Thuật toán tìm đường đi xấp xỉ ngắn nhất giữa hai điểm trên mặt khối đa diện lồi của li và klette

Thuật toán tìm đường đi xấp xỉ ngắn nhất giữa hai điểm trên mặt khối đa diện lồi của Li và Klete 21 2.1 Bài toán tìm đường đi ngắn nhất………..... Lời nói đầuHình học tính toán là một lĩnh

Mục lục

Trang

1.1 Lý thuyết đồ thị……… 5

1.2 Độ phức tạp của thuật toán……… 8

1.3 Khối đa diện lồi……… 13

1.4 Sai số ……… ……… 15

1.5 Đường đi xấp xỉ ngắn nhất trên mặt……… 19

Chương 2 Thuật toán tìm đường đi xấp xỉ ngắn nhất giữa hai điểm trên mặt khối đa diện lồi của Li và Klete 21 2.1 Bài toán tìm đường đi ngắn nhất……… 21

2.2 Đa giác cắt ……… 21

2.3 Thuật toán tìm đường đi xấp xỉ ngắn nhất giữa hai điểm trên mặt khối đa diện lồi của Li và Klete……… 22

2.3.1 Lược đồ thuật toán……… 22

2.3.2 Thủ tục 2.3.2……… 22

2.3.3 Thủ tục 2.3.3……… 24

2.3.4 Thuật toán 2.3.4……… 25

2.3.5 Thuật toán 2.3.5……… 26

2.4 Ví dụ tính toán……… 28

DANH SÁCH KÝ HIỆU

E Tập các cạnh của đồ thị

V Tập các đỉnh của đồ thị

 Biên của khối đa diện 

Lời nói đầu

Hình học tính toán là một lĩnh vực nghiên cứu để tìm ra các thuật toánhiệu quả và thực thi trên máy tính cho những bài toán được biểu diễn bởingôn ngữ hình học Hình học tính toán thường giải quyết những bài toánnhư: xác định địa điểm để đặt nhà máy, trạm điện, bến xe, trường học; xácđịnh đường đi ngắn nhất cho tàu biển, lập trình cho robot điện tử,… Có rấtnhiều nhà toán học nghiên cứu về hình học tính toán, chẳng hạn như D R.Chand (1970), P Mcmullen (1971), R L Graham (1972), F P Preparata(1988), P T An (2007),…

Một trong những bài toán cơ bản của Hình học tính toán là “Tìm đường

đi ngắn nhất giữa hai điểm trên khối đa diện lồi” Đây là một vấn đề đã đượcrất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và đưa ra các thuật toán khácnhau để giải quyết bài toán này Năm 2011, F Li và R Klette đã đưa rathuật toán xấp xỉ để giải quyết bài toán này thông qua việc cắt khối đa diệnlồi bởi các mặt phẳng song song

Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu về thuật toán này của F Li và

R Klette Với lý do đó chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Thuật toán

tìm đường đi xấp xỉ ngắn nhất giữa hai điểm trên mặt khối đa diện lồi của

Li và Klette”.

Luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Trong chương nay chúng tôi trình bày hệ thống kiến thức về lý thuyết

đồ thị, độ phức tạp của thuật toán, khối đa diện lồi, đường đi xấp xỉ ngắnnhất trên mặt và sai số tính toán nhằm làm cơ sở cho việc nghiên cứu thuậttoán của Li và Klette

Chương 2 Thuật toán tìm đường đi xấp xỉ ngắn nhất giữa hai điểm trên mặt khối đa diện lồi của Li và Klete

Trong chương này chúng tôi trình bày chi tiết các thủ tục; thuật toán liênquan và thuật toán chính để giải bài toán “tìm đường đi xấp xỉ ngắn nhấtgiữa hai điểm của khối đa diện lồi” của Li và Klette Các ví dụ tính toánđược nêu ra

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TSPhan Thành An, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt

Nam Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫntác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Cũng nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trongkhoa Toán và khoa Đào tạo sau đại học, các nghiên cứu sinh, các học viêncao học thuộc nhóm Seminar Hình học tính toán, Viên Toán học cũng nhưcủa lớp cao học 19 Hình học - Tô pô Đại học Vinh Ngoài ra tác giả cũngmuốn gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, các thầy cô trong tổToán trường THPT Diễn châu 2, gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡtác giả rất nhiều trong quá trình học tập, nghiên cứu trong suốt khoá học

Vinh, tháng 10 năm 2013

Tác giả

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức về lý thuyết đồthị, độ phức tạp của thuật toán, khối đa diện lồi, đường đi xấp xỉ ngắn nhấttrên mặt và sai số tính toán Đây là những kiến thức cơ sở cho chương 2

1.1 Lý thuyết đồ thị

1.1.1 Định nghĩa đồ thị

Chúng ta nhìn thấy hoặc sử dụng bản đồ các tuyến đường giao thôngcủa thành phố, sơ đồ tổ chức của một cơ quan, sơ đồ khối của một thuậttoán, sơ đồ một mạng máy tinh… Đó là những ví dụ cụ thể về đồ thị Đồ thị(graph) là một mô hình toán học được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoahọc, kỹ thuật và được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.1.1 (xem [3]) Đồ thị là một cặp G V E ,  trong đó:

Nếu  a b, là một cạnh của đồ thị thì ta nói rằng đỉnh b kề với đỉnh a và

cả hai đỉnh a và b kề với cạnh  a b,

Trong đồ thị ở ví dụ 1.1.1 hai đỉnh b và c kề với đỉnh a, ba đỉnh a, b và

d kề với đỉnh e Do vậy, ta có thể định nghĩa đồ thị bằng ánh xạ kề như sau:

Định nghĩa 1.1.2 (xem [3]) Đồ thị G là một cặp G V F , , trong đó:

Về bản chất, đồ thị là tập hợp các đối tượng được biểu diễn bằng các đỉnh

và giữa các đối tượng này có mối quan hệ nhị nguyên biểu diễn bằng cáccạnh

Cặp đỉnh  x y, E không sắp thứ tự gọi là cạnh vô hướng, còn nó sắp thứ

tự gọi là cạnh có hướng Vì thế, chúng ta thường phân các đồ thị thành hailớp

Định nghĩa 1.1.3 (xem [3]) Đồ thị chỉ chứa các cạnh vô hướng được gọi là

đồ thị vô hướng, còn đồ thị chỉ chứa các cạnh có hướng được gọi là đồ thị cóhướng

Hiển nhiên, mỗi đồ thị vô hướng có thể biểu thị bằng một đồ thị có hướngbằng cách thay mỗi cạnh vô hướng bằng hai cạnh có hướng tương ứng

Định nghĩa 1.1.4 (xem [3]) Đồ thị G V E ,  mà mỗi cặp đỉnh được nốinhau không quá một cạnh được gọi là đồ thị đơn ( thường gọi tắt là đồ thị)còn nếu đồ thị có những cặp đỉnh được nối với nhau nhiều hơn một cạnh thìđược gọi là đa đồ thị

Ta biểu diện hình học cho đồ thị như sau: trên biểu diện đỉnh bằng cácvòng tròn nhỏ, biểu diễn cạnh vô hướng bằng đoạn thẳng, biểu diện cạnh cóhướng bằng mũi tên nối hai đỉnh của đồ thị

Định nghĩa 1.1.5 (xem [3])

1 Hai đỉnh của đồ thị G được gọi là liên thông, nếu trên đồ thị đường

đi vô hướng nối chúng với nhau

2 Đồ thị được gọi là liên thông nếu mọi cặp đỉnh của đồ thị đều liênthông với nhau

Định nghĩa 1.1.6 (xem [3]) Bậc của một đỉnh đồ thị là số cạnh kề với đỉnh

Định nghĩa 1.1.8 (xem [3]) Đồ thị G được gọi là đồ thị có trọng số nếu mỗicạnh  ,i j của đồ thị được gán một số nguyên không âm C i j ,

 Nhãn C i j , trên cạnh  ,i j của đồ thị thường biểu diễn “chi phí” thực

tế đi qua cạnh này

 Đường đi có trọng số bé nhất:

- Độ dài của đường đi trong đồ thị có trọng số bằng tổng các trọng

số của các cạnh trên đường đi đó

- Độ dài đường đi có trọng số bé nhất đi từ đỉnh a đến đỉnh b gọi làkhoảng cách từ đỉnh a đến đỉnh b

- Nếu không có đường đi tư đỉnh a đến đỉnh b thì ta đặt khoảngcách bằng 

1.1.3 Một số tính chất về đường đi trong đồ thị

Định lý 1.1.1 (xem [3]) Giả sử đồ thị G có n đỉnh Tồn tại đường đi từ đỉnh

a đến đỉnh b trên đồ thị G khi và chỉ khi tồn tại một đường đi từ a đến b

trên đồ thị này với độ dài không vượt quá n 1

Chứng minh

Giả sử có đường đi từ đỉnh a đến đỉnh b Ta có thể chọn:

1 , , , , 2 i i 1 , , k 1 , k

a x x x x x  x b (trong đó x1 x k)

là đường đi có độ dài ngắn nhất Độ dài của đường đi là k 1

Nếu k   1 n 1 thì định lý được chứng minh

Nếu ngược lại k   1 n 1 nghĩa là k n , thì trong dãy của đường đi có ítnhất hai đỉnh trùng nhau, chẳng hạn x x i  j Khi đó thì :

1.2.1 Khái niệm độ phức tạp của thuật toán (xem [2])

Độ phức tạp của thuật toán là một trong những thước đo để so sánh tínhhiệu quả của thuật toán Một thước đo của thuật toán là thời gian máy tính sửdụng để giải bài toán theo thuật toán đang xét, khi các giá trị đầu vào có mộtkích thước xác định Thước đo thứ hai đó là bộ nhớ đòi hỏi thực hiện thuậttoán đó khi giá trị đầu vào có kích thước cho trước Gắn liền với thời giantính toán của thuật toán là độ phức tạp thời gian và bộ nhớ là độ phức tạpkhông gian Biết được độ phức tạp thời gian cho một thuật toán là rất quantrọng Độ phức tạp không gian đòi hỏi của thuật toán mà ta biết được thìcho ta một bước chuẩn bị và thấy được khả năng đáp ứng trong việc tínhtoán của thuật toán

Độ phức tạp không gian gắn liền với cấu trúc dữ liệu đặc biệt dùng để tínhtoán trong thuật toán Trong luận văn này chúng tôi không nghiên cứu vềcấu trúc dữ liệu nên ta bỏ qua độ phức tạp không gian

Để tính độ phức tạp của thuật toán ta chỉ xét những hàm thực f N: R

xác định trên tập số nguyên dương và hầu như dương làm công cụ đo Nghĩa

là tồn tại một số nguyên dương n0 sao cho f n  0 với  n n0 Kí hiệu F làtập hợp tất cả các hàm như vậy

1.2.2 Các định nghĩa (xem [2])

Cho hàm số g n  F,ta định nghĩa O g n    là tập hợp các hàm

Định nghĩa 1.2.2 (xem [2]) Cho hàm số g n  F,ta định nghĩa g n   làtập hợp các hàm f n  F có tính chất: Tồn tại hằng số c và n0 sao cho với

Giả sử rằng với  n n f n1 , 1 c g n1 1  và với  n n f n2 , 2 c g n2 2 

Ta đặt n o  maxn n1 , 2 và c o  max ,c c1 2 Khi đó với  n n o ta có

Giả sử rằng với  n n f n1, 1 c g n1. 1  và với  n n f n2, 2 c g n2. 2 

Ta đặt n o  maxn n1, 2 và c0  c c1 2 Khi đó với  n n o ta có

         

f n f n O g n g n

Chứng minh

Giả sử rằng với  n n f n1, 1 c g n1. 1  và với  n n f n2, 2 c g n2. 2 

Ta đặt n o  maxn n1 , 2 và c0 c c1 2 Khi đó với  n n o ta có

Nếu c a k  a k1   a1  a0 , thì P n c n. k với  n n0 Vậy P n O n   k W

1.2.4 Cách tính độ phức tạp của thuật toán

Độ phức tạp của thuật toán đo bằng hàm O  là chính Vì thế để tính độphức tạp tính toán của thuật toán tức là ta đi xác định hàm T n O g n     

cho đoạn mã chương trình đó, n là biến số của phép toán cơ sở

Các phép toán được dùng để đo độ phức tạp thời gian có thể là phép sosánh các số nguyên, phép cộng, phép trừ, nhân chia các số nguyên hoặc bất

kì một phép toán sơ cấp nào khác

1.2.5 Phép tính cơ sở (xem [2])

Độ phức tạp của toán tử là một hằng số, nghĩa là O 1 Việc xác định toán

tử là gì, là không dễ, với những bắt buộc khác nhau cho ta định nghĩa lạiphép toán cơ sở Theo nguyên tắc, phép toán cơ sở là phép toán thực hiệnmột hằng số thời gian, phụ thuộc vào dung lượng thao tác trên thông tin.Thường thường phép tính cơ sở là phép toán cộng, trừ, nhân, chia… Nhưngchú ý rằng khi ta thực hiện số lớn hàng tỉ thì không chấp nhận phép nhân các

số lớn là phép tính cơ sở Cũng không thể nhận phép tính cơ sở là các hàmlượng giác, hàm số mũ, hàm lôgarít,… bởi vì chúng tính toán theo dãy

1.2.6 Dãy các phép tính (xem [2])

Độ phức tạp thời gian của dãy liên tiếp các phép toán xác định bởi độphức tạp cao nhất trong chúng Tức là, giả sử toán tử s1 có độ phức tạp F2,

2

s có độ phức tạp F1 Khi đó

 1    1 , 2  2  1, 2 max{    1 , 2 }

T s O F T s O F T s s  O F O F

Để dễ dàng cho việc phân tích toán ta kết hợp những kí hiệu độ đo phức

và phân tích trong trường hợp xấu nhất là bao nhiêu? Người ta định ra độphức tạp của các phép toán trong trường hợp xấu nhất là:

1 Phép gán có độ phức tạp O 1

2 Phép nhập vào thủ tục có độ phức tạp O 1

3 Phép ra khỏi thủ tục có độ phức tạp O 1

4 Mệnh đề if (điều kiện) độ phức tạp là thời gian so sánh cộng với

O( max của hai nhánh)

5 Vòng (While) có độ phức tạp là tổng tất cả các vòng lặp với thờigian của mỗi vòng lặp đó

và i i  1 cũng chiếm thời gian hằng số, ta kí hiệu lần lượt là b c d, , Tương

tự ở dòng 4 thời gian cho các phép toán j: 1  ; j n và j:  j 1 cũng chiếmthời gain bằng số, ta kí hiệu lần lượt là e f g, , Cuối cùng phép toán ở dòng 5đòi hỏi thời gian hằng số là h

Với những đại lượng ở trên thì không khó tính được thời gian chung chothực hiện đoạn chương trình với giá trị bất kì n nào đó:

Dòng 1: phép toán cố định mất thời gian hằng số, kí hiệu là a.

Dòng 2: Với phép toán gán i: 1  , kiểm tra i n và i i  1 cũng chiếm thờigian hằng số, ta lần lượt kí hiệu là b c d, ,

Dòng 3: Cũng đòi hỏi thời gian hằng số, kí hiệu là e

Khi đó, thời gian (độ phức tạp) để thực hiện chương trình là:

     ; 1    1 ; 2  2

T P O P T s O F T s O F ,suy ra T f p(   then s1 else s2)  maxO P O F O F     , 1 , 2 

Ta có thể giải thích như sau:

- Giả sử điều kiện đúng thì dãy lệnh p, s1 được thực hiện có độ phức tạp là

1.3 Khối đa diện lồi

Định nghĩa 1.3.1 (xem [6]) Cho  là một ánh xạ từ khoảng  a b,  ¡ vàomặt phẳng thực, : , a b  ¡ 2, sao cho a b , a  b , và  s  t chotất cả các s t, với a s t b   Tập hợp        x y, : t  x y,   a t b đượcgọi là đường cong đơn

Định nghĩa 1.3.2 (xem [6]) Một đa giác đơn P được xác định bởi đườngcong đa giác đơn; đường cong đa giác này xác định biên P của P, mà nóbao quanh (nội tiếp) phần trong P0 của P

Minh họa Hình 1.3.1

Hình 1.3.1: Minh họa hai đa giác đơn

Định nghĩa 1.3.3 (xem [6]) Một khối đa diện đơn  được xác định bởi mộttập hợp hữu hạn các mặt đa giác mà phủ kín hoàn toàn bề mặt của nó, và cóthể được biến đổi hình học vào bề mặt của khối cầu; hợp của tập hợp các đagiác xác định biên  của , mà chứa phần trong  0 của 

Minh hoạ Hình 1.3.3 và Hình 1.3.4

Định nghĩa 1.3.4 (xem [6]) Một khối đa diện  được gọi là khối đa diện lồinếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của  luôn thuộc 

Minh hoạ Hình 1.3.4

Hình 1.3.2: Minh họa hai đa giác không đơn

Hình 1.3.3: Minh họa khối đa diện không lồi

Hình 1.3.4: Minh họa khối đa diện lồi

1.4 Sai số

1.4.1 Khái niệm số gần đúng

Trong thực tế chúng ta thường phải xử lý phải tính toán với các đại lượngnhư các số đo vật lý, các dữ liệu ban đầu, đó là các số được làm tròn với sai

số nào đó, tức là các số gần đúng Việc ước lượng sai số hợp lý cho phép ta

áp dụng được chất lượng của quá trình tính toán, quyết định số chữ số giữ lạitrong các phép tính trung gian và trong kết quả cuối cùng

1.4.2 Sai số tuyệt đối và sai số tương đối.

1.4.2.1 Sai số tuyệt đối (xem [4])

Nếu số gần đúng a có giá trị đúng là a0 thì ta nói a xấp xỉ a0 hay a là sốgần đúng của a0 Khi đó sai số của a là

được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a

Sai số tuyệt đối nhỏ nhất có thể biết được gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của

a Thông thường ước lượng sai số tuyệt đối giới hạn là rất khó và nhiều khikhông cần thiết nên người ta chỉ cần ước lượng sai số tuyệt đối đủ nhỏ và

dùng từ 1 đến 3 chữ số có nghĩa (là số chữ số bắt đầu từ chữ số khác khôngđầu tiên từ trái sang phải) để biểu diễn sai số tuyệt đối của số gần đúng.Thay cho biểu thức (4.2) người ta còn dùng biểu diễn sau để chỉ sai số tuyệtđối:

1.4.2.2 Sai số tương đối (xem [4])

Hai số gần đúng có sai số tuyệt đối bằng nhau sẽ có “mức độ chính xáckhác nhau nếu số độ lớn của chúng khác nhau Số bé hơn sẽ có độ chính xáckém hơn

Định nghĩa 1.4.2 (xem [4]) Sai số tương đối của số gần đúng a (được kýhiệu là  a) là tỷ số giữa sai số tuyệt đối và giá trị tuyệt đối của nó:

a a a

1.4.3 Các loại sai số (xem [4])

Dựa vào nguyên nhân gây sai số, ta có các loại sau:

- Sai số giả thiết: xuất hiện do việc giả thiết bài toán đạt được một số điều

- Sai số do số liệu ban đầu: xuất hiện do việc đo đạc và cung cấp giá trị đầuvào không chính xác.

- Sai số phương pháp : xuất hiện do việc giải bài toán bằng phương phápgần đúng

- Sai số tính toán : xuất hiện do làm tròn số trong quá trình tính toán, quátrình tính càng nhiều thì sai số tích luỹ càng lớn

Chúng ta chỉ quan tâm tới sai số phương pháp và sai số tính toán

1.4.3.1 Sai số tính toán (xem [4])

Giả sử dùng n số gần đúng x i i  1,2, ,n để tính đại lượng y, với

 i  1, , ,2 n

y f x  f x x x

trong đó : f là hàm khả vi liên tục theo các đối số x i

Khi đó sai số của y được xác định theo công thức sau:

Sai số tuyệt đối:

a y

1.4.3.2 Sai số phương pháp (xem [4])

Khi giải gần đúng một bài toán phức tạp ta phải thay bài toán đã cho bằngmột bài toán đơn giản hơn có thể giải được thông qua việc thực hiện cácphép toán thông thường bằng tay hoặc trên máy tính điện tử Phương phápthay bài toán phức tạp bằng bài toán đơn giản hơn như thế gọi là phươngpháp gần đúng

Ví dụ: Hãy tính đại lượng

B

n



     Bài toán tính B n đơn giản hơn bài toán tính B Lúc đó B B n là sai sốphương pháp, và số n phải được chọn sao cho sai số phương pháp cộng vớisai số tính toán nhỏ hơn 5.10  3 Ta có:

1.5 Đường đi xấp xỉ ngắn nhất trên mặt

Định nghĩa 1.5.1 (xem [6]) Trong hình học Euclide, một đường từ một điểm

pđến một điểm q là một tập hợp các đỉnh; nó đi từ đỉnh đến đỉnh, bắt đầu từđỉnh p và kết thúc tại đỉnh q Chiều dài của nó là tổng các khoảng cáchEuclide giữa các cặp đỉnh của đường Một đường đi giữa hai đỉnh có chiềudài ngắn nhất được gọi là một đường đi ngắn nhất

L   d p p



Nếu p q và n 0 thì L   0

Định nghĩa 1.5.2 Cho khối đa diện lồi , hai điểm p q,  và   0 Giả

sử đường đi ngắn nhất giữa p0  p và p n q trên mặt khối đa diện lồi  là

,

n

e i i i

Hình 1.5: Minh họa 3 đường đi từ đỉnh p tới đỉnh q mà không đi qua cácvật cản (các hình được tô đậm) trong đó đường 1 và đường 2 (các đường inđậm) là đường đi ngắn nhất từ đỉnh p đến đỉnh q.

p

q

Đường 1

Đường 2Đường 3

Chương 2 Thuật toán tìm đường đi xấp xỉ ngắn nhất giữa hai điểm trên mặt khối đa diện lồi của

Li và Klete

Chương này chúng tôi trình bày chi tiết thuật toán chính để giải bài toán

“Tìm đường đi xấp xỉ ngắn nhất giữa hai điểm trên bề mặt của khối đa diệnlồi” của Li và Klette (xem [6]) và ví dụ tính toán minh hoạ

Chương này là nội dung chính của luận văn

2.1 Bài toán tìm đường đi ngắn nhất

2.1.1 Bài toán

Cho khối đa diện lồi  và hai điểm p q,  Hãy tìm đường đi ngắn nhấtgiữa p và q trên mặt khối đa diện lồi 

2.1.2 Lịch sử bài toán

Bài toán trên đã được rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và đưa

ra các thuật toán khác nhau để giải quyết bài toán này J O’Rourke, S Suri,

H Booth năm 1984, D Mount năm 1985, M Shair, A Schor năm 1986, J.Chen, Y Han năm 1990,… với các thuật toán tính chính xác L Mark, M.Anil năm 1996, P K Agarwal, P Har, M Karia năm 2000, J S B Mitchellnăm 2012,C H Papadimitriou, F Li, R Klette năm 2011,… với các thuậttoán tính xấp xỉ

2.2 Đa giác cắt (xem [6])

Cho  là khối đa diện lồi và V v v1 , , , 2 v n là tập tất cả các đỉnh của 

Ký hiệu F F F1 , , , 2 F m là tập hợp tất cả các mặt (tức là các đa giác đơn)của biên  của  Ký hiệu Ee e1 , , , 2 e l là tập hợp tất cả các cạnh của tất

cả các mặt của 

Với mỗi v V , ký hiệu  v là mặt phẳng trong ¡ 3 chứa v và song songvới mặt phẳng Oxy (nghĩa là  v được xác định bởi phương trình z v ) Kýhiệu P v  v 

Định nghĩa 2.2.1 (xem [6]) P v được gọi là đa giác cắt (của ) tương ứngvới mỗi đỉnh v

Vì  là đa diện lồi, P v  v  nên P v là đa giác lồi Nếu u z v z  và u làmột đỉnh của P v thì P P u  v Ký hiệu P z u. thay cho ký hiệu u z. Hai đa giáccắt P1 và P2 được gọi là liền kề khi và chỉ khi

Định nghĩa 2.2.2 ([6]) Cho u v V,  sao cho u z v z  , đoạn uv chứa trọn vẹntrong một cạnh của tập E, và các đa giác cắt là liền kề Khi đó tập S uv (S vu

tương ứng) được được gọi là đường gấp khúc có thể nhìn xuống (lên tươngứng) thấy được từ đỉnh v (u tương ứng) trong 

2.3 Thuật toán tìm đường đi xấp xỉ ngắn nhất giữa hai điểm trên mặt khối đa diện lồi của Li và Klete

2.3.1 Lược đồ thuật toán

- Thuật toán 2.3.5: đây là thuật toán chính, trong thuật toán này sẽ gọiThuật toán 2.3.4

- Thuật toán 2.3.4: sẽ được sử dụng như một chương trình con củaThuật toán 2.3.5, trong thuật toán này sẽ gọi Thủ tục 2.3.3

- Thủ tục 2.3.3: trong thủ tục này sẽ gọi Thủ tục 2.3.2

- Thủ tục 2.3.2: Thủ tục 2.3.2 sẽ được áp dụng ở dòng 10 của Thủ tục2.3.3

2.3.2 Thủ tục 2.3.2 (Tìm đường gấp khúc có thể nhìn thấy được) ([6])

Input: E V, và u V

Ouput: Tập hợp các đỉnh của đường gấp khúc có thể nhìn xuống (lên) thấy

được từ đỉnh u