì n x 0 và y x n y x  trên đoạn x x0, 0 h

(xem phần chứng minh định lý Picard_Lindolor)

Ví dụ 1: Áp dụng phương pháp Picard giải bài toán Cauchy sau:

f x y x  y xác định trên toàn mặt phẳng nên có thể chọn

a,b tùy ý Đặt: b ka , khi đó miền G là: G  x y, : x a y; b a b; , 0

Nếu k cố định thì giá trị lớn nhất của h đạt được khi:

11

Nếu sử dụng công thức sai số (2.1.2.6) thì:

Ví dụ 2: Xét bài toán Cauchy:

2.1.3 Phương pháp chuỗi số nguyên

Để giải gần đúng phương trình vi phân trong một số trường hợp ta có thể sử dụng một số phương pháp khai triển nghiệm theo công thức Taylor Trong lân cận điểm x y và giữ lại một số các số hạng cần thiết Ta thấy 0, 0

các phương pháp này chỉ có lợi khi khoảng cần xác định nghiệm là một lân cận khá bé của điểm x y 0, 0

Giả thiết là hàm f x y ở vế phải của phương trình (2.1.2.1) là giải  ,tích trong lân cận điểm x y0, 0 Điều đó có nghĩa là hàm f x y khia triển  ,được thành hai chuỗi số nguyên

Và chuỗi này hội tụ trong lân cận điểmx y với gải thiết đó bài toán 0, 0

cosi có n(2.1.2.1),(2.1.2.2) ghiệm duy nhất trong một lân cận đủ bé của x và 0

có thể biểu diễn được dưới dạng chuỗi Taylor:      

; 1,2, ,

!

k N

k N

Nhận xét: phương pháp chuỗi số nguyên rất dễ thực hiện bởi vì ta chỉ

việc tính đạo hàm Nhưng tính toán rất phức tạp, hơn nữa bán kính hội tụ của chuỗi y x rất khó xác định

Ví dụ 3: Bằng phương pháp chuỗi số nguyên tìm nghiệm gần đúng của

bài toán Cauchy sau:

2.2: Phương pháp Euler và Euler cải tiến

2.2.1 Phương pháp Euler:

Từ điểm ban đầu A x y của đường cong tích phân, nhờ phương  0, 0

trình vi phân y' f x y , ta có thể xác định gần đúng giá trị của y x ở các  

điểm tiếp theo: x0  x1 x n  x0 a bằng phương pháp đơn giản sau đây:

Theo công thức Taylor ta có:

y x    i1  y x i  x i1 x i   'y x i (2.2.1.2) Công thức (2.2.1.2) cho ta tính được các giá trị y i; i1,2, ,n

Ta đặt như sau: x i1 x i h; i1,2, ,n1 do đó

y i1  y i hf x y i, i (2.2.1.3) Nối liền các giá trị y bằng những đoạn thẳng ta được một đường gấp i

khúc, goi là đường gấp khúc Thực Euler chất phương pháp Euler là ta thay đạo hàm ở các mốc x bằng các tỷ số sai phân cấp 1 của g (cho i y f x  xác định trên tập ,x h0;hconst, số gia  f f x h f x  gọi là sai phân cấp 1 của f x tại   x

Nhận xét:

Từ lý luận trên ta thấy nếu n càng lớn thì đường gấp khúc này càng gần đường cong tích phân, nhưng nếu càng tăng n thì khối lượng tính toán sẽ tăng lên

Ví dụ 1: Tìm các nghiệm gần đúng của phương trình sau bằng phương

2 i

i i

x y y

0 h Để nâng cao độ chính xác của nghiệm gần đúng thông thường người ta

không trực tiếp sử dụng công thức (2.2.1.3) mà phương pháp Euler dưới dạng cải tiến

2.2.2 Phương pháp Euler cải tiến:

Nhược điểm của phương pháp Euler là ở chỗ trong y ichỉ tính đến giá trị đạo hàm ở điểm x y i, i;  y i hf x y i, i mà không chú ý đến sự thay đổi của đạo hàm nên sai số lớn Phương pháp hình thang hay còn gọi là phương pháp Euler -Cauchy giúp ta tránh bớt những nhược điểm trên

Ta có sai số của phương pháp Euler:

-Ví dụ: Sử dụng phương pháp Euler cải tiến tìm nghiệm gần đúng của:

2.3: Phương pháp Runge Kuta

2.3.1.Phương pháp Runge lần đầu tiên được Runge đề ra, sau đó được Kuta

và Hayner cùng các nhà toán học khác hoàn chỉnh

thức (3.3.3) trùng nhau tới một số hạng càng nhiều càng tốt với hàm f và

bước h tùy ý Điều đó có nghĩa là phải chọn  i, i j,r i sao cho hàm:

Điều kiện m 0 0 luôn được thỏa mãn Bây giờ ta xét các điều kiện còn lại:  1  

m m

m m k k k

Ta được công thức Euler quen thuộc và ước lượng sai số của nó

r r

Như vậy để xác định 8 hệ số r r r1, , ,2 3     2, 3, 21, 31, 32 ta có 6 phương

181121

41

Ví dụ : Sử dụng phương pháp Runge Kutta tìm nghiệm của phương

0,02472

1

0,1 0,97528 0,24382 0,024779 0,024779 0,15 0,96289 0,24072 0,025429 0,050858 0,15 0,96257 0,24064 0,025413 0,050826 0,2 0,94987 0,23747 0,026557 0,026557

0,02550

2

0,2 0,94978 0,23745 0,026553 0,026553 0,25 0,93650 0,23413 0,028176 0,056352 0,25 0,93569 0,23392 0,028138 0,056276 0,3 0,92164 0,23041 0,030236 0,030236

2.3.2 Phương pháp Runge Kutta

Phương pháp này có thể áp dụng để giải một hệ phương trình vi phân cấp 1 hay một phương trình cấp cao

Để giải hệ nếu ta dùng kí hiệu vector thì các công thức để tính y i hoàn toàn giống như trường hợp một phương trình

Với một phương trình cấp cao ta chỉ việc biến chúng thành một hệ tương đương

Công thức (3.3.21) cho hai hệ phương trình:

Đối với phương pháp Runge Kutta để tính một giá trị y i ta phải tính các giá trị f ở những điểm trung gian.Vì vậy nếu hàm f x y mà phức tạp  ;thì quá trình tính toán rất cồng kềnh

2.4: Phương pháp sai phân giải bài toán biên

Trong đó g là các số được gọi là những điều kiện biên của phương trình (2.4.1.1) cùng với các điều kiện (2.4.1.4) lập thành bài toán biên

Bài toán biên được gọi là thuần nhất nếu g 0;  1,m và

f x 

Trong trường khác ta gọi là không thuần nhất, đôi khi cũng có thể gọi

là bán thuần nhất nếu g 0 nhưng f 0 ta thấy rằng  x 0 dĩ nhiên thỏa mãn bài toán biên thuần nhất Nghiệm đó gọi là nghiệm tầm thường, ta chỉ chú ý đến nghiệm không tầm thường Dĩ nhiên nếu 1, ,k là những nghiệm của bài toán biên thuần nhất thì một tổ hợp tùy ý của chúng

1 1 k k

c  c cũng là nghiệm của bài toán đó

2.4.2 Điều kiện giải được của bài toán biên:

Có những bài toán biên không có một nghiệm nào cả:

hệ số c trong biểu thức: i   0 c1 1 c22  c nn; sao cho điều kiện (2.4.1.4) được thỏa mãn Vì vậy điều kiện cần và đủ để bài toán biên giải được ma trận:

n n

Nếu ma trận (2.4.2.1) có hạng r thì bài toán biên thuần nhất giải được

và có nr bậc tự do, vì vậy nó có nghiệm không tầm thường với mn Trong trường hợp mn bài toán biên thuần nhất chỉ có nghiệm không tầm thường khi định thức của ma trận (2.4.2.1) bằng không Như vậy trong trường hợp mn hoặc bài toán biên không thuần nhất có duy nhất một nghiệm hoặc bài toán biên thuần nhất tương ứng có ít nhất một nghiệm không tầm thường

2.4.3 Đưa bài toán biên về bài toán Cauchy

Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2: L y  f x 

Với điều kiện ban đầu: y a  y a; y b  y b (2.4.3.1)

Ta có thể thay việc giải bài toán biên (2.4.3.1) bằng việc giải 2 bài toán Cauchy sau đây:

Dễ dàng thử lại rằng y x được xác định bằng công thức (2.4.3.3) thỏa  

mãn bài toán biên (2.4.3.1)

Vậy ta có thể áp dụng các phương pháp giải bài toán Cauchy vào việc tìm nghiệm gần đúng của bài toán biên

2.4.4 Phương pháp sai phân

Giả sử cần tìm nghiệm gần đúng của bài toán biên (2.4.1.1)- (2.4.1.4) ta làm như sau:

Chia đoạn  a b thành n phần bằng nhau: ,

công thức để tính gần đúng đạo hàm sau đây:

Sau khi sai phân hóa ta được hệ thống phương trình:

k y h

Thay vào hệ giải được: y1 0,7568

y2  0,3424

y3 0,1063

y4 0,0459

Kết luận

Giải gần đúng phương trình vi phân thường có rất nhiều cách Nhưng

do điều kiện thời gian, trình độ, và năng lực bản thân em có hạn nên trong khóa luận này em chỉ nêu ra một số phương pháp thường dùng

Qua quá trình nghiên cứu, hoàn thành khóa luận em đã rút ra nhiều điều

bổ ích trong việc nghiên cứu khoa học

Vấn đề nghiên cứu còn rất nhiều điều lý thú và bổ ích Tuy nhiên do lần đầu tiên tiến hành nghiên cứu khoa học, do thời gian, kinh nghiệm có hạn nên khóa luận tốt nghiệp này của em còn nhiều điều cần bổ sung Em kính mong nhận được sự góp ý của thầy cô, cũng như các bạn sinh viên khoa toán

Để hoàn thành bản khóa luận này em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy, cô giáo trong khoa toán, thầy (cô) giáo trong tổ bộ môn giải tích cùng các bạn sinh viên lớp k32 cử nhân-toán

Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo: Tiến Sĩ Nguyễn Văn Hùng đã tận tình hướng dẫn cho em hoàn thành khóa luận một cách tốt nhất

Em xin chân thành cảm ơn

Tài liệu tham khảo

Mục lục

trang

Lời cảm ơn Lời nói đầu

Nội dung:

Chương 1: Kiến thức bổ trợ Bài 1: Sai phân 3

Bài 2: Số gần đúng, sai số 10

Bài 3: Một số kiến thức về phương trình vi phân thường 16

Chương 2: Các phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân thường Bài 1: Một số phương pháp giải tích 22

Bài 2: Phương pháp Euler và Euler cải tiến 29

Bài 3: Phương pháp Runge-Kutta 33

Bài 4: Phương pháp sai phân giải bài toán biên 45

Kết luận 51

Tài liệu tham khảo 52