Tập đại số trong không gian chiều thấp và Iđêan của chúng

Công cụ chính của hình học đại số là đại số giao hoán nên đòi hỏi người học cũng phải nắm vững không chỉ kiến thức về hình học mà cả kiến thức cơ bản về đại số giao hoán.. Iđêan là một k

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

LỜI MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG I TÔPÔ ZARISKI Phần 1 Tập Đại Số 1.1 Khái niệm tập đại số 4

1.2 Một số tính chất cơ bản của tập đại số 6

1.3 Tôpô Zariski 9

Phần 2 Iđêan .10

CHƯƠNG II IĐÊAN VÀ TẬP ĐẠI SỐ ZARISKI 2.1 Ánh xạ Zariski 12

2.2 Tính chất Iđêan trong tập đại số 14

2.3 Iđêan căn .18

2.4 Iđêan nguyên tố 20

2.5 Mối quan hệ giữa Iđêan nguyên tố và tập đại số bất khả quy 21

CHƯƠNG III TẬP ĐẠI SỐ TRONG R 1 , R 2 , R 3 VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG 3.1 Tập đại số trong R1 và iđêan của chúng .23

3.2 Tập đại số trong R2 và iđêan của chúng .24

3.3 Tập đại số trong R3 và iđêan của chúng .26

KẾT LUẬN 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO 29

Hình học đại số là một ngành học rất quan trọng trong toán học hiện đại,

nó có mối liên hệ chặt chẽ với các ngành hình học khác như : Hình học afin, hình học Ơclit, hình học xạ ảnh cũng như với các nghành toán học khác như giải tích, tôpô

Công cụ chính của hình học đại số là đại số giao hoán nên đòi hỏi người học cũng phải nắm vững không chỉ kiến thức về hình học mà cả kiến thức cơ bản về đại số giao hoán

Iđêan là một khái niệm cơ bản và quan trọng của Đại số và có rất nhiều tính chất quan trọng trong Hình học đại số

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về hình học đại số thông qua việc nhìn nhận, phân tích một số yếu tố của nó trong R1

, R2, R3 và Iđêan của chúng, tác giả đã chọn đề

tài : ‘‘Tập đại số trong không gian chiều thấp và Iđêan của chúng’’

Luận văn được chia làm 3 chương :

Chương 1 : Tôpô Zariski

Trong chương này tác giả trình bày một số kiến thức cơ bản về tập đại số, idean, tôpô Zariski

Chương 2 : Iđêan và tập đại số Zariski

Trong chương này tác giả sẽ trình bày một số tính chất của iđêan thể hiện trong tập Zariski,trình bày và chứng minh một số bổ đề và định lý về sự biểu hiện của iđêan trong tập đại số

Chương 3 : Tập đại số trong R1, R2 ,R3 và iđêan của chúng

Trong chương này tác giả sẽ mô tả các tập đại số trong R1 ,R2 ,R3 và cố gắng tính toán các iđêan của chúng.Ngoài ra,tác giả sẽ cố gắn Hình học đại số với toán phổ thông bằng cách chỉ ra những hình trong toán phổ thông là tập đại số

Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS-TS Nguyễn Huỳnh Phán, người đã hướng dẫn khoa học cho tác giả trong quá trình làm đề tài Tác giả cũng xin được chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Trường đại học Vinh, nơi tác giả học tập đã nhiệt tình đóng góp các ý kiến quý báu Bên cạnh đó tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn

Mặc dù đã cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn

Xin chân thành cảm ơn !

Vinh, tháng 09 năm 2013

Tác giả

Chương I - TÔPÔ ZARISKI

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về hình học đại số như : Tập đại số, iđêan, tôpô Zariski Nhiều tính chất trong này chúng tôi

đã chứng minh chi tiết mà trong các tài liệu tham khảo chỉ chứng minh sơ lược hoặc không chứng minh

n n

của f  0 là bậc lớn nhất của các đơn thức trong f và ký hiệu là degf Nếu f = 0,

ta quy định degf =  Nếu 0  f  A, ta nói degf = 0 Khi degf = 1, ta nói f

là đa thức bậc nhất, nó luôn có dạng

f = 1

a x a x  a x n na  , trong đó ít nhất phải có một hệ số gắn biến khác không

Ví dụ (về tập đại số):

1 Tập rỗng  là tập đại số vì phương trình f = 0 với f  K mà f 0 là vô nghiệm

2 Tập 1 điểm a = (a1, a2,…., an) là tập đại số vì đó là nghiệm của hệ n phương trình

tuyến tính

- a = 0

= 1, 2, , n

x i i i

ap1x1+ap2x2+ +apnxn+bp=0Trong đó n-m  p n và ma trận hệ số có hạng bằng n-m

4 Kn là tập đại số vì nó là nghiệm của phương trình 0 = 0

Chú ý Khái niệm “Tập đại số” không phụ thuộc và việc chọn tọa độ, nghĩa

là nếu V là nghiệm của một hệ các đa thức f(x1, x2,…., xn ) S, thì với tọa độ

f(c10 + c11y1+….+ c1nyn,… , cn0 + cn1y1+….+ cnnyn) = 0, f  S

Như vậy ta có: Nếu deg f = 0 thì Z(f) , f = 0

, f 0

n K

Cho S là tập con bất kỳ của K[X] Ký hiệu Z(S) là tập nghiệm của tất cả các đa

thức trong S (thường gọi vắn tắt là tập nghiệm của S), nghĩa là Z(S) là một tập

Chú ý: Tương ứng S  Z(S) cho một ánh xạ từ họ tất cả các tập con của

vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không gian afin Kn

Chứng minh tương tự như trên, ta có V  Z(f)

Ngược lại, giả sử (a a ) 1, 2  Z(f) Nếu a = 0 thì 1 a = 0 nên (2 a a ) = (01, 2 2, 03)  V Khi a10, ta có

1.2.Một số tính chất cơ bản của tập đại số

1.2.1 Mệnh đề (về một số tính chất đơn giản của ánh xạ Z)

1) Nếu S 1  S 2 thì Z(S 1 )  Z(S 2 ) ;

2) Z(0) = K n ;

3) Z(c) =  với 0  cK;

4) Z(S 1 )  Z(S 2 ) = Z(S) với S = { fg; f  S 1 và g  S 2 };

5) Z(S i ) = Z(S i )

Chứng minh

1) Giả sử S1  S2 Khi đó với mọi a Z(S1), tức là a là nghiệm của S1

Do S1  S2 nên a cũng là nghiệm của S2 Do đó a  Z(S2).Vậy Z(S1)  Z(S2) Theo định nghĩa, hiển nhiên ta có 2) và 3)

4) Ta có S = { fg; f  S 1 và g  S 2 } nên mọi nghiệm của S1 hoặc S2 đều là nghiệm của S nên Z(S1)Z(S2)  Z(S)

Ta chứng minh Z(S1)Z(S2)  Z(S)

Thật vậy, giả sử a  Z(S), tức a là nghiệm của S Nếu a không là nghiệm của S1 thì tồn tại f  S1 sao cho f(a) 0 Khi đó mọi g  S2 ta có g(a) = 0 nên

a  Z(S2), nghĩa là Z(S1)Z(S2)  Z(S)

5) Cho Si là một họ các tập con của K[X] Thế thì a là nghiệm của mọi tập con Si khi

và chỉ khi a là nghiệm của tập Si Từ đó ta có điều phải chứng minh

1.2.2 Bổ đề

Nếu A là miền nguyên thì deg fg = deg f + deg g

Chứng minh Mọi đơn thức của fg là tích của đơn thức của f và đơn thức của g

Nếu umax , vmax là đơn thức có bậc lớn nhất của f và g tương ứng với hệ tử khác không là c, d, khi đó đơn thức có bậc lớn nhất của fg là tích umax vmax với hệ tử

là cd Do A là miền nguyên nên cd 0

Do đó deg fg = deg (umax vmax) = deg umax + deg vmax = deg f + deg g

1.2.3 Bổ đề

Nếu A là miền nguyền thì vành đa thức A[X] cũng là miền nguyên và các phần tử khả nghịch của A[X] là phần tử khả nghịch của A

Chứng minh Nếu f, g là đa thức khác 0 trong A[X], thì deg f, deg g  0,

nên deg fg  0 và do đó fg  0 Vậy A[X] là miền nguyên

Tiếp theo, nếu f g = 1 thì deg fg = deg f + deg g = 0, do đó f và g là những phần

tử khác 0 của A Vậy f và g là những phần tử khả nghịch của A

Cho f là đa thức hệ số trên trường K Coi Kn là không gian afin n- chiều

Điểm a = ( , , ,

1 2

a a an)Kn gọi là nghiệm của f nếu

r r

là ánh xạ đa thức

1.2.4 Bổ đề

Nếu trường K vô hạn thì f(a) = 0 với  a K n  f 0

Chứng minh Nếu n = 1, thì mỗi đa thức một biến khác 0 chỉ có hữu hạn

nghiệm nên kết quả là hiển nhiên Khi n > 1, giả sử ngược lại, f  0 Giả thiết f chứa biến xn Viết f dưới dạng

có thể giả thiết tồn tại b = (b1, b2,…., bn-1) Kn - 1 sao cho fm (b1, b2,….,bn-1)  0 Khi đó f (b, xn) = f0 (b) + xnf1 (b) + xn

2

f2 (b) …+ xn

m

fm(b)

Đây là một đa thức khác không bậc m của một biến xn, nên nó chỉ có hữu hạn

nghiệm Điều này mâu thuẫn với giả thiết f(a) = 0 với mọi a Kn

Hệ quả

Nếu trường K vô hạn và f (a) = g(a) với mọi a = (a 1 , a 2 ,., a n )K n thì f = g

Chứng minh Đặt h = f – g, áp dụng Bổ đề trên, ta nhận được kết quả

Chú ý Nếu K là trường hữu hạn thì các tính chất trên không còn đúng

Ví dụ Nếu K = { a1, a2,…., as} và f (x) = (x- a1) (x- a2)… (x- as) thì f triệt tiêu trên K nhưng f  0

Từ đây trở đi, ta luôn giả thiết trường K là vô hạn

1.2.5.Hệ quả

Họ tất cả các tập đại số trong K n lập thành một tôpô, gọi là tôpô Zariski Mỗi phần tử của tôpô này (tức là mỗi tập Z(S)) gọi là một tập đóng Zariski

Chứng minh Ký hiệu Z(Kn) là họ tất cả các tập đại số Z(S) trong Kn Thế thì

họ này chứa rỗng, chứa Kn và đóng kín với hợp hữu hạn, giao tùy ý nên nó lập thành một tôpô trên Kn

Chú ý Mỗi tập mở trong tôpô Zariski là tập dạng

đó f-1 là ánh xạ ngược của ánh xạ đa thức f (liên tục) và {0} là tập đóng trong K

4) Hai tập mở (với tôpô Zariski trong K n ) không rỗng của K n luôn giao nhau;

Thật vậy, Với mọi f, g 0 thì ta luôn có Z(f)  Z(g) = Z(fg)  Kn Do đó

1.3.3 Mệnh đề

Cho S  K[X] và T  K[Y] Coi S T  K[X, Y] Ta có

Z(S) Z(T) = Z(S T)

Chứng minh Ta thấy (a, b) Kn  Km là nghiệm của S T khi và chỉ khi a là nghiệm của S và b là nghiệm của T nên Z(S) Z(T) = Z(S T)

Xét (S) : = {g1f1+g2f2+ +grfr /r N,fi  S,gi  A} khi đó (S) là iđêan bé nhất

chứa S , gọi là iđêan sinh bởi tập S

2.3 Định nghĩa 3

Cho V  Kn , ký hiệu Iv : = {f  K[X] / f 0 trên V } Ta thấy Iv là một iđêan

trong K[X], gọi là iđêan của tập V

2.4 Định nghĩa 4

Bao đóng của V trong không gian tôpô X là tập đóng bé nhất chứa V, kí hiệu là V

2.4.1.Mệnh đề:Cho V là một tập tùy ý trong K n Khi đó:

Đặt V Z S( ) Khi đó các đa thức của S triệt tiêu trên V nên S  IV , suy ra

CHƯƠNG II - IĐÊAN VÀ TẬP ĐẠI SỐ ZARISKI

Trong chương trình bày một số tính chất của iđêan thể hiện trong tập đại số Zariski, trình bày và chứng minh một số bổ đề và định lý về sự biểu hiện của iđêan trong tập đại số Đây là một trong những nội dung chính của luận văn

2.1.Ánh xạ Zariski

Cho K là trường Nhắc lại rằng, tập con V Kn gọi là tập đại số nếu nó là

nghiệm của một họ các đa thức n biến trong K[X]

S f  K[x]Z f( )={nghiệm của đa thức f}= tập hữu hạn

Ngược lại nếu S =a a1, 2, ,a slà hữu hạn số thì S chính là tập nghiệm của đa thức

( , )a b k nk m là nghiệm của đa thức trong ST  a là nghiệm của đa thức

trong S và b là nghiệm của đa thức trong T

)

 hiển nhiên

)

 theo định nghĩa

2.1.2 Cho một ví dụ về ánh xạ Zariski

Lấy n = 1, K = R và xét Z : P(R[x])  R đặt mỗi họ các đa thức 1 ẩn với tập nghiệm của chúng Tập này luôn là một tập hữu hạn trong R Thế thì Z là một ánh xạ Zariski

2.2.Tính chất của iđêan trong tập đại số

Trong phần này, chúng tôi trình bày tính chất (có chứng minh chi tiết), các

phép toán về iđêan và các tính chất của tập đại số liên quan đến chúng

4) IJ  I  J và nói chung hai iđêan này khác nhau;

5) M(I + J) = MI + MJ vói mọi iđêan I, J, M

3) Phần tử đơn vị 1  I khi và chỉ khi I = V;

4) I  V thì I được gọi là iđêan thực sự của V;

2.2.3 Ví dụ Cho I = (x, y2) và J = (y) là hai iđêan trong vành đa thức hai ẩn K[x, y], ta có

1) I + J = x y vì I = {xf + y, 2g | f, g  K[x, y], J = {yh | h  K[x, y]} nên

Giả sử S là một tập các đa thức trong K[X] và I  S là iđêan sinh bởi S

Ta sẽ chứng minh Z(S) = Z(I), nghĩa là khi đó tập đại số của tập S chính là tập đại số của iđêan I Thật vậy:

Vậy từ (1) và (2) suy ra Z(S) = Z(I) (đpcm)

2.2.5 Bổ đề Cho I và J là hai iđêan tùy ý trong K[X] Khi đó:

1/ Z(I)  S(J) = Z(I  J) = Z(IJ);

2/ Z(I)  Z(J) = Z(I + J)

Chứng minh

1) Đặt S = {fg| f  I, g  J}

Ta có S  IJ  I  J  I, J  Z(S)  Z(IJ)  Z(I  J)  Z(I), Z(J)

 Z(S)  Z(IJ)  Z(I  J)  Z(I)  Z(J)

Mặt khác Z(S) = Z(I)  Z(J)

Vậy Z(I)  S(J) = Z(I  J) = Z(IJ)

2) Do I, J  I + J nên Z(I), Z(J)  Z(I + J) Suy ra Z(I)  Z(J)  Z(I + J)

Mà Z(I)  Z(J) = Z(I  J), IJ  IJ  Z(I + J) = Z(I  J)

Vậy Z(I + J) = Z(I)  Z(J)

2.2.6 Định lí

Cho V là tập con của K n Khi đó tập I V: {f  K[X] | f(a) = 0 với mọi a  V}

là iđêan của K[X] và là iđêan lớn nhất có tập nghiệm chứa V; I V gọi là iđêan của tập điểm V trong K[X]; V  Z(I V ) Khi V = {a} thì ta viết I V = I a

Chứng minh Để chứng minh IV là iđêan ta kiểm tra hai điều kiện sau:

i) Với mọi f, g  IV thì f + g  IV:

Thật vậy: Do f, g  IV nên f( a ) = 0 và g( a ) = 0 với v a  V, suy ra

(f + g)( a ) = f( a ) + g( a ) = 0 với  a  V Do đó f + g  IV (đpcm)

ii) Với mọi f  IV và h  K[X] thì fh  IV:

Vì f  IV nên f( a ) = 0 với  a  V Do đó (fh)( a ) = f( a )h( a ) = 0 với  a  V

Vậy fh  IV

Kết luận: IV là iđêan trong K[X]

Như vậy, cách xác định tập Z(S) và tập IV cảm sinh hai ánh xạ Z và I được cho trong sơ đồ sau

trong đó Z : S Z(S) và I : V  IV ; P(X) là ký hiệu họ tất cả các tập con của X

Về sau ta sẽ thấy, nếu thu hẹp trên các tập con nào đó, Z và I là các song ánh ngược nhau

4) Nếu V  K2 là tập vô hạn điểm trên parabol y = x2 thì IV = (x2 – y) ;

5) Nếu V là d- phẳng trong Kn mà ta có thể giả sử nó là tập hợp có dạng

V = {( x1, x2,…., xd , 0, …0)  Kn } thì IV = (xd+1, xd+2,…., xn)

Chứng minh

1) Vì tập rỗng thuộc tập nghiệm của mọi đa thức;

2) Vì chỉ có phương trình 0 = 0 có tập nghiệm là Kn

3) Để cho tiện, ta giả sử điểm a là gốc tọa độ, a = (0, 0, …., 0) Mọi đa thức

f  K[X] đều viết được dưới dạng

f = h1x1 + h2x2 +……+ hnxn + b

với b K Nhưng f(0, 0,…,0) = 0 khi và chỉ khi b = 0, tức là khi và chỉ khi f có dạng

f = h1x1 + h2x2 +……+ hnxn,

nghĩa là khi và chỉ khi f  (x1, x2 ,…., xn ) Vậy I0 = (x1, x2 ,…., xn )

4) Ta chỉ cần chứng minh IV  (x2 – y) Coi mọi đa thức f  K[x, y] là đa thức của ẩn y với hệ số trong K[x] Tương tự như thuật toán Euclide ta có thể viết

2.3.1 Định nghĩa Cho I là iđêan, thế thì I cũng là iđêan và I  I = I

Nếu I = I thì I gọi là iđêan căn

Chứng minh Lấy f, g  I , nghĩa là fr , gs  I Khi đó

2.3.2.Ví dụ Giải sử I, J là các iđêan trong K[X] Khi đó:

IJ  IJ  I  J Chứng minh

Ta có: IJ  I  J  IJ  IJ (1)

I  J  I, I  J  J  IJ  I , IJ  J  IJ  I  J (2)

Từ (1) và (2) suy ra IJ  IJ  I  J

Ta cần chứng minh IJ  IJ  I  J, bằng cách lấy phần tử tuỳ ý

f  I  J  f  I , f  J Khi đó tồn tại m, n  * sao cho fm  I, fn  J

Do đó fmn  IJ, nên f  IJ Suy ra IJ  I  J

Vậy IJ = IJ = I  J

2.3.3 Bổ đề Cho V  K n , khi đó I V là iđêan căn

Chứng minh Ta cần chứng minh IV = IV

Thật vậy: Ta có IV  IV , bây giờ ta sẽ chứng minh IV  IV

Lấy phần tử bấy kỳ f  IV thì fm  IV với m > 0 nào đó Suy ra:

fm( a ) = 0 với a  V, m > 0  f( a ) = 0 với  a  V

 f  IV  IV  IV Vậy IV là iđêan căn (đpcm)

2.3.4 Mệnh đề Cho V, W là các không gian con của K n Khi đó:







f(a)=0,aV f(b)=0,bIW

Vậy IV + IW  IVW (đpcm)

Chú ý 0 là tập hợp các phần tử lũy linh của A Do đó, 0 là iđêan căn khi và chỉ

khi trong A không có phần tử lũy linh Những vành như vậy gọi là vành rút gọn

Ví dụ, mọi miền nguyên là vành rút gọn

2.4 Iđêan nguyên tố

V là tập bất khả qui do nó chỉ có tập rỗng là tập đại số nhỏ hơn

Định nghĩa Iđêan nguyên tố : Cho I là một Iđêan thực sự của vành A I được gọi là

Iđêan nguyên tố nếu có tích f g  I thì suy ra được f  I hoặc g  I

2.4.2.Tính chất của Iđêan nguyên tố

Mọi Iđêan nguyên tố đều là Iđêan căn

Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh I  I Nhưng điều này là hiển nhiên vì I nguyên tố Dưới đây ta có một tiêu chuẩn để Iđêan căn là nguyên tố

2.4.3 Bổ đề Iđêan căn I  A là Iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I không là giao của 2 Iđêan lớn hơn thực sự

Chứng minh Giả sử I nguyên tố và I = J1 J2 thì J1J2 I Do đó J1 và J2 không thể chứa những phần tử không thuộc I, cho nên J1 I và J2 I Đảo lại, nếu I không nguyên tố, thì tồn tại f, g  I mà fg  I Đặt J1 = I f,  và J2 = I g, , thì rõ ràng I  J1 J2 Lấy h J1 J2 thì tồ tại m sao cho hm(I, f)(I, g)

Từ đây suy ra : h2m (I, f)(I, g) = I2 + (f)I + (g) I + (fg)  I

do đó h  I Vì vậy I = J1 J2 với j1 và J2 thực sự chứa I

Định nghĩa Iđêan thực sự I của A gọi là Iđêan cực đại nếu I không bị chứa

trong một Iđêan thực sự nào khác của A

2.4.4 Ví dụ

1) I cực đại khi và chỉ khi (I, f) = A với mọi f  I;

2) Ia = (x1 – a1, x2 – a2,…., xn – an) là Iđêan cực đại trong K[X]