Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trong các không gian định chuẩn rn, ℓ p (p≥1), c0

Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lý thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của giải tích, đại số, phương trình vi phân… Trong quá trình phát triển

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

1

Lời cảm ơn

Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi bước đầu tập dượt nghiên

cứu đề tài khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô

giáo và các bạn trong khoa

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo PGS TS

GVCC Nguyễn Phụ Hy người đã trực tiếp hưỡng dẫn chỉ bảo tận tình để em

có thể hoàn thành bản khoá luận này

Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ giải

tích, ban chủ nhiệm khoa Toán – Trường ĐHSP Hà Nội2, các cô chú trong

thư viện nhà trường đã tạo điều kiện thuận lợi để em có cơ hội để hoàn thành

công việc của mình

Ngày tháng 5 năm 2007

Sinh viên

Nguyễn Thị Khánh Ly

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

2

Lời nói đầu

Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào khoảng nửa

đầu thế kỷ XX, hiện nay đã được xem là ngành toán học trọng điển Nội dung

của nó là sự hợp nhất của những lý thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng

một số khái niệm và kết quả của giải tích, đại số, phương trình vi phân…

Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, giải tích hàm đã tích luỹ được

một nội dung hết sức phong phú, bao gồm:

- Lý thuyết các không gian trừu tượng ( không gian metric, không gian

định chuẩn, không gian tôpô và toán tử tôpô)

- Lý thuyết và toán tử tuyến tính

- Lý thuyết các bài toán cực trị, giải tích hàm phi tuyến, giải gần đúng

phương trình toán tử

- Lý thuyết nội suy toán tử, giải tích hàm ngẫu nhiên

Những phương pháp, kết quả rất mẫu mực và tổng quát của giải tích

hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và có sử dụng

đến những công cụ giải thích và không gian vec tơ Ngoài ra nó còn ứng dụng

trong vật lý lý thuyết và trong một số lĩnh vực kỹ thuật

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này

và bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài:“

Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trong các không gian định

chuẩn n

,l (p ³ 1),c

¡ ” Nghiên cứu đề tài này em có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về

không gian vô hạn chiều mà cụ thể ở đây là không gian n

,l (p ³ 1),c

có thêm kiến thức về các vấn đề của giải tích,sự khác nhau của chúng trên các

không gian khác nhau, xét ở khía cạnh khác nhau

Nội dung của khoá luận gồm 3 chương:

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

3

Chương 1: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên

không gian định chuẩn ¡ n

Chương 2: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên

không gian định chuẩn l (pp ³ 1)

Chương 3: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên

không gian định chuẩn c 0

Do thời gian nghiên cứu và năng lực có hạn nên một số vấn đề đặt ra

trong khoá luận còn chưa được giải quyết triệt để Em rất mong được sự giúp

đỡ và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn để khoá luận này được

hoàn thiện hơn

Ngày tháng 5 năm 2007

Sinh viên

Nguyễn Thị Khánh Ly

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

4

Chương 1: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục

trên khôn gian ¡ n( ³ 1)

C).Ta định nghĩa hai phép toán như sau:

Ta gọi tổng của 2 phần tử x và y và kí hiệu là x + y là phần tử

¡ ncùng với hai phép toán cộng và nhân xác định ở trên lập thành một

không gian tuyến tính

Chứng minh:

Ta chỉ ra 2 phép toán định nghĩa ở trên thoả mãn 8 tiên đề của không

gian tuyến tính

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

a Công thức 1) cho ta một chuẩn trên ¡ n

Kiểm tra 3 tiên đề về chuẩn

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Vậy ¡ ncùng với chuẩn 1) là không gian định chuẩn

b Công thức 2) xác định một chuẩn trên ¡ n

Kiểm tra các tiên đề về chuẩn

Vậy ¡ n cùng với chuẩn 2)là một không gian định chuẩn

c Công thức 3) cho ta một chuẩn trên ¡ n , thật vậy:

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Vậy (¡ 2, .3) là một không gian định chuẩn

1.2 Không gian Banach ¡ n

Giả sử trên không gian tuyến tính ¡ ncho một chuẩn nào đó, kí hiệu .3

Định lý: 1.2.1

Không gian định chuẩn ¡ n là một không gian Banach

Chứng minh:

Theo định lý “ Mọi không gian định chuẩn n chiều đều đồng phôi

tuyến tính” nên chỉ cần chứng minh tính Banach của ¡ ntheo một chuẩn

(chẳng hạn . 2) Từ đó suy ra tính Banach của ¡ n theo các chuẩn còn lại

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

limx( )jk (*) Đặt (0) (0) ( ) 0 (0)

Vậy không gian định chuẩn ¡ n là một không gian Banach

1.3 Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục xác định trên

không gian ¡ n

n

¡ = {x = ( x1, x2, ,xn) / xi Î ¡ ; n Î ¥ *} Giả sử: trên ¡ n đã xác định một chuẩn nào đó kí hiệu .

Gọi ei = (dij)nj = 1, trong đó:

i j

d = 1nếu i¹ j,d =0 nếu i=j;i j " = i 1, n

là cơ sở của không gian ¡ n

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

i 1

f x

i 1

=

Þ £ å (4)

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

p p i

i 1

( x )

=

å x" = (xi) ni 1= Î ¡( n *) , P>1 Khi đó f" Î ¡( n *) ta có

i

j 1

f si gn(f )f

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

)

¡ cho bởi hệ thức (9)

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

ta định nghĩa các phép toán như sau:

Ta gọi tổng của 2 phân tử x và y, kí hiệu x + y là phần tử

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Ta chỉ ra 2 phép cộng và nhân xác định ở trên thoả mãn 8 tiên đề của

không gian tuyến tính

1 x" = (xn) n 1¥= , y = (yn) ¥n 1= Î l p ta có

xn + yn = xn + yn, " =n 1,2

Þ x + y = x + y (tiên đề 1 thoả mãn)

2 " = (xx n) n 1¥= , y = (yn) ¥n 1= , z = (zn) n 1¥= Î l p ta có

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

n 1x

n 1y

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Chứng minh:

10 x" = (xn) n 1¥= , Î l p ,

1 p p n

p p n

Vậy ánh xạ xác định chuẩn trên l p

2.1.4 Không gian Banach l p (1 £ < + ¥ ) p

Định lý 3.1.4

l p là không gian Banach

Chứng minh

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

22

Giả sử x(n)

= (xk (n)

)¥k 1= Î l p n = 1,2 là 1 dãy cơ bản bất kỳ trong

)k 1¥= là 1 dãy cosi trong ¡ Theo tiêu chuẩn cosi về sự hội tụ của dãy số, suy ra tồn tại

xk = lim x(n )k , k = 1,2

Cho k chạy từ 1 ® ¥ ta thu được dãy số x = (xk) k 1¥=

Bây giờ ta phải chứng minh x Î l p và lim x(n)- x = 0

n ® ¥

Thật vậy: Từ (1) suy ra, với số N bất kỳ, N Î ¥* ta có:

1 N

1 1

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Với 2 phần tử tuỳ ý x =(xn)n 1¥= Î l , y =(y¥ n)n 1¥= Î l¥ và a Î ¡

ta định nghĩa các phép toán như sau:

Gọi tổng của 2 phần tử x và y, kí hiệu và x + y là phần tử

x + y = (xn + yn)n 1¥=Gọi tích của 2 phần tử x và a , kí hiệu là a x là phần tử

+ " = (xx n)¥n 1= Î l¥ , " a Î ¡

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Chứng tỏ l¥ đóng kín với 2 phép toán trong bị ở trên

Định lý 2.2.2

¥

l cùng với 2 phép toán cộng và nhân trang bị ở trên lập thành một

không gian tuyến tính

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Vậy l là không gian tuyến tính thực ¥

2.2.3 Không gian định chuẩn l ¥

Định lý 2.2.3

Cho không gian tuyến tính thực l ,ta đưa vào ¥ l chuẩn của phần tử x, ¥

ký hiệu x , xác định như sau:

x =

nsup xn (2.2.2)

Khi đó, l cùng với chuẩn xác định bởi (2.2.2) lập thành một không ¥

là một ánh xạ

Thật vậy, tương ứng trên thoả mãn 2 điều kiện

+ Xác định khắp nơi:

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

* Kiểm tra 3 tiền đề của hệ tiến đề chuẩn

- Tiên đề 1: x" = (xn)¥n 1= , Î l ¥

x =

nsup xn ³ 0 vì x > 0 n " Î ¥ n *

x = q Û xn= 0 (" =n 1,2 ) Û

nsup x = 0 n Û x = 0

Từ (1) và (2) suy ra x+ y £ x + y

Þ Tiên đề 3 thoả mãn

Vậy công thức (*) xác định một chuẩn trên l Do đó ¥ l là một không ¥

gian định chuẩn xác định bởi công thức (*)

2.2.4 Không gian Banach l ¥

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

(" e < 0), ( n$ 0Î ¥*), ( m,n" ³ n0) ta có x(n)+ y(m) < e

hay

nsup x(n)k - x(m)k < e " m,n³ n0 (1)

Rõ ràng trong (1) với k cố định( k = 1,2 )

(n) (m)

x - x < e "m, n³ n0 (2) Suy ra dãy số ( (n)

k

x )¥n 1= là một dãy cơ bản trong ¡ , k = 1,2

Theo tiêu chuẩn cauchy về sự hội tụ của dãy số suy ra

$xk = (n )

k

nlim x

® ¥ ( k = 1,2 ) Cho k chạy từ 1 đến ¥ ta được dãy số x = (xk)¥k 1=

® ¥

- £ e Þ x(n) = x

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

28

Vì vậy dãy cơ bản (x(n)

) ¥n 1= Ì l hội tụ trong ¥ l tới x ¥ Î l nên ¥ l ¥

là không gian Banach

2.3 Phiến hàm tuyến tính liên tục tác động trong l p

2.3.1 Trường hợp p> 1

* Biểu diễn của 1 phần tử bất kỳ trong l p (p³ 1)

Trong không gian l p, ký kiệu:

e(n) = (dn k k 1)¥= , trong đó:d = 1 nếu n=k;nk d = 0 nếu n nk ¹ k,n=1,2

Khi đó, " =x (x )n n 1¥= Î l ta có biểu diễn duy nhất p

Vậy ta có biểu diễn ( *)

+ Ta chứng minh biểu diễn ( *) là duy nhất

Giả sử " Î lx p có 2 cách biểu diễn:

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

29

Vậy biểu diễn (*) là duy nhất

Định lý 2.3.1

Với p> 1, không gian ( l p )*( gồm tất cả các phiến hàm tuyến tính, liên

tục xác định trên không gian l p) đẳng cấu tuyến tính với không gian l p.

Trong đó số q thoả mãn điều kiện: 1 1

Khi đó, ta chứng minh được fu là phiến hàm tuyến tính liên tục trên l p

+)Chuỗi ở vế phải của (*) hội tụ:

Þ fu là 1 phiếm hàm tuyến tính xác định trên l p

+ fulà một phiếm hàm liên tục:

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Þ phiếm hàm fu bị chặn hay fu là một phiếm hàm liên tục trên l p

Vậy fu là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l , (fp u Î l( )p *) và

u

f £ u q(1) Nghĩa là, " = (uu n)¥n 1= Î l , trên không gian p l ta luôn thiết p

lập được phiến hàm tuyến tính dưới dạng: fu(x) = n n

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

31

Ta khảo sát tính chất của dãy số u = ( un)n 1¥= với mỗi số N Î ¥ , ta xét *

phần tử xN= (xn(N))¥n 1= Î l được xác định như sau: p

xn

(N)

=

q n

n n

unÕu n N vµ u 0u

0 trong c¸ c tr­ êng hî p cßn l¹i

íïï

ïìïïïïî

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

từ l q lên ( )l p *.Rõ ràng ánh xạ này tuyến tính, liên tục và từ đẳng thức

(3) ta suy ra đó là 1 phép đẳng cấu tuyến tính từ không gian l q lên không

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l (1 l1*) đẳng cấu

tuyến tính với không gian l ¥

Chứng minh:

Với mỗi phần tử u = (x )n n 1¥= Î l ta xác định phiếm hàm f¥ u trên

không gian l như sau: nếu x = 1 (x )n n 1¥= Î l thì 1

+ fu là một phiếm hàm tuyến tính:

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

¥

=

å (a xn+ b yn) = n n n n

n 1(u x u y

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

từ l ¥ lên l Rõ ràng ánh xạ này tuyến tính, liên tục và từ đẳng thức *1

(3) ta kết luận đó là phép đẳng cấu tuyến tính từ không gian l¥ lên không

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

36

3.1 Không gian tuyến tính c 0

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Như vậy c0 đóng kín với hai phép toán xác định ở trên

Kiểm tra 8 tiên đề:

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Vậy c0 là không gian tuyến tính với phép cộng 2 dãy số và phép nhân

một số thực với một dãy số được xác định trên đây

3.2 Không gian định chuẩn c 0

Định lý 3.2.1

c0 cùng với chuẩn sau là một không gian định chuẩn

n n

x = sup x , " x = (xn)n 1¥= , Î c0 (1)

Chứng minh

Dễ dàng thấy công thức (1) cho ánh xạ từ c0 vào ¡

Ta kiểm tra các tiên đề về chuẩn

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

mlim x x

® ¥ = , " Î ¥ n *Đặt x(0)

® ¥

Do đó, dãy x(m)

)¥m 1= hội tụ tới x(0) trong không gian c0

Vậy c0 là không gian Banach

3.3 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên

khônggian c 0

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Đặt x(m)

=

m (n) n

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Dãy (e )k k 1¥= , ek = d( ki j 1)n= , k = 1,2 là 1 cơ sở của c0

Với " =x (x )n n 1¥= Î c0 luôn biểu diễn duy nhất dưới dạng

å hội tụ tuyệt đối

Dễ dàng kiểm tra f tuyến tính và bất thẳng thức (*) chứng tỏ f bị chặn,

do đó f Î c0

*

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

Từ đó và từ hệ thức (4) ta nhận được không gian l vừa đẳng cấu đẳng 1

cự với không gian c0* nên ta dồng nhất l = c1 0*

Kết luận

Lý thuyết về phiến hàm tuyến tính và toán tử tuyến tính, là một trong

những nội dung quan trọng của Giải tích hàm Khoá luận này đã xây dựng

không gian tuyến tính, không gian định chuẩn, không gian Banach n

,

¡ l p và

c0

Do thời gian nghiên cứu và năng lực còn chế nên khoá luận mới chỉ đạt

ở một số kết quả nhất định Em rất mong các thầy cô giáo và bạn sinh viên

góp ý và nhận xét để bản khoá luận được đầy đủ và hoàn thiện hơn Đồng thời

em cũng có thêm kinh nghiệm để tiếp tục nghiên cứu sau này

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

43

Một lần nữa, cho em bày tỏ lòng biết ơn tời các thầy cô trong khoa

Toán trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt là thầy giáo PGS.TS.GVCC Nguyễn

Phụ Hy Người đã nhiệt tình hướng dẫn em hoàn thành bản khoá luận này

Tài liệu tham khảo

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

44

Giải tích hàm NXB Giáo dục -2001

4 Nguyễn Xuân Liêm

Bài tập giải tích hàm NXB Giáo dục-1979

7 Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải

Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm NXB ĐHQG Hà Nội-1999

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

45

Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán

46