Tích phân đối với độ đo ngẫu nhiên ổn định và độ đo ngẫu nhiên poiso

26 2 Tích phân đối với độ đo ngẫu nhiên ổn định 29 2.1 Định nghĩa tích phân ổn định như một quá trình ngẫu nhiên ổn định.. Trong luận văn này, tôi cố gắng trình bày một cách có hệ thống

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Chu Văn Sơn

TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN ỔN ĐỊNH VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN POISSON

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Chu Văn Sơn

TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN ỔN ĐỊNH VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN POISSON

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội - Năm 2012

Mục lục

1.1 Biến ngẫu nhiên ổn định trong R 6

1.1.1 Các định nghĩa tương đương của phân bố ổn định 6

1.1.2 Tính chất của biến ngẫu nhiên ổn định 9

1.1.3 Biến ngẫu nhiên α-ổn định đối xứng 15

1.2 Phân phối ổn định nhiều chiều 16

1.2.1 Véc tơ ngẫu nhiên ổn định trong Rd 16

1.2.2 Hàm đặc trưng của véc tơ ngẫu nhiên ổn định 21

1.2.3 Véc tơ ngẫu nhiên ổn định chặt và véc tơ ngẫu nhiên ổn định đối xứng 23

1.3 Quá trình ngẫu nhiên ổn định 24

1.4 Biến ngẫu nhiên Poisson 26

2 Tích phân đối với độ đo ngẫu nhiên ổn định 29 2.1 Định nghĩa tích phân ổn định như một quá trình ngẫu nhiên ổn định 29

2.2 Định nghĩa cấu trúc của tích phân ngẫu nhiên ổn định 34

2.2.1 Độ đo ngẫu nhiên α-ổn định 34

2.2.2 Định nghĩa cấu trúc của tích phân ổn định 37

2.3 Tính chất của tích phân đối với độ đo ngẫu nhiên ổn định 42

2.4 Ví dụ 50

3 Tích phân đối với độ đo ngẫu nhiên Poisson 55 3.1 Độ đo ngẫu nhiên Poisson 55

3.2 Tích phân đối với độ đo ngẫu nhiên Poisson 58

3.3 Mở rộng của tích phân đối với độ đo ngẫu nhiên Poisson 61

3.4 Độ đo ngẫu nhiên Poisson quy tâm 65

MỞ ĐẦU

Trong giải tích ngẫu nhiên, Tích phân ngẫu nhiên đóng một vai trò rất quantrọng, phục vụ đắc lực cho việc tính toán ngẫu nhiên, nghiên cứu các quá trìnhngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên

Trong luận văn này, tôi cố gắng trình bày một cách có hệ thống định nghĩa

và các tính chất cơ bản của tích phân đối với độ đo ngẫu nhiên ổn định và độ

đo ngẫu nhiên Poisson mà tôi đã lĩnh hội được trong thời gian qua Các kết quảtrình bày trong luận văn chủ yếu đã được trình bày trong [9], [11], khi trình bàylại các vấn đề trên tôi đã chứng minh chi tiết các kết quả dựa trên cơ sở củacác chứng minh đã có, bổ sung thêm các ví dụ minh họa

Nội dung luận văn chia làm ba chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Nội dung của chương này gồm:

+) Các định nghĩa tương đương của biến ngẫu nhiên ổn định, biến ngẫunhiên ổn định chặt và biến ngẫu nhiên ổn định đối xứng và các tính chất cơ bảncủa biến ngẫu nhiên ổn định

+) Định nghĩa và các tính chất cơ bản của biến ngẫu nhiên ổn định nhiềuchiều

+) Quá trình ngẫu nhiên ổn định

+) Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson

Chương 2 Tích phân ngẫu nhiên ổn định Nội dung chương này gồm:+) Hai phương pháp định nghĩa tích phân ngẫu nhiên ổn định:

• Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên ổn định như một quá trình ngẫu nhiên

ổn định

• Định nghĩa cấu trúc của tích phân ngẫu nhiên ổn định

+) Các tính chất của tích phân ngẫu nhiên ổn định

+) Một số ví dụ minh họa

Chương 3 Tích phân và độ đo ngẫu nhiên Poisson Nội dung chương

ý kiến phê bình và chỉ bảo của các thầy phản biện và độc giả.

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tôi được thầy GS TSKH Đặng HùngThắng cung cấp tài liệu và tận tình hướng dẫn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới Thầy vì những giúp đỡ quý báu đó Tôi cũng xin cảm ơn các thầy côtrong khoa Toán - Cơ - Tin học, đặc biệt là các thầy cô trong bộ môn Xác suất

- Thống kê đã truyền đạt cho tôi nhiều kiến thức quý báu Cuối cùng tôi xincảm ơn các thành viên trong lớp cao học chuyên ngành Lý thuyết Xác suất vàThống kê toán học khóa 2009-2011 đã tổ chức các buổi thảo luận để nâng caotrình độ chuyên môn, cảm ơn tất cả các bạn bè đồng nghiệp đã có những ý kiếnđóng góp để bản luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 25 tháng 04 năm 2012

Học viên

Chu Văn Sơn

BẢNG KÝ HIỆU VIẾT TẮT

(Ω, F , P ) không gian xác suất cơ bản

(E, ε, m) không gian đo

Sα(σ, β, µ) phân phối α-ổn định, chỉ số ổn định α, các tham số σ, β, µSαS phân phối α-ổn định đối xứng

Poisson (λ) phân phối Poisson tham số λ

T không gian các hàm f : E → R đo được thỏa mãn

Z

E

|f (x)|αm(dx) < ∞ nếu α 6= 1Z

E

|f (x)β(x) ln |f (x)||m(dx) < ∞ nếu α = 1

I(f ) tích phân của hàm f đối với độ đo ngẫu nhiên ổn địnhZ

E

f (x)M (dx) tích phân của hàm f đối với độ đo ngẫu nhiên ổn định M

N (E) họ các độ đo đếm trên E

Z

E

f (x)ξ(ω, dx) tích phân của hàm f đối với độ đo ngẫu nhiên Poisson ξ

Xf tích phân của hàm f đối với độ đo ngẫu nhiên Poisson ξ

Chương 1

Phân bố ổn định và phân

bố Poisson

1.1 Biến ngẫu nhiên ổn định trong R

1.1.1 Các định nghĩa tương đương của phân bố ổn định

Định nghĩa 1.1.1 Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân bố ổn địnhnếu với mỗi số thực dương A, B tồn tại số thực dương C và một hằng số D saocho:

với X1, X2 là các bản sao độc lập của X

Biến ngẫu nhiên X thỏa mãn (1.1) gọi là ổn định chặt nếu (1.1) đúng với

D = 0

Biến ngẫu nhiên X gọi là ổn định đối xứng nếu phân bố của nó là đối xứngtức là X và −X có cùng phân bố Một biến ngẫu nhiên ổn định đối xứng thìcũng ổn định chặt

Định lý 1.1.2 Với mỗi biến ngẫu nhiên ổn định X, có một số thực α ∈ (0, 2]

sao cho C trong (1.1) thỏa mãn

Số α gọi là chỉ số ổn định, một biến ngẫu nhiên ổn định X có chỉ số ổn định

α gọi là biến ngẫu nhiên α-ổn định

Ví dụ 1.1.3 Nếu X là biến ngẫu nhiên Gaussian với trung bình µ và phươngsai v2 (S ∼ N (µ, v2)) thì X là ổn định với α = 2 Vì

AX1+ BX2 ∼ N ((A + B)µ, (A2+ B2)v2),suy ra (1.1) thỏa mãn với

C = (A2+ B2)12 và D = (A + B − C)µ

Định nghĩa 1.1.4 (Định nghĩa tương đương 1.1.1)

Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân bố ổn định nếu với ∀n ≥ 2 có sốdương bn và số thực an sao cho:

X1+ X2+ · · · + Xn = bd nX + an, (1.3)với X1, X2, , Xn là các bản sao độc lập của X

Nếu X ổn định theo nghĩa 1.1.1 thì nó cũng ổn định theo định nghĩa 1.1.4.Điều ngược lại cũng đúng Do đó định nghĩa 1.1.1 và 1.1.4 là tương đương.Định nghĩa 1.1.5 (Tương đương 1.1.1 và 1.1.4)

Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân bố ổn định nếu có một dãy biến ngẫunhiên độc lập Y1, Y2, , Yn, và hai dãy số dương {dn} và {an} sao cho:

Y1+ Y2+ · · · + Yn

d

Định nghĩa 1.1.6 (Tương đương các định nghĩa 1.1.1; 1.1.4; 1.1.5)

Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân bố ổn định nếu có các tham số

0 < α ≤ 2, σ ≥ 0, −1 ≤ β ≤ 1 và số thực µ sao cho hàm đặc trưng của nó chobởi công thức:

o nếu α 6= 1, expn−σ|θ|1 + iβπ2sign(θ) ln |θ|+ iµθo nếu α = 1.

2) Do hàm đặc trưng (1.5) đặc trưng bởi các tham số: α ∈ (0, 2]; σ ≥ 0;

β ∈ [−1, 1] và µ ∈ R Nên ta ký hiệu phân bố ổn định bởi Sα(σ, β, µ) và viết

3 2

d) Hằng số µ có thể coi là có phân bố Sα(0, 0, µ) với 0 < α ≤ 2

1.1.2 Tính chất của biến ngẫu nhiên ổn định

Tính chất 1.1.2.1

Nếu X1 và X2 là các biến ngẫu nhiên độc lập, Xi ∼ Sα(σi, βi, µi), i = 1, 2thì

X1+ X2 ∼ Sα(σ, β, µ)với

ln E exp iθ(X1+ X2) = ln E exp iθX1+ ln E exp iθX2 =

= −(σ1α+ σ2α)|θ|α + i|θ|αsign(θ)tan πα

2

(β1σ1α + β2σ2α) + iθ(µ1+ µ2)

+ iθ(µ1+ µ2).Chứng minh với α = 1 tương tự

Tính chất 1.1.2.2

Nếu X ∼ Sα(σ, β, µ), a là hằng số thực, thì

X + a ∼ Sα(σ, β, µ + a)

Tính chất 1.1.2.3.

X ∼ Sα(σ, β, µ) và a là hằng số, a ∈ R thì

aX ∼ Sα(|a|σ, sign(a)β, aµ) nếu α 6= 1,

aX ∼ S1(|a|σ, sign(a)β, aµ − 2

πa(ln |a|)σβ) nếu α = 1.

Chứng minh

ln {E exp iθ(aX)} = −|θa|ασα1 − iβsign(aθ) tan πα

2

+ iµ(θa)

= −(σ|a|)α|θ|α1 − iβsign(a)sign(θ) tanπα

2

+ i(µa)θ.Với α = 1 chứng minh tương tự

Hệ quả 1.1.8 X ∼ Sα(σ, β, µ) với α 6= 1 thì X − µ là ổn định chặt

P (Yδ,k > λ) =

(

δαλ−α khi λ > δ

1 khi λ ≤ δ

Thì biến ngẫu nhiên Poisson Xδ =

E exp(iθXδ) = EE[exp(iθXδ)|Nδ] = E[E exp(iθYδ,1)]Nδ

Điều này suy ra Xδ hội tụ theo phân bố tới X ∼ Sα

Γ(1 − α) cos πα2

1

α , 1, 0

.Tương tự nếu γ > 0

Tính chất 1.1.2.11.

Cho X ∼ Sα(σ, β, µ), 1 < α ≤ 2 thì EX = µ

Chứng minh X ∼ Sα(σ, β, µ), 1 < α ≤ 2 Biến ngẫu nhiên X có trung bìnhhữu hạn (bởi tính chất 1.1.2.9 với 1 < α < 2 và bởi X là Gaussian với α = 2).Hơn nữa X − µ là ổn định chặt (do hệ quả 1.1.8) Gọi X1 và X2 là các bản saođộc lập của X, theo định nghĩa 1.1.1 và định nghĩa 1.1.4 ta có

A(X1 − µ) + B(X2− µ) = (Ad α+ Bα)1/α(X − µ) với ∀ A, B > 0

Suy ra

A(EX − µ) + B(EX − µ) = (Aα+ Bα)1/α(EX − µ) ∀ A, B > 0

Nên EX = µ

1.1.3 Biến ngẫu nhiên α-ổn định đối xứng

Chúng ta ký hiệu SαS là một phân bố α-ổn định đối xứng Ta nói X là SαSnếu và chỉ nếu X ∼ Sα(σ, 0, 0) (do sử dụng tính chất 1.1.2.4) X là SαS thì hàmđặc trưng của nó là:

E exp(iθX) = e−σα|θ|α (1.11)

Do đó phân bố SαS đặc trưng bởi tham số σ

Một biến ngẫu nhiên X gọi là SαS chuẩn nếu σ = 1 Một biến ngẫu nhiên

SαS chuẩn với α = 2 là N (0, 2) vì với α = 2 ta có σ2 = 1

2V arX.

Mệnh đề 1.1.14 Cho X ∼ Sα1(σ, 0, 0), 0 < α1 ≤ 2 và 0 < α2 < α1 A là biếnngẫu nhiên α2

α1-ổn định và có biến đổi Laplace là:

Nếu X và A độc lập thì Z = A

1

α1X ∼ Sα2(σ, 0, 0)

Chứng minh Với số thực θ bởi (1.11) ta có:

E exp iθZ = E exp{iθA

1.2 Phân phối ổn định nhiều chiều

1.2.1 Véc tơ ngẫu nhiên ổn định trong Rd

Định nghĩa 1.2.1 Một véc tơ ngẫu nhiên d-chiều X = (X1, X2, , Xd), gọi làvéc tơ ngẫu nhiên ổn định trong Rd nếu với mỗi số dương A, B có số dương C

và véc tơ D ∈ Rd sao cho

AX(1)+ BX(2) d= CX + D, (1.12)với X(1), X(2) là các bản sao độc lập của X

Khi đó ta cũng nói: "X1, X2, , Xd có phân phối ổn định đồng thời" hoặcnói "X có phân phối ổn định trong Rd" hoặc " X có phân bố ổn định d chiều".Véc tơ X được gọi là ổn định chặt nếu (1.12) đúng với D = 0 với mỗi A > 0,

B > 0 Véc tơ X được gọi là ổn định đối xứng nếu nó ổn định và thỏa mãn

P {X ∈ A} = P {−X ∈ A}, với mỗi A là tập Borel trong Rd

Một véc tơ ổn định đối xứng là véc tơ ổn định chặt

Định lý 1.2.2 X = (X1, X2, , Xd) là véc tơ ngẫu nhiên ổn định (ổn địnhchặt, ổn định đối xứng) trong Rd thì có một hằng số α ∈ (0, 2] sao cho, trong(1.12), C = (Aα + Bα)1/α, hơn nữa, mỗi biểu thức tuyến tính của các thànhphần của X dạng Y =

d

P

k=1

bkYk là α-ổn định (ổn định chặt, ổn định đối xứng).Chứng minh Đặt X(1) và X(2) là hai bản sao độc lập của X, b = (b1, b2, , bd)

Cố định A > 0, B > 0 do X ổn định bởi (1.12) có C > 0 và D =(D1, D2, , Dd) sao cho

Suy ra α = α0 Ta có điều phải chứng minh

Hệ quả 1.2.3 Một véc tơ ngẫu nhiên X là ổn định nếu với mỗi n ≥ 2 có

α ∈ (0, 2] và véc tơ Dn sao cho:

X(1) + X(2) + · · · + X(n) d= n

1

với X(1) + X(2)+ · · · + X(n) là các bản sao độc lập của X

Định nghĩa 1.2.4 Một véc tơ ngẫu nhiên X trong Rd là véc tơ ngẫu nhiênα-ổn định nếu (1.12) đúng với C = (Aα+ Bα)α1 hoặc tương đương (1.13) đúng.Chỉ số α gọi là chỉ số ổn định của véc tơ X

Định lý 1.2.5 X là một véc tơ ngẫu nhiên trong Rd.

a) Nếu mọi biểu thức tuyến tính Y =

d

P

k=1

bkXk có phân bố ổn định chặt thì

X là véc tơ ngẫu nhiên ổn định chặt trong Rd

b) Nếu mọi biểu thức tuyến tính Y =

d

P

k=1

bkXk có phân bố ổn định đối xứngthì X là véc tơ ngẫu nhiên ổn định xứng trong Rd

c) Nếu mọi tổ hợp tuyến tính của X là ổn định với chỉ số ổn định lớn hơnhoặc bằng 1 thì X là véc tơ ổn định trong Rd

Chứng minh Đầu tiên ta chỉ ra rằng nếu mọi biểu thức tuyến tính dạng Yb =

α3 ≤ α1 = min(α1, α2)

Do Yb, Yc không suy biến nên có một số thực θ 6= 0 sao cho θYb+ Yc 6= 0 và

−θYb+ Yc 6= 0 Đặt a(1) = θb + c, a(2) = −θb + c và α(a(1)), α(a(2)) lần lượt làchỉ số ổn định của các biểu thức tuyến tính Ya(1), Ya(2) ta có α(a(1)) ≤ α1 vàα(a(2)) ≤ α1 Nhưng c = a

(1)+ a(2)

2 lập luận tương tự ta có

α2 ≤ min(α(a(1)), α(a(2))) ⇒ α2 ≤ α1

Trái với giả thiết α1 < α2 Như vậy mọi biểu thức tuyến tính dạng (b, X) cócùng chỉ số ổn định.

a) Giả sử rằng mọi biểu thức tuyến tính (b, X) ổn định chặt và có cùng chỉ

số ổn định là α Cố định A > 0, B > 0, đặt

Z = AX(1)+ BX(2), W = (Aα+ Bα)

1

αX,với X(1) và X(2) là các bản sao độc lập của X Chúng ta muốn chứng tỏ rằng

Z = W.dVới mỗi b ∈ Rd ta có

(b, X) = A(b, X(1)) + B(b, X(2))= (Ad α+ Bα)1/α(b, X) = (b, W )

Do đó với mỗi b ∈ Rd,

E exp i(b, Z) = E exp i(b, W )

Suy ra các véc tơ Z và W có hàm đặc trưng giống nhau Tức là Z = W điềudnày chứng tỏ rằng X là véc tơ ổn định chặt trong Rd

b) Giả sử rằng mọi biểu thức tuyến tính (b, X) là biến ngẫu nhiên ổn địnhđối xứng Do biến ngẫu nhiên ổn định đối xứng thì ổn định chặt nên chúng takết luận từ phần a) rằng X là véc tơ ổn định chặt Phần b) được chứng minhnếu và chỉ nếu X là véc tơ đối xứng

Lấy b là véc tơ cố định bất kỳ trong Rd Do (b, X) là biến ngẫu nhiên đốixứng nên ta có

E exp i(b, X) = E exp{−i(b, X)} = E exp i(b, −X)

Tức là X và −X có cùng hàm đặc trưng Do đó X = −X nên ta có b).dc) Giả sử tất cả các biểu thức tuyến tính Y =

Sk(n) = Xd k ∼ S1(σk, βk, µk), với mỗi k = 1, 2, , n.

Do đó phân bố của Sk(n) không phụ thuộc vào n, dãy {Sk(n), n ≥ 1} là chínhquy, tức là thỏa mãn với mỗi ε > 0, tồn tại một tập bị chặn [a, b] sao cho

P (a ≤ Sk(n) ≤ b) > 1 − ε, ∀ n

Do đó dãy véc tơ {S(n), n ≥ 1} là chính quy nên nó chứa một dãy con hội

tụ yếu tới độ đo xác suất trong Rd

Tương tự (b, S(ni )) hội tụ yếu với mỗi véc tơ b = (b1, b2, , bd) ∈ Rd Nhưng(1.14), (1.15) suy ra

Để (b, S(ni )) hội tụ yếu, hệ số của ln n bằng 0 tức là ta có

- Cách chứng minh phần c) không áp dụng được cho trường hợp 0 < α < 1bởi vì khi n → ∞ ⇒ n1−1/α → 0

- Đối với trường hợp 0 < α < 1, phản ví dụ trong [4] chứng tỏ rằng tính ổnđịnh của mọi biểu thức tuyến tính (b, X) không suy ra sự ổn định của véc tơ X

1.2.2 Hàm đặc trưng của véc tơ ngẫu nhiên ổn định

Đặt

Φα(θ) = Φα(θ1, θ2, , θd) = E exp{i(θ, X)} = E exp

(i

d

X

k=1

θkXk)

Φα(θ1, θ2, , θd) gọi là hàm đặc trưng của véc tơ ngẫu nhiên X.

Định lý 1.2.6 Cho 0 < α < 2, X = (X1, X2, , Xd) là véc tơ ngẫu nhiên α-ổnđịnh trong Rd nếu và chỉ nếu tồn tại một độ đo hữu hạn Γ trong hình cầu đơn

vị Sd của Rd và một véc tơ µ0 ∈ Rd sao cho

Sd

|(θ, s)|α1 − isign((θ, s)) tan πα

2

 Γ(ds) + i(θ, µ0)





 (1.18)

Định nghĩa 1.2.7 Véc tơ X trong định lý 1.2.6 gọi là biểu diễn phổ của cặp(Γ, µ0) Độ đo Γ gọi là độ đo phổ của véc tơ ngẫu nhiên α-ổn định X

Ví dụ: Với d = 1, S1 chứa hai điểm là {1} và {−1}, độ đo phổ Γ, ta viếtΓ(1) = Γ({1}), Γ(−1) = Γ({−1}) Nếu α 6= 1 ta có:

Φ α (θ) = E exp{iθX}

= E expn−|θ|α1 − isign(θ) tan πα

2

 Γ(1)−

− |θ(−1)|α1 − isign(θ(−1)) tanπα

2

 Γ(−1) + iµ0θo

= E expn−|θ|αhΓ(1) + Γ(−1) − isign(θ)(Γ(1) − Γ(−1)) tanπα

2

i + iµ0θo.

Là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên α-ổn định X ∼ Sα(σ, β, µ) với cáctham số

σ = (Γ(1) + Γ(−1))1/α, β = Γ(1) − Γ(−1)

Γ(1) + Γ(−1), µ = µ0.

Độ lệch β = 0 nếu Γ là đối xứng

1.2.3 Véc tơ ngẫu nhiên ổn định chặt và véc tơ ngẫu nhiên

Với α = 1 để Φα(θ) là hàm đặc trưng α-ổn định chặt thì βb = 0, với mọi

b ∈ Rd Tức là

0 =Z

Xk, k = 1, 2, , d là biến ngẫu nhiên ổn định chặt

Với điều kiện nào thì hàm đặc trưng Φα(θ) là hàm đặc trưng của véc tơ ngẫunhiên α-ổn định đối xứng ? Điều kiện cần và đủ là Φα(θ) là hàm thực, tức là

Định lý 1.2.10 X là véc tơ ngẫu nhiên α-ổn định đối xứng trong Rd với

0 < α < 2 nếu và chỉ nếu tồn tại duy nhất một độ đo hữu hạn đối xứng Γ tronghình cầu đơn vị Sd sao cho:

Γ là độ đo phổ của véc tơ ngẫu nhiên α-ổn định đối xứng X

Phân bố α-ổn định đối xứng trong Rd ký hiệu là SαS Chúng ta cũng gọi

X = (X1, X2, , Xd) là SαS trong Rd hoặc các biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xd

có cùng SαS

Hệ quả 1.2.11 Một véc tơ ngẫu nhiên 1-ổn định trong Rd (d > 1) nhưngkhông ổn định chặt, có thể làm thành ổn định đối xứng bởi một phép tịnh tiến

1.3 Quá trình ngẫu nhiên ổn định

Quá trình ngẫu nhiên {X(t), t ∈ G} với G là một tập con của R, Rn hoặc

là tập các hàm

Phân bố hữu hạn chiều của {X(t), t ∈ G} là phân bố của các véc tơ

X = (X(t1), X(t2), , X(td)), với t1, t2, , td ∈ G, d ≥ 1

Định nghĩa 1.3.1 Quá trình ngẫu nhiên {X(t), t ∈ G} là ổn định (tương ứng

ổn định chặt, ổn định đối xứng) nếu mọi phân bố hữu hạn chiều của nó là ổnđịnh (ổn định chặt, ổn định đối xứng)

Ta có thể nhận xét ngay rằng nếu quá trình ngẫu nhiên {X(t), t ∈ G} là ổnđịnh thì các phân bố hữu hạn chiều của nó cùng chỉ số ổn định α Ta nói quátrình ngẫu nhiên {X(t), t ∈ G} là α-ổn định

Định lý 1.3.2 Cho {X(t), t ∈ G} là một quá trình ngẫu nhiên

(a) Quá trình ngẫu nhiên {X(t), t ∈ G} là ổn định chặt nếu và chỉ nếu mọibiểu thức tuyến tính dạng

Ví dụ: Quá trình ngẫu nhiên α-ổn định chuyển động Levy {X(t), t ≥ 0} gọi

là chuyển động Levy α-ổn định nếu thỏa mãn:

(1) X(0) = 0,

(2) X có số gia độc lập tức là với 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ≤ tn thì các biến ngẫunhiên X(t2) − X(t1), X(t3) − X(t2), , X(tn) − X(tn−1) độc lập.(3) X(t) − X(s) ∼ Sα((t − s)1/α, β, 0) với mỗi 0 ≤ s < t < ∞, −1 ≤ β ≤ 1

1.4 Biến ngẫu nhiên Poisson

Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối Poisson với tham số λ (λ > 0)nếu với mỗi k ∈ {0, 1, 2, } ta có

Nên X hữu hạn h.c.c Với k ≥ 1 thì

E[eiθX] = lim

∞

P

j=1

λj)

Tổng Poisson của các biến ngẫu nhiên Bernoulli

Một biến ngẫu nhiên Y gọi là một biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoullivới tham số p ∈ (0, 1] Ta ký hiệu Y ∼ Bernoulli(p) nếu P {Y = 1} = p và

Mệnh đề 1.4.4 Cho N ∼ P oisson(λ) Giả sử Y0, Y1, độc lập và là cácbiến ngẫu nhiên Rm-giá trị sao cho P {Yk = ej} = pj, j ∈ {1, 2, , m} trongđó

X1, X2, , Xm là các biến ngẫu nhiên độc lập và Xj ∼ P oisson(λpj)

Chứng minh Với mọi θ ∈ Rm ta có:

Từ đó ta có X1, , Xm là độc lập và Xj ∼ P oisson(λpj)

Chương 2

Tích phân đối với độ đo

ngẫu nhiên ổn định

Ta gọi (Ω, F , P ) là không gian xác suất cơ bản, (E, ε, m) là không gian đo,

β : E → [−1, 1] là hàm đo được Đặt T là họ các hàm f thỏa mãn f : E → R1sao cho

Z

E

|f (x)|αm(dx) < ∞ nếu α 6= 1,

vàZ

E

|f (x)β(x) ln |f (x)||m(dx) < ∞ nếu α = 1

T là không gian tuyến tính

Trong chương này ta trình bày hai phương pháp định nghĩa tích phân ổnđịnh của các hàm thuộc T đó là định nghĩa tích phân ổn định như là một quátrình ngẫu nhiên {I(f ), f ∈ T } và định nghĩa cấu trúc của tích phân ổn định

2.1 Định nghĩa tích phân ổn định như một quá

trình ngẫu nhiên ổn định

Cho f1, f2, , fd ∈ T ta định nghĩa độ đo xác suất Pf1,f2, ,fd trong Rd bởihàm đặc trưng sau

Ta chứng minh Φf1, ,fd(θ1, , θd) là hàm đặc trưng của độ đo xác suất trong

Rd Đầu tiên ta giả sử α 6= 1 ta đặt E+ = {x ∈ E :

d

X

j=1

θj fj(x)(

Chú ý rằng m1 là độ đo hữu hạn trong (E+, ε) do fk ∈ Lα(E, ε, m) với

Ta thực hiện phép đổi biến si = gi(x) (trong tích phân đầu) và si = −gi(x)(trong tích phân sau) Ta được

Γ(ds)







µ0j = −1

πZ

Chứng tỏ rằng (2.1) là hàm đặc trưng của α-ổn định trong Rd khi α = 1

Chú ý rằng mỗi hoán vị (π(1), , π(d)) của (1, 2, , d) ta có:

Φfπ(1), ,fπ(d)(θπ(1), , θπ(d)) = Φf1, ,fd(θ1, , θd)

Với mỗi n ≤ d,

Φf1,f2, ,fn(θ1, , θn) = Φf1, ,fd(θ1, , θn, 0, 0, , 0)

Theo định lý Kolmogorov mở rộng, có một quá trình ngẫu nhiên {I(f ), f ∈

T } có phân bố hữu hạn chiều cho bởi (2.1)

I(f ) gọi là tích phân α-ổn định của f Độ đo m gọi là độ đo điều khiển và

hàm β gọi là độ lệch

Các tính chất của tích phân α-ổn định

Tính chất 2.1.1.

Cho các hàm khả tích f1, f2, , fd ∈ T , các tích phân I(f1), I(f2), , I(fd)

có cùng α-ổn định với cùng hàm đặc trưng cho bởi (2.1) Hơn nữa, chúng cùngSαS nếu β = 0

E exp{iθ[I(a1f1+ a2f2) − a1I(f1) − a2I(f2)]} =

= E exp{i[θI(a1f1+ a2f2) − (a1θ)I(f1) − (a2θ)I(f2)]} = 1

Bởi vậy θ(a1f1+ a2f2) − (a1θ)f1− (a2θ)f2 = 0.

2.2 Định nghĩa cấu trúc của tích phân ngẫu nhiên

ổn định

2.2.1 Độ đo ngẫu nhiên α-ổn định

Ký hiệu (Ω, F , P ) là không gian xác suất cơ bản, L0(Ω) là tập các biến ngẫunhiên thực xác định trên đó Đặt (E, ε, m) là không gian đo, β : E → [−1, 1] làhàm đo được Đặt ε0 = {A ∈ ε : m(A) < ∞}

d

X

j=1

θjM (Aj) ∼ Sα(σ, β, µ), (2.2)