Sự khác biệt giữa tôpô zariski và tôpô thông thường trên Rn và Cn

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình Học, Khoa Toán của Trường Đại học Vinh và Phòng Quản lý Sau đại học của Trường Đại học Đồng Tháp đã giúp tôi hoàn thành tất cả các

LỜI CẢM ƠN

Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc của mình tới Phó Giáo sư – Tiến sĩ Nguyễn Huỳnh Phán, người

đã nhiệt tình từng bước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đề tài: từ việc gợi ý, cung cấp các tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp thực hiện và truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn đến việc chỉnh sửa và hoàn chỉnh nội dung của bài luận

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình Học, Khoa Toán của Trường Đại học Vinh và Phòng Quản lý Sau đại học của Trường Đại học Đồng Tháp đã giúp tôi hoàn thành tất cả các học phần của Khóa học, nâng cao được trình độ kiến thức chuyên môn và các phương pháp học tập hữu ích; giúp tôi hoàn thành các học trình, đặc biệt là luận văn tốt nghiệp

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo, Sở Tài chính tỉnh Đồng Tháp, Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Thanh Bình, Ban Giám Hiệu trường THCS Tân Quới, huyện Thanh Bình, tỉnh Đồng Tháp cùng toàn thể quý đồng nghiệp, các bạn cùng khóa học, gia đình đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

Không gian tôpô là một cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa các khái niệm như là sự hội tụ, tính liên thông, tính liên tục và nhiều tính chất toán học khác Chúng xuất hiện hầu như trong tất cả mọi ngành của toán học hiện đại và là một khái niệm có tính trọng tâm Một tập hợp cho trước có thể có nhiều tôpô trên đó Nếu như một tập được cho nhiều tôpô khác nhau,

nó sẽ được xem như là những không gian tôpô khác nhau Bất kì tập nào cũng được cho tôpô rời rạc mà trong đó bất kì tập con nào cũng là tập mở Những dãy (hay lưới) hội tụ trong không gian này là những dãy cuối cùng hằng Bất

kì tập hợp nào cũng được trang bị tôpô thô, đó là tôpô chỉ có 2 tập con mở là rỗng và chính nó Trong tôpô này, mọi dãy và lưới đều hội tụ tới mọi điểm trong không gian Ví dụ này cho thấy trong không gian tôpô tổng quát, giới hạn của dãy không nhất thiết là duy nhất

Trong luận văn này, chúng tôi xét hai loại tôpô, đó là:

− Tôpô thông thường trong không gian Euclid ¡ , n £ được định n

nghĩa bởi các tập mở cơ sở là các hình cầu mở

− Tôpô thứ hai trên ¡ và n £ là tôpô Zariski được định nghĩa bằng n

cách coi tập đóng tôpô Zariski là tập nghiệm của hệ các phương trình đa thức

Sau khi tìm hiểu, lựa chọn lĩnh vực Hình học đại số, tôi nhận thấy có những khác biệt giữa tôpô Zariski và tôpô thông thường trên ¡ , n £ cùng n

với sự động viên, khích lệ của Thầy Nguyễn Huỳnh Phán là phương châm để tôi thực hiện đề tài này

Vì vậy, tôi chọn tên đề tài của luận văn là: “Sự khác biệt giữa tôpô Zariski và tôpô thông thường trên ¡ và n £ ”.n

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày những khác biệt giữa tôpô Zariski và tôpô thông thường trên ¡ và n £ n

Đề tài có nhiệm vụ tập hợp, phát hiện và cập nhật các kết quả về sự khác biệt giữa hai loại tôpô Zariski và tôpô thông thường trên ¡ và n £ n

Nội dung của luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương và phần kết luận:

Phần mở đầu Giới thiệu khái quát về đề tài luận văn.

Chương 1 Trình bày về Tập đại số, Tôpô Zariski trên ¡ và n £ n

Chương 2 Trình bày về không gian Tôpô thông thường trên ¡ n

và £ , sự tương đương các chuẩn trên n ¡ và khái niệm về hình cầu mở, hình n

cầu đóng

Chương 3 Trình bày một số khác biệt giữa tôpô Zariski và tôpô thông

thường trên ¡ và n £ n

Phần kết luận Trình bày một cách ngắn gọn những kết quả mới của

luận văn và hướng phát triển của đề tài trong thời gian tới

CHƯƠNG 1 TÔPÔ ZARISKI

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tập đại số, iđêan và cấu xạ trong tôpô Zariski Nội dung này làm cơ sơ sở cho chúng tôi trình bày luận văn

1.0 Kiến thức chuẩn bị về Tôpô

Định nghĩa Cho một tập X khác rỗng Một họ T các tập con của X được gọi

là một tôpô trên X nếu nó thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

i. X ∈T và ∅∈ T;

ii. Hợp tuỳ ý các tập thuộc T là thuộc T;

iii. Giao hữu hạn các tập thuộc T cũng thuộc T

Một tập X được trang bị một tôpô trên nó được gọi là một không gian tôpô, kí hiệu (X, T)

Nếu chỉ kí hiệu không gian tôpô là X thì ta ngầm hiểu rằng trên X

đã được trang bị một tôpô nào đó

1.1 Tập đại số

1.1.1 Định nghĩa Cho A là vành giao hoán có đơn vị Vành đa thức n

biến x1, x2,…., xn trên A là tập A[X] : = A[x1, x2,…., xn ] Mỗi phần tử f của

A[X] được gọi là đa thức, nó có dạng

1 2

1 2

1 2

, , , 1 2

với d là một số tự nhiên nào đó và λr r1 2, , ,rn ∈ A gọi là các hệ tử Khi A là

trường và λr r1 2, , ,rn ≠ 0, ta gọi chúng là các hệ số Các biểu thức 1 2

trong đó ít nhất phải có một hệ số khác không

Người ta thường viết một đa thức nhiều biến theo thức tự các biến và theo giá trị giảm dần của bậc các đơn thức, nghĩa là:

1.1.3 Bổ đề Nếu A là miền nguyên (nghĩa là với mọi c, d∈A mà

cd = 0 thì hoặc c=0 hoặc d=0, khi này ta còn nói A không có ước của không)

thì deg fg = deg f + deg g

Chứng minh Mọi đơn thức của fg là tích của đơn thức của f và đơn thức

của g Nếu umax , vmax là đơn thức có bậc lớn nhất của f và g tương ứng với hệ

tử khác không là c, d, khi đó đơn thức có bậc lớn nhất của fg là tích umax vmax

với hệ tử là cd Do A là miền nguyên nên cd ≠0 Do đó deg fg = deg (umax

vmax) = deg umax + deg vmax = deg f + deg g

1.1.4 Bổ đề Nếu A là miền nguyên thì vành đa thức A[X] cũng là miền

nguyên và các phần tử khả nghịch của A[X] là phần tử khả nghịch của A.

Chứng minh Nếu f, g là đa thức khác 0 trong A[X] Do deg f, deg g ≥ 0, nên deg fg ≥ 0 và do đó fg ≠ 0 Vậy A[X] là miền nguyên

Tiếp theo, nếu f g = 1 thì deg fg = deg f + deg g = 0, do đó f và g là những phần tử khác 0 của A Vậy f và g là những phần tử khả nghịch của A

Cho f là đa thức hệ số trên trường K Coi Kn là không gian afin n- chiều Điểm a = (a1, a2,…., an)∈Kn gọi là nghiệm của f nếu

Chứng minh Nếu n = 1, thì mỗi đa thức 1 biến khác 0 chỉ có hữu hạn

nghiệm nên kết quả là hiển nhiên Khi n > 1, giả sử ngược lại, f ≠ 0 Giả thiết

f chứa biến xn Viết f dưới dạng

f = f0 + xnf1 + xn2f2 + … + xnmfm

với f0 , f1 , f2 , … , fm là đa thức của n – 1 biến đầu và fm ≠ 0 Dùng quy

nạp, ta có thể giả thiết tồn tại b = (b1, b2,…., bn-1) ∈ Kn - 1 sao cho fm(b1,b2,

….,bn-1) ≠ 0 Khi đó

f (b, xn) = f0 (b) + xnf1 (b) + xn2 f2 (b) …+ xnm fm(b)

Đây là một đa thức của một biến xn khác không bậc m, nên nó chỉ có hữu hạn nghiệm Điều này mâu thuẫn với giả thiết f(a) = 0 với mọi a ∈Kn

1.1.6 Hệ quả Nếu trường K vô hạn và f (a) = g(a) với mọi a=(a 1 ,a 2 ,

…., a n )∈K n thì f = g.

Chứng minh Đặt h = f – g, áp dụng Bổ đề 1.1.5, ta nhận được kết quả.

1.1.7 Chú ý Nếu K là trường hữu hạn thì các tính chất trên không còn

đúng Từ đây trở đi, ta luôn giả thiết trường K là vô hạn

1.1.8 Ví dụ Nếu K = { a1, a2,…., as}

và f (x) = (x- a1) (x- a2)… (x- as) thì f triệt tiêu trên K nhưng f ≠ 0.

1.1.9 Định nghĩa tập đại số Cho K là trường, tập con V⊆ Kn gọi là

tập đại số nếu nó là nghiệm của một họ hữu hạn hay vô hạn các đa thức n

3 Các m – phẳng trong không gian afin Kn là các tập đại số vì

đó là nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính

4 Kn là tập đại số vì nó là nghiệm của phương trình 0 = 0

1.1.11 Chú ý Khái niệm “Tập đại số” không phụ thuộc vào việc chọn

tọa độ, nghĩa là nếu V là nghiệm của một hệ các đa thức f(x1, x2,…., xn )∈ S,

thì với tọa độ mới (y1, y2,…., yn ), ta có

Cho S là tập con bất kỳ của K[X] Ký hiệu Z(S) là tập nghiệm của tất

cả các đa thức trong S (thường gọi vắn tắt là tập nghiệm của S), nghĩa là Z(S)

1.1.13 Ví dụ

a) Nếu f là đa thức 1 biến, thì các tập đại số Z(f) chỉ có thể là : tập rỗng ; là tập hữu hạn hoặc toàn bộ K

Chứng minh tương tự như trên, ta có V ⊆ Z(f)

Ngược lại, giả sử (a1, a2) ∈ Z(f) Nếu a1 = 0 thì a2 = 0 nên (a1, a2) = (02, 03) ∈

Do đó ta có (a, a) ∈ V Từ đó suy ra Z(f) ⊆ V Vậy ta có V = Z(f)

1.1.14 Mệnh đề (Một số tính chất đơn giản của ánh xạ Z)

i Giả sử S ⊇ S Khi đó với mọi a ∈Z(S), tức là a là nghiệm của S

Do S ⊇ S nên a cũng là nghiệm của S Do đó a ∈ Z(S).Vậy Z(S) ⊆ Z(S).Theo định nghĩa, hiển nhiên ta có ii và iii

iv Ta có S = { fg; f ∈ S1 và g ∈ S2 } nên mọi nghiệm của S1 hoặc S2

đều là nghiệm của S nên Z(S1)UZ(S2) ⊆ Z(S)

Ta chứng minh Z(S1)UZ(S2) ⊇ Z(S)

Thật vậy, giả sử a ∈ Z(S), tức a là nghiệm của S Nếu a không là nghiệm của S1 thì tồn tại f ∈ S1 sao cho f(a) ≠0 Khi đó mọi g ∈ S2 ta có g(a) = 0 nên

a ∈ Z(S2), nghĩa là Z(S1)UZ(S2) ⊇ Z(S).

v Cho Si là một họ các tập con của K[X] Thế thì, a là nghiệm của mọi tập con Si khi và chỉ khi a là nghiệm của tập USi

Suy ra: IZ(S i ) = Z(US i ).

1.1.15 Hệ quả Họ tất cả các tập đại số trong K n lập thành một tôpô, gọi là tôpô Zariski Mỗi phần tử của tôpô này (tức là mỗi tập Z(S)) gọi là một tập đóng Zariski.

Chứng minh Ký hiệu Z(Kn) là họ tất cả các tập đại số Z(S) trong Kn Thế thì họ này chứa rỗng, chứa Kn và đóng kín với hợp hữu hạn, giao tùy ý nên nó lập thành một tôpô (theo ngôn ngữ tập đóng) trên Kn

1.1.16 Chú ý Mỗi tập mở trong tôpô Zariski là tập dạng

2 Với mọi f ∈ A, tập (f) : = {gf ; g ∈ A} là một iđêan, gọi là

iđêan chính sinh bởi f.

3 Cho S ⊆ A là tập con bất kỳ Thế thì tập

(S) : = { h1f1 + h2f2 +……+ hrfr ; h1, h2,…, hr ∈ S; f1 , f2 ,…., fr ∈ A }

là một iđêan bé nhất chứa S, gọi là iđêan sinh bởi S.

1.2 3 Mệnh đề Cho I và J là hai iđêan tuỳ ý trong A Iđêan sinh bởi

các phần tử của I∪J được gọi là iđêan tổng của I và J, ký hiệu I+J Iđêan sinh bởi các tích fg với f∈I và g∈J được gọi là iđêan tích của I và J, ký hiệu

⇒ α β =f f +f g +g f +g g1 2 1 2 1 2 1 2∈I.J .

Chú ý IJ ⊆ I∩J nhưng nhìn chung thì hai iđêan này khác nhau

1.2 4 Mệnh đề Cho S là một hệ đa các đa thức trong K[X] và I =(S)

Ta có: Z(I) = Z(S).

Chứng minh Vì S ⊆ I nên Z(S) ⊇ Z(I)

Đảo lại, cho a ∈ Z(S) Mọi f ∈ I, ta có thể viết:

f = h1f1 + h2f2 +……+ hrfr; f1, f2, …, fr ∈ S

Do f1(a) = f2(a) =….= fr(a) = a nên f(a) = 0, suy ra a ∈ Z(I).

Vì vậy, Z(S) ⊆ Z(I)

1.2 5 Mệnh đề Cho I và J là hai iđêan tuỳ ý trong K[X] Ta có:

i Z(I) ∪ S(J) = Z(I ∩ J) = Z(IJ);

ii Z(I) ∩ Z(J) = Z(I + J).

Chứng minh

i Đặt S = {fg| f ∈ I, g ∈ J}

Ta có S ⊂ IJ ⊂ I ∩ J ⊂ I, J ⇒ Z(S) ⊃ Z(IJ) ⊃ Z(I ∩ J) ⊃ Z(I), Z(J)

⇒ Z(S) ⊃ Z(IJ) ⊃ Z(I ∩ J) ⊃ Z(I) ∪ Z(J)

Mặt khác Z(S) = Z(I) ∪ Z(J)

Vậy Z(I) ∪ S(J) = Z(I ∩ J) = Z(IJ)

ii Do I, J ⊂ I+J nên Z(I), Z(J)⊃Z(I + J) Suy ra Z(I)∩Z(J)⊃Z(I + J)

Mà Z(I) ∩ Z(J) = Z(I ∪ J), I J+ = ∪I J ⇒ Z(I + J) = Z(I ∪ J)

Vậy Z(I + J) = Z(I) ∩ Z(J)

Bây giờ ta xét một một khái niệm như là ánh xạ “ngược” của Z Cụ thể, cho V là tập bất kỳ trong Kn Ký hiệu

IV : { f ∈ K[X]; f(a) = 0 với mọi a ∈ V}.

Thế thì IV làiđêan lớn nhất có tập nghiệm chứa V Ta gọi nó là iđêan

của tập V Khi V chỉ có 1 điểm, ta viết Ia thay cho I{ a }

Như vậy, cách xác định tập Z(S) và tập IV cảm sinh hai ánh xạ Z và I được cho trong sơ đồ sau

Chứng minh

1/ Vì tập rỗng thuộc tập nghiệm của mọi đa thức;

2/ Vì chỉ có phương trình 0 = 0 có tập nghiệm là Kn

3/ Để cho tiện, ta giả sử điểm a là gốc tọa độ, a = (0, 0, …., 0) Mọi đa thức f ∈ K[X] đều viết được dưới dạng

f = h1x1 + h2x2 +……+ hnxn + b với b∈ K.

Nhưng f(0, 0,…,0)= 0 khi và chỉ khi b = 0, tức là khi và chỉ khi f có dạng f = h1x1 + h2x2 + … + hnxn, nghĩa là khi và chỉ khi f ∈ (x1, x2 ,…, xn ) Vậy I0 = (x1, x2 ,…, xn )

4/ Ta chỉ cần chứng minh IV ⊆(x2 – y) Coi mọi đa thức f∈K[x, y]

là đa thức của ẩn y với hệ số trong K[x] Tương tự như thuật toán Euclide ta

có thể viết f = h(x2 – y) + g với g ∈ K[x]

Do V ⊆ Z(x2 – y) = { (a, a2) ; a ∈ K } nên với f ∈ IV thì f(a, a2) = g(a) = 0 với mọi a thuộc tập vô hạn trong K nên g là đa thức 0, nên

f =h(x2– y), nghĩa là f ∈ (x2 – y)

5/ Ta có thể viết mọi đa thức trong K[X] dưới dạng

1.2 7 Mệnh đề Cho V là tập con của K n Ta có

i V = Z(I ), V V là bao đóng (trong tôpô Zariski) của V ;

ii I V = I V .

Chứng minh

i Vì bao đóng V là giao của tất cả các đại số (đóng) chứa V nên V

⊆ Z(IV) Đảo lại, vì giao của các tập đại số là tập đại số nên ta có V = Z(S)

với tập S các đa thức nào đó triệt tiêu trên V nên S ⊆ IV Suy ra Z(S) ⊇ Z(IV)

ii Do V ⊆V nên IV ⊆ IV Đảo lại, với f ∈ IV, thì do

V

V = Z(I ) nên f(a) = 0 với mọi a ∈V, nghĩa là f ∈ IV , do đó IV = IV

1.2 8 Ký hiệu Cho I là iđêan của vành A Ký hiệu

:= {f ∈ A; f r∈ I với r nào đó}

1.2 9 Bổ đề

Cho I là iđêan, thế thì I cũng là iđêan và I ⊆ I Nếu I = I

thì I gọi là iđêan căn.

Chứng minh Lấy f, g ∈ I , nghĩa là fr , gs ∈ I Khi đó

I nên (f + g) r+ s luôn thuộc I, nghĩa là f + g ∈ I Tiếp theo, với mọi f∈A thì

(fh)r = fr hr ∈ I, nghĩa là fh ∈ I Cuối cùng ta thấy fg ∈ I

Chú ý 0 là tập hợp các phần tử lũy linh của A Do đó, 0 là iđêan căn khi và

chỉ khi trong A không có phần tử lũy linh Những vành như vậy gọi là vành

rút gọn Ví dụ, mọi miền nguyên là vành rút gọn

1.2 10 Bổ đề: I V là một iđêan căn.

Chứng minh Nếu f r ∈ IV thì fr(a) = 0 với mọi a ∈V, do đó f(a) = 0 với mọi

Ta cần chứng minh ⊃ ⊃ ∩ , bằng cách lấy phần tử tuỳ ý f ∈ ∩ ⇒ f

∈ , f ∈ Khi đó, tồn tại m, n ∈ ¥ *, sao cho f ∈ I, f ∈ J Do đó f ∈ IJ, nên f ∈

Z, I là các song ánh ngược nhau Do đó, có thể chuyển việc nghiên cứu các tập đại số sang nghiên cứu các iđêan dạng IV Hơn nữa, họ tất cả các iđêan IV

dạng {I ; V V ⊆ Knlà tập đại số} lập nên một tôpô trong K[X] đồng phôi với

tôpô Zariski trong Kn

1.3 Cấu xạ trong tôpô Zariski

Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu các ánh xạ liên tục trên không gian tôpô Zariski K n

1.3.1. Định nghĩa Cho V ⊂ Kn, hàm F : V → K gọi là hàm đa thức

nếu tồn tại đa thức f sao cho F = f , nghĩa là F(a) = f(a) với mọi a |V ∈ V.

1.3.2 Chú ý Khái niệm hàm đa thức không phụ thuộc việc chọn tọa

độ, vì khi đổi tọa, tính “đa thức” của F vẫn được bảo tồn

1.3.3 Định nghĩa Ký hiệu K[V] là tập hợp tất cả các hàm đa thức trên

V Do tổng và tích các hàm đa thức lại là hàm đa thức nên K[V] là một vành

giao hoán, có đơn vị là hàm F = 1 Ta gọi K[V] là vành tọa độ của V.

1.3.4 Ví dụ Khi V = {a} là tập 1 điểm thì mọi hàm đa thức trên nó là

hàm hằng Vì vậy, vành đa thức của tập 1 điểm là trường K

Một hàm đa thức có thể được cho bởi nhiều đa thức khác nhau Tuy nhiên, do f|V =g|V suy ra f – g ∈ IV, nên ta có khái niệm sau.

1.3.5 Định nghĩa Cho I là iđêan thực sự của vành A và f, g ∈ A Ta

nói f đồng dư với g trên I nếu f – g ∈ I

Rõ ràng quan hệ đồng dư trên là một quan hệ tương đương trên A Lớp tương đương chứa f là tập

f + I : = { f + h | h ∈ I}.

Định nghĩa trên tập thương A/I theo quan hệ này với hai phép toán

(f + I ) + (g + I) = (f+g) + I

(f + I ) (g + I) = fg + I

thì A/I lập thành một vành

Ký hiệu

π :A → A/I ; f a (f) = f + Iπ

gọi là ánh xạ chính tắc Ta thấy π là một toàn cấu vành và kerπ = I

Với mọi iđêan J chứa I, ký hiệu

J/I : = { f + I ; f ∈ J}.

Thế thì J/I là iđêan của A/I Ngược lại, mọi iđêan Q trong A/I đều có dạng Q = J/I trong đó

J = {f ∈ A; f + I ∈Q}

Vì vậy tương ứng: J → J/I cho tương ứng 1 – 1 giữa các iđêan chứa

I với các iđêan trong A/I, nên có thể quy việc nghiên cứu các iđêan trong A chứa iđêan I về việc nghiên cứu các iđêan trong A/I

thì ϕ π π= 'o là toàn cấu (vì π, π’ là các toàn cấu) và kerϕ = J nên

A/J ≅ϕ(A) = (A/I)/(J/I)

1.3.7 Định nghĩa Cấu xạ trong tôpô Zariski.

Cho ánh xạ F:

F

K ⊇ V → W ⊆ K

thì F luôn có dạng F(a) = (F1(a), F2(a),… , Fm(a)); a ∈ V

m ánh xạ F1 , F2 ,… , Fm : V → K

gọi là hàm tọa độ Chú ý rằng, Fi = pi.F ; pi là phép chiếu lên toạ độ thứ i

1.3.8 Định nghĩa Cho V và W là hai tập đại số Ánh xạ F nói trên gọi

là ánh xạ đa thức nếu F1 , F2 ,… , Fm là các hàm đa thức (nghĩa là chúng cho bởi các đa thức) Nếu K là trường đóng đại số thì ánh xạ đa thức được gọi là

cấu xạ.

1.3.9 Chú ý Về sau ta sẽ chứng minh các ánh xạ đa thức F như vậy là

ánh xạ liên tục trên tôpô Zariski

1.3.10 Ví dụ.

i Mọi hàm số đa thức trên V là ánh xạ đa thức từ V vào K1 = K ;

ii Ánh xạ đồng nhất IdV trên V là ánh xạ đa thức vì id : V → V cho bởi:

IdV (a) = (p1(a), p2(a),… , pn(a)),

ở đây pi : V → K là phép chiếu lên toạ độ thứ i

iii Nếu F: V → K là ánh xạ đa thức thì mọi tập đóng T ⊆ V, ánh xạ

F thu hẹp trên T cũng là ánh xạ đa thức

iv Với mọi hàm G : W → K, ta gọi hợp thành GoF : V → K là hàm lùi của G theo F

1.3.11 Mệnh đề F : V → W là ánh xạ đa thức khi và chỉ khi Go

F ∈ K[V] với mọi G ∈ K[W].

Chứng minh Giả sử F là ánh xạ đa thức và G ∈ K[W] Lấy đa thức m biến g

sao cho G = g |V Khi đó,

(GoF)(a) = G(F(a)) = g(F1(a), F2(a),… , Fm(a)) = g(F1, F2,… , Fm)(a)với mọi a ∈ V, suy ra GoF = g(F1, F2,… , Fm).

Vì F1, F2,… , Fm ∈ K[V] nên g(F1, F2,… , Fm) ∈ K[X] và do đó GoF ∈ K[V].

Đảo lại, giả sử GoF ∈ K[V] với mọi G ∈ K[W] Khi đó Fi = pi oF ∈ K[V]

với mọi i =1, 2, …, m nên F là ánh xạ đa thức

1.3.12 Nhận xét Mỗi ánh xạ đa thức F : V → W cảm sinh ánh xạ

1.3.14 Chú ý Ánh xạ đa thức F được xác định hoàn toàn bởi đồng cấu

F*, vì F được xác định bởi hàm tọa độ Fi, nhưng Fi = pi oF = F*(pi)

1.3.15 Mệnh đề Với mọi tập điểm U ⊆ V trong tập đại số V ta có

I W, F(U) = (F * ) -1 (I V, U ).

Chứng minh Với mọi G ∈ K[W] ta thấy G ∈ IW, F(U) khi và chỉ khi G(F(a)) =

0 với mọi a ∈ U Nhưng F*(G)(a) = G(F(a)) nên điều này có nghĩa là F*(G) ∈

Cho tùy ý a ∈ V Ta có F(a) ∈ T khi và chỉ khi

F*(G)(a) = G(F(a)) = 0 với mọi G ∈ IW, T , có nghĩa là a ∈ Z(F*(IW, T)).Mối quan hệ F và F* cho tương ứng 1 – 1 giữa các ánh xạ đa thức từ V vào W với các đồng cấu vành từ K[W] vào K[V] qua định lý sau

1.3.17 Định lý Với mọi đồng cấu vành ϕ: K[W] → K[V] thì tồn tại duy nhất ánh xạ đa thức F : V → W sao cho F * = ϕ.

Chứng minh Cho ánh xạ đa thức F : V → Kn với Fi = ϕ(pi) Với mọi đa thức

m biến g ta có

goF = g(F1, F2,…., Fm) = ϕ(g(p1, p2,…., pm)) = ϕ ( )g |W

Nếu g ∈ IW thì g = 0 và do đó g|W oF = ϕ(0) = 0

Từ đây suy ra: g(F(a)) = (goF)(a) = 0 với mọi a ∈ V.

Vì vậy F(a) ∈ Z(IW) = W nên do đó F(V) ⊆ W

Bây giờ coi F là ánh xạ từ V vào W Với mọi hàm g của K[W] ta có:|W

F*(g ) = |W g|W oF = goF = ϕ ( )g |W

Vì vậy F* = ϕ.

Ta có thể coi ánh xạ F : V → W là ánh xạ từ V lên F(V) nhưng khi đó

F không phải là ánh xạ đa thức vì có thể F(V) không phải là tập đại số Tuy

nhiên, lấy bao đóng (theo tôpô Zariski) của F(V) thì có thể coi F là ánh xạ đa thức từ V lên F(V).

1.3.19 Định nghĩa Ánh xạ đa thức F: V → W gọi là đẳng cấu đa

thức nếu F có ánh xạ nghịch đảo F-1 và F-1 cũng là ánh xạ đa thức Khi đó ta

nói tập đại số V đẳng cấu đa thức với tập đại số W và ký hiệu V ≅ W Nếu K

là trường đóng đại số thì đẳng cấu đa thức sẽ gọi vắn tắt là đẳng cấu.

1.3.20 Ví dụ.

i. Mọi phép biến đổi afin hay còn gọi phép biến đổi tọa độ trên Kn (K

là ¡ hoặc £ ) là đẳng cấu đa thức

ii Cho F : V = Z(x2 – y) → K1 là phép chiếu lên trục Ox, thì F là đẳng cấu đa thức vì F – 1(a) = (a, a2) và F-1 là ánh xạ đa thức Vì vậy parabol y

= x2 đồng phôi với đường thẳng (với tư cách là hai không gian tôpô Zariski)

1.3.21 Chú ý Có những ánh xạ đa thức tồn tại ánh xạ ngược nhưng ánh

xạ ngược không phải là ánh xạ đa thức

1.3.22 Ví dụ Ánh xạ đa thức F : K1 → W = Z(x3 – y2) cho bởi F(a)= (a2, a3) có ánh xạ ngược là F-1 : W = Z(x3 – y2) → K1 cho bởi F-1(a2, a3 ) = a Nhưng F-1 không phải là ánh xạ đa thức Bởi vì nếu trái lại thì tồn tại đa thức