Đa tạp quán tính đối với các phương trình vi phân có phần tuyến tính là toán tử quạt

Cụ thể, sử dụngphương pháp Lyapunov-Perron và các đánh giá nhị phân kết hợp với tính chấp nhậnđược của không gian hàm, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính đốivới các phư

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI XUÂN QUANG

ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CÓ PHẦN TUYẾN TÍNH LÀ TOÁN TỬ QUẠT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI XUÂN QUANG

ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CÓ PHẦN TUYẾN TÍNH LÀ TOÁN TỬ QUẠT

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN THIỆU HUY

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1 Toán tử quạt, Không gian hàm chấp nhận được và Đa tạp quán tính 7

1.1 Toán tử quạt - Nửa nhóm giải tích 7

1.1.1 Toán tử quạt 7

1.1.2 Lũy thừa bậc phân số của toán tử quạt 14

1.1.3 Đánh giá nhị phân của nửa nhóm giải tích 15

1.2 Hàm Green 16

1.3 Không gian hàm chấp nhận được 17

1.4 Đa tạp quán tính 22

1.5 Kết luận Chương 1 24

2 Đa tạp quán tính đối với các phương trình tương ứng với toán tử tự liên hợp có giải thức compact 25 2.1 Đặt bài toán 25

2.2 Đa tạp quán tính 27

2.3 Áp dụng vào mô hình Fisher-Kolmogorov 34

2.4 Kết luận Chương 2 36

3 Đa tạp quán tính đối với các phương trình tương ứng với

3.1 Đặt bài toán 373.2 Đa tạp quán tính 383.3 Kết luận Chương 3 48

Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận văn 51

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu viết trong luận văn là của tôi Cáckết quả trong luận văn là mới và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một côngtrình nào khác mà tôi biết

Thái Nguyên, ngày 01 tháng 4 năm 2015

Học viên

Bùi Xuân Quang

Tóm tắt nội dung

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của cácphương trình tiến hóa thông qua sự tồn tại của một đa tạp quán tính Cụ thể, sử dụngphương pháp Lyapunov-Perron và các đánh giá nhị phân kết hợp với tính chấp nhậnđược của không gian hàm, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính đốivới các phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng

du(t)

dt + Au(t) = f (t, u(t)), t > s, u(s) = us, s ∈ R,trong đó toán tử đạo hàm riêng tuyến tính −A là toán tử quạt trong một không gianBanach có kẽ hở phổ đủ lớn sinh ra nửa nhóm giải tích và số hạng phi tuyến f thỏamãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là kf(t, u) − f(t, v)k 6 ϕ(t)kAθ(u − v)k, với ϕthuộc vào một không gian hàm chấp nhận được

Từ khóa. Phương pháp Lyapunov-Perron, đa tạp quán tính, phương trình parabolicnửa tuyến tính, không gian hàm chấp nhận được, toán tử quạt, nửa nhóm giải tích

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy (ViệnToán ứng dụng và Tin học - Đại học Bách Khoa Hà Nội) Tác giả xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt bài toán, truyềncảm hứng, tận tình chỉ bảo tác giả nghiên cứu và dẫn dắt tác giả đến một hướngnghiên cứu rất thời sự trong lĩnh vực Phương trình vi phân & Hệ động lực

Nhân dịp này, tác giả xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt đến Ban tổ chức và các

thành viên của Seminar “Asymptotic Behavior of Solutions to Differential Equations

and Applications”do PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy điều hành tại Đại học Bách Khoa

Hà Nội vì đã tạo ra cho tác giả một môi trường học thuật nghiêm túc, sôi động vàgiải đáp nhiều thắc mắc về kiến thức chuyên môn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại học Hải Phòng và các anh chị đồng nghiệp trong Khoa vì đã tạo nhiềuđiều kiện thuận lợi để tác giả học tập và nghiên cứu Tác giả trân trọng gửi lờicảm ơn đến các cán bộ giảng dạy của Trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, TrườngĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quátrình học tập

-Cuối cùng, tác giả xin dành những lời cảm ơn đặc biệt nhất đến bố mẹ, gia đình

đã luôn bên cạnh và động viên để tác giả hoàn thành luận văn này

Danh sách kí hiệu

C(Ω) không gian các hàm số liên tục trên Ω

Ck(Ω) không gian các hàm số khả vi liên tục cấp k trên Ω

Re z, arg z phần thực và argument của số phức z

ut(t, x), uxx(t, x) đạo hàm riêng của hàm số u(t, x)

dx(t)

dt , ˙x(t), ¨x(t) đạo hàm các bậc của hàm số x(t)

D(A) miền xác định của toán tử A

Aθ lũy thừa bậc phân số toán tử A

Xθ :=D(Aθ) miền xác định của lũy thừa bậc phân số Aθ

ρ(A), σ(A) tập giải thức và phổ của toán tử A

R(λ, A) giải thức của toán tử A

L1,loc(R) không gian các hàm số khả tích địa phương trên R{e−tA}t>0 nửa nhóm sinh bởi toán tử −A

ω0 cận tăng trưởng của nửa nhóm {e−tA}t>0

(σ, ω) toán tử quạt kiểu (σ, ω)

P X, ker P không gian ảnh và hạch của X qua phép chiếu P

distXθ nửa khoảng cách Hausdorff sinh bởi chuẩn của Xθ

Bρ hình cầu bán kính ρ trong một không gian Banach

L(X) không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên X

Để có thể sử dụng những lý thuyết của Toán học hiện đại, ta sẽ chuyển bài toántrên thành phương trình toán tử trong một không gian trừu tượng Để làm điều đó tagiới thiệu không gian Hilbert X = L2[0, π]và đặt

với B là toán tử đạo hàm riêng trong X xác định bởi

D(B) := ϕ ∈ X : ϕvà ˙ϕ là liên tục tuyệt đối, ˙ϕ ∈ X, ϕ(0) = ϕ(π) = 0 ,

Bϕ := ¨ϕ

Trong không gian Hilbert X với tích vô hướng

hϕ, ψi =

Z π 0ϕ(x)ψ(x)dx với mọi ϕ, ψ ∈ X,toán tử tuyến tính không giới nội A := −B như vậy là xác định dương, tự liên hợp,

có phổ rời rạc Một cách tổng quát, bài toán Cauchy trừu tượng

với A là toán tử không giới nội trong một không gian Hilbert tách được vô hạn chiều,xác định dương, tự liên hợp, có giải thức compact và f là một toán tử phi tuyến, là

mô hình của nhiều bài toán thực tế Chẳng hạn nó là mô hình của quá trình truyềnnhiệt (như phân tích ở trên), quá trình phản ứng-khuếch tán (xem [12]), hay mô hìnhFisher-Kolmogorov mô tả sự lan truyền lớp gene trội trong quần thể sinh thái (xem[27, 28]),

Việc xét các phương trình dưới dạng trừu tượng trong các không gian hàm tổngquát cho phép sử dụng những công cụ hiện đại để tìm hiểu những vấn đề mang tínhbản chất của nghiệm Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình nàykhi thời gian đủ lớn là một việc làm rất quan trọng Nó cho phép hiểu sâu sắc hơncủa các quá trình biến đổi vật chất theo thời gian, từ đó có thể đưa ra những ướclượng và đánh giá quy mô của các hệ thống trong tương lai Một nhánh nghiên cứuđang rất sôi động và thời sự là nghiên cứu dáng điệu nghiệm thông qua sự tồn tạicủa một đa tạp khả vi, lý do là vì nó cho ta biết một bức tranh hình học tổng thể

về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa với nhiễu phi tuyến Tìmđiều kiện để phương trình này có đa tạp tích phân (chẳng hạn, đa tạp ổn định, không

ổn định hay đa tạp trung tâm) là một trong các vấn đề trọng tâm của hướng nghiêncứu này (lịch sử vấn đề và các bước phát triển có thể tìm hiểu ở các công trình[10, 11, 15, 16, 17, 18, 19] trong đó Nguyễn Thiệu Huy và các cộng sự của mình đãđạt được những kết quả hiện đại đối với nhiều lớp phương trình nửa tuyến tính tổngquát trong không gian hàm chấp nhận được với các điều kiện rất tổng quát)

Trong lớp các đa tạp không ổn định, đa tạp quán tính là một công cụ lý tưởng để

nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa Khái niệm đa tạpquán tính được giới thiệu năm 1985 bởi Foias C., Sell G R., Temam R [7] trong một

cố gắng để giảm bớt các nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trìnhNavier-Stokes đến một đa tạp Lipschitz hữu hạn chiều Kể từ đó, đa tạp quán tínhđối với phương trình tiến hóa đã được nghiên cứu một cách hệ thống trong nhiềucông trình (xem [4, 5, 24, 31, 32] và các tài liệu tham khảo trong đó) Đặc tính quan

trọng của đa tạp quán tính là nó hút cấp mũ tất cả các nghiệm của phương trình tiếnhóa dưới các điều kiện được xét Điều này cho phép áp dụng nguyên lý rút gọn đểnghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình đạo hàm riêng bằng cáchxác định các cấu trúc của nó thông qua nghiệm hạn chế lên đa tạp quán tính, nhữngnghiệm này thực chất là nghiệm của các phương trình vi phân thường rút gọn nhờvào tính hữu hạn chiều.

Sự tồn tại của đa tạp quán tính được chứng minh cho nhiều lớp phương trìnhtiến hóa quan trọng như lớp các phương trình đạo hàm riêng tiêu hao (xem [5]),phương trình phản ứng-khuếch tán (xem [20]), các phương trình nửa tuyến tính tổngquát (xem [4]), phương trình nửa tuyến tính tổng quát với các điều kiện rất tổngquát (xem [12]) và một lớp các phương trình tiến hóa chứa trễ hữu hạn trong khônggian hàm chấp nhận được (xem [1]) Ngoài ra, sự tồn tại của một loại đa tạp quán

tính kiểu mới đã được Nguyễn Thiệu Huy chứng minh trong [13], đó là đa tạp quán

tính chấp nhận được (admissibly inertial manifold) được cấu thành bởi các quỹ đạonghiệm thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được

Điều kiện phổ biến cho sự tồn tại của đa tạp quán tính là điều kiện kẽ hở phổtrong sự phân phối của các giá trị riêng của toán tử tự liên hợp A với giải thứccompact và tính liên tục Lipschitz đều của số hạng phi tuyến, tức là f thỏa mãnđiều kiện kf(t, x) − f(t, y)k 6 qkx − yk với hằng số Lipschitz q không phụ thuộcvào thời gian t Tuy nhiên, đối với các phương trình nảy sinh từ các quá trình phảnứng-khuếch tán phức tạp thì hệ số Lipschitz của số hạng phi tuyến có thể phụ thuộcthời gian (xem [12]), và điều kiện kẽ hở phổ hạn chế như vậy có thể không được đápứng Do đó, chúng ta cần cố gắng để mở rộng các điều kiện của toán tử A và số hạngphi tuyến f để mô tả chính xác hơn các quá trình như vậy

Năm 2012, trong [12], Nguyễn Thiệu Huy sử dụng phương pháp Perron và các đánh giá nhị phân kết hợp với tính chấp nhận được của không gianhàm để có được một điều kiện đủ mới cho sự tồn tại của đa tạp quán tính đó là

Lyapunov-sự đủ lớn của khoảng cách giữa hai giá trị riêng kế tiếp nhau của toán tử xác định

dương A và tính liên tục ϕ-Lipschitz của số hạng phi tuyến f(t, x), tức là f thỏamãn kf(t, x) − f(t, y)k 6 ϕ(t)kAθ(x − y)kvới ϕ là một hàm thực dương và thuộcvào một không gian hàm chấp nhận được sao cho chuẩn supt∈RRt

t−1ϕ(τ )dτ là đủnhỏ

Để mở rộng kết quả trong [12], chúng ta sẽ xem xét bài toán (2) dưới một khíacạnh khác Chú ý rằng, tập giải thức của toán tử B có tính chất

trên một không gian Banach, những toán tử như vậy được gọi là toán tử quạt (xem

Định nghĩa 1.1 dưới đây)

Toán tử quạt và nửa nhóm giải tích là các công cụ cơ bản trong nghiên cứu cácbài toán parabolic trừu tượng Nó xuất hiện rất nhiều trong ứng dụng, chẳng hạntrong động lực học chất lỏng (xem [8, 14]) hay các mô hình sinh thái (xem [27, 28])

Do đó, nghiên cứu dáng điệu của hệ động lực sinh ra bởi các phương trình vi phân

có phần tuyến tính là toán tử quạt thông qua sự tồn tại của một đa tạp quán tính làmột việc làm nhiều ý nghĩa, là cầu nối đến các ứng dụng đa dạng

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ mở rộng các kết quả của Nguyễn Thiệu Huy[12] cho các phương trình tiến hóa mà phần tuyến tính là toán tử quạt Một cáchchính xác, bài toán được xét là trường hợp toán tử tuyến tính −A là toán tử quạt có

một tập con cô lập của phổ của nó là đủ xa với phần còn lại (xem Giả thiết 1 dưới

đây) Khoảng cách đủ lớn giữa hai phần phổ của toán tử −A cho phép kết hợp cácđánh giá nhị phân (biểu diễn bởi phổ của −A) với tính chấp nhận được của khônggian hàm (biểu diễn bởi tính chất ϕ-Lipschitz của số hạng phi tuyến f) để thiết lập

các điều kiện đủ cho sự tồn tại của một đa tạp quán tính mà không còn hữu hạnchiều nữa.

Phương pháp được sử dụng trong luận văn là xây dựng các không gian hàm cótrọng (hoặc đổi tỉ xích) để có được một số đánh giá nhị phân và sau đó áp dụng các

kỹ thuật trong [11] (xem thêm [9, 12]) của việc sử dụng tính chấp nhận được củakhông gian hàm để xây dựng nghiệm của phương trình Lyapunov-Perron mà nó sẽđược sử dụng để thiếp lập sự tồn tại của đa tạp quán tính

Kết quả chính của luận văn được viết thành một bài báo nghiên cứu [1] trong

Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận văn và đã được báo cáo tại

Seminar “Asymptotic Behavior of Solutions to Differential Equations and

Applica-tions”, Viện Toán ứng dụng và Tin học - Đại học Bách Khoa Hà Nội, Seminar KhoaToán - Trường Đại học Hải Phòng

Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục các công trình khoa học liên quanđến luận văn, luận văn được chia thành ba chương như sau:

• Chương 1 Toán tử quạt, Không gian hàm chấp nhận được và Đa tạp quán

tính.Trình bày kiến thức cơ sở cho luận văn để phục vụ việc chứng minh cáckết quả chính ở Chương 3, bao gồm một số chuẩn bị về toán tử quạt, lý thuyếtnửa nhóm giải tích và các không gian hàm chấp nhận được Chúng tôi cũngđưa ra định nghĩa của đa tạp quán tính và nhận xét ý nghĩa của nó trong việcnghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân

• Chương 2 Đa tạp quán tính đối với các phương trình tương ứng với toán tử tự

liên hợp có giải thức compact.Trình bày lược đồ chứng minh các kết quả đạtđược bởi Nguyễn Thiệu Huy (xem [12]) về sự tồn tại của đa tạp quán tính đốivới các phương trình nửa tuyến tính du(t)

dt + Au(t) = f (t, u(t))trong đó A làtoán tử tự liên hợp có giải thức compact và số hạng phi tuyến thỏa mãn điềukiện ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được Sau

đó các kết quả này được áp dụng để nghiên cứu mô hình Fisher-Kolmogorov

mô tả sự lan truyền của lớp gene trội trong quần thể sinh thái.

• Chương 3 Đa tạp quán tính đối với các phương trình tương ứng với toán tử

quạt có kẽ hở phổ.Chương này là phần chính của luận văn, trình bày kết quả

mở rộng bài báo [12] về sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trìnhnửa tuyến tính du(t)

dt + Au(t) = f (t, u(t)) trong đó −A là toán tử quạt có kẽ

hở phổ đủ lớn sinh ra nửa nhóm giải tích và số hạng phi tuyến thỏa mãn điềukiện ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được

Dù đã nghiêm túc nghiên cứu và rất cố gắng thực hiện luận văn, nhưng với trình

độ hạn chế cùng nhiều lý do khác, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếusót Kính mong sự góp ý của các Thầy Cô, các bạn và các anh chị đồng nghiệp đểluận văn này hoàn chỉnh và nhiều ý nghĩa hơn

Thái Nguyên, ngày 01 tháng 4 năm 2015

Bùi Xuân Quang

Học viên Cao học Toán lớp B, khóa 06/2013-06/2015

Chuyên ngành Toán ứng dụng

Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Email: quangbx.math@gmail.com

và nêu lên ý nghĩa của nó Một số kết quả chuẩn bị liên quan đến đánh giá nhị phântương ứng với sự phân rã phổ của toán tử quạt và đánh giá của hàm Green đượcchứng minh chi tiết để sử dụng trong chứng minh kết quả chính sau này.

1.1 Toán tử quạt - Nửa nhóm giải tích

1.1.1 Toán tử quạt

Trước hết, chúng tôi nhắc lại một vài vấn đề về toán tử giới nội cùng các mệnh

đề liên quan (phần này chúng tôi tham khảo [22])

Xét bài toán Cauchy trong không gian Banach tổng quát

(1.1)

trong đó B : D(B) → X là toán tử tuyến tính

Giả sử B ∈ L(X) Trước hết ta sẽ xác định nghiệm của (1.1) như là tổng củamột chuỗi lũy thừa

Mệnh đề 1.1 Cho B ∈ L(X) Khi đó chuỗi

+∞

Xk=0

tkBkx

Khi đó, hạn chế của u trên [0, +∞) là nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy (1.1).

Phép chứng minh của mệnh đề này có thể tham khảo trong [22] Từ phép chứngminh này, với mỗi toán tử giới nội B thì chuỗi lũy thừa

etB :=

+∞

Xk=0

tkBk

hội tụ trong L(X) với mỗi t ∈ R Nếu B không giới nội, miền xác định của Bk

có thể trở nên nhỏ hơn và nhỏ hơn khi k tăng, và ngay cả với x ∈ Tk∈ND(Bk)

nó cũng không đảm bảo chuỗi P+∞

k=0

tkBkx k! hội tụ Ví dụ như chọn X = C[0, 1],

D(Bk) = C1[0, 1], Bf = f0 Vì thế, ta phải tìm một biểu diễn nghiệm của (1.1) nếumuốn mở rộng tới trường hợp không giới nội Ta xét mệnh đề sau

Mệnh đề 1.2 Cho B ∈ L(X) và giả sử γ ⊂ C là một đường tròn với tâm O và

bán kính r > kBk Khi đó

etB = 1

2πiZγ

Bk

λk+1, |λ| > kBk,

ta có

12πi

Zγ

etλR(λ, B)dλ = 1

2πi

+∞

Xn=0

tnn!

Zγ

λnR(λ, B)dλ

= 12πi

+∞

Xn=0

tnn!

Zγ

λn

+∞

Xk=0

tnn!

+∞

Xk=0

BkZγ

λn−k−1dλ

= etB,

do tích phân trong chuỗi cuối cùng bằng 2πi nếu n = k và bằng 0 trong các trườnghợp khác

Cuối cùng trong phần này là việc thiết lập công thức biến thiên hằng số tổng

quát, đó là nghiệm của bài toán Cauchy không thuần nhất

e(t−s)BF (s)ds, t ∈ [0, T ] (1.7)Trong luận văn này, chúng tôi xét một lớp các phương trình có phần tuyến tính

là toán tử quạt Một cách chính xác, toán tử quạt được định nghĩa sau đây:

Định nghĩa 1.1 Giả sử X là một không gian Banach Một toán tử tuyến tính

B : X ⊃ D(B) → X được gọi là một toán tử quạt kiểu (σ, ω) nếu nó thỏa mãn

các điều kiện sau đây:

Những nghiên cứu hệ thống về toán tử quạt và những áp dụng của chúng vàophương trình đạo hàm riêng có thể tìm thấy trong các sách chuyên khảo [2, 6, 23,

Với mọi t > 0, điều kiện (2) của Định nghĩa 1.1 cho phép xác định xác định mộttoán tử tuyến tính giới nội etB trên X Với r > 0, η ∈ π

Những tính chất chính của etB với t > 0 được tổng kết trong định lí sau đây:

Định lí 1.1 Cho B là toán tử quạt và etB xác định bởi (1.9) Khi đó các phát biểu

sau là đúng

(1) etBx ∈D(Bk) với mọi t > 0, x ∈ X, k ∈ N Nếu có x ∈D(Bk) thì

BketBx = etBBkx, t > 0

(2) etBesB = e(t+s)B với mọi t, s > 0.

(3) Tồn tại dãy hằng số M0, M1, M2, sao cho

ketBkL (X) 6 M0eωt, t > 0, (1.11)

ktk(B − ωI)ketBkL (X) 6 Mkeωt, t > 0, (1.12)

với ω xác định trong Định nghĩa 1.1.

Trong trường hợp riêng, từ bất đẳng thức (1.12), với mỗi ε > 0 và k ∈ N, tồn

γr,θ0+ω

Ta nhận xét rằng phát biểu (2) trong Định lí 1.1 nói rằng họ các toán tử etAthỏa

mãn luật nửa nhóm, tính chất đại số gắn liền với khái niệm mũ Phát biểu (4) nói

rằng e(·)B là một thác triển giải tích tới một quạt Do đó, một cách tự nhiên, ta đưa

ra định nghĩa sau đây:

Định nghĩa 1.2 Giả sử B là một toán tử quạt Ánh xạ

T : [0, +∞) → L(X)

được gọi là nửa nhóm giải tích sinh bởi toán tử B trong không gian X.

Nhận xét 1.1 Chú ý rằng, định nghĩa về toán tử sinh của một nửa nhóm toán tử

được định nghĩa một cách tổng quát như sau (chi tiết có thể tham khảo [6]): Ta gọi

toán tử sinh của nửa nhóm {T (t)}t>0 là toán tử tuyến tính B : D(B) ⊂ X → Xđược định nghĩa bởi

Bx := lim

t→0 +

T (t)x − x

t , x ∈ D(B)

Đối với nửa nhóm giải tích {etB}t>0, cận tăng trưởng của nó là số

ω0 := infγ ∈ R : tồn tại M > 0 sao cho ketB

k 6 Meγt, t > 0

Đối với toán tử B, biên phổ của nó là số

s(B) := sup Re λ : λ ∈ σ(B)

Rõ ràng là s(B) 6 ω với ω xác định trong Định nghĩa 1.1

Tiếp theo, ta xét một công thức quan trọng biểu diễn giải thức R(λ, B) như sau

Mệnh đề 1.4 Giả sử B : D(B) ⊂ X → X là một toán tử quạt Với mỗi λ ∈ C mà

Định nghĩa 1.3 Cho {T (t)}t>0là họ các toán tử giới nội trên X Nếu T (0) = I và

T (t + s) = T (t)T (s)với mọi t, s > 0 và hàm t 7→ T (t)x là liên tục từ [0, +∞) tới

X thì {T (t)}t>0 được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh.

Sau đây là một số ví dụ tiêu biểu về toán tử quạt

Ví dụ 1.1 (Toán tử đạo hàm riêng cấp hai trên R) Nhắc lại khái niệm căn bậc hai

của số phức (ở đây, quy ước kí hiệu căn bậc hai của số phức z là √z) như sau: Cho

λ ∈ C, khi đó √λ = |λ|12eiθ2 nếu arg λ = θ ∈ (−π, π] Do đó, Re√λ > 0 nếu

Ta xác định tập phổ của Ap và đánh giá chuẩn của giải thức của nó Với mọi

1 6 p 6 +∞, tập phổ của Ap là nửa đường thẳng (−∞, 0] Nếu λ = |λ|eiθ với

|θ| < πthì ta có đánh giá

kR(λ, A)kL (Lp (R)) 6 1

|λ| cos θ2

Ví dụ 1.2 (Toán tử đạo hàm riêng cấp hai trên khoảng bị chặn với điều kiện biên

Dirichlet) Không mất tính tổng quát, ta cố định I = (0, 1) và xét toán tử đạo hàm

riêng trên Lp(0, 1)với 1 6 p < +∞

D(A∞) → C([0, 1])là toán tử quạt, với ω = 0 và θ ∈ π

2, π
.Trong luận văn này, khi chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính, ta sẽ sử dụngmột lớp cụ thể các toán tử quạt và giả thiết như sau đây:

Giả thiết 1 Giả sử A là một toán tử tuyến tính đóng trên một không gian Banach

X thỏa mãn −A là toán tử quạt kiểu (σ, ω) với σ ∈ 0, π2
và ω < 0 Giả sử rằng

phổ σ(−A) thỏa mãn điều kiện phân rã phổ

σ(−A) = σ−(−A) ∪ σ+(−A) ⊂ C−

Do hạn chế của toán tử −A lên không gian ảnh P X là một toán tử giới nội,nên hạn chế {e−tAP }t>0 của nửa nhóm {e−tA}t>0 lên P X có thể mở rộng lên toànđường thẳng R Do đó, ta có một nhóm {e−tAP }t∈R

1.1.2 Lũy thừa bậc phân số của toán tử quạt

Do (ω, ∞) ⊂ ρ(−A) với ω < 0, ta có (−∞, 0] ⊂ (−∞, −ω) ⊂ ρ(A) Ngoài ra,

kR(λ, A)k = k − R(−λ, −A)k 6 M

−λ − ωvới mọi λ < −ω (do đó, với mọi λ 6 0) Vì vậy, toán tử A là dương theo nghĩa của[2] (xem thêm [23, 31]) Vì thế, với θ > 0, có thể xác định toán tử

với Γ là hàm Gamma.

Lũy thừa bậc phân sốcủa toán tử A có thể được xác định bởi

Aθ := (A−θ)−1 với θ > 0 (1.20)Như thường lệ, quy ước A0 = I (toán tử đồng nhất) cho trường hợp θ = 0 Ngoài

ra, kí hiệu Xθ := D(Aθ)được trang bị chuẩn

kxkXθ := kAθxk với mọi x ∈ Xθvà 0 6 θ < 1

Các nghiên cứu chi tiết về lũy thừa bậc phân số có thể tìm trong [23, 29, 31]

1.1.3 Đánh giá nhị phân của nửa nhóm giải tích

Bây giờ, ta sẽ phát biểu và chứng minh một số tính chất, được gọi là đánh giá

nhị phâncủa nửa nhóm giải tích {e−tA}t>0

Mệnh đề 1.5 Giả sử ω1 < ω2 < 0 là các số thực được chọn như trong (1.18) Với

θ > 0 ta có các đánh giá nhị phân sau đây:

` +

etλR(λ, −A+)dλ

6 e

−ω 2 |t|

2πZ

` +kR(λ, −A+)k |dλ|

6 M1e−ω2 |t| với M1 := |`+|

2π λ∈`sup+

kR(λ, −A+)k ,trong đó |`+| là độ dài của đường cong chính quy `+ Do đó bất đẳng thức (1.21)được chứng minh

Bất đẳng thức (1.22) được suy ra từ đánh giá

kAθe−tAP k = kAθ+e−tA+k 6 kAθ

+kke−tA+k 6 kAθ

+kM1e−ω2 |t|.Đặt M2 := kAθ+kM1 thì khẳng định được chứng minh

Tiếp theo, kí hiệu −A− là hạn chế của −A lên không gian hạch ker P Khi đó,

−A−là một toán tử quạt với phổ σ(−A−) = σ−(−A) Và toán tử −A−sinh ra mộtnửa nhóm giải tích {e−tA −}t>0 = {e−tA(I − P )}t>0 với biên phổ (và do đó là cậntăng trưởng) nhỏ hơn ω1

Do vậy, các bất đẳng thức (1.23) và (1.24) được suy ra từ lý thuyết tổng quát vềnửa nhóm giải tích (xem, chẳng hạn, [23, 29], [31, Theorem 37.5, Chapter 3]).Phép chứng minh của mệnh đề được kết thúc

Có thể thấy rằng G(t, τ) ánh xạ X vào không gian lũy thừa bậc phân số Xθ Ngoài

ra, bởi các đánh giá nhị phân (xem Mệnh đề 1.5) ta có một đánh giá quan trọng đốivới hàm Green, được phát biểu trong mệnh đề sau đây:

Mệnh đề 1.6 Với Aθ là lũy thừa bậc phân số của toán tử A được định nghĩa trong

(1.20), G(t, τ) là hàm Green, ta có đánh giá

keγ(t−τ )AθG(t, τ )k 6 K(t, τ )e−α|t−τ | với mọi t, τ ∈ R (1.26)

M2 if t6 τ

(1.27)

với ω1 và ω2 được chọn như trong (1.18).

Chứng minh. Xét trường hợp thứ nhất t > τ, khi đó theo định nghĩa của hàm Green

1.3 Không gian hàm chấp nhận được

Trong mục này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm về không gian hàm, các ứngdụng cụ thể có thể tham khảo trong [25, 30]

Kí hiệu B và λ lần lượt là đại số Borel và độ đo Lebesgue trên đường thẳng thực

R Không gian L1,loc(R) những hàm số nhận giá trị thực khả tích địa phương trên R

(đồng nhất các hàm bằng nhau λ-hầu khắp nơi) sẽ trở thành một không gian Fréchetvới các nửa chuẩn pn(f ) = RJ

n|f (t)|dt trong đó Jn = [n, n + 1] với mỗi n ∈ Z(xem [25, Chapter 2, §20])

Chúng ta định nghĩa không gian hàm Banach như sau:

Định nghĩa 1.4 Không gian tuyến tính E tất cả những hàm thực đo được Borel trên

(R, B, λ) (đồng nhất các hàm bằng nhau λ-hầu khắp nơi) được gọi là một không

gian hàm Banach trên (R, B, λ) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(1) E là một dàn Banach với chuẩn k · kE, tức là (E, k · kE) là một không gianBanach, và nếu ϕ ∈ E, ψ là một hàm thực đo được Borel sao cho

|ϕ(·)| 6 |ψ(·)| λ-hầu khắp nơithì ψ ∈ E và kψkE 6 kϕkE,

(2) Hàm đặc trưng χA thuộc không gian E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn

supt∈R

kχ[t,t+1]kE < ∞, inf

t∈Rkχ[t,t+1]kE > 0,(3) E ,→ L1,loc(R)

Chú ý rằng điều kiện (3) trong Định nghĩa 1.4 có nghĩa là với mỗi khoảng pact J ⊂ R, tồn tại một số βJ > 0 sao cho

com-ZJ

|f (t)|dt 6 βJkf kE với mọi f ∈ E

Tiếp theo chúng ta giới thiệu khái niệm chấp nhận được (của không gian hàm)

như trong định nghĩa sau đây:

Định nghĩa 1.5 Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được nếu các

điều kiện sau được thỏa mãn:

(1) Tồn tại hằng số M > 1 sao cho với mỗi khoảng compact [a, b] ⊂ R ta có

Z b a

|ϕ(t)|dt 6 M (b − a)

kχ[a,b]kE kϕkE, (1.28)

(2) Với ϕ ∈ E thì hàm

Λ1ϕ(t) =

Z t t−1

Tτ+ϕ(t) := ϕ(t − τ ) với mọi t ∈ R, (1.30)

Tτ−ϕ(t) := ϕ(t + τ ) với mọi t ∈ R (1.31)Hơn nữa, tồn tại các hằng số N1 và N2 sao cho

|f (τ )|dτ với mọi f ∈ M(R),nhiều không gian hàm khác thường gặp trong lý thuyết nội suy, chẳng hạn, khônggian Lorentz Lp,q với 1 < p < ∞, 1 < q < ∞ (xem [3]) và, tổng quát, lớp cáckhông gian hàm bất biến sắp xếp lại trên (R, B, λ) (xem [21]) là chấp nhận được

Nhận xét 1.2 Nếu E là một không gian hàm chấp nhận được thì ta có phép nhúng

E ,→ M(R)

Ta có một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được trong mệnh

đề sau đây (xem [9, Proposition 2.6] và [25])

Mệnh đề 1.7 Giả sử E là một không gian hàm chấp nhận được Khi đó ta có các

khẳng định sau:

(1) Cho ϕ ∈ L1,loc(R) sao cho ϕ > 0 và Λ1ϕ ∈ E, trong đó Λ1 được xác định trong (1.29) Với số σ > 0 ta xác định hàm Λ0

σϕ và Λ00σϕ bởi

Λ0σϕ(t) =

Z t 0

e−σ(t−s)ϕ(s)ds, (1.32)

Λ00σϕ(t) =

Z ∞ t

e−σ(s−t)ϕ(s)ds (1.33)

Khi đó, Λ0σϕ và Λ00σϕ thuộc không gian E Đặc biệt, nếu

supt∈R

Z t t−1ϕ(τ )dτ < +∞,

thì Λ0σϕ và Λ00σϕ là bị chặn Ngoài ra, ta có đánh giá

kΛ0σϕk∞ 6 N1

1 − e−σkΛ1ϕk∞, (1.34)

kΛ00σϕk∞ 6 N2

trong đó N1và N2 được xác định như trong Định nghĩa 1.5.

(2) Không gian E chứa những hàm suy thoái cấp mũ ψ(t) = e−α|t|

với t ∈ R và hằng số α > 0.

(3) Không gian E không chứa những hàm tăng trưởng cấp mũ f(t) = eb|t| với

t ∈ R và hằng số b > 0.

Để thiết lập đa tạp quán tính đối với phương trình (1.38), bên cạnh những giảthiết đối với toán tử quạt A, ta cần tính chất ϕ-Lipschitz của số hạng phi tuyến f nhưtrong định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.6 Cho E là một không gian hàm chấp nhận được trên R và ϕ là một

hàm dương thuộc E Đặt Xθ := D(Aθ) với θ ∈ [0, 1) Khi đó, một hàm f : R ×

Xθ → X được gọi là ϕ-Lipschitz nếu f thỏa mãn các tính chất:

(1) kf(t, x)k 6 ϕ(t)(1 + kAθxk)với hầu khắp nơi t ∈ R và với mọi x ∈ Xθ,(2) kf(t, x1) − f (t, x2)k 6 ϕ(t)kAθ(x1 − x2)k với hầu khắp nơi t ∈ R và vớimọi x1, x2 ∈ Xθ

Ngoài ra, ta cần giả thiết sau đây đối với hàm ϕ.

Giả thiết 2 Giả sử ϕ là một hàm dương thuộc E Số hạng phi tuyến được giả thiết

như sau:

R(ϕ, θ) := sup

t∈R

Z t t−1

ϕ(τ )1+θ2θ(t − τ )1+θ2

dτ

!1+θ2θ

< +∞ trong đó 0 < θ < 1. (1.36)Chú ý, trong trường hợp θ = 0 ta không cần giả thiết này

Nhận xét 1.3 Chú ý rằng mỗi một hàm ϕ đo được mạnh và dương với

Z t t−1

ϕ(τ )1+θ2θ(t − τ )1+θ2

dτ 6 2H

1+θ θ

1 − θ .Bây giờ ta giới thiệu một hàm ϕ(t) khác được xác định với hằng số c > 1 bởi côngthức

2 − 1 2

0 trong các trường hợp khác

Chú ý rằng, giá trị của hàm ϕ là lớn tùy ý Tuy nhiên chúng ta vẫn có

supt∈R

Z t t−1

2 − 1 2

2|n|

1−θ+c

|n|1+θ2θ dt

= supn∈Z

có ba khả năng: t ∈ In hoặc t − 1 ∈ In hoặc Tn ⊂ [t − 1, t] Do đó, ta có

6n+1

2 − 1

2 2|n|

1−θ+c

|n|dτ(t − τ )1+θ2

,

6n+1

2 + 12 2|n|

1−θ+cZt−1

|n|dτ(t − τ )1+θ2

,

6n+1

2 + 12 2|n|

1−θ+cZ

6n+1

2 − 1 2 2|n|

1−θ+c

|n|dτ(t − τ )1+θ2

cả lớp phương trình tương ứng với toán tử tự liên hợp và toán tử quạt Để đơn giảntrong trình bày, khái niệm đa tạp quán tính được định nghĩa sau đây cho một lớp cácphương trình tiến hóa parabolic nửa tuyến tính có dạng

e−(t−ξ)Af (ξ, u(ξ))dξ, t > s hầu khắp nơi (1.38)

Một nghiệm của phương trình (1.38) là một hàm số đo được mạnh u(t) xác định

trên một khoảng J nhận giá trị trong không gian Xθ thỏa mãn phương trình (1.38)

với mọi t, s ∈ J Nghiệm u của phương trình (1.38) được gọi là một nghiệm đủ tốt

(mild solution) của phương trình (1.37)

Có thể tham khảo [29] để biết thêm chi tiết về nghiệm đủ tốt và mối quan hệ giữanghiệm cổ điển và nghiệm đủ tốt của phương trình tiến hóa (xem thêm [4, 6, 23, 31])

Định nghĩa 1.7 Một đa tạp quán tính của phương trình (1.38) là một họ những mặt

Lipschitz {Mt}t∈R trong X thỏa mãn với mỗi Mtlà đồ thị của hàm Lipschitz

Φt: P X → (I − P )Xθ,tức là

Mt = {x + Φtx : x ∈ P X} với mọi t ∈ R

và thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(1) Hằng số Lipschitz của ánh xạ Φt là độc lập với thời gian t, tức là có hằng số

C không phụ thuộc thời gian t và thỏa mãn

kAθ(Φtx1− Φtx2)k 6 CkAθ(x1− x2)k (1.39)(2) Tồn tại hằng số γ > 0 sao cho mỗi x0 ∈ Mt0 có nghiệm u(t) của phươngtrình (1.38) trên (−∞, t0]thỏa mãn u(t0) = x0 và

esssupt6t 0

ke−γ(t0 −t)Aθu(t)k < +∞ (1.40)

(3) {Mt}t∈R là bất biến dương đối với phương trình tích phân (1.38) Tức là, nếumột nghiệm x(t) với t > s của phương trình (1.38) thỏa mãn xs ∈ Ms thìx(t) ∈ Mt với t > s

(4) {Mt}t∈R hút cấp mũ tất cả các nghiệm của phương trình (1.38), tức là vớimỗi nghiệm u(·) của phương trình (1.38) và với mỗi s ∈ R cố định, tồn tạihằng số dương H thỏa mãn

distXθ(u(t), Mt) 6 He−γ(t−s) với mọi t > s, (1.41)