Hiện nay sách giáo khoa môn toán mới được biên soạn theo hướng đổi mới, phương pháp dạy học hiện nay là: Tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự h
Trang 1s giáo dục VÀ ÀO T O trường tHPT S 3 B O TH NG
*********(*********
Sáng kiến kinh nghiệm
dụng bất đẳng thức cô-si dạng nghịch đảo”
Người thực hiện: ÀO KHÁNH LINH
Ch c v : Hi u tr ng
Năm 2011
Trang 2A- Phần mở đầu I/ Lý do chọn đề tμi:
Trong thời kỳ đổi mới của đất nước thì một trong những yêu cầu của nền giáo dục là phải tạo ra một lớp người mới, năng động sáng tạo Họ sẵn sàng tiếp nhận cái mới, những tinh hoa tri thức khoa học của nhân loại, áp dụng một cách khoa học vào thực tiễn đất nước Vậy làm thế nào để phát huy được tính chủ động sáng tạo của học sinh đây là một trong những yêu cầu trước mắt, nhằm tập dượt khả năng sáng tạo của học sinh ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường
Hiện nay sách giáo khoa môn toán mới được biên soạn theo hướng đổi mới, phương pháp dạy học hiện nay là: Tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực độc lập sáng tạo nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho học sinh Sách giáo khoa mới có những bài toán mở, mục có thể em chưa biết nhằm khơi dậy và định hướng cho các em sự sáng tạo Tuy nhiên sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của người thày là rất cần thiết
Nội dung kiến thức về bất đẳng thức được trình bày trong chương trình PTTH - Đại số 10 Đây là một phần kiến thức hay nhưng khó đối với học sinh về Bất đẳng thức Cô-Si Nhằm giới thiệu học sinh tìm tòi, khám phá và sử dụng nó Vậy để giúp các em làm việc này thì trước hết người thày phải nghiên cứu, hướng dẫn về mặt phương pháp, cung cấp và hướng dẫn cho học sinh thực hiện trên các bài toán điển hình cơ bản tạo cho học sinh tiền đề để các em tự học, tự nghiên cứu
Đứng trước yêu cầu trên tôi xin trình bày một phần nhỏ trong chương trình
dạy về bất đẳng thức đó là: "H ướng dẫn học sinh một số phương pháp sử dung bất
đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo"
Trang 3
II- Mục đích nghiên cứu:
Chỉ ra một số phương pháp cơ bản để áp dụng bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị
Hướng dẫn học sinh sử dụng vào giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị (đối với học sinh khá giỏi )
III- Phương pháp nghiên cứu
+Chứng minh bất đẳng thức Cô-Si : Trường hợp với hai số không âm
+áp dụng đối với hai số dương có dạng nghịch đảo
+Phân loại một bài tập điển hình và xây dựng phương pháp giải nhờ áp dụng bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo
+Tham khảo ý kiến đồng nghiệp và nhà trường
+áp dụng vào việc giảng dạy cho học sinh
+Rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy để tiếp tục hoàn thiện vào các năm sau
IV- Phạm vi vμ đối tượng nghiên cứu
+Nghiên cúu bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo và các bài toán áp dụng
+Chọn các bài toán thích hợp cho việc giảng dạy cho học sinh lớp 10 diện khá, giỏi
B - phần nội dung
I/Bất đẳng thức Cô-Si:
1/Bất đẳng thức Cô-Si (Đối với hai số không âm)
+Với hai số không âm a và b ta có : a+b ≥ ab
Bất đẳng thức này còn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân do nhà toán học Cô-Si (Cauchy) ngừời Pháp (1789-1857) nghiên cứu
+Chứng minh:
Với hai số a và b không âm ta có :
( a ư b)2 ≥ 0
ỳ aư 2 ab+b≥ 0
ỳ a+b≥ 2 ab Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra ỳ a = b
Trang 4
2/Bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo
+Ta có : + ≥ 2
x
y y
x
Với x.y > 0
Thật vậy : áp dụng (1) với a =
y
x
và b =
x
y là hai số dương ta có :
+ ≥ 2
x
y
y
x
2
x
y y
x
Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra
ỳ
x
y y
x = ỳ x2
= y2 ỳ x = y (Vì x và y cùng dấu )
*Chú ý: a =
y
x
và b =
x
y
là hai số nghịch đảo của nhau
II/ áp dụng :
Để áp dụng bất đẳng thức trên ta cần biến đổi làm xuất hiện các biểu thức có
dạng nghịch đảo " ho μn toμn" hoặc “ không hoμn toμn “ tuỳ thuộc vào cái đích mà
bài toán cần đạt tới Vậy biến đổi như thế nào ? có những phương pháp nào ?
1/Phưong pháp biến đổi đồng nhất:
a, Một số bài toán đơn giản ta chỉ cần thực hiện phép tính nhân hoặc chia là xuất hiện dạng nghịch đảo
+Bài toán 1: Cho a ; b ; c là các số dương , CM rằng :
( 1 + )( 1 + )( 1 + ) ≥ 8
a
c c
b b
a
(1)
Giải: Ta có VT =
b
a c
b +
+ 1
a
c c
a
+ +
= 1 + + + + + + + 1
c
a b
c b
a a
b c
b a c
= 2 ( ) ( ) ( )
b
c c
b a
c c
a a
b b
a
+ + + + + +
b
c c
b a
c c
a a
b b
a
=
= + + +
= +
+ +
Ta có điều phải chứng minh, dấu đẳng thức sảy ra ỳ a = b = c
Trang 5
* Với phương pháp trên mời các em làm tiếp bài toán sau:
+Bài toán 2: Cho a ; b ; c là các số dương , CM rằng :
( + + )(1 +1+1) ≥ 9
c b a c b
* Bài này mời các em tự thực hiện
+Bài toán 3: Cho x là số dương, tìm GTNN của :
A =
x
x
x2+ 2 + 4
-Nhận xét: Với x dương ta chỉ cần thực hiện phép chia tử cho mẫu là xuất hiện dạng nghịch đảo
2
+ +
= + +
x
x x x
x x x
Ta có : +4 ≥ 2 4 = 4
x
x x
x
Nên +4+ 2 ≥ 6
x
x Hay A≥ 6 dấu đẳng thức sảy ra ỳ
x
x = 4
ỳ x = 2 (vì x > 0 )
Vậy Amin = 6 ỳ x = 2
+Bài toán 4: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b +c = 1 Chứng minh
+
+ + +
+ + +
+
b a
ab c a c
ca b c
b
bc
a
- Nhận xét: Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a)
Tương tự có b + ca = (b + a)(b + c)
c + ab = (c + a)(c + b) do đó ta có:
b a
b c a c a
c
c b a b c
b
c a b a
VT
+
+ + + +
+ + + +
+ +
= ( )( ) ( )( ) ( )( ) áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
( )( ) ( )( ) 2 (a b)
a c
c b a b c
b
c a b a
+
≥ +
+ + + +
+ +
Trang 6
) ( 2 ) )(
( ) )(
(
) ( 2 ) )(
( ) )(
(
c b b
a
b c a c c
a
c b a b
c a b
a
b c a c c
b
c a b a
+
≥ +
+ + + +
+ +
+
≥ +
+ + + +
+ +
Vậy 2 VT ≥ 4 (a+b+c) = 4 hay VT ≥ 2 ⇒ĐPCM Đẳng thức xảy ra ỳ a = b = c =
3 1
* Mời các em làm tiếp bài toán sau:
+Bài toán4 : Tìm GTNN của :
B =
x
x x
3
16 15
2 + + (với x dương )
C =
5 2
356 80
56 16
4
2
2 3
4
+ +
+ + +
+
x x
x x
x x
Gợi ý : Thực hiện phép chia đa thức ta được :
C =
5 2
256 )
5 2 (
+ + + + +
x x x
b, Đôi khi chúng ta phải "tách" , "nhân trộn" rồi chia mới xuất hiện được dạng
nghịch đảo
+Bài toán5 : Tìm GTNN của :
D = ( 2 16 48)(2 2 12 27)
x
x x x
x + + + + (với x là số dương )
-Nhận xét: Nếu chia ngay thì D = ( +48+ 16 )( +27+ 12 )
x
x x
dấu bằng không thể xảy ra vì x không đồng thời bằng
x
48
và
x
27
Nên ta phải tìm
cách "c μo bằng" hai số 48 và 27 May thay cả hai đa thức trên tử đều phân tích
được thành nhân tử !
-Giải : Ta có :
D =
x x
x x x x
.
) 4 )(
9 )(
3 )(
12
=
x x
x x
x x
.
) 36 13 )(
36 15
Trang 7= ( +36+ 15 )( +36+ 13 )
x
x x
x Việc làm tiếp theo là rất đơn giản ! +Bài toán 6 : Tìm GTNN của :
E = ( 2 11 30)(22 22 120)
x
x x
x
* Bài này mời các em tự thực hiện
2/Phương pháp thêm bớt :
a/ Ta có thể thêm và bớt cùng một số vào biểu thức rồi biến đổi làm xuất hiện dạng nghịch đảo
+Bài toán 1 : Tìm GTNN của :
A =
x x
x 5
ư ( Với 0 < x < 1 )
Nhận xét: Điều kiện 0 < x < 1 chỉ làm cho A xác định và các hạng tử đều dương Phải làm xuất hiện nhân tử (1 - x) Trên tử của số hạng thứ hai
Ta có
x
x x
) 1 ( 5 5
5ư = ư
Giải : Ta có : A = 5 5 5
ưx x x
5 5 5
ư
=
x
x x
x
1 2 ) 1 ( 5
ư
≥
ư +
x x
x x
x x
x
Nên A ≥ 2 5 + 5 dấu đẳng thức sảy ra ỳ
x
x x
x 5 ( 1 ) 1
ư
=
ư
ỳ x2 = 5( 1 - x )2
ỳ x =
4
5
5 ư
Vậy A min = 2 5 + 5 ỳ x =
4
5
5 ư
+Bài toán 2 : Tìm GTNN của :
Trang 8B =
x x
1
1 2 +
ư ( Với 0 < x < 1 )
Nhận xét: Phải đồng thời làm xuất hiện nhân tử x trên tử và nhân tử (1 - x ) dưới mẫu
Có
x
x
x ư = ư
2 2 1
2
Còn
x
x x
ư
=
ư 1 1 1
Giải : Ta có B = 2 1 1 3
1
2
+
ư +
ư
= 1 3
1
2
+
ư +
x x
x
1
2 2 1
1
2
=
ư
ư
≥
ư +
x x
x x
x x
x
Nên có B ≥ 2 2 + 3 dấu đẳng thức sảy ra ỳ
x
x x
x ư
=
ư
1 1
2
ỳ x = 2 ư 1
Vậy B min = 2 2 + 3 ỳ x = 2 ư 1
Bài3: Cho a ; b ; c ; d là các số dương CM rằng :
1
3 )
1 (
1 )
1 (
1 )
1 (
1
+
≥ +
+ +
+
b
+Hướng dẫn:
6 1 ) 1 (
1 1
) 1 (
1 1
) 1
(
1 )
1
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+ +
+ +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+ +
+ +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+ +
+
⇔
a c
abc c
b
abc b
a
abc
1
) 1 ( ) 1 (
1 1
) 1 ( ) 1 (
1 1
) 1 ( ) 1
(
1
≥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+ + +
+ +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+ + +
+ +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+ + +
+
⇔
a
b a a
c
c c
a c c
b
b b
c b b
a
a
6 1
) 1 ( ) 1 (
1 1
) 1 ( ) 1 (
1 1
) 1 ( ) 1
(
1
⇔
≥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+ + +
+ +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+ + +
+ +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+ + +
+
⇔
c
a c a
c
c b
c b c
b
b a
b a b
a
a
Trang 9
*Tương tự học sinh có thể giải bài toán sau:
+Bài toán 4 : Tìm GTNN của :
C =
1
4 3 +
+
x
x (với x > - 1 )
D =
1
2
2+ xư
x
( với x > 1 )
E =
2 2
2
2 1 )
1
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ + + + +
x
x
Hướng dẫn : E =
2 2
2
1
2 2 )
1
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
+ + + +
x
x x x
=
2 2
1
1 ) 1 ( ) 1 (x+ +⎢⎣⎡ x+ + x+ ⎥⎦⎤
= 2
) 1 (
1 )
1 ( 2
2
+ + +
x x
b, Nhiều khi việc thêm bớt phải dựa trên việc xác định điểm rơi (điểm cực trị) Bài1: Cho a ; b ; c ; d là các số dương CM rằng :
a
d d
c c
b b
a
+ + +
≥ + +
2
Nhận xét: Nhận thấy dấu bằng xảy ra khi a = b = c = d
Khi ấy : b
b
a =2
Giải : Ta có : b
b
a +2 b a
b
a
2 2
2
=
≥
Tương tự ta có : + c ≥
c
b2
2b
+ d ≥
d
c2
2c
+ a≥
a
d2
2d
Trang 10Như vậy : a b c d 2 (a b c d)
a
d d
c c
b b
a + + + + + + + ≥ + + +
a
d d
c c
b b
a
+ + +
≥ + +
2
Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra ỳ a = b = c = d
Bài2: Cho a ; b ; c là các số dương CM rằng :
2
2 2
2
c b a b a
c a c
b c b
+
+ +
+
Nhận xét : Nhận thấy dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Khi ấy :
4
2
c b c b
a = + +
c b
a c
b c b
+
≥
+ +
2 2
Tương tự ta có : + + ≥
2
c a c a
b
b
+ + ≥
2 a b b
a
c
c
b a
c c a
b c b
a + + + ≥ + +
+
+ +
+
2 2
2
Hay :
2
2 2
2
c b a b a
c a c
b c b
+
+ +
+
Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra ỳ a = b = c
* Bằng cách trên mời các em làm tiếp bài toán sau :
Bài3: Cho a ; b ; c là các số dương CM rằng:
3 3 3
bc ac ab a
c c
b b
a
+ +
≥ + +
b, a b c
c
ab b
ac a
bc
+ +
≥ +
Trang 11
3, Phương pháp tách :
Phương pháp này được áp dụng cho loại bài : tưởng như đã có thể áp dụng được (1) ngay, nhưng dấu bằng lại không thể xảy ra Do vậy trước hết chúng ta phải xác
định được điểm rơi đế tách một cách hợp lý thì mới áp dụng được Loại bài tập này khá phổ biến , ta sẽ dành nhiều thời lượng hơn cho loại bài tập này
Bài 1 : Cho a≥ 10 ;b≥ 100 ;c≥ 1000 Tìm GTNN của :
A = 1 1 1.
c b a c b
a+ + + + +
Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lượng
c b a
1 1 1 + +
Dự đoán điểm rơi là : a = 10 ; b = 100 ; c = 1000
Khi đó :
1000000
1 1
; 10000
1
; 100
1
=
=
=
c
b b
a
1000000
( 1000000
999999 )
1 10000
( 10000
9999 )
1 100
( 100
99
c
c c
b
b b
a
a a
+ +
+ + +
+ + +
c
c b
b a
1000000
2 1000000
1000 999999 1
10000
2 10000
100 9999 1
100
2
100
10
.
≥
=
1000
2 1000
999999 100
2 100
9999 10
2
10
99
+ +
+ +
Bài 2: Cho x ; y là hai số dương thoả mãn : x + y = 1 Tìm GTNN của:
B = ( 1 )( 1 )
2 2 2 2
x
y y
x + +
Nhận xét : Ta có B = 2 2 + 21 2 + 2
y x y x
Với GT trên ta cần tiêu hoá hết lượng x2y2
Dự đoán điểm rơi là :
2
1
=
= y
x
Trang 12
Khi đó 16.
1 256
1
2 2 2
y x y
x
Giải : Ta có B = 2 2 2 2 2 2
256
255 )
256
1 (
y x y
x y
Có
8
1 256
1 2
256
1
2 2 2
2 2
2 2
y x y
x y
x y
x
Và (x+y)2 ≥ 4xy ỳ 1 ≥ 4
xy ỳ 21 2 ≥ 16
y x
Vậy B 16 2
256
255 8
1
+ +
Bài 3: Cho a ; b ; c là các số dương thoả mãn :
2
3
≤ + +b c
A = 1 1 1.
c b a c b
a+ + + + +
Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lượng
c b a
1 1
1 + +
Dự đoán điểm rơi là
2
1
=
=
=b c
c
b b
a
1
; 4
1
; 4
Giải : Có A = ( 4 1) ( 4 1) ( 4 1) 3 (a b c)
c
c b
b a
a+ + + + + ư + +
Ta có : 4 + 1 ≥ 2 4 1 = 4
a
a a
Tương tự có : + ≥
b
b 1
4 4
+ ≥
c
c 1
4 4
Còn - 3 ( a+b+c )
2
9
ư
≥
Vậy A
2
15
≥ dấu đẳng thức xảy ra ỳ
2
1
=
=
=b c a
Amin =
2
15
ỳ
2
1
=
=
=b c a
Trang 13Bài 4: Cho a ; b ; c là các số dương thoả mãn : 1 +1 +1 ≥ 6
c b
A = 1 1 1.
c b a c b
a+ + + + +
Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lượng
a + b +c
Dự đoán điểm rơi là
2
1
=
=
=b c
a khi đó
c
c b
b a
a
4
1
; 4
1
; 4
1
=
=
=
4
1 2 4
+
a
a a
a
Tương tự + ≥
b
b
4
1
1
+ ≥
c
c
4
1
1
Còn
2
9 ) 1 1 1 ( 4
3
≥ + +
c b a
Vậy A
2
15
≥ dấu đẳng thức xảy ra ỳ
2
1
=
=
=b c a
Amin =
2
15
ỳ
2
1
=
=
=b c
a
*Nhận thấy : Bài 3 và Bài 4 chỉ là một vì với các số dương a ; b ; c ta có :
9 ) 1 1 1
)(
c b a
c
b
a
Nên :
2
3
≤ + +b c
a ỳ 1 +1+1 ≥ 6
c b a
Tuy nhiên mỗi bài lại phải có cách tách khác nhau Ta sẽ có bài toán mới nếu ta
thay giả thiết là : a ; b ; c là các số dương thoả mãn:
2 + 2 +
b a
4
3
2 ≤
c
Trang 14Hoặc:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≤ +
≤ +
≤ +
2
5 3 2
2
5 3 2
2
5 3 2
a c
c b
b a
Hoặc :
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≤ +
≤ +
≤ +
4
5 2 3
4
5 2 3
4
5 2 3
2 2
2 2
2 2
a c
c b
b a
Bài 5 : Cho x ; y là hai số dương thoả mãn : x2 + y2 = 1 Tìm GTNN của:
C = ( 1 )( 1 1) ( 1 )( 1 1)
x
y y
x + + + + +
Nhận xét : = + + + +1+ 1 + 2
y x x
y y
x y x C
Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lượng : x + y
Dự đoán điểm rơi là :
2
2
=
= y
y
y x
x
2
1
; 2
1
=
=
2
1 ) ( ) 2
1 ( ) 2
1
=
y x x
y y
x y
y x x C
2
1 2 2
1
=
≥ +
x
x x
x
Tương tự : + ≥
y
y
2
1
2
+ ≥ 2
x
y y x
2 2
1 1
)
1
1
(
2
1
2 2
4 2 2
= +
≥
=
≥
+
y x y
x xy y
x
Vậy C≥ 4 + 3 2
Bài 5 : Cho x ; y là hai số dương thoả mãn : x + y≥ 6 Tìm GTNN của:
D =
y x y
x 2 6 8
3 + + +
Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lượng
y x
8
6 +
Trang 15Rõ ràng với x = y = 3 không giải quyết được vấn đề, phải chăng x≠ y?
Thử tới x = 2 ; y = 4 thì ổn Khi đó :
y
y x x
8 2
; 2
3
Giải : Ta có
y
y x x y x
2
6 2
3 ) ( 2
=
2 2
6 2
3 2 6
.
2
3
=
= +
+
≥
y
y x
x
Vậy Dmin = 19 ỳ x = 2 ; y = 4
Bài 7: Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phương trình : x2 - 4x +7 - m = 0 (1) với m là tham số Tìm GTLN của :
2 2 2 1
7
1
x x x x
P= ư Nhận xét: Trước hết ta phải tìm m để (1) có nghiệm , đó cũng là cơ sở để xác
định điểm rơi
Giải : Ptrình (1) có nghiệm ỳ Δ ≥ 0
ỳ 4 ư 7 +m≥ 0 ỳm≥ 3
Khi đó theo Vi-et ta có : x1x2 = 7 - m
m
m m
m
P= ư ư = ư +
Ta có :
3
10 1 9
1 2 3 9
8 ) 1 9
1 ( 9
8 1
= +
≥ + +
= +
m
m m
m m m m
dấu đẳng thức xảy ra ỳ m = 3 ( T/m điều kiện)
m
m m
m
P = ư ư = ư +
3
11 3
10
7 ư =
≤
Vậy Pmax =
3
11
ỳ m = 3
*Tương tự mời các em giải các bại tập:
Bài 8: Cho :a≥ 5 ;ab≥ 20 ;abc≥ 60 CM rằng :
a, a+b+c≥ 12
b, a2 +b2 +c2 ≥ 50
Bài9: Cho :a ; b ; c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn :