Định lý Moson và các tương tự số học trên đa thức

MỞ ĐẦUĐịnh lý cuối cùng của Fermat hay còn gọi là Định lý Fermat lớn đượcphát biểu vào năm 1637 "Phương trìnhxn+yn = zn không có nghiệm nguyêndương với mọi số nguyên n ≥ 3" và đã được ch

Người hướng dẫn khoa họcPGS TS NGUYỄN THÀNH QUANG

Nghệ An - 2013

Mục lục 1

1.1 Các tương tự số học trên trường đóng đại số, đặc số 0 51.2 Định lý Mason 91.3 Ứng dụng Định lý Mason vào nghiên cứu đa thức 15

2.1 Định thức Wronskian 322.2 Một kiểu suy rộng của Định lý Mason cho các đa thức nhiều biến 35

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

rad(a) là căn của số nguyên a

(a, b) là ước chung lớn nhất của hai số nguyên a và b

gcd(a, b, c) là ước chung lớn nhất của ba số nguyên a, b, c

f(n) là đạo hàm cấp n của hàm số f

W (f1, , fn) là định thức Wronskian của f1, , fn

µaf là bậc của f tại a

MỞ ĐẦU

Định lý cuối cùng của Fermat (hay còn gọi là Định lý Fermat lớn) đượcphát biểu vào năm 1637 "Phương trìnhxn+yn = zn không có nghiệm nguyêndương với mọi số nguyên n ≥ 3" và đã được chứng minh bởi Andrew Wilesvào năm 1995, đăng trên Annals of Mathematics nhưng lại dùng một lý thuyếthoàn toàn không sơ cấp

Trong những năm gần đây sự phát triển của Số học chịu ảnh hưởng rấtlớn của sự tương tự giữa số nguyên và đa thức Để nghiên cứu tính chất nào

đó của số nguyên, trước hết người ta kiểm tra tính chất này trên vành đathức

Nhờ đó, một tương tự của Định lý Fermat lớn trên đa thức đã được suy

từ Định lý Mason

Giả sử F là một trường đóng đại số với đặc số 0

Định lý Mason [2] Cho A, B, C là các đa thức của biến t trên trường

F, nguyên tố cùng nhau, không đồng thời là các đa thức hằng và thoả mãn

bài tập gồm các tương tự đa thức của một vài giả thuyết số học về phươngtrình Diophantine.

Trong chương 2, chúng tôi diễn đạt và chứng minh một tương tự của Định

lý Mason cho đa thức nhiều biến

Kết quả chính của luận văn đã được giới thiệu trong bài báo: A tion of Mason’s theorem for functions of several variables, bởi Tạp chí Khoahọc Trường Đại học Vinh, năm 2013

generaliza-Tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoahọc PGS TS Nguyễn Thành Quang

Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong chuyên ngành Đại

số và Lý thuyết số, Khoa Toán học và Phòng Đào tạo Sau Đại học, TrườngĐại học Vinh đã tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã quan tâm và động viên tôitrong thời gian học tập

Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được

sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp

Tác giả

cố gắng chứng minh sự kiện tương tự cho đa thức Điều đó thường dễ làmhơn, nguyên nhân chủ yếu là vì đối với đa thức trên một trường đóng đại số

2) Nếu đối với các số nguyên, ta có số nguyên tố, thì với các đa thức, ta

có đa thức bất khả quy Hơn nữa, nếu mỗi số nguyên lớn hơn 1 có thểphân tích thành tích các thừa số nguyên tố, thì mỗi đa thức có bậc lớnhơn 1 đều phân tích được thành tích các đa thức bất khả quy

3) Đối với hai số nguyên, cũng như đối với hai đa thức, ta có thể định nghĩaước chung lớn nhất Hơn nữa, trong cả hai trường hợp, ước chung lớn

nhất này tìm được bằng thuật toán Euclid Cú pháp tìm ước chung lớnnhất của các số nguyên và các đa thức trên phần mềm Maple là:

[> gcd(a, b);

[> gcd(f, g);

4) Khái niệm giá trị tuyệt đối của một số nguyên là tương tự đối với kháiniệm bậc của một đa thức

5) Các số hữu tỉ tương tự với các hàm số hữu tỉ (phân thức)

Để thấy rõ hơn sự tương tự giữa số nguyên và đa thức, ta xét các ví dụ sau:1.1.1 Ví dụ (1) Chứng minh rằng ước chung lớn nhất (UCLN) của các đathứcxm− 1 vàxn− 1là xd− 1, trong đód là UCLN của các số nguyên dương

rk−2 = rk−1qk+ rk, 0 < rk ≤ rk−1 − 1

rk−1 = rkqk+1, rk+1 = 0

Theo Thuật toán Euclid ta có UCLN của m, n là d = rk

Chuyển qua thuật toán Euclid trên đa thức, ta có:

Ta để ý đến sự tương tự giữa phân tích ra thừa số nguyên tố và phân tích

ra đa thức bất khả qui Mỗi đa thức f (x) có bậc nguyên dương trên trườngđóng đại số F đều có thể phân tích dưới dạng tích các nhân tử tuyến tính

như sau:

f (x) = (x − x1)k1(x − x2)k2 (x − xm)km,trong đó mỗi xi ∈ F là nghiệm với bội ki của f (x) Như vậy, ta có thể thấyrằng, trong sự tương tự giữa phân tích thành nhân tử và phân tích ra thừa

số nguyên tố: các nghiệm của đa thức tương ứng với các ước nguyên tố của

số nguyên Do đó, số n0(f ) các nghiệm phân biệt của một đa thức f có vaitrò như số các ước nguyên tố của một số nguyên Từ nhận xét đó ta đi đếnđịnh nghĩa sau

1.1.2 Căn của một số nguyên Choa là một số nguyên, ta định nghĩa căncủa a, kí hiệu bởi rad(a) là tích các ước nguyên tố phân biệt của a:

1.1.3 Căn của một đa thức Giả sử f là một đa thức trên trường F và có

sự phân tích theo các nghiệm như sau:

Khi đó, số các nghiệm phân biệt của f, kí hiệu là n0(f ).

Như vậy, deg(f ) = m1 + m2 + + mn và n0(f ) = deg(rad(f )) = n

Rõ ràng n0(f ) ≤ deg(f )

1.1.5 Định lý Giả sử f là một đa thức trên trường F Khi đó, ta có:

frad(f ) là ước của f

0.Chứng minh Thật vậy, giả sử

f (x) = a(x − α1)m1 (x − αn)mn

Khi đó

frad(f ) = (x − α1)

m 1 −1 (x − αn)mn −1

f0 =am1(x − α1)m1 −1(x − α2)m2 (x − αn)mn + +

+amn(x − α1)m1 (x − α2)m2 (x − αn)mn −1.Như vậy các số hạng của f0 đều chia hết cho rad(f )f Do đó, rad(f )f là ướccủa f0

1.2.1 Định lý Cho A, B, C là các đa thức của biến t trên trường F, nguyên

tố cùng nhau, không đồng thời là các đa thức hằng và thoả mãn hệ thức

C = 1.

Ta đặt f = AC và g = BC.

Khi đó, f + g = 1 nên f0+ g0 = 0 và thay f0 = −g0 ta được

f0f

k

lkt−γ k

Hiển nhiên deg D(t) = n0(ABC) và

i

mit−α i

cP

k

lkt−γ k − bP

j

njt−β j

.D(t)

Theo (1.1) thì cả tử và mẫu ở (1.2) đều có dạng tổng của các đa thức cóbậc bằng n0(ABC) − 1 Như vậy BA là tỉ số của hai đa thức có bậc nhỏ hơnhoặc bằng n0(ABC) − 1

A(t) B(t)

A0(t) B0(t)

6= 0,

Vì nếu ngược lại AB0 − A0B = 0 thì (BA)0 = 0, suy ra B = kA Ta gặpmâu thuẫn

Giả sử rằng α là một nghiệm của A(t) và m là số mũ lớn nhất của (t − α)

mà (t − α)m chia hết A(t) Khi đó, m − 1 là số mũ lớn nhất của (t − α) mà

(t − α)m−1chia hết A0(t) Do đó, m − 1 là số mũ lớn nhất của (t − α) mà(t − α)m−1 chia hết ∆1(t) Tức là (t − α)m là ước của ∆1(t).(t − α).

Vì vậy, A(t) là ước của

B(t) C(t)

B0(t) C0(t)

6= 0

và

∆3(t) =

... đại số với đặc số Các đa thức giảthiết có hệ tử trênF Tương tự cho đa thức Định lý sau Fermatđược biết đến từ kỷ 19 chứng minh dựa vào phương pháp củaHình học đại số Tuy nhiên, sử dụng Định lý. .. nhiều toán tồn đa thức

Bằng cách chứng minh tương tự trên, ta mở rộng Định lýDavenport cho số mũ lũy thừa nguyên dương m n

1.3.3 Định lý Davenport tổng quát Cho m, n số nguyên dươnglớn...

Tương tự, việc áp dụng công thức (1.21) cho ta bất đẳng thức kháccho bậc đa thức Tức chứng minh nhiều toántương tự toán Việc áp dụng trực tiếp Định lý Mason hoặccác hệ nó, sử dụng kết cơng thức