Các điều kiện tối ưu theo dãy cho bài toán tối ưu trơn với các ràng buộc phiếm hàm

LỜI CAM ĐOANEm xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn VănTuyên khóa luận tốt nghiệp "Các điều kiện tối ưu theo dãy chobài toán tối ưu trơn với ràng buộc phiếm hàm" được hoàn

Cuối cùng, em muốn gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã luônquan tâm, động viên em trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Ngọc Mai

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn VănTuyên khóa luận tốt nghiệp "Các điều kiện tối ưu theo dãy chobài toán tối ưu trơn với ràng buộc phiếm hàm" được hoàn thànhkhông trùng với bất kì công trình nghiên cứu khoa học nào khác

Trong khi thực hiện nghiên cứu khoa học em đã sử dụng và thamkhảo các thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh Viên

Nguyễn Ngọc Mai

• Nếu ν ∈ Rn, ta kí hiệu ν+ = (max ν1, 0, , max νn, 0)T.

• Nếu ν ∈ Rn, ta kí hiệu ν− = (min ν1, 0, , min νn, 0)T

• A ⊂ B có nghĩa rằng tập A được chứa trong tập B

• B(x, δ) = {z ∈ Rn | kz − xk ≤ δ}

• ΠΩ(x) là hình chiếu Euclide của x trên Ω

Mục lục

1.1 Một số kiến thức cơ sở về giải tích lồi 4

1.1.1 Tập lồi 4

1.1.2 Hình chiếu 7

1.1.3 Các định lý tách 11

1.1.4 Nón 12

1.1.5 Hàm lồi 14

1.1.6 Hàm lồi khả vi 15

1.1.7 Dưới vi phân 18

1.2 Các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu trơn có ràng buộc 21 1.2.1 Các điều kiện cho bài toán tối ưu không có ràng buộc 21 1.2.2 Các điều kiện cho bài toán tối ưu có ràng buộc 22

2 Các điều kiện tối ưu theo dãy cho bài toán tối ưu trơn

2.1 Các điều kiện KKT-xấp xỉ 35

2.1.1 AKKT(I) là một điều kiện tối ưu 38

2.1.2 AKKT(I) là một điều kiện tối ưu mạnh 42

2.2 Các điều kiện chiếu gradient gần đúng 44

2.2.1 Điều kiện C-AGP 46

2.2.2 Điều kiện L-AGP 52

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong khóa luận này chúng tôi trình bày các điều kiện tối ưu bậcnhất theo dãy cho bài toán quy hoạch phi tuyến Các điều kiện tối ưucần phải thỏa mãn cực tiểu của bài toán tối ưu hóa Thông thường, cácđịnh lý hỗ trợ một điều kiện tối ưu có dạng: ‘Nếu cực tiểu địa phương xthỏa mãn CQ, thì nó thỏa mãn KKT, trong đó KKT là viết tắt của cácđiều kiện Karush -Kuhn-Tucker và CQ là một ràng buộc chính quy Nóicách khác, thường thì các điều kiện tối ưu cần bậc nhất ở dạng KKThoặc không là CQ’

Trên thực tế, phương pháp số để giải các bài toán tối ưu hóa córàng buộc thường được sử dụng là phương pháp lặp Người ta phải quyếtđịnh ở mỗi lần lặp có thực hiện bước lặp tiếp theo thuật toán hay kếtthúc thuật toán Do việc kiểm tra tính tối ưu thực sự là rất khó, nênmột cách tự nhiên chúng ta sẽ kết thúc thuật toán khi một điều kiện cầntối ưu thỏa mãn một cách xấp xỉ Tuy nhiên, hầu hết các phương phápgiải số bài toán tối ưu không kiểm tra được tất cả các điều kiện chínhqui ràng buộc, mặc dù các điều kiện KKT (xấp xỉ) luôn luôn được thỏamãn Nhiều người dường như không nhận thấy rằng các ràng buộc chínhquy tồn tại Việc tính toán này có thể kiểm tra được bằng các tính chất

lý thuyết của cực tiểu địa phương: Cần nhấn mạnh rằng, một cực tiểuđịa phương có thể không phải là KKT, nhưng nó có thể luôn luôn đượcxấp xỉ bởi một dãy các điểm ‘KKT-xấp xỉ’

Thực tế này dẫn đến việc nghiên cứu một loại điều kiện tối ưukhác Chúng ta nói rằng x thỏa mãn ‘điều kiện tối ưu theo dãy’ đượcxác định bởi mệnh đề toán học P nếu tồn tại một dãy {xk} hội tụ đến

x và thỏa mãn P({xk}) Thông thường, một điều kiện tối ưu theo dãytương ứng với một đại lượng k nào đó mà k → 0 Các tiêu chuẩn dừng

tự nhiên tương ứng với các điều kiện tối ưu theo dãy chỉ ra để dừng việcthực hiện thuật toán khi k là đủ nhỏ

Các điều kiện tối ưu cần theo dãy có các yêu cầu tương tự nhưcác điều kiện tối ưu thông thường: Chúng phải được thỏa mãn bởi cáccực tiểu của bài toán, và chúng càng mạnh càng tốt Hơn nữa, các điềukiện tối ưu hữu ích (hay là thuật toán định hướng) sẽ được tương ứngvới một số thuật toán thực tế

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về các điều kiện tối ưu theo dãy cho bài toán tối ưutrơn với ràng buộc phiếm hàm

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

-Nghiên cứu lý thuyết cơ sở về giải tích lồi

-Nghiên cứu về các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu trơn córàng buộc

-Nghiên cứu về các điều kiện KKT-xấp xỉ

-Nghiên cứu về các điều kiện chiếu gradient gần đúng

4 Phương pháp nghiên cứu

Tra cứu tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp

5 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận được bố cục như sau:

Chương 1 Trình bày một số kiến thức cơ sở về giải tích lồi Trongchương này có trình bày một số tính chất cơ bản về tập lồi, hàm lồi vàcác điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu trơn có ràng buộc

Chương 2 Trình bày các điều kiện tối ưu theo dãy cho bài toántối ưu trơn có ràng buộc Nội dung chính của chương này trình bày chitiết các kết quả trong bài báo [2] Mục 2.1 trình bày các điều kiện KKTxấp xỉ Mục 2.2 trình bày các điều kiện chiếu gradient xấp xỉ

Định nghĩa 1.1 Tập X ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu với mọi x1, x1 ∈ X

Bổ đề 1.2 Cho X, Y là tập lồi trong Rn và các số thực λ, µ Khi đó,

Do X, Y là các tập lồi nên λ((1 − t)x1+ tx2) ∈ λX và µ((1 − t)y1+ ty2) ∈

µY Suy ra, λ((1 − t)x1 + tx2) + µ((1 − t)y1 + ty2) ∈ λX + µY hay(1 − t)x + ty ∈ λX + µY Vậy λX + µY là tập lồi

Định nghĩa 1.2 Một điểm x được gọi là tổ hợp lồi của các điểm

x1, x2, , xm, nếu tồn tại các số thực không âm α1, α2, , αm sao cho

x = α1x1 + α2x2 + + αmxmvà

Chứng minh Xét tập Y là tổ hợp lồi của tất cả các điểm thuộc X Nếu

y1 ∈ Y, y2 ∈ Y , khi đó:

y1 = α1x1 + α2x2 + + αmxm,

y2 = β1z1 + β2z2 + + βlzl,trong đó, x1, , xm, z1, , zm ∈ X, các hệ số α, β là các hệ số không âmvà

X và phải được chứa trong mỗi tập lồi chứa X Do đó, convX ⊃ Y Đếnđây ta hoàn thành điều phải chứng minh

Bổ đề 1.4 (Định lý Carathéodory) Nếu X ⊂ Rn thì mọi phần tửcủa convX là tổ hợp lồi của không quá (n + 1) điểm thuộc X

Chứng minh Cho x là một tổ hợp lồi của m > n + 1 điểm thuộc X Ta

sẽ chỉ ra rằng m có thể bị giảm giá trị đi một đơn vị Nếu αj = 0 vớimột vài j thì ta có thể xóa điểm thứ j đó và thực hiện Vì vậy, cho tất

cả αi > 0 Vì m > n + 1, tồn tại các số γ1, γ2, , γm không đồng thờibằng 0, do đó:

γ1x11

+ γ2x2

1

+ + γmxm

1



Đặt τ = min{αi

γ i : γi > 0} Chú ý rằng τ được định nghĩa tốt vì một vài

γj > 0, nếu tổng của chúng bằng 0 Đặt ¯αi = αi− τ γi, i = 1, 2, , m Từ(1.1) ta có Pm

i=1α¯i = 1 và Pm

i=1α¯ixi = x Từ cách đặt của τ , ít nhất cómột ¯αj = 0 và ta có thể xóa điểm thứ j đó Cứ tiếp tục quá trình trên,

ta có thể giảm giá trị của m tới n + 1

Bổ đề 1.5 Nếu X ⊂ Rn là tập lồi thì khi đó intX và X cũng là các tậplồi

Chứng minh Cho B là một hình cầu đơn vị Nếu x1 ∈ intX, x2 ∈ intX,khi đó, ta có thể tìm ε > 0 sao cho x1+ εB ⊂ X và x2+ εB ⊂ X Do đó,(1 − t)x1 + tx2 + εB ⊂ X với t ∈ (0; 1) Vì vậy, (1 − t)x1 + tx2 ∈ intX

Để chứng minh phần 2 của bổ đề, ta cho xk → x và yk → y với xk ∈ X

và yk ∈ X Khi đó, dãy của các điểm

(1 − t)xk + tykchứa trong X và hội tụ tới (1 − t)x + ty ∈ X

1.1.2 Hình chiếu

Cho một tập lồi, đóng V ⊂ Rn và x ∈ Rn Ta gọi tập hợp các điểmtrong V gần nhất đối với điểm x là hình chiếu của x trên V và kí hiệulà: ΠV(x)

Chứng minh Đặt µ = inf

y∈V ky − xk Vì V 6= ∅ nên 0 ≤ µ < +∞ Lấy{yk ⊂ V } sao cho yk − x → µ Rõ ràng {yk} là dãy bị chặn Khi đó,tồn tại {ykj} là dãy con của {yk} sao cho lim

Giả sử z1, z2 là chân hình chiếu của x trên V (z1, z2 ∈ ΠV(x)).Chọn ¯z = z1

2 + z2

2 ta có ¯z ∈ V Khi đó,

1

4kz1 − z2k2 = µ2 − kz − xk2suy ra z1 = z2 Vậy định lý đã được chứng minh

Bổ đề 1.6 Giả sử V ⊂ Rn là một tập lồi, đóng, khác rỗng và x ∈ Rn.Khi đó, z = ΠV(x) khi và chỉ khi z ∈ V, hv − z, x − zi ≤ 0 ∀v ∈ V.Chứng minh Giả sử z = ΠV(x) và z ∈ V, v ∈ V Đặt:

hv − ΠV(x), x − ΠV(x)i ≤ 0, ∀v ∈ Vsuy ra

hz − ΠV(x), x − ΠV(x)i ≤ 0 (1.3)Cộng theo vế của (1.2) và (1.3), ta được:

hΠV(x) − z, ΠV(x) − zi ≤ 0

Suy ra

kΠV(x) − zk2 ≤ 0

Vậy ΠV(x) = z

Nhận xét: Nếu V là một đa tạp tuyến tính, tức là với mọi x, y ∈

V , với mọi α, β ∈ R suy ra αx + βy ∈ V , thì với mỗi v ∈ V , w =2ΠV(x) − v ∈ V Ta có:

hv − ΠV(x), x − ΠV(x)i ≤ 0, ∀v ∈ V (1.4)và

hw − ΠV(x), x − ΠV(x)i ≤ 0

Suy ra

hΠV(x) − v, x − ΠV(x)i ≤ 0,

hΠV(x) − ΠV(y), (ΠV(x) − ΠV(y)) + (y − x)i ≤ 0 (1.8)

1.1.3 Các định lý tách

Định lý 1.3 Giả sử X ⊂ Rn là một tập lồi, đóng, khác rỗng và x /∈ X.Khi đó, tồn tại y ∈ Rn, y 6= 0 và ε > 0

hy, vi ≤ hy, xi − ε, ∀v ∈ X

Chứng minh Gọi z = ΠV(x) theo Bổ đề 1.6, ta có hx − z, v − zi ≤

0, ∀v ∈ X Đặt y = x − z suy ra hy, v − zi ≤ 0, ∀v ∈ X Khi đó

hy, vi ≤ hy, zi = hy, x − yi = hy, xi − kyk2.Suy ra

hy, vi ≤ hy, xi − ε,với ε = kyk2 Do x /∈ X, suy ra y 6= 0 vậy ε > 0

Định lý 1.4 Cho X ⊂ Rn là tập lồi, khác rỗng, x /∈ X Khi đó, tồn tại

Định lý 1.5 Giả sử X1, X2 ⊂ Rn là các tập lồi Nếu X1 ∩ X2 = ∅ thìkhi đó tồn tại y 6= 0, y ∈ Rn sao cho:

1 2 , ∀x1 ∈ X1, x2 ∈ X2.Chứng minh Đặt:

X1− X2 là tập đóng và X là tập lồi Do 0 /∈ X, theo Định lý 1.3 tồn tại

y 6= 0, ε > 0 sao cho hy, vi ≤ −ε, ∀v ∈ X Suy ra:

Định nghĩa 1.4 Một tập K ⊂ Rn được gọi là nón nếu với mọi x ∈ K,

và với mọi α > 0 ta có: αx ∈ K K được gọi là nón lồi nếu K là mộtnón và là một tập lồi

Bổ đề 1.7 Cho K là một nón lồi Khi đó, nếu x1 ∈ K, x2 ∈ K, , xm ∈

K và α1 > 0, α2 > 0, , αm > 0 thì α1x1 + α2x2 + + αmxm ∈ K.Chứng minh Bằng tính lồi, ta có:

Bổ đề 1.8 Nếu X là tập lồi thì cone(X) là một tập lồi

Định nghĩa 1.6 Cho x ⊂ Rn, tập KX(x) = cone(X − x) được gọi lànón các phương chấp nhận được của X tại x

Định nghĩa 1.7 Cho X ⊂ Rn là một tập lồi Tập

X∞ = {d ∈ Rn | X + d ⊂ X}

được gọi là nón lùi xa của X

Định nghĩa 1.8 Cho K là một nón trong Rn Tập

Ko = {y ∈ Rn : hy, xi ≤ 0, ∀x ∈ K}

được gọi là nón cực của X

Định nghĩa 1.9 Cho X là một tập lồi trong Rn và x ∈ X Tập

NX(x) = [cone(X − x)]ođược gọi là nón pháp tuyến đối với X tại x

Nhận xét : v ∈ NX(x) ⇔ hv, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ X

Trên đồ thị của f : epif := {(x, v) ∈ Rn× R : v ≥ f(x)}.

Định nghĩa 1.10 Hàm f được gọi là hàm lồi nếu epif là tập lồi

Hàm f được gọi là hàm lõm nếu −f là hàm lồi

Hàm f được gọi là hàm chính thường nếu f (x) > −∞, với mọi

x ∈ Rn và tồn tại ¯x ∈ Rn sao cho f (¯x) < +∞

Bổ đề 1.9 (Bất đẳng thức Jensen) Một hàm f là lồi khi và chỉ khivới mọi x1, x2 ∈ Rn, với mọi t ∈ (0; 1):

f ((1 − t)x1 + tx2) ≤ (1 − t)f (x1 + tf (x2))

Chứng minh Giả sử f là hàm lồi, ta có

(x1, f (x1), (x2, f (x2))) ∈ epif,suy ra

((1 − t)x1 + tx2, (1 − t)f (x1) + tf (x2)) ∈ epif,hay là

(1 − t)f (x1) + tf (x2) ≥ f ((1 − t)x1 + tx2)

Ngược lại, giả sử bất đẳng thức Jensen thỏa mãn, ta lấy

(x1, v1), (x2, v2) ∈ epif

Vậy epif là tập lồi hay f là hàm lồi.

Định nghĩa 1.11 Hàm f được gọi là hàm lồi chặt nếu với mọi x1 6= x2,với mọi t ∈ (0; 1) ta có:

1.1.6 Hàm lồi khả vi

Phần này trình bày tiêu chuẩn tính lồi của hàm trơn Ta kí hiệu

∇f (x) là gradient của hàm f tại x:

trong đó x1, x2, , xn là tọa độ của vectơ x.

Nếu f là hàm khả vi liên tục bậc 2 thì ∇2f (x) được gọi là Hessiancủa f tại x và

Định lý 1.7 Giả sử f là hàm khả vi và liên tục Khi đó:

i) f là lồi khi và chỉ khi

f (y) ≥ f (x) + h∇f (x), y − xi , với mọi x, y ∈ Rn, (1.9)ii) f là hàm lồi chặt khi và chỉ khi

f (y) > f (x) + h∇f (x), y − xi , với mọi x 6= y (1.10)

Chứng minh i) Giả sử f là hàm lồi Nếu (1.9) không thỏa mãn thì tồntại ε > 0 sao cho

f (v) < βf (x) + (1 − β)f (z) < f (x) + 1

2(1 − β) h∇f (x), y − xi

Vì v − x = (1 − β)(z − x) = 12(1 − β)(y − x), nên

f (v) < f (x) + h∇f (x), v − xi ,điều này mâu thuẫn với (1.9) Để chứng minh rằng (1.10) bao hàm tínhlồi chặt, chúng ta chỉ cần lưu ý lược đồ trong trường hợp (i) được sửdụng lại, nhưng với bất đẳng thức chặt hơn

Định lý 1.8 Giả sử f : Rn → R là hàm khả vi liên tục bậc hai Khi đó:

i) f là lồi khi và chỉ khi ∇2f (x) là nửa xác định dương với mọi

và ta có (1.9) Nếu Hessian là xác định dương thì với x 6= y số hạng bậchai trong (1.14) là dương và ta có (1.10)

Giả sử Hessian không là nửa xác định dương với x Khi đó tồn tại

Tập các dưới vi phân của f tại ¯x được kí hiệu là: ∂f (¯x).

Ví dụ 1.1 Cho hàm f (x) = x2, tìm dưới vi phân của hàm f tại ¯x = 1

Giả sử x∗ là dưới vi phân của f tại ¯x, khi đó ta có:

Chứng minh Ta có x∗ ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi

Chứng minh Ta có x∗ ∈ ∂f (Ax) khi và chi khi

f (Ay) ≥ f (Ax) + hx∗, Ay − Axi ∀y

⇔ h(y) ≥ h(x) + Tx∗, y − x ∀y

Hay ATx∗ ∈ ∂h(x) Vậy ∂h(x) = AT∂f (Ax)

Định lý 1.9 Giả sử f = f1 + f2 trong đó f1 : Rn → R và f2 : Rn → R

là các hàm lồi chính thường Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ domf sao cho

f1 liên tục tại x0 thỏa mãn

∂f (x) = ∂f1(x) + ∂f2(x), với mọi x ∈ domf

Ví dụ 1.2 Cho C là một tập lồi, khác rỗng trong Rn và hàm chỉ củaC:

+ Nếu x1, x2 ∈ C thì (1 − t)x1 + tx2 ∈ C (vì C là tập lồi) Suy ra

δC((1 − t)x1 + tx2) = 0 mà (1 − t)δC(x1) + tδC(x2) = 0 Suy ra bất đẳngthức Jensen trong trường hợp này cũng thỏa mãn

Vậy δC(x) là hàm lồi

Tiếp theo, ta đi tính ∂δC(x) Giả sử x∗ ∈ ∂δC(x) Khi đó

∂δC(y) ≥ ∂δC(x) + hx∗, y − xi , ∀y ∈ Rn.+ Nếu y /∈ C thì δC(y) = +∞ suy ra bất đẳng thức trên luôn thỏamãn

+ Nếu y ∈ C thì δC(y) = 0, δC(x) = 0 suy ra hx∗, y − xi ≤ 0, ∀y ∈

C Khi đó, x∗ ∈ NC(x)

Vậy ∂δC(x) = NC(x)

có ràng buộc

1.2.1 Các điều kiện cho bài toán tối ưu không có ràng buộc

Cho f : Rn → R, X ⊂ Rn Xét bài toán

(P ) : min

x∈X f (x)Điểm ¯x ∈ X được gọi là nghiệm địa phương (hay điểm cực tiểu địaphương) của (P ) nếu tồn tại ε > 0:

Chứng minh i) Từ định nghĩa của gradient, với mọi y ∈ Rn ta có:

f (y) = f (¯x) + h∇f (¯x), y − ¯xi + r(¯x, y)

2k∇f (¯x)k ,tương đương với

r(¯x, y(τ )) ≤ 1

2τ k∇f (¯x)k

2

.Thế bất đẳng thức cuối cùng của (1.16), ta có với mọi τ ∈ (0; ¯τ )

Do đó, ¯x là một nghiệm cực tiểu toàn cục

1.2.2 Các điều kiện cho bài toán tối ưu có ràng buộc

Định nghĩa 1.13 Hướng d được gọi là một hướng tiếp xúc của tập

X ⊂ Rn tại điểm x ∈ X, nếu tồn tại các dãy của các điểm xk ∈ X và vô

hướng τk > 0, k = 1, 2, , sao cho τk ↓ 0 và

Cho các hướng dj tiếp xúc với X tại x với các dãy tương ứng {xj,k}

và {τj,k}, k = 1, 2, , thỏa mãn Định nghĩa 1.13 và cho lim

j→∞dj = d Vìhướng d là tiếp tuyến, với mỗi j tồn tại k(j) sao cho

Nón tiếp tuyến rất quan trọng cho việc phát triển các điều kiệntối ưu của bài toán tối ưu hóa phi tuyến Nói chung, nón của các hướngtiếp xúc có thể không lồi làm cho giải tích của tối ưu hóa trở nên khókhăn Nhưng ta vẫn có thể đồng nhất một vài trường hợp quan trọngkhi những nón này là lồi và ta có thể đưa ra phân tích chúng Nhắc lại

về khái niệm nón các phương chấp nhận được của X tại x:

KX(x) = {d ∈ Rn : d = β(y − x), y ∈ X, β ≥ 0}

Bổ đề 1.14 Cho X ⊂ Rn là một tập lồi và x ∈ X Khi đó

TX(x) = KX(x)

Chứng minh Từ định nghĩa với mỗi d ∈ KX(x) là một hướng tiếp xúc.Hơn nữa, KX(x) là một nón lồi Vì nón tiếp tuyến bị đóng nên

KX(x) ⊂ TX(x)

Nếu các tập đó là không bằng nhau thì tồn tại một hướng h thuộc

TX(x)\KX(x) Từ Định lý tách 1.3 tồn tại y 6= 0 sao cho hy, hi > 0 và

hy, di ≤ 0 với mọi d ∈ KX(x) Hướng h tiếp xúc với X tại x Nếu dãy{xk} các điểm của X và dãy τk ↓ 0 thỏa mãn Định nghĩa 1.13 với hướng

Để đưa ra dạng đại số của nón tiếp tuyến, ta xét một hệ trừutượng:

g(x) ∈ Y0,

trong đó, g : Rn → Rm là khả vi và liên tục, Y0 là một tập lồi đóng trong

Rm và X0 là một tập lồi đóng trong Rn

Định nghĩa 1.14 Hệ (1.17) được gọi là chính qui metric tại điểm x0 ∈

X, nếu tồn tại ε > 0 và C sao cho với mọi ¯x, ¯u thỏa mãn k¯x − x0k ≤ ε

và k¯uk ≤ ε ta có thể tìm xR ∈ X0 thỏa mãn bao hàm thức:

g(xR) − ¯u ∈ Y0,

và sao cho

kxR − ¯xk ≤ C(dist(¯x, X0) + dist(g(¯x) − ¯u, Y0)) (1.18)Định lý 1.11 Nếu hệ (1.17) là chính qui metric tại x0 thì

TX(x0) =

n

d ∈ Rn : d ∈ TX0(x0), g0(x0)d ∈ TY0(g(x0))

o (1.19)

Chứng minh Trước hết, ta chứng tỏ rằng mỗi hướng tiếp xúc d là mộtphần tử của tập bên phải (1.19) Vì X ⊂ X0, nên hướng d là một phần

tử của TX0(x0) Do Định nghĩa 1.13 tồn tại các điểm xk ∈ X và vô hướng

g(x(τ )) = g(x0) + τ g0(x0)d + o2(τ ),

với ko2(τ )k /τ → 0, khi τ ↓ 0 Vì g (x0)d ∈ TY0(g(x0)), theo sau là

dist(g(x(τ )), Y0) ≤ ko2(τ )k + dist(g(x0) + τ g0(x0)d, Y0) = o3(τ ), (1.21)với o3(τ )/τ → 0 khi τ ↓ 0 Vì vậy, các điểm x(τ ) hầu như thuộc vào X0

và hầu như thỏa mãn ràng buộc g(x) ∈ Y0 Sai số là không đáng kể với

τ Ta có thể sử dụng tính chất chính qui metric Đặt ¯x = x(τ ) và ¯u = 0trong Định nghĩa 1.14, cho τ > 0 đủ nhỏ, ta có thể tìm thấy các điểm

Do đó d là một hướng tiếp xúc của X tại x0

Bây giờ ta có thể dễ dàng phát triển dạng đại số của nón tiếptuyến đến các hệ đẳng thức và bất đẳng thức Xét hệ:

gi(x) ≤ 0, i = 1, , m,

hi(x) = 0, i = 1, , p, (1.22)

x ∈ X0,với các hàm khả vi liên tục g : Rn → Rm

và h : Rn → Rp và với tập lồiđóng X0 Ta xét điểm x0 thỏa mãn (1.22) và ta định nghĩa tập chỉ sốhoạt là:

I0(x0) = {1 ≤ i ≤ m : gi(x0) = 0}

Hệ (1.22) là một trường hợp đặc biệt của hệ (1.17) với

Y0 = {(y, 0) ∈ Rm × Rp : yi ≤ 0, i ∈ I0(x0)}

Điều kiện chính qui Robinson có dạng:

g0(x0)d − v

h0(x0)d

: d ∈ TX0(x0), v ∈ Rm, vi ≤ 0, i ∈ I0(x0)



= Rm × Rp

(1.23)Khi tập ở vế trái là nón, điều đó có nghĩa là 0 thuộc phần trong của tậpnày Điều kiện đủ đơn giản hơn của tính chính qui metric có thể phátbiểu như sau

Bổ đề 1.15 Giả sử tồn tại một điểm xM F ∈ intX0 sao cho

h∇gi(x0), xM F − x0i < 0, i ∈ I0(x0),h∇hi(x0), xM F − x0i = 0, i = 1, , p, (1.24)

và các gradient ∇hi(x0), i = 1, , p, là độc lập tuyến tính Khi đó hệ(1.22) là chính qui metric tại x0

Chứng minh Khi xM F là một điểm trong thì tồn tại ε > 0 sao cho mộthình cầu tâm xM F có bán kính ε cũng được bao hàm trong phần trongcủa tập X0 Đặt B = {s ∈ Rn : ksk ≤ ε} Khi đó