Thiết kế và tổ chức cho học sinh hoạt động phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề nhờ sử dụng phép tương tự trong dạy học hình học không gian lớp 11

Nếu khai thác tốt khía cạnh này thìviệc dạy học nhất là dạy học bài tập hình học không gian trở nên lý thú vì nó vừa học mới – ôn cũ, vừa khám phá ra cái mới trên cơ sở cái đã có bằngcác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

CAO THỊ HÒA

THIẾT KẾ VÀ TỔ CHỨC CHO HỌC SINH HOẠT ĐỘNG PHÁT HIỆN VẤN ĐỀ VÀ PHÁT HIỆN CÁCH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ NHỜ SỬ DỤNG PHÉP TƯƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Chuyên ngành : Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SỸ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS ĐÀO TAM

NGHỆ AN - 2013

2

LỜI CẢM ƠN

Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Đào Tam, người

thầy đã nhiệt tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này trong thời gian qua Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn trân trọng tới Ban giám hiệu, phòng Đào tạo

Sau Đại học, khoa Toán Trường Đại học Vinh cùng tất cả các thầy cô giáo đã

tham gia giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập, nghiên cứu và hoàn thànhcác chuyên đề thạc sỹ khóa 19, chuyên ngành lý luận và phương pháp dạy học

bộ môn Toán, Trường Đại học Vinh

Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu,

tổ Toán trường THPT Nguyễn Xuân Ôn, huyện Diễn Châu, Nghệ An – nơi tôiđang công tác, đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để tôi tiến hành thực nghiệm

Nghệ An, tháng 10 năm 2013 Tác giả

3

NHỮNG TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài: 1

2 Mục đích nghiên cứu: 4

3 Đối tượng nghiên cứu: 4

4 Giả thuyết khoa học: 4

5 Nhiệm vụ nghiên cứu: 4

6 Phương pháp nghiên cứu: 5

7 Cấu trúc của Luận văn: 5

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 9

1.1 Phép tương tự 9

1.1.1.Khái niệm phép tương tự 9

1.1.2 Cấu trúc của suy luận tương tự: 12

1.1.3 Các loại tương tự 12

1.1.4 Tính chất của phép tương tự 15

1.1.5 Một số biện pháp nâng cao suy luận tương tự 15

1.1.6 Vai trò của suy luận tương tự trong khám phá khoa học 16

1.1.7 Vai trò hoạt động tương tự trong dạy học nói chung và trong dạy học hình học không gian 17

1.2.Các mô hình dạy học có sử dụng phép tương tự 23

1.2.1 Mô hình TWA 23

1.2.2 Mô hình FAR 24

1.3.Phép tương tự thể hiện trong các phương pháp dạy học tích cực 24

1.3.1 Vận dụng suy luận tương tự trong quá trình dạy học kiến tạo 24

1.3.2 Vận dụng hoạt động tương tự trong dạy học khám phá 27

1.3.3 Phép tương tự trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 28

1.4 Một số khó khăn khi dạy hình học không gian 30

1.5 Thuận lợi để sử dụng phép tương tự vào dạy hình học không gian 32

1.6 Lịch sử của vấn đề nghiên cứu 32

5

1.7 Kết luận chương 1 34

Chương 2 THỰC TRẠNG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 36

2.1 Mục tiêu của việc khảo sát 36

2.2 Đối tượng khảo sát 36

2.3 Nội dung khảo sát 36

2.4 Phương thức khảo sát 36

2.5 Xây dựng hệ thống câu hỏi dành cho GV: 36

2.5.1 Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm 36

2.5.2 Câu hỏi tự luận: 41

2.6 Kết luận của quá trình khảo sát 42

2.6.1 Đánh giá định tính 42

2.6.2 Khảo sát định lượng: 43

2.7 Kết luận chương 2 44

Chương 3 SỬ DỤNG PHÉP TƯƠNG TỰ VÀO DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THEO HƯỚNG PHÁT HIỆN VẤN ĐỀ VÀ PHÁT HIỆN CÁCH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG VẬN DỤNG PHÉP TƯƠNG TỰ VÀO HỌC HHKG 45

3.1 Nôi dung chương trình hình học không gian 45

3.2 Sử dụng phép tương tự vào dạy học các tình huống điển hình 47

3.2.1 Sử dụng phép tương tự vào dạy học khái niệm 47

3.2.2 Sử dụng phép tương tự vào dạy học định lý 56

3.2.3.Sử dụng phép tương tự vào dạy học giải bài tập 65

3.3 Sử dụng phép tương tự vào đề xuất bài toán mới 86

3.4 Các biện pháp rèn luyện kỹ năng sử dụng phép tương tự vào học HHKG cho học sinh 95

3.4.1 Biện pháp 1: Luyện tập cho học sinh hoạt động tìm dấu hiệu tương tự giữa các khái niệm trong hình học phẳng và hình học không gian 95

3.4.2.Biện pháp 2: Sử dụng kết hợp thao tác đặc biệt hoá và tương tự hoá 100

6

3.4.3.Biện pháp 3: Luyện tập cho học sinh hoạt động phát hiện các hướng chuyển

bài toán không gian về bài toán phẳng thông qua tương tự hóa 103

3.4.4.Biện pháp 4 Luyện tập cho học sinh hoạt động khai thác các bài toán phẳng để xây dựng các bài toán mới trong không gian bằng phương pháp tương tự 106

3.4.5 Biện pháp 5: Luyện tập cho học sinh sáng tạo bài toán mới nhờ phép tương tự 108

3.4.6 Biện pháp 6 Luyện tập cho học sinh hoạt động phát hiện tương tự sai khi chuyển từ hình học phẳng sang hình học không gian 112

Kết luận chương 3: 117

Chương 4 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 118

4.1 Mục đích thực nghiệm 118

4.2 Nội dung thực nghiệm 118

4.3 Tổ chức thực nghiệm: 118

4.3.1 Đối tượng thực nghiệm: 118

4.3.2 Tiến trình thực nghiệm sư phạm 118

4.4 Kết quả thực nghiệm 123

4.4.1 Phân tích định tính 123

4.4.2 Phân tích định lượng 125

4.5 Kết luận chương 4 127

KẾT LUẬN CHUNG 128

TÀI LIỆU THAM KHẢO 129

7

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Xuất phát từ mục tiêu giáo dục THPT, Luật Giáo dục năm 2005 đãxác định “các phẩm chất và năng lực phát triển cho HS nhằm trước hết đápứng được yêu cầu đào tạo nguồn nhân lực trong giai đoạn phát triển kinh tế

xã hội mới của đất nước, giai đoạn công nghiệp hoá, hiện đại hoá để đếnnăm 2020 đưa nước ta trở thành một nước công nghiệp trong bối cảnh toàncầu hoá, mở rộng giao lưu hội nhập quốc tế với sự hình thành và phát triểncủa nền kinh tế tri thức, đồng thời đáp ứng yêu cầu phát triển đa dạng củamỗi cá nhân”

Điều 24 của Luật Giáo dục năm 2005 cũng đã yêu cầu về đổi mới nộidung, phương pháp giáo dục THPT là “nhu cầu đổi mới phương pháp giáodục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của

HS, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phươngpháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác độngđến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quantrọng, là môn học công cụ, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trongToán học cùng với phương pháp làm việc trong môn Toán sẽ trở thànhcông cụ để học tốt những môn học khác Môn Toán góp phần phát triểnnhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năngtoán học cần thiết thì môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩmchất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phêphán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ

Một trong những nhiệm vụ quan trọng của dạy học toán là rèn luyệncho học sinh các hoạt động trí tuệ: khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự, sosánh, phân tích, tổng hợp Các hoạt động này giúp cho HS nắm vững, đào

sâu kiến thức, phát huy tính độc lập, sáng tạo của bản thân các em khôngnhững trong học tập môn toán mà còn các môn học khác.

Trong các hoạt động trí tuệ nêu trên, phép tương tự là rất phổ biến.Khi gặp một vấn đề mới, người ta có xu hướng so sánh, đối chiếu nó vớicác vấn đề tương tự trước đó Phép tương tự có mối quan hệ khăng khít vớicác thao tác tư duy khác So sánh là thành tố tiên phong của phép tương tự.Phép tương tự có thể coi là yếu tố tiền đề của bước khái quát hoá vì để kháiquát hoá người ta phải chuyển từ một tập hợp đối tượng này sang một tậphợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặcđiểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát

Từ lâu, phép tương tự đã được nghiên cứu và đóng một vai trò trọng yếutrong học tập toán học Năm 1954, Polya đã nghiên cứu việc sử dụng tương tựtrong toán học và cho rằng tương tự có thể cung cấp một nguồn của các vấn

đề mới và có thể nâng cao hiệu suất, ý tưởng giải quyết vấn đề Ông cho rằng:

“Phép tương tự có lẽ có mặt trong mọi phát minh và trong một số phát minh

nó chiếm vai trò quan trọng nhất” Gần đây, các nghiên cứu chú ý nhiều hơnđến vai trò của phép tương tự trong học tập khoa học và đặc biệt là việc họctập các khái niệm toán học cơ bản của HS Năm 1989, Glynn đã đề cập mô

hình dạy học với phép tương tự T-W-A trong tác phẩm Teaching Science With

Analogy Năm 2007, Harrison and Coll đưa ra một hướng dẫn dạy học với

phép tương tự: mô hình FAR Ở Việt Nam, cũng có nhiều nghiên cứu về phéptương tự và ứng dụng của nó trong dạy học được giới thiệu bởi các tác giảnhư PGS Hoàng Chúng, GS Nguyễn Bá Kim, GS Đào Tam, … Các côngtrình này đã khẳng định được vai trò quan trọng của phép tương tự trong dạyhọc toán học

Bên cạnh đó, trong dạy học Toán, nếu người giáo viên chỉ quan tâmtruyền thụ kiến thức cho HS thì còn nhiều khiếm khuyết Họ phải cân nhắcđến việc rèn luyện các phẩm chất trí tuệ cho HS Lựa chọn phép tương tựtrong dạy học toán như là phương tiện sẽ góp phần rèn luyện tư duy sáng tạo

cho người học, cho người học khả năng liên tưởng đến các kiến thức trước đó

để phát hiện ra kiến thức mới

Hình học không gian bao gồm nhiều kiến thức khi học sinh hoạt động

để tiếp nhận đòi hỏi rất nhiều sự liên tưởng tới những điều đã biết tronghình học phẳng để tiếp cận những cái tương tự trong hình học không gian,hơn thế nữa sự liên tưởng cũng xảy ra ngay giữa các kiến thức của hình họckhông gian cũng phong phú không kém Nếu khai thác tốt khía cạnh này thìviệc dạy học nhất là dạy học bài tập hình học không gian trở nên lý thú vì

nó vừa học mới – ôn cũ, vừa khám phá ra cái mới trên cơ sở cái đã có bằngcách sử dụng tương tự hóa giữa các khái niệm hình học, ví dụ: nếu ta coitam giác trong mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không gian thì mộtloạt những định lý, những bài tập trong không gian sẽ có kết quả như trongmặt phẳng, ngoài ra cách suy luận tương tự cũng rất đa dạng và sáng tạo, từmột bài toán hình học phẳng qua suy luận tương tự có thể trở thành nhiềubài toán không gian khác nhau Điều đó rất phù hợp với quan điểm dạy

học: “Tích cực hóa hoạt động của người học” hiện nay.

Mặc dù người thầy dạy Toán nào cũng hiểu là nếu vận dụng tốt mốiliên hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian thì chất lượng dạy vàhọc môn hình học không gian sẽ được nâng cao rất nhiều Thực tế cho thấythời lượng dành cho chương trình thì có hạn mà dung lượng kiến thức thìnhiều, học sinh lại quên rất nhiều kiến thức trong hình học phẳng, vì thế,một số giáo viên đã bỏ qua dùng phép suy luận tương tự Tuy nhiên, saunhiều năm đứng lớp dạy về vấn đề này chúng tôi thấy rằng nếu sử dụngphép suy luận tương tự một cách thích hợp, kết hợp với các suy luận khác

để dạy thì hiệu quả của việc dạy và học được nâng lên rất nhiều Trongcùng một thời gian, học sinh vừa được ôn lại kiến thức cũ, đồng thời đượckhám phá ra những điều mới mẻ Kiến thức được chính bản thân người học

tự phát hiện sẽ được nhớ lâu, và quan trọng hơn là học sinh tìm thấy niềm

vui, sự say mê trong học tập.

Chính vì vậy, chúng tôi thiết nghĩ cần làm cho học sinh thấy được mốiliên hệ giữa kiến thức đã biết với kiến thức mới, biết quy lạ về quen, vậndụng tương tự hóa và các hoạt động trí tuệ khác trong giảng dạy lý thuyếtcũng như trong giải bài tập để học sinh dễ tiếp thu kiến thức, từ đó kiếnthức được củng cố, mở rộng và đào sâu thêm Với suy nghĩ đó nên chúng

tôi đã chọn đề tài: “Thiết kế và tổ chức cho học sinh hoạt động phát hiện

vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề nhờ sử dụng phép tương tự trong dạy học hình học không gian lớp 11 - Trung học phổ thông.”

2 Mục đích nghiên cứu:

Khai thác hoạt động tương tự nhằm vào hướng tiếp cận phát hiện từ đó đềxuất các biện pháp ứng dụng hoạt động này vào việc tìm tòi phát hiện kiến thức

và phát hiện cách giải quyết vấn đề trong dạy học hình học không gian

3 Đối tượng nghiên cứu:

Dạy học hình học không gian lớp 11-THPT theo phương thức tiếpcận phát hiện thông qua khai thác vai trò của phép tương tự trong phát hiệnvấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề

4 Giả thuyết khoa học:

Có thể sử dụng phép tương tự làm phương tiện cho hoạt động của họcsinh nhằm khắc phục những khó khăn về nhận thức và giúp học sinh biếtcách phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề trong dạy họchình học không gian lớp 11

5 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Phân tích và hệ thống hóa các tài liệu về lý luận liên quan đến phéptương tự trong dạy học môn Toán để xây dựng khung lý thuyết của đề tài

- Sử dụng phép tương tự vào dạy học các tình huống điển hình tronghình học không gian lớp 11

- Đề xuất các biện pháp sư phạm để luyện tập cho học sinh kỹ năngvận dụng phép tương tự trong học tập môn hình học không gian lớp 11.

- Thực nghiệm sư phạm kiểm nghiệm giả thuyết của đề tài

6 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận:

+ Thông qua việc nghiên cứu tài liệu sách tham khảo, các luận ántiến sỹ, các luận văn liên quan đến đề tài

+ Nghiên cứu lý luận về đổi mới trong dạy học môn Toán nói chung

và trong dạy học hình học không gian nói riêng theo hướng giúp học sinhhoạt động phát hiện vấn đề, phát hiện cách giải quyết vấn đề

+ Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa Toán 11, mục đích yêucầu dạy học hình học không gian ở trường phổ thông

- Phương pháp điều tra thực tiễn nhằm xác định những thuận lợi,khó khăn của học sinh trong việc liên hệ những kiến thức tương tự giữahình học không gian và hình học phẳng để phát hiện vấn đề và phát hiệncách giải quyết vấn đề trong dạy học hình học không gian lớp 11

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

7 Đóng góp của luận văn

- Góp phần khẳng định vai trò của phép tương tự trong dạy học Toán

ở trường phổ thông đặc biệt là trong dạy học hình học không gian

- Vận dụng phép tương tự vào dạy học các tình huống điển hình theophương thức tiếp cận, phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề,dùng phép tương tự như là công cụ, phương tiện để giải quyết vấn đề phổthông và đã đề ra một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện cho học sinh

kỹ năng vận dụng phép tương tự vào học hình học không gian lớp 11

7 Cấu trúc của Luận văn:

Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm cóbốn chương:

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1.Phép tương tự

1.1.1.Khái niệm phép tương tự

1.1.2.Cấu trúc của phép tương tự

1.1.3.Các loại tương tự

1.1.4.Tính chất của phép tương tự

1.1.5.Một số biện pháp nâng cao suy luận tương tự

1.1.6.Vai trò của phép tương tự trong khám phá khoa học

1.1.7 Vai trò của phép tương tự trong dạy học nói chung và trong dạy họchình học không gian

1.2.Các mô hình dạy học có sử dụng phép tương tự

1.2.1.Mô hình TWA

1.2.2.Mô hình FAR

1.3.Phép tương tự thể hiện trong các phương pháp dạy học tích cực

1.3.1.Vận dụng phép tương tự trong quá trình dạy học kiến tạo

1.3.2.Vận dụng phép tương tự trong dạy học khám phá

1.3.3.Phép tương tự trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1.4.Một số khó khăn khi dạy hình học không gian

1.5.Thuận lợi để sử dụng phép tương tự vào dạy học hình học không gian1.6.Lịch sử của vấn đề nghiên cứu

1.7.Kết luận chương 1

Chương 2 THỰC TRẠNG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

2.1.Mục tiêu khảo sát

2.2.Đối tượng khảo sát

2.3.Nội dung khảo sát

2.4.Phương thức khảo sát

2.5.Xây dựng hệ thống câu hỏi dành cho giáo viên

2.5.1.Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm

2.5.2.Hệ thống câu hỏi tự luận

2.6.Kết luận của quá trình khảo sát

3.1.Nội dung chương trình hình học không gian

3.2.Sử dụng phép tương tự vào dạy các tình huống điển hình

3.2.1.Sử dụng phép tương tự vào dạy học khái niệm

3.2.2.Sử dụng phép tương tự vào dạy học định lý

3.2.3.Sử dụng phép tương tự vào dạy học giải bài tập

3.3.Sử dụng phép tương tự vào đề xuất bài toán mới

3.4.Các biện pháp nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng phéptương tự vào học HHKG

3.4.1.Biện pháp 1: Luyện tập cho học sinh hoạt động tìm dấu hiệu tương tựgiữa các khái niệm trong hình học phẳng và hình học không gian

3.4.2.Biện pháp 2: Sử dụng kết hợp thao tác đặc biệt hóa và tương tự hóa3.4.3.Biện pháp 3: Luyện tập cho học sinh hoạt động phát hiện các hướngchuyển bài toán không gian về bài toán phẳng thông qua tương tự hóa.3.4.4.Biện pháp 4: Luyện tập cho học sinh hoạt động khai thác các bài toánphẳng để xây dựng các bài toán mới trong không gian bằng phương pháptương tự

3.4.5.Biện pháp 5: Luyện tập cho học sinh sáng tạo bài toán mới nhờ phéptương tự

3.4.6.Biện pháp 6: Phát hiện các tương tự sai khi chuyển đổi từ hình họcphẳng sang hình học không gian

Kết luận chung về luận văn

Tài liệu tham khảo

tự và được thực hiện, vận dụng trong cuộc sống hàng ngày Do đó, tương

tự là một khía cạnh tự nhiên và phổ biến của nhận thức con người Năm

1954, Polya đã nghiên cứu việc sử dụng tương tự trong toán học và đãchứng minh được rằng tương tự có thể cung cấp một nguồn màu mỡ cácvấn đề mới và có thể nâng cao hiệu suất, ý tưởng giải quyết vấn đề Tuynhiên, các nghiên cứu gần đây chú ý nhiều hơn đến vai trò của phép tương

tự trong học tập, nghiên cứu khoa học và đặc biệt là việc học tập các kháiniệm toán học của trẻ em

1.1.1.Khái niệm phép tương tự

Danh từ “tương tự” bắt nguồn ở một từ Hy Lạp “a-na-lô-gi-a”, từ

này có nghĩa là “tỉ lệ” Thật vậy, hệ hai số 6 và 9 tương tự với hệ hai số

10 và 15 vì tỉ số giữa những số tương ứng thỏa mãn hệ thức: 6:9 = 10:15[15, tr20]

Theo [4, tr67- 68], suy luận tương tự là suy luận căn cứ vào một sốthuộc tính giống nhau của hai đối tượng, để rút ra kết luận về những thuộctính giống nhau khác của hai đối tượng đó

Sơ đồ:

- Hai đối tượng A và B có các thuộc tính chung (giống nhau) a, b, c, d, e

- Đối tượng A có thuộc tính f

Có thể : B cũng có thuộc tính f

Ví dụ 1: Trái đất và sao Hỏa có một số thuộc tính chung: là hành tinh của

mặt trời, đều có không khí, đều có nước, đều có khí hậu tương đối ôn hòa

- Trên trái đất có sự sống

Có thể: trên sao Hỏa cũng có sự sống.

Theo Pôlya [16,tr 19- 20], tương tự là một kiểu giống nhau nào đó Cóthể nói tương tự là giống nhau nhưng ở mức độ xác định hơn và ở mức độđược phản ánh bằng khái niệm Tuy vậy, chúng ta có thể diễn tả chính xáchơn một chút Theo Pôlya, sự khác nhau căn bản giữa tương tự và nhữngloại giống nhau khác là ở ý định của người đang suy nghĩ Những đốitượng giống nhau phù hợp với nhau trong một quan hệ nào đó Nếu bạn có

ý định quy mối quan hệ trong đó các đối tượng phù hợp với nhau về nhữngkhái niệm đã định thì bạn sẽ xem những đối tượng giống nhau ấy như lànhững đối tượng tương tự Và nếu bạn đạt tới những khái niệm rõ ràng thìtức là bạn đã làm sáng tỏ sự tương tự

Ví dụ 2: Tam giác trên mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không

gian Trên mặt phẳng, hai đường thẳng không thể tạo nên một hình có giớihạn, còn ba đường thẳng thì có thể tạo nên một tam giác Trong khônggian, ba mặt phẳng không tạo nên được một vật thể có giới hạn, còn bốnmặt phẳng thì có thể tạo nên một tứ diện Quan hệ của tam giác đối với mặtphẳng cũng như quan hệ của tứ diện đối với không gian bởi chúng đềuđược giới hạn bởi số tối thiểu những yếu tố cơ bản Sự tương tự là ở chỗ đó

[16].

Trong lôgic, suy luận tương tự, hay còn gọi là ngoại suy, là một dạngsuy luận được sử dụng rất phổ biến cả trong khoa học và trong đời sống.Đây là dạng suy luận trong đó kết luận được rút ra nhờ sự giống nhau củacác đối tượng [13].

Trong toán học, tương tự là suy luận dựa trên sự giống nhau về tínhchất, mối quan hệ giữa các đối tượng toán học Hai phép chứng minh làtương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh là giống nhau Hai vấn

đề là tương tự nếu có cùng tính chất hay vai trò như nhau, hay giữa cácphần tử tương ứng của chúng có mối quan hệ tương đương

Theo từ điển bách khoa toàn thư, phép tương tự là phương pháp luậnxác định sự giống nhau trong một số mặt, tính chất và quan hệ giữa nhữngđối tượng không đồng nhất với nhau Trong các giai đoạn ban đầu của khoahọc, phép tương tự thay cho sự quan sát có hệ thống và thực nghiệm;những kết luận (suy lí) của nó là căn cứ vào những sự tương tự bên ngoài

và thứ yếu Về sau, phép tương tự được sử dụng cùng với những hình thứcnhận thức khác Trong khoa học hiện đại, phép tương tự được sử dụngnhiều nhất trong việc lập mô hình

Phép tương tự, theo từ điển Wester, được định nghĩa như là “sự sosánh giữa những vật nói chung khác nhau nhưng nổi bật lên là sự giốngnhau ở vài khía cạnh thích hợp” Vật làm cơ sở cho tương tự, là phần tử để

so sánh, được gọi là nguồn; trong khi đó, những vật được giải thích hoặcđược học nhờ sử dụng phép tương tự được gọi là đích Sử dụng phép tương

tự là một quá trình liên quan đến sự trao đổi giữa nguồn và đích

Suy luận quy nạp là suy luận từ những chân lý riêng lẻ, cụ thể, kháiquát lên thành những chân lý tổng quát Quy nạp có thể dẫn đến các kếtluận sai vì vậy không cho phép dùng quy nạp để chứng minh Cho nên quynạp có thể dùng để phát hiện vấn đề, mày mò, dự đoán ra chân lý, sau đódùng suy diễn để chứng minh [24, tr119-120] Phép tương tự là phép suyluận quy nạp, không phải là một suy luận chứng minh, nên những kết luận

dự kiến chỉ là giả thiết, thực tế đúng đắn của chúng không được bảo đảm

mà phải được kiểm tra một cách riêng biệt Vì vậy, khi đánh giá một tương

tự cần chú ý: cho dù những kết luận dự kiến có cấu trúc nhất quán đi nữa,tính đúng đắn của mục tiêu vẫn có thể khác so với các kết luận dự kiến.Một tiêu chí khác được áp dụng trong giải quyết vấn đề là liệu các kết luậncủa phép tương tự có liên hệ đến mục tiêu hiện tại hay không Một tương tự

có thể được cấu tạo suy luận đúng, nhưng vẫn không liên quan đến mụctiêu Đó là khả năng thích ứng của những kết luận cho vấn đề mục tiêu

Qua các phân tích trên, chúng tôi xin đưa ra một tóm tắt về phéptương tự như sau: Phép tương tự là phép suy luận về sự tương ứng các mốiquan hệ từ đối tượng trong miền cơ sở đến đối tượng trong miền mục tiêu.

Vì thế, để đạt được hiệu quả khi sử dụng phép tương tự đòi hỏi một sự hiểubiết đúng đắn về lĩnh vực cơ sở Do đó, kiến thức mà học sinh đã học đóngmột vai trò quan trọng trong sự hiểu biết đúng đắn về các khái niệm mới.Hơn nữa, việc sử dụng phép tương tự còn phù hợp với quan điểm học tậptích cực, có nghĩa là, học tập là một quá trình hoạt động, xây dựng kiếnthức mới dựa trên cơ sở kiến thức đã có Nói cách khác, học tập về cơ bản

có liên quan với xây dựng tương đồng giữa những ý tưởng mới và những ýtưởng hiện có

1.1.2 Cấu trúc của suy luận tương tự:

Suy luận tương tự có cấu trúc sau:

Đối tượng A có tính chất a1,a2,a3, …,a n ,b

Đối tượng B có tính chất a1,a2,a3, …,a n

Vậy đối tượng B cũng có tính chất b

Các đối tượng A, B trong cấu trúc trên đây được hiểu theo nghĩarộng Chúng có thể là những vật thể, quá trình, hiện tượng, các trừu tượngtoán học, các lý thuyết, khái niệm,… , chúng cũng có thể là các mối quanhệ,… [13].

1.1.3 Các loại tương tự

Theo [12], phép tương tự được chia làm hai loại:

* Tương tự theo quan hệ: Dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu thịquan hệ

- A và B cùng loại (hay cùng cấu trúc tương tự)

- A có quan hệ với C

B có quan hệ với C ?

Hình 1: Tương tự theo quan hệ

Ví dụ 3: Hình tam giác trong mặt phẳng tương tự với hình tứ diện

trong không gian vì đây là các trường hợp riêng của m- đơn hình

Thật vậy, trong không gian Afin cho (m+1) điểm {A0,A1, ,Am } độc lập m- đơn hình xác định bởi hệ điểm trên là các điểm X sao cho:

Khi đó dễ nhận thấy tam giác là 2- đơn hình, tứ diện là 3- đơn hình

Ví dụ 4: Khi học và làm toán với khái niệm “mặt phẳng” trong không gian

cần hiểu rằng khái niệm này tương tự với khái niệm “đường thẳng” trong mặtphẳng vì đường thẳng và mặt phẳng là những trường hợp riêng của m- phẳng Thật vậy, trong không gian Afin, họ m+1 điểm {A0,A1, ,Am } độc lập

m- phẳng xác định bởi hệ điểm trên là các điểm X sao cho 0 0 0

.

m

i i i

Ví dụ 5: Khái niệm “trọng tâm tam giác”, “trọng tâm tứ diện” và “trung

điểm đoạn thẳng” là những khái niệm tương tự nhau bởi vì bản chất đều là tâm

tỉ cự của một hệ điểm Cụ thể như sau: Hệ m điểm {A1, ,Am }, điểm O gọi là

tâm tỉ cự của hệ điểm trên nếu tồn tại bộ số   i, i 1,m sao cho 0

m

i i i

* Tương tự theo thuộc tính: Dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểuthị thuộc tính

- A và B có cùng tính chất P1,P2 , …,P n

- A có tính chất P n 1

B có tính chất P n 1?

Hình 2: Tương tự theo thuộc tính

Ví dụ 6: Trong tam giác ba đường trung tuyến đồng quy thì trong tứ

diện, một tính chất tương tự cũng được rút ra, bốn đường trọng tuyến trong

tứ diện cũng đồng quy, đó chính là trọng tâm của tứ diện

Có rất nhiều tương tự theo thuộc tính trong hình học phẳng với hìnhhọc không gian Ví dụ như: tam giác vuông trong hình học phẳng tương tựvới tứ diện vuông trong hình học không gian, hình chữ nhật tương tự vớihình hộp chữ nhật, hình vuông tương tự với hình lập phương, đường tròntương tự với mặt cầu, đường cao của tam giác tương tự với đường cao của

tứ diện, diện tích của tam giác tương tự với thể tích của tứ diện, véc tơtrong mặt phẳng tương tự với véc tơ trong không gian, v v

Nhờ có sự tương tự theo thuộc tính mà ta có thể khám phá ra rấtnhiều kiến thức mới từ hình học phẳng sang hình học không gian vàngược lại Ví dụ như, ta xét định lý Pitago quen thuộc trong hình học

phẳng như sau: “Trong tam giác vuông bình phương độ dài cạnh

huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông” Thuộc

tính ở đây đang nhắc đến liên quan đến cạnh của tam giác vuông, đây

là một hệ thức về cạnh Vì vậy, khi học về tứ diện vuông thì ta sẽ nghĩđến một định lý tương tự với định lý Pitago Bằng cách tương tự: cáccạnh của tam giác vuông đóng vai trò tương tự như các mặt trong tứdiện vuông, như vậy độ dài cạnh sẽ đóng vai trò tương tự với diện tíchcủa mặt Vậy cái gì đóng vai trò tương tự với cạnh huyền? Cạnh huyền

là cạnh đối diện với đỉnh tam giác có góc vuông, vậy thì mặt đối diệnvới góc tam diện vuông là mặt đóng vai trò tương tự với cạnh huyền

Do đó ta có một định lý tương tự trong không gian như sau: “Trong tứ

diện có một tam diện có ba góc vuông, bình phương diện tích mặt đối diện với tam diện đó bằng tổng các bình phương diện tích của ba mặt bên” Tất nhiên điều đó ta chỉ rút ra từ dấu hiệu tương tự, để khẳng

định điều đó có đúng không rõ ràng ta phải kiểm chứng bằng nhữngchứng minh, chặt chẽ, lôgic

1.1.4 Tính chất của phép tương tự

a) Kết luận chứa thông tin mới so với các tiền đề:

Khác với suy luận diễn dịch, kết luận của suy luận tương tự có thểchứa thông tin vốn không có sẵn các tiền đề của nó Trong cấu trúc trên đâychúng ta thấy rõ rằng các tiền đề không chứa thông tin về tính chất b củađối tượng B, thế nhưng kết luận lại chứa thông tin đó

b) Kết luận không đảm bảo chắc chắn đúng khi các tiền đề đều đúng

Vì kết luận của suy luận tương tự chứa thông tin mới hơn so với cáctiền đề nên nó không đảm bảo chắc chắn đúng ngay cả khi các tiền đề đềuđúng, cho dù suy luận được thực hiện theo đúng cấu trúc

c) Tính thuyết phục cao

Mặc dù kết luận của nó không phải lúc nào cũng đúng, nhưng suy luậntương tự có tính thuyết phục rất cao Khi sử dụng diễn dịch để rút ra mộtkết luận nào đó thì nói chung chúng ta vẫn nằm trong khuôn khổ lý luận,vốn có tính trừu tượng cao, và vì thế khó nắm bắt, khó hiểu với nhiềungười, hệ quả là tính thuyết phục bị hạn chế Trong khi đó, suy luận tương

tự dựa vào sự giống nhau giữa đối tượng đang được khảo sát với đối tượngkhác, thường là đối tượng đã được biết rõ, biết rất cụ thể, nên rất dễ hiểu,

dễ nắm bắt đối với nhiều người, và vì thế dễ thuyết phục họ Tính thuyếtphục cao cũng chính là một trong những lý do làm nên sự phổ biến của suyluận tương tự

d) Tính gợi ý cao:

Suy luận tương tự có tính chất rất đáng quý đó là tính gợi ý, gợi mở rấtcao Sự giống nhau giữa các đối tượng gợi cho người ta liên tưởng và điđến những khám phá mới

1.1.5 Một số biện pháp nâng cao suy luận tương tự

a) Tăng thêm số lượng các tính chất giống nhau dùng làm cơ sở củakết luận Trong cấu trúc của suy luận tương tự ở trên, số n càng lớn thì suyluận càng đáng tin cậy

b) Đảm bảo mối liên hệ giữa những sự giống nhau dùng làm cơ sở củasuy luận với tính chất được nói đến trong kết luận.

1.1.6 Vai trò của suy luận tương tự trong khám phá khoa học

Trong suốt lịch sử, phép tương tự đã đóng một vai trò quan trọng trongviệc khám phá khoa học Tương tự cũng đóng một vai trò quan trọng trongviệc giải thích những khám phá Bên cạnh đó, phép tương tự còn đóng vaitrò quan trọng trong việc giải quyết vấn đề Ta không nên coi thường mọihình thức tương tự nào, mỗi một sự tương tự đều có thể đóng một vai trònhất định trong việc tìm ra lời giải bài toán [15].

Mặc dù không đảm bảo kết luận đúng ngay cả khi các tiền đề đều đúng

và suy luận tuân thủ theo đúng quy tắc lôgic, nhưng suy luận tương tự vẫn

có một vai trò rất to lớn trong đời sống hàng ngày và trong khoa học Loạisuy luận này có rất nhiều ứng dụng

Đối với khoa học, ứng dụng lớn nhất của suy luận tương tự là phươngpháp mô hình hóa Trong phương pháp này người ta không nghiên cứu trựctiếp đối tượng mà nghiên cứu mô hình của nó Mô hình của đối tượng có thểthuộc hai loại khác nhau là mô hình vật lí (thực thể) và mô hình tư tưởng (lýthuyết), mô hình vật lý của đối tượng là một vật thể vật lý giống với đối tượng

về phương diện mà nhà nghiên cứu quan tâm Mô hình lý thuyết của đối tượngthông thường là những cấu trúc lý thuyết mô tả đối tượng Vì mô hình giốngvới đối tượng mà nhà nghiên cứu quan tâm, nên việc nghiên cứu trên mô hìnhgiúp rút ra kết luận - dựa trên suy luận tương tự - cho đối tượng trên thực tế

[13].

Suy luận tương tự có ứng dụng rộng rãi trong đời sống cũng như trongkhoa học Suy luận tương tự là bước đầu hình thành các giả thuyết khoahọc Nhưng cũng giống như giả thuyết, kết luận của suy luận tương tựkhông có tính tất yếu, nó có thể đúng, có thể sai Chính vì vậy, suy luậntương tự không chứng minh được điều gì cả, nó chỉ giúp ta mở rộng sự

hiểu biết, để xây dựng các giả thuyết, các kết luận của nó phải nhờ đến thựctiễn mới khẳng định được đúng hay sai.

1.1.7 Vai trò hoạt động tương tự trong dạy học nói chung và trong dạy học hình học không gian.

GV thường hay sử dụng phép tương tự để giải thích khái niệm cho họcsinh Các tương tự được xem như là mô hình ban đầu, hoặc thể hiện các đặcđiểm đơn giản của các khái niệm khoa học Bất cứ khi nào họ bắt đầu mộtlời giải thích với “nó giống như….”, “nó tương tự như…”, hay “hãy nghĩ về

nó theo cách này … ”, khi đó họ đang sử dụng một tương tự để giải thíchmột khái niệm cho học sinh của mình Phép tương tự có thể đóng một vai tròquan trọng trong việc giúp học sinh xây dựng kiến thức riêng của họ, mộtquá trình phù hợp với quan điểm kiến tạo Tương tự có thể giúp học sinh xâydựng cầu nối giữa các khái niệm, những gì quen thuộc với những gì mới Từ

đó giúp học sinh hình dung những khái niệm mới, phức tạp, khó hiểu Tuynhiên, phép tương tự cũng có mặt hạn chế: nó thúc đẩy sự hiểu biết, nhưng

nó cũng có thể dẫn đến quan niệm sai lầm

Trong dạy học toán ở trường phổ thông, theo [12], phép tương tự cócác ứng dụng: xây dựng ý nghĩa cho tri thức, xây dựng giả thuyết, dự đoán

và ngăn ngừa sai lầm của học sinh, đồng thời một ứng dụng nữa của phéptương tự là dùng để giải bài tập toán cho học sinh

a) Dùng tương tự để xây dựng ý nghĩa của tri thức:

Trong quá trình dạy học để giúp cho học sinh hiểu được những kháiniệm khoa học, giáo viên thường sử dụng phép tương tự Chẳng hạn: conmắt giống máy quay phim, một vô cùng lớn trừ đi một số hữu hạn là một số

vô cùng lớn giống như ta lấy một số hữu hạn thùng nước biển thì cũngkhông làm thay đổi mực nước biển, một dãy số có giới hạn là a thì các sốhạng có khuynh hướng tập trung quanh a giống như trên đoạn đường quyđịnh xe ô tô chỉ chạy với tốc độ là 50 km/h thì vận tốc của tất cả các xe ô tôđến đoạn đường này hầu hết gần 50km/h, mặt phẳng giống như mặt hồ

nước yên lặng nó không có bề dày, không có giới hạn, đường thẳng giốngnhư một sợi chỉ kéo căng v v

b) Dùng tương tự để xây dựng giả thuyết và phát hiện kiến thức mới.

Trong dạy học toán, chúng ta có thể sử dụng tương tự theo thuộc tínhhay tương tự theo quan hệ giữa các đối tượng để đưa ra giả thuyết, sau đótiến hành chứng minh hay bác bỏ Ta có thể dùng phép tương tự để hìnhthành, phát hiện các khái niệm mới, các định lý mới trong hình học khônggian thông qua công cụ chính là các khái niệm, các tính chất mà học sinh

đã được học trong hình học phẳng

Ví dụ: Để hình thành khái niệm về Mặt phẳng trung trực của đoạn

thẳng, học sinh nghĩ ngay đến khái niệm tương tự với nó là đường trung

trực của đoạn thẳng Ta xem mặt phẳng đóng vai trò tương tự như đường thẳng thì khi đó ta có khái niệm mới trong không gian, khái niệm mặt

phẳng trung trực Từ đó, học sinh sẽ nắm khái niệm mặt phẳng trung trực

của đoạn thẳng một cách chủ động Sau đó, có học sinh tự đặt cho mìnhcâu hỏi (hoặc dưới sự dẫn dắt của giáo viên): liệu các tính chất của mặtphẳng trung trực có đúng với tính chất của đường trung trực hay không?

Cụ thể: Liệu mặt phẳng trung trực có các tính chất:

 Những điểm thuộc mặt phẳng trung trực cách đều hai đầu mút củađoạn thẳng

 Mỗi đoạn thẳng có duy nhất một mặt phẳng trung trực

Học sinh tiến hành kiểm chứng, chứng minh những tính chất trên để rút rakết luận và thu nhận những kiến thức mới

c) Dùng tương tự trong giải bài tập toán, phát hiện cách giải quyết

vấn đề.

Theo nhà toán học G.Polya, để giải một bài toán nào đó đầu tiên tanghĩ ra một bài toán tương tự dễ hơn và giải bài toán đó Sau đó, để giải bàitoán ban đầu khó hơn ta lại dùng bài toán tương tự dễ hơn để làm mô hình;khi giải bài toán khó hơn ta đã theo mẫu giải bài toán dễ hơn Nhưng trước

khi làm điều đó, ta phải nghiên cứu lại cách giải bài toán dễ hơn Ta đã xâydựng lại, tu chỉnh cách giải đó theo một mẫu mới, dễ bắt chước

Chú ý đến một bài toán tương tự dễ hơn, giải bài toán đó và tu chỉnhcách giải sao cho nó có thể trở thành mô hình, để cuối cùng giải được bàitoán đầu tiên, bằng cách lần theo mô hình vừa tạo ra, đó là một phươngpháp mà người chưa quen tưởng chừng như loanh quanh, nhưng thườngđược áp dụng trong việc nghiên cứu khoa học, toán học, cũng như các khoahọc khác [15, tr55]

Trong giải bài toán hình học không gian ta khai thác hai vai trò chínhcủa phép tương tự:

1.1.7.1.Dự đoán phương pháp giải bài toán từ lời giải một bài toán đã biết

Ví dụ 7: Ta đã sử dụng định lý Pitago khi tính độ dài đường chéo của

hình chữ nhật Vậy để tính độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật khi biết bakích thước ta cũng thử nghĩ cách dùng định lý Pitago xem sao? Và cáchlàm này rõ ràng cho ta kết quả khả quan

Ví dụ 8: “Chứng minh rằng trong một tứ diện trực tâm ABCD thì trực

tâm H, trọng tâm G và tâm mặt cầu ngoại tiếp O thẳng hàng”

Đây là một bài toán tương đối khó Để giải bài toán này trước hết tanghĩ đến bài toán tương tự và giải nó Vậy bài toán tương tự ở đây là gì?

Với cách nhìn tứ diện ABCD đóng vai trò tương tự như tam giác trong phẳng Vậy cái gì đóng vai trò tương tự như trọng tâm G, trực tâm H và tâm O Dĩ nhiên ta liên tưởng đến trọng tâm G, trực tâm H và tâm O đường

tròn ngoại tiếp tam giác Vậy ta liên tưởng đến bài toán đóng vai trò tương

tự như bài toán trên trong phẳng là: “Cho tam giác ABC, ta có trực tâm H,

trọng tâm G, tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng"

Chứng minh bài toán này xem ra khả quan hơn bài toán không gian ởtrên Ta có thể có nhiều cách giải, có thể dùng phương pháp tọa độ, hoặc cóthể chứng minh theo phương pháp tổng hợp, hoặc có thể dùng phép vị tự

Ở đây, tôi xin nêu ra cách chứng minh bằng phương pháp dùng phép vị tự

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB

Do phép vị tự bảo toàn tính vuông góc nên biến trực tâm của tam giác ABC

thành trực tâm của tam giác MNP Dễ thấy

O là trực tâm của tam giác MNP.

Việc xem xét và giải bài toán tương tự có tác dụng gì? Trong trường

hợp này nhờ liên tưởng đến kết quả tương tự

giúp cho ta huy động được kiến thức đúng

đắn để giải quyết bài toán đặt ra

Trở về bài toán ban đầu

Trọng tâm G là trung điểm của đoạn thẳng

MN

Tâm O thuộc vào đường thẳng  trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

và mặt phẳng trung trực AC.

Trực tâm H là giao điểm các đường cao của tứ diện (vì đây là tứ diện trực

tâm nên các đường cao đồng quy)

Gọi G 1 = AG (BCD), khi đó G 1 là trọng tâm của tam giác BCD

A 1 = AH  (BCD)  A 1 là trực tâm của tam giác BCD

O 1   (BCD)  O 1 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

Áp dụng kết quả của bài toán phẳng ta có: G 1 , A 1 , O 1 thẳng hàng

Mặt phẳng (AA 1 G 1 ) chứa A 1 G 1 nên chứa O 1 Do OO 1 //AA 1 nên O (AA 1 G 1)

 H, G, O thuộc (AA 1 G 1)

O M

N

G

N B

A

D

M

G H

G 1

A 1

C O

O 1

Tương tự : H, G, O thuộc (BB 2 G 2 ) trong đó B 2 là trực tâm tam giác ACD,

G 2 là trọng tâm tam giác ACD.

Do đó G, H, O đều nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (AA 1 G 1) và

(BB 2 G 2)

 H, G, O thẳng hàng.

1.1.7.2 Thiết kế một hay nhiều bài toán mới tương tự với bài toán đã cho

a,Thiết kế bài toán HHKG từ bài toán tương tự trong hình học phẳng.

Ví dụ 9: Xuất phát từ bài toán sau: “Qua các đỉnh của tam giác ABC vẽ

các đường thẳng a, b, c lần lượt song song với các cạnh BC, CA, AB; các cặp

đường thẳng (a;b), (b;c), (c;a) lần lượt cắt nhau tại M, N, P Chứng minh rằng

A, B, C là các trung điểm của các cạnh PM, MN, NP

của tam giác MNP”.

Bằng suy luận tượng tự như sau: coi tam giác

ABC trong mặt phẳng tương tự như tứ diện ABCD

trong không gian, các đường a, b, c song song với

BC, CA, AB tương tự như các mặt phẳng ( R), (), (

), () lần lượt song song với các mặt đối diện với

các đỉnh A, B, C, D của tứ diện, ta sẽ có bài toán

tương tự trong không gian như sau:

“Cho tứ diện ABCD, qua các đỉnh A,B,C,D vẽ các mặt phẳng ( R), (), (), () lần lượt song song với các mặt đối diện của đỉnh A,B,C,D của tứ diện ABCD Các mặt (R), (

), (), () đôi một cắt nhau tạo thành tứ diện MNPQ Chứng minh rằng trọng tâm của các mặt của tứ diện

M E

B

A D L C I

Ví dụ 10: Xuất phát từ bài toán (ví dụ 2 trang 66 sách giáo khoa hình

học 11): “Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC Gọi Sx, Sy, Sz lần lượt là phân giác ngoài của các góc S trong ba tam giác SBC, SCA, SAB Chứng minh:

+ Mặt phẳng (Sx, Sy) song song với mặt phẳng (ABC)

+ Sx, Sy, Sz cùng nằm trên một mặt phẳng”

Nếu ta suy luận: tứ diện SABC có SA = SB = SC trong không gian tương tự như tam giác SAB có SA= SB trong mặt phẳng; Sx, Sy, Sz lần lượt là phân giác ngoài của các góc S trong ba tam giác SBC, SCA, SAB tương tự như Sx

là phân giác góc ngoài của tam giác SAB thì ta có bài toán hình học phẳng

rất quen thuộc sau:

“Cho tam giác SAB cân tại S, Sx là phân giác ngoài của tam giác tại đỉnh S Chứng minh: Sx // AB”.

d) Dùng tương tự để dự đoán và ngăn ngừa sai lầm của học sinh

Như trên đã nói, suy luận tương tự là bước đầu hình thành các giả thuyếtkhoa học Nhưng cũng giống như suy luận quy nạp, kết luận của suy luậntương tự không có tính tất yếu, nó có thể đúng, có thể sai Chính vì vậy, suyluận tương tự không chứng minh được điều gì cả, nó chỉ giúp ta mở rộng sựhiểu biết, để xây dựng các giả thuyết, các kết luận của nó phải nhờ đến thựctiễn mới khẳng định được đúng hay sai Có những tương tự sai mà học sinhrất dễ nhầm lẫn

Ví dụ như: trong mặt phẳng ta có định lý: “nếu hai đường thẳng cùng

vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau”, tuy nhiên,

trong không gian thì tính chất này không còn đúng nữa vì khi đó có thể xảy

ra hai đường thẳng chéo nhau

1.2.Các mô hình dạy học có sử dụng phép tương tự

Khi dạy học có sử dụng tương tự, ta cần chú ý đến ba thành phần:

 Kiến thức đích: kiến thức mà học sinh cần được truyền thụ

 Kiến thức nguồn: kiến thức được dùng làm tương tự

 Các dấu hiệu tương ứng giữa kiến thức nguồn và đích

Mục tiêu của việc sử dụng tương tự ở đây là chuyển những tư tưởng từnhững kiến thức nguồn (cái quen thuộc) thành kiến thức đích (cái khôngquen thuộc) Nếu chúng có chung một số đặc điểm (hay tính chất), thì mộtđiều tương tự có thể được rút ra Như vậy tư tưởng chính của phép tương tự

có thể được tóm tắt như sau:

Kiến thức nguồn    Kiến thức đích Các dấu hiệu tương ứng

Hình 3: Các thành phần cơ bản của quá trình dạy học tương tự

Để biểu thị quá trình so sánh các đặc điểm trong khi dùng phép tương

Qui trình của dạy học với tương tự được thể hiện trong mô hình TWA,

do Glynn đề nghị (1989) gồm các bước như sau:

1 Giới thiệu kiến thức cần dạy

2 Khơi dậy kí ức của học sinh về tình huống tương tự

3 Nhận biết các đặc điểm quan trọng kiến thức dùng làm tương tự(kiến thức nguồn)

4 Thiết lập sự tương ứng giữa kiến thức nguồn và kiến thức đích

5 Chỉ ra những kết luận không đúng

6 Rút ra kết luận về kiến thức đích

1.2.2 Mô hình FAR

Trước và sau khi dạy học một tương tự, giáo viên cần phân tích tương

tự đó để cho việc dạy học hiệu quả hơn Mô hình FAR hướng dẫn GV thựchiện việc phân tích khi dạy học một tương tự Cụ thể:

Kết luận: Nguồn có rõ ràng và hữu ích, hay gây nhầm lẫn

Cải tiến: Xét lại tâm điểm trên cơ sở những kết luận

1.3 Phép tương tự thể hiện trong các phương pháp dạy học tích cực

1.3.1 Vận dụng suy luận tương tự trong quá trình dạy học kiến tạo

Phán đoán trong chu trình dạy học kiến tạo là hoạt động của HS thôngqua sự tương tự để phát hiện dự đoán kiến thức mới Còn kiểm nghiệmđược tiến hành thông qua các hoạt động giải quyết vấn đề, thông qua chuỗihành động có căn cứ để kiểm nghiệm kết quả bằng con đường suy diễnlôgíc Nếu giả thuyết phán đoán không đúng thì phải tiến hành điều chỉnhlại phán đoán và giả thuyết, sau đó kiểm nghiệm lại để đi đến kết quả mong

muốn, dẫn đến sự thích nghi với tình huống và tạo ra kiến thức mới, thựcchất là tạo sơ đồ nhận thức mới cho bản thân Và HS cũng đạt được tri thứcmới theo chu trình: Phán đoán  Kiểm nghiệm  (Thất bại)  Thíchnghi  Kiến thức mới Nếu giáo viên biết vận dụng tốt quan điểm dạy họcnày thì sẽ tạo được nhiều cơ hội từ những kiến thức đã có để HS khai thácứng dụng, kiến tạo nên kiến thức mới cho bản thân

Ví dụ 11: Khi dạy về mặt phân giác của góc nhị diện, GV có thể đặt ra

câu hỏi: tứ diện có bao nhiêu mặt phân giác? Rõ ràng trong tứ diện có sáugóc tam diện, nên sẽ có sáu mặt phẳng phân giác GV đặt thêm câu hỏi:Các mặt phẳng phân giác có tính chất gì không? Học sinh sẽ liên tưởng đếncác đường phân giác của tam giác trong mặt phẳng Trong tam giác bađường phân giác và ba đường phân giác đồng qui tại một điểm, đó là tâmđường tròn nội tiếp tam giác đó Bằng sự tương tự, học sinh sẽ phán đoán:

Có thể sáu mặt phân giác của tứ diện cùng đi qua một điểm Học sinh sẽ

tiến hành kiểm nghiệm điều mình vừa rút ra Và dĩ nhiên họ sẽ xem xét lạicách chứng minh của ba đường phân giác đồng qui trong tam giác, biết đâu

có một sự tương tự trong cách chứng minh này

Thật vậy: Giả sử cho tam giác ABC, gọi AM, BN là hai đường phân giác của tam giác, I là giao điểm của AM và BN, E, F, H lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ I đến các

cạnh AB, BC, CA

Khi đó ta có: IE = IH, IE = IF

Do đó IF = IH nên I thuộc vào

đường phân giác trong góc C Vậy

ba đường phân giác của một tam

giác đồng qui tại một điểm

Bằng sự tương tự, ta sẽ bắt chước cách chứng minh này trong bài toánkhông gian trên

Gọi (P), (Q) lần lượt là các mặt phân giác của các góc nhị diện cạnh

AB, AC và  là giao tuyến của chúng Khi đó A thuộc  Trên đường thẳng

, lấy điểm I khác A, gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của I

đến các mặt (ABC), (ACD), (ADB) Khi đó ta có IM = IP, IM = IN

 IN = IP hay I thuộc mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh AD

   AI thuộc mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh AD

Vậy ba mặt phẳng phân giác cùng đi

qua một đỉnh thì cắt nhau theo một giao

tuyến chung Ta gọi đường này là đường

phân giác của tứ diện xuất phát từ đỉnh đó

Vậy sẽ có 4 đường như vậy Bây giờ ta chỉ

cần chứng minh được 4 đường này đồng

qui là được

Thật vậy: Xét hai đường phân giác bất

kỳ, giả sử hai đường đó là 1 và 2 xuất phát từ đỉnh A và đỉnh B của tứ

diện Khi đó 1 và 2 cùng thuộc mặt phẳng phân giác của góc nhị diện

cạnh AB nên 1 và 2 cắt nhau

Do đó, hai đường phân giác bất kỳ luôn cắt nhau Mặt khác 4 đường

phân giác không có ba đường nào đồng phẳng nên ta suy ra 4 đường phân

giác đồng qui tại một điểm và đó là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện

Ví dụ 12: Xét quan hệ giữa hai đường thẳng a, b trong không gian khi

ac, b c , b và c không có điểm chung

Vốn tri thức đã có: Trong mặt phẳng nếu

P

N I

A

C B

Kiểm nghiệm: Nhận thấy nếu a, b, c(P) thì luôn có: ac, b c suy

Sai lầm: Dự đoán: “Trong không gian nếu a c, b c  suy ra a // b” là sai

Điều chỉnh: Trong không gian a c, b c  , b và c không có điểmchung thì có thể a // b hoặc a và b chéo nhau

Thích nghi và rút ra tri thức mới: Trong không gian cho a c, b c ,

b và c không có điểm chung

- Nếu a, b, c (P) thì a // b

- Nếu a, b, c (P) thì a và b chéo nhau

1.3.2 Vận dụng hoạt động tương tự trong dạy học khám phá

Dự đoán là một phương pháp tư tưởng được ứng dụng rộng rãi trongnghiên cứu khoa học Đó là căn cứ để nêu lên các giả định về các hiệntượng và quy luật chưa biết

Nhà toán học G.Polya đã phát biểu: “Toán học được coi như là

một môn khoa học chứng minh Tuy nhiên đó mới chỉ là những khía cạnh của nó Toán học trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại Bạn phải dự đoán về một định lí toán học trước khi trước khi bạn chứng minh nó Bạn phải dự đoán về ý của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết Nếu việc dạy toán phản ánh ở một mức độ nào đó việc hình thành toán học như thế nào, thì trong việc giảng dạy đó, phải dành chỗ cho dự đoán cho suy luận có lí” Dự đoán là khâu quan trọng giúp ta định hướng bài toán,

và có thể một trong các dự đoán đó ta tìm được lời giải của bài toán.Việc dự đoán vấn đề chính xác tới đâu phụ thuộc vào kinh nghiệm vàkiến thức vốn có của mỗi người Trước những bài toán khó không vội

đi vào tính toán, mày mò mà biết căn cứ vào dữ liệu và mục tiêu cầngiải quyết để có những trù liệu, dự đoán bằng hệ thống câu hỏi như:

Nó thuộc loại vấn đề gì? Nên bắt đầu từ đâu? Sau đó mới bắt đầu đivào tính toán, chứng minh Nếu thấy có thể được thì tiếp tục theophương pháp đó, nếu không được thì quay trở lại từ đầu, điều chỉnh lạiquá trình dự đoán và kiểm nghiệm Vậy quá trình dự đoán không chắcchắn đưa đến kiến thức mà giáo viên muốn truyền đạt, nhưng đối vớihọc sinh, đó là bản thân hoạt động tự khám phá kiến thức dựa trên nềntảng những kinh nghiệm đã có Trong dạy học khám phá khâu suyđoán rất quan trọng, trước hết khi đọc một bài toán, hay đứng trướcmột khái niệm nào đó cần hình thành, học sinh phải có sự liên tưởngđến đến các kiến thức đã học, họ xem xét vấn đề đặt ra giống với vấn

đề nào mà họ đã từng gặp hay chưa, có kiến thức nào tương tự không?Hay có yếu tố nào tương tự mà họ đã từng làm không? Và từ đó họđưa ra giả thuyết cho mình đồng thời bắt tay vào khám phá tri thức

Ví dụ 13: Khám phá quy tắc hình hộp và tính chất trọng tâm của tứ diện:

Nguồn (Trong mặt phẳng) Đích (Trong không gian)

Nếu G là trọng tâm của tam giác

ABC và O là điểm bất kì thì

OAOBOC 3OG

Nếu G là trọng tâm của tứ diệnABCD và O là điểm bất kì thì liệucó: OAOBOCOD 3OG? Hay làmột hệ thức khác?

1.3.3 Phép tương tự trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Đặc điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là thầy giáotạo ra những tình huống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn

đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề,thông qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được nhữngmục tiêu học tập khác Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có nhữngđặc điểm nổi bật như sau:

 Học sinh được đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ không phải làthông báo tri thức dưới dạng có sẵn

 Học sinh hoạt động tự giác tích cực, chủ động sáng tạo, tận lực huyđộng tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứkhông chỉ nghe thầy giảng một cách thụ động

 Mục tiêu dạy học không phải chỉ làm cho học sinh lĩnh hội kết quảcủa quá trình mà phát hiện và giải quyết vấn đề, mà còn ở chỗ làm cho họphát triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy Nói cách khác, họcsinh được học chính bản thân việc học

Ví dụ 14: Chứng minh rằng nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì

GV: Giả thiết của bài toán là gì? Bài toán cần chứng minh điều gì?

HS: Cho G là trọng tâm của tứ diện, cần chứng minh hệ thức véc tơ:

HS : Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, khi đó MAMBMC 3MG

, với mọi điểm M.

GV: Để chứng minh hệ thức trên, ta cần phải dùng đến hệ thức nào?

HS: G là trọng tâm của tam giác ABC nên GAGBGC 0

Sau đó dùng quy tắc 3 điểm

GV: Đúng rồi, mấu chốt ở đây là ta sử dụng tính chất G là trọng tâm của tam giác ABC thì GAGBGC 0 Vậy đối với tứ diện điều đó có xảy rakhông? Tức là: GA GB GC GD    0

    

(*) HS: Có thể chứ, hs vẽ hình và bắt tay vàotìm mối liên hệ giữa các yếu tố liên quan đến

AG

AG  nên

1 1 3

G N

HS: Học sinh chứng minh.

1.4 Một số khó khăn khi dạy hình học không gian

Theo GS Đào Tam [20], khi dạy hình học không gian bộc lộ những khókhăn, sai lầm chung thể hiện qua hai mâu thuẫn biện chứng thuộc phạm trùphương pháp luận nhận thức sau đây:

- Mâu thuẫn giữa một bên là các đối tượng hình học trừu tượng đượctrừu xuất, lí tưởng hóa tách khỏi hiện thực khách quan (đối tượng nghiêncứu của toán học) và một bên là khi dạy học lại mô tả chúng bằng các hìnhảnh hiện thực, hình biểu diễn

- Các chứng minh trong hình học bằng con đường lập luận lôgic,chứng minh suy diễn theo công thức hằng đúng sau: A1  A2   A n  B

trong đó A ihoặc là các tiên đề, các định lý, các mệnh đề đã chứng minh

đúng đắn trước đó; B là mệnh đề cần chứng minh, trong khi đó chứng minh

lại dựa vào các hình vẽ trực quan

Ngoài hai khó khăn cơ bản nêu trên, học sinh còn bộc lộ khó khăn, sailầm do sự ngắt quãng giữa hình học không gian và hình học phẳng, dẫn đếnngộ nhận nhiều chi tiết, quan hệ không gian sang các chi tiết, quan hệ trongmặt phẳng Khó khăn trên gây nên do năng lực tưởng tượng không gian cònyếu

Khó khăn trong việc định hướng tìm thuật giải, cách giải đối với cácbài toán không gian

Do đó, để phát huy các thuận lợi, khắc phục những khó khăn giáo viêncần phải:

 Giúp cho học sinh bước đầu hiểu bản chất và mối quan hệ giữa cácđối tượng của hình học không gian Dùng các mô hình trực quan để dầndần rèn luyện trí tưởng tượng trong không gian cho học sinh, từ đó học sinhhiểu được bản chất các mối quan hệ giữa các đối tượng của hình học khônggian, hiểu và vẽ được hình biểu diễn của chúng

 Khai thác vận dụng tương tự hóa và các hoạt động trí tuệ khác tronggiảng dạy lý thuyết cũng như trong giải bài tập để học sinh dễ tiếp thu kiếnthức, từ đó củng cố, mở rộng đào sâu kiến thức.

 Rèn luyện khả năng tư duy lôgic kết hợp với hình vẽ để giải các bàitoán hình học, rèn luyện khả năng vẽ hình, xét các trường hợp, tránh bỏ sótcác trường hợp khi giải toán

 Xây dựng các qui trình, thuật toán từ đó rèn kỹ năng giải các dạngtoán trong không gian

1.5 Thuận lợi để sử dụng phép tương tự vào dạy hình học không gian

Đối với học sinh trung học phổ thông, kiến thức hình học phẳng ởtrung học cơ sở là rất quan trọng, bởi đó là cơ sở, nền tảng để học hình họckhông gian Chính vì vậy, giáo viên khi giảng dạy hình học không gian córất nhiều thuận lợi để khai thác và vận dụng tương tự hóa

Ta có tính chất thừa nhận: “ Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đãbiết của hình học phẳng đều đúng” Chính vì vậy, rất nhiều các bài toánhình học không gian dựa trên cơ sở của các bài toán trong hình học phẳnghoặc là sự kết hợp giữa kiến thức hình học phẳng và kiến thức của hình họckhông gian

Giữa hình học phẳng và hình học không gian có rất nhiều yếu tốtương tự, nhiều hình trong hình học phẳng và trong hình học không gian làtương tự, ví dụ như : tam giác và tứ diện, đường tròn và mặt cầu, tam giácvuông và tứ diện vuông,

Các tính chất tương tự của các yếu tố trong hai hình tương tự là đadạng và phong phú

Ví dụ: Các yếu tố tương tự của tam giác và tứ diện

Đường cao của tam giác Đường cao của tứ diệnTrung tuyến của tam giác Trọng tuyến của tứ diện

Diện tích tam giác Thể tích tứ diện

Góc tam giác Góc giữa mặt bên và đáy