Tóm tắt luận án tiến sĩ toán học về sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ

Mộttrong những hướng mở rộng tiêu biểu là tìm cách mở rộng các kết quả về điểmbất động của các ánh xạ trên không gian mêtric lên lớp các không gian lồi địaphương, rộng hơn nữa là các khô

LÊ KHÁNH HƯNG

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG

CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN VỚI CẤU TRÚC ĐỀU

Người hướng dẫn khoa học:

vào hồi giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại:

1 Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh

2 Thư Viện Quốc gia Việt Nam

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Kết quả đầu tiên về điểm bất động của các ánh xạ thu được từ năm

1911 Lúc đó, L Brouwer đã chứng minh rằng: Mỗi ánh xạ liên tục từ một tậplồi compắc bất kỳ trong không gian hữu hạn chiều vào chính nó có ít nhất mộtđiểm bất động Năm 1922, S Banach đã giới thiệu lớp ánh xạ co trong cáckhông gian mêtric và chứng minh nguyên lý ánh xạ co nổi tiếng: Mỗi ánh xạ

co từ một không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào chính nó có duy nhất điểm bấtđộng Sự ra đời của Nguyên lý ánh xạ co Banach cùng với ứng dụng của nó đểnghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân đánh dấu một sựphát triển mới của hướng nghiên lý thuyết điểm bất động Sau đó, nhiều nhàtoán học đã tìm cách mở rộng Nguyên lý ánh xạ co Banach lên các lớp ánh xạ

và không gian khác nhau Chỉ riêng việc mở rộng ánh xạ co, đến năm 1977 đãđược B E Rhoades tổng kết và so sánh với 25 dạng tiêu biểu

1.2 Nguyên lý ánh xạ co Banach gắn liền với lớp ánh xạ co T : X → X

trong không gian mêtric đầy đủ (X, d) với điều kiện co

(B) d(T x, T y) ≤ kd(x, y), với mọi x, y ∈ X trong đó 0 ≤ k < 1

Đã có nhiều nhà toán học tìm cách mở rộng Nguyên lý ánh xạ co Banachlên các lớp ánh xạ và không gian khác nhau Mở rộng đầu tiên thu được bởi E.Rakotch bằng cách làm giảm nhẹ điều kiện co có dạng

(R) d(T x, T y) ≤ θ¡d(x, y)¢d(x, y), với mọi x, y ∈ X, trong đó θ : R+ → [0, 1) làhàm đơn điệu giảm

Năm 1969, D W Boyd và S W Wong đã đưa ra một dạng mở rộng hơncủa kết quả trên, khi xét điều kiện co có dạng

(BW) d(T x, T y) ≤ ϕ¡d(x, y)¢, với mọi x, y ∈ X, trong đó ϕ : R+ → R+ là hàmnửa liên tục trên bên phải và thỏa mãn 0 ≤ ϕ(t) < t với mọi t ∈ R+

Năm 2001, B E Roades khi cải tiến và mở rộng kết quả của Y I Alber và

S Guerre-Delabriere đã đưa ra điều kiện co dạng

(R1) d(T x, T y) ≤ d(x, y) − ϕ¡d(x, y)¢, với mọi x, y ∈ X, trong đó ϕ : R+ → R+

là hàm liên tục, đơn điệu tăng sao cho ϕ(t) = 0 khi và chỉ khi t = 0

Tiếp tục theo hướng giảm nhẹ điều kiện co, năm 2008, P N Dutta và B S.Choudhury đã đưa ra điều kiện co dạng

(DC) ψ¡d(T x, T y)¢ ≤ ψ¡d(x, y)¢ − ϕ¡d(x, y)¢, với mọi x, y ∈ X, trong đó

ψ, ϕ : R+ → R+ là hàm liên tục, đơn điệu không giảm sao cho ψ(t) = 0 = ϕ(t)

khi và chỉ khi t = 0

Năm 2009, R K Bose và M K Roychowdhury đã đưa ra khái niệm ánh xạ

co yếu suy rộng mới với điều kiện co sau đây nhằm nghiên cứu điểm bất độngchung của các ánh xạ

(BR) ψ¡d(T x, Sy¢ ≤ ψ¡d(x, y)¢− ϕ¡d(x, y)¢, với mọi x, y ∈ X, trong đó ψ, ϕ :

R+ → R+ là các hàm liên tục sao cho ψ(t) > 0, ϕ(t) > 0 với t > 0 và ψ(0) = 0 = ϕ(0), hơn nữa, ϕ là hàm đơn điệu không giảm và ψ là hàm đơn điệu tăng.Năm 2012, B Samet, C Vetro và P Vetro đã giới thiệu khái niệm ánh xạkiểu α-ψ-co trên không gian mêtric đầy đủ, với điều kiện co dạng

(SVV) α(x, y)d(T x, T y) ≤ ψ¡d(x, y)¢, với mọi x, y ∈ X trong đó ψ : R+ → R+

là hàm đơn điệu không giảm thỏa mãn P+∞ n=1 ψ n (t) < +∞ với mọi t > 0 và

α : X × X → R+

1.3 Trong những năm gần đây, nhiều tác giả tiếp tục theo hướng tổng quáthóa các điều kiện co cho các ánh xạ trên không gian mêtric sắp thứ tự bộ phận.Theo hướng này, năm 2006, T G Bhaskar và V Lakshmikantham đã đưa rakhái niệm điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ F : X × X → X có tính chấtđơn điệu trộn và thu được một số kết quả cho lớp ánh xạ đó trên không gianmêtric sắp thứ tự bộ phận và thỏa mãn điều kiện co

(BL) Tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho d¡F (x, y), F (u, v)¢≤ k

Năm 2009, tiếp tục mở rộng các định lý điểm bất động bộ đôi, V mikantham và L Ciric đã thu được một số kết quả cho lớp ánh xạF : X ×X → X

Laksh-có tính chất g-đơn điệu trộn với g : X → X trên không gian mêtric sắp thứ tự

bộ phận và thỏa mãn điều kiện co sau đây

(LC) d¡F (x, y), F (u, v)¢ ≤ ϕ ³d¡g(x), g(u)¢+ d¡g(y), g(v)¢

2

´

,với mọi x, y, u, v ∈ X mà g(x) ≥ g(u), g(y) ≤ g(v) và F (X × X) ⊂ g(X)

Năm 2011, V Berinde và M Borcut đưa ra khái niệm điểm bất động bộ bacho lớp các ánh xạ F : X × X × X → X và đã thu được một số định lý điểm bấtđộng bộ ba cho các ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn trên không gian mêtricsắp thứ tự bộ phận thỏa mãn điều kiện co

(BB) Tồn tại các hằng số j, k, l ∈ [0, 1) sao cho j + k + l < 1 thỏa mãn

d¡F (x, y, z), F (u, v, w)¢ ≤ jd(x, u) + kd(y, v) + ld(z, w), với mọi x, y, z, u, v, w ∈ X

1.4 Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điểm bất động có động lực từnhững ứng dụng rộng rãi của nó, đặc biệt là trong lý thuyết phương trình viphân và tích phân mà dấu ấn đầu tiên là việc áp dụng Nguyên lý ánh xạ coBanach để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân thường.Trong lý thuyết phương trình vi phân và tích phân hiện đại, việc chứng minh

sự tồn tại hay việc xấp xỉ nghiệm vẫn thường được quy về áp dụng thích hợpmột định lý điểm bất động nào đó Đối với các bài toán biên với miền bị chặnthì các định lý điểm bất động trong không gian mêtric là đủ để làm tốt côngviệc trên Tuy nhiên, đối với các bài toán biên với các miền không bị chặn thìcác định lý điểm bất động trong không gian mêtric là không đủ để thực hiện

Vì vậy, vào thập niên 70 của thế kỷ trước, song song với việc tìm cách mở rộnglớp ánh xạ người ta đã tìm cách mở rộng lên các lớp không gian rộng hơn Mộttrong những hướng mở rộng tiêu biểu là tìm cách mở rộng các kết quả về điểmbất động của các ánh xạ trên không gian mêtric lên lớp các không gian lồi địaphương, rộng hơn nữa là các không gian đều và đã thu hút được sự quan tâmcủa nhiều toán học mà nổi bật là V G Angelov

Năm 1987, V G Angelov đã xét họ các hàm thực Φ = {φ α : α ∈ I} saocho với mỗi α ∈ I, φ α : R+ → R+ là hàm đơn điệu tăng, liên tục, φ α(0) = 0 và

0 < φ α (t) < t với mọi t > 0 Từ đó ông đã giới thiệu khái niệm ánh xạ Φ-co, đó

là ánh xạ T : M → X thỏa mãn điều kiện

(A) d α (T x, T y) ≤ φ α¡d j(α) (x, y)¢ với mọi x, y ∈ M và với mọi α ∈ I,

trong đó M ⊂ X và thu được một số kết quả về điểm bất động của lớp ánh

xạ này Bằng cách đưa ra khái niệm không gian có tính chất j-bị chặn, V G.Angelov đã thu được một số kết quả về tính duy nhất điểm bất động của lớpánh xạ trên

Theo hướng mở rộng các kết quả về điểm bất động lên lớp các không gian lồiđịa phương, năm 2005, B C Dhage thông qua nghiên cứu nghiệm của phươngtrình toán tử x = AxBx trong đó A : X → X, B : S → X là hai toán tử thỏamãn A là D-Lipschitz, B là hoàn toàn liên tục và x = AxBy kéo theo x ∈ S vớimọi y ∈ S, với S là một tập con đóng, lồi và bị chặn của đại số Banach X, saocho thỏa mãn điều kiện co

(Dh) ||T x − T y|| ≤ φ¡||x − y||¢ với mọi x, y ∈ X, trong đó φ : R+ → R+ là hàmliên tục không giảm, φ(0) = 0,

đã thu được một số định lý điểm bất động trong các đại số Banach

1.5 Trong thời gian gần đây, cùng với sự xuất hiện những lớp ánh xạ comới, những kiểu điểm bất động mới trong không gian mêtric, hướng nghiên cứu

lý thuyết điểm bất động đã có những bước phát triển mới mạnh mẽ Với những

lý do trên, nhằm mở rộng các kết quả về lý thuyết điểm bất động trên cho lớpcác không gian có cấu trúc đều, chúng tôi chọn đề tài ‘‘Về sự tồn tại điểmbất động của một số lớp ánh xạ trong không gian với cấu trúc đều

và ứng dụng” làm đề tài luận án tiến sĩ

Mục đích chính của luận án là mở rộng các kết quả về sự tồn tại điểm bấtđộng trong không gian mêtric của một số lớp ánh xạ lên lớp không gian với cấutrúc đều và ứng dụng chúng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớpphương trình tích phân với độ lệch không bị chặn

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các không gian đều, các ánh xạ cosuy rộng trên không gian đều, điểm bất động, điểm bất động bộ đôi, điểm bấtđộng bộ ba của một số lớp ánh xạ trong không gian với cấu trúc đều, một sốlớp phương trình tích phân

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu các định lý điểm bất động trong không gian đều vàứng dụng vào bài toán sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân vớihàm độ lệch không bị chặn

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của Giải tích hàm,

Lý thuyết phương trình vi phân, phương trình tích phân và Lý thuyết điểm bấtđộng trong quá trình thực hiện đề tài

Luận án đã mở rộng được một số kết quả về sự tồn tại điểm bất độngtrong không gian mêtric cho không gian với cấu trúc đều Đồng thời đã xét được

sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình tích phân với độ lệch không bịchặn, mà chúng ta không thể áp dụng các định lý điểm bất động trong khônggian mêtric

Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao học

và nghiên cứu sinh chuyên ngành Giải tích nói chung, Lý thuyết điểm bất động

và ứng dụng nói riêng

Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương Ngoài ra, luận án còn

có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, Kết luận và Kiến nghị,Danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án vàTài liệu tham khảo

Trong Chương 1, trước hết chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và các kếtquả đã biết về không gian đều cần dùng cho các trình bày về sau Tiếp theo,chúng tôi giới thiệu khái niệm ánh xạ (Ψ, Π)-co, mà nó là mở rộng khái niệm

(ψ, ϕ)-co của P N Dutta và B S Choudhury trên không gian đều, và thu đượcmột kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ (Ψ, Π)-co trên không gianđều Bằng cách đưa ra khái niệm không gian đều có tính chất j-đơn điệu giảm,chúng tôi thu được kết quả về sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ

(Ψ, Π)-co Tiếp theo, mở rộng khái niệm ánh xạ α-ψ-co trên không gian mêtriccho không gian đều, chúng tôi đưa ra khái niệm ánh xạ (β, Ψ1)-co trên không

gian đều và thu được một số định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ này Cácđịnh lý thu được trong không gian đều xem như là các mở rộng của nhữngđịnh lý trong không gian mêtric đầy đủ Cuối cùng, ứng dụng định lý thu được

về điểm bất động của lớp ánh xạ (β, Ψ1)-co trên không gian đều, chúng tôi đãchứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình tích phân phi tuyếnvới độ lệch không bị chặn Lưu ý rằng, khi xét một lớp phương trình tích phânvới độ lệch không bị chặn, chúng ta không thể áp dụng các định lý điểm bấtđộng đã biết trong không gian mêtric Các kết quả chính của Chương 1 là Định

lý 1.2.6, Định lý 1.2.9, Định lý 1.3.11 và Định lý 1.4.3

Trong Chương 2, chúng tôi xét trên không gian đều sắp thứ tự bộ phận Đầutiên, trong mục 2.1, chúng tôi thu được các kết quả về điểm bất động bộ đôicho một lớp ánh xạ trong không gian đều sắp thứ tự bộ phận khi mở rộng điềukiện co (LC) của V Lakshmikantham và L Ciric cho ánh xạ trong không gianđều Trong mục 2.2, bằng cách mở rộng điều kiện co (AK) của H Aydi và E.Karapinar cho ánh xạ trong không gian đều, chúng tôi thu được các kết quả vềđiểm bất động bộ ba của một lớp ánh xạ trong không gian đều sắp thứ tự bộphận Trong mục 2.3, bằng cách đưa vào các khái niệm nghiệm bộ đôi trên vàdưới, nghiệm bộ ba trên và dưới, áp dụng các kết quả thu được trong mục 2.1,2.2, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm duy nhất của một vài lớpphương trình tích phân phi tuyến với độ lệch không bị chặn Kết quả chính củaChương 2 là Định lý 2.1.5, Hệ quả 2.1.6, Định lý 2.2.5, Hệ quả 2.2.6, Định lý2.3.3 và Định lý 2.3.6

Trong Chương 3, đầu tiên chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản vềđại số lồi địa phương cần dùng cho các trình bày về sau Tiếp theo, trong mục3.2, bằng cách mở rộng khái niệm D-Lipschitz cho các ánh xạ trên các đại sốlồi địa phương và dựa vào các kết quả đã biết trong đại số Banach, không gianđều, chúng tôi thiết lập một định lý điểm bất động trong đại số lồi địa phương

mà nó là mở rộng của kết quả thu được bởi B C Dhage Cuối cùng, trong mục3.3, áp dụng định lý thu được chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm của mộtlớp phương trình tích phân trong đại số lồi địa phương với độ lệch không bịchặn Kết quả chính của Chương 3 là Định lý 3.2.5, Định lý 3.3.2

Trong luận án này, chúng tôi cũng giới thiệu nhiều ví dụ nhằm minh họacho các kết quả thu được và ý nghĩa mở rộng của các định lý được đưa ra

CHƯƠNG 1

KHÔNG GIAN ĐỀU

VÀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản

về không gian đều và những kết quả sử dụng cho phần sau Tiếp theo, chúngtôi đưa ra các định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co trong không gianđều Trong phần cuối của chương, chúng tôi mở rộng các định lý điểm bất độngcủa lớp ánh xạ α-ψ-co trong không gian mêtric lên không gian đều Sau đó,chúng tôi ứng dụng các kết quả mới này để chứng tỏ một lớp phương trình tíchphân với độ lệch không bị chặn có nghiệm duy nhất

Mục này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về không gian đều cần dùngcho những trình bày về sau

Định nghĩa 1.1.1 Họ U các tập con của X × X được gọi là cái đều hay cấu

trúc đều trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau

Trong phần này, chúng tôi cũng trình bày các khái niệm tôpô sinh bởi cấutrúc đều, không gian đều với cấu trúc đều sinh bởi họ các giả mêtric, dãyCauchy, không gian đều đầy đủ dãy và mối liên hệ giữa chúng.

Chú ý 1.1.8 1) Giả sử X là không gian đều Khi đó, tôpô đều trên X đượcsinh bởi một họ các giả mêtric liên tục trên X

2) NếuE là không gian lồi địa phương với họ bão hòa các nửa chuẩn {p α } α∈I,thì họ các giả mêtric liên kết {d α } α∈I xác định bởi d α (x, y) = p α (x − y) với mọi

x, y ∈ E Khi đó, tôpô đều được sinh bởi họ các giả mêtric liên kết trùng vớitôpô xuất phát của không gian E Do đó, như là hệ quả của các kết quả củachúng tôi sau này, ta thu được các định lý điểm bất động trong không gian lồiđịa phương

3) Cho I là tập chỉ số và ánh xạ j : I → I Các phép lặp của j được xác địnhtheo quy nạp bởi j0(α) = α, j k (α) = j¡j k−1 (α)¢, k = 1, 2,

1.2 Điểm bất động của các ánh xạ co yếu

Trong các trình bày tiếp theo, (X, P) hay đơn giản là X được hiểu là mộtkhông gian đều Hausdorff với cấu trúc đều sinh bởi một họ bão hòa các giảmêtric P = {d α (x, y) : α ∈ I}, trong đó I là một tập chỉ số Lưu ý rằng, (X, P)

là Hausdorff nếu và chỉ nếu d α (x, y) = 0 với mọi α ∈ I kéo theo x = y

Định nghĩa 1.2.2 Không gian đều (X, P) được gọi là j -bị chặn nếu với

mỗi α ∈ I và x, y ∈ X tồn tại q = q(x, y, α) sao cho d j n (α) (x, y) ≤ q(x, y, α) <

Định nghĩa 1.2.4 Cho X là không gian đều Ánh xạ T : X → X được gọi là

(Ψ, Π) -co trên X nếu

ψ α¡d α (T x, T y)¢ ≤ ψ α¡d j(α) (x, y)¢− ϕ α¡d j(α) (x, y)¢,

với mọi x, y ∈ X và với mọi α ∈ I, ψ α ∈ Ψ, ϕ α ∈ Π

Chú ý, lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co trên X là rộng hơn lớp ánh xạΦ-co trên X Thậtvậy, nếu T là ánh xạ Φ-co trên X thì với mọi α ∈ I và φ α ∈ Φ ta đặt Ψ = {ψ α :

R+ → R+, α ∈ I} với ψ α (t) = t với mọi t ≥ 0 và Π = {ϕ α : R+ → R+, α ∈ I} với

ϕ α (t) = t − φ α (t) với mọi t ≥ 0 Khi đó T là ánh xạ (Ψ, Π)-co trên X

Định nghĩa 1.2.5 Không gian đều (X, P) được gọi là có tính chất j -đơn điệu giảm nếu d α (x, y) ≥ d j(α) (x, y) với mọi x, y ∈ X và mọi α ∈ I.

Định lý 1.2.6 Cho X là một không gian đều Hausdorff đầy đủ dãy và ánh xạ

T : X → X Giả sử

1) T là (Ψ, Π)-co trên X

2) Ánh xạ j : I → I là toàn ánh và tồn tại x0 ∈ X sao cho dãy {x n } với

x n = T x n−1 , n = 1, 2, thỏa mãn d α (x m , x m+n ) ≥ d j(α) (x m , x m+n) với mọi m, n ≥

0, mọi α ∈ I

Khi đó, T có điểm bất động trong X

Hơn nữa, nếu X có tính chất j -đơn điệu giảm, thì T có điểm bất động duy nhất.

Ví dụ 1.2.7 Cho X = R ∞ = ©x = {x n } : x n ∈ R, n = 1, 2, ª Với mỗi

n = 1, 2, ký hiệu P n : X → R là ánh xạ xác định bởi P n (x) = x n với mọi

x = {x m } ∈ X Xét I = N ∗ × R+ Với mỗi (n, r) ∈ I, ta xác định một giả mêtric

d (n,r) : X × X → R bởi d (n,r) (x, y) = r¯¯P n (x) − P n (y)¯¯, với mọi x, y ∈ X. Khi đó, họcác giả mêtric {d (n,r) : (n, r) ∈ I} sinh ra một cấu trúc đều trên X

Bây giờ, với mỗi (n, r) ∈ I ta xác định các hàm ψ (n,r) (t) = 2(n − 1)

2n − 1 t,ϕ (n,r) (t) = 2(n − 1)

3(2n − 1)2t với mọi t ≥ 0 và đặt Ψ = {ψ (n,r) : (n, r) ∈ I}, Π = {ϕ (n,r) : (n, r) ∈ I}.Xét j : I → I là ánh xạ xác định bởi j(n, r) =

với mọi x, y ∈ X , trong đó ψ α ∈ Ψ, ϕ α ∈ Π với mọi α ∈ I

Giả sử j : I → I là toàn ánh và tồn tại x0 ∈ X sao cho dãy {x n } với

x 2k+1 = T x 2k , x 2k+2 = Sx 2k+1 , k ≥ 0 thỏa mãn d α (x m+n , x m ) ≥ d j(α) (x m+n , x m) với mọi m, n ≥ 0, α ∈ I

Khi đó, tồn tại u ∈ X sao cho u = T u = Su

Hơn nữa, nếu X có tính chất j -đơn điệu giảm, thì tồn tại duy nhất u ∈ X

sao cho u = T u = Su

1.3 Điểm bất động của các ánh xạ (β,Ψ1)-co

Ký hiệu Ψ1 = {ψ α : α ∈ I} là họ các hàm thỏa mãn các tính chất

(i) ψ α : R+ → R+ đơn điệu không giảm và ψ α(0) = 0

(ii) Với mỗi α ∈ I, tồn tại ψ α ∈ Ψ1 sao cho

Định nghĩa 1.3.7 Cho (X, P) là không gian đều với P =©d α (x, y) : α ∈ Iª và

T : X → X là ánh xạ cho trước Ta nói T là ánh xạ (β, Ψ1)-co nếu với mọi hàm

T : X → X là một ánh xạ (β, Ψ1)-co thỏa mãn các điều kiện

b) Với mọi α ∈ I , nếu {x n } là dãy trong X sao cho β α (x n , x n+1 ) ≥ 1 với mọi

n và x n → x ∈ X khi n → +∞ , thì β α (x n , x) ≥ 1 với mọi n ∈ N ∗

Khi đó, T có điểm bất động.

Hơn nữa, nếu X có tính chất j -bị chặn và với mọi x, y ∈ X , tồn tại z ∈ X

sao cho β α (x, z) ≥ 1 và β α (y, z) ≥ 1 với mọi α ∈ I , thì điểm bất động của T là duy nhất.

Chúng tôi cũng đưa ra một số ví dụ minh họa cho các kết quả thu được

1.4 Ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyếnTrong mục này, chúng tôi áp dụng các định lý đã chứng minh trong Mục1.3 để nghiên cứu bài toán về sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp phươngtrình tích phân phi tuyến với hàm độ lệch không bị chặn.

Giả thiết 1.4.1 A1) Tồn tại hàm u : R2 → R sao cho với mỗi tập con compắc

K ⊂ R+, tồn tại số thực dương λ và ψ K ∈ Ψ1 sao cho với mọi t ∈ R+, với mọi

A4) Nếu{x n }là dãy trongC(R+, R)sao chox n → x ∈ C(R+, R)vàu(x n , x n+1 ) ≥

0 với mọi n ∈ N ∗, thì u(x n , x) ≥ 0 với mọi n ∈ N ∗

A5) Với mỗi tập con compắc K ⊂ R+, tồn tại tập compắc K ⊂ Re + sao chovới mọi n ∈ N ∗, ta có ∆n (K) ⊂ e K

Định lý 1.4.3 Giả sử rằng Giả thiết 1.4 được thỏa mãn Khi đó, phương trình

(1.27) có ít nhất một nghiệm trong C¡R+, R¢.

Hệ quả 1.4.4 Giả sử

1) f : R+× R → R+ liên tục và đơn điệu không giảm theo biến thứ hai.