Bài toán con miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính (KL07458)

Mục đích nghiên cứu Mục đích của bài khóa luận nhằm trình bày hai mặt mạnh và hữu ích của bài toánmiền tin cậy cổ điển tiếp tục được thỏa mãn cho bài toán miền tin cậy mở rộngvới ràng bu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của bài khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới Thạc sỹ Hoàng Ngọc Tuấn người đã tận tình hướng dẫn để em có thểhoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trongkhoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốtquá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiệnkhóa luận này

Xuân Hòa, tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Toán

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng em Trongkhi nghiên cứu em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học vànghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn Những kết quả nêu trong khóa luận chưađược công bố trên bất kì công trình nào khác

Xuân Hòa, tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Toán

Mục lục

Lời Mở Đầu 2

Chương 1 Cơ sở lí thuyết 4

1.1 Giới thiệu chung 4

1.2 Tính lồi ẩn của miền tin cậy mở rộng 5

1.3 Sự nới lỏng SDP chính xác 10

1.4 Tối ưu toàn cục và đối ngẫu mạnh 16

Chương 2 Ứng dụng 24

2.1 Ứng dụng vào tối ưu vững 24

2.1.1 Bình phương tối thiểu vững 27

2.1.2 Bài toán quy hoạch nón bậc hai vững 29

2.2 Mở rộng và nghiên cứu thêm 32

Kết luận 36

Tài liệu tham khảo 37

LỜI MỞ ĐẦU 1.Lí do chọn đề tài

Ngày nay, bài toán con miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính đã đượcquan tâm nghiên cứu rất nhiều cả về lý thuyết lẫn ứng dụng trong thực tiễn Mô hìnhbài toán này được phát triển mở rộng từ bài toán miền tin cậy cổ điển Bài toán miềntin cậy, tìm cực tiểu của hàm toàn phương không lồi trên một hình cầu, là bài toáncon quan trọng trong phương pháp miền tin cậy để giải bài toán tối ưu phi tuyến Nó

có được nhiều tính chất quan trọng ví dụ như sự nới lỏng quy hoạch tuyến tính nửaxác định (sự nới lỏng SDP) chính xác và đối ngẫu mạnh Với việc chọn đề tài này

em mong muốn sẽ góp phần làm rõ tính chất và ứng dụng của bài toán con miền tincậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của bài khóa luận nhằm trình bày hai mặt mạnh và hữu ích của bài toánmiền tin cậy cổ điển tiếp tục được thỏa mãn cho bài toán miền tin cậy mở rộngvới ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính dưới một điều kiện số chiều mới Đầu tiên,chúng ta thiết lập rằng lớp của bài toán miền tin cậy mở rộng có sự nới lỏng SDPchính xác là thỏa mãn mà không cần ràng buộc tiêu chuẩn Slater Thứ hai, chúng tachỉ ra rằng điều kiện số chiều cùng với điều kiện Slater đảm bảo rằng một tập hợpcủa các nhân tử Lagrange bậc một và bậc hai kết hợp là cần và đủ cho tối ưu toàncục của bài toán miền tin cậy mở rộng và cho đối ngẫu mạnh Cuối cùng, chúng tachỉ ra rằng điều kiện số chiều là dễ dàng thỏa mãn cho mô hình miền tin cậy mởrộng sinh ra từ sự sửa đổi của bài toán bình phương tối thiểu vững LSP cũng nhưbài toán mô hình quy hoạch nón bậc hai vững

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm đưa ra nội dung và tìm hiểu rõ hơn về bài toán con miền tin cậyvới ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính

4 Phạm vi nghiên cứu

Do thời gian không nhiều nên bài khóa luận chỉ tìm hiểu được một số điều về bàitoán con miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính

5 Bố cục đề tài

Bố cục của bài khóa luận bao gồm hai chương

• Chương 1 của khóa luận trình bày tóm tắt về cơ sở lí thuyết bao gồm: tínhlồi ẩn, sự nới lỏng SDP chính xác, tính tối ưu toàn cục và đối ngẫu mạnh củabài toán con miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính và minhhọa chúng bằng một số ví dụ

• Chương hai của khóa luận tập trung trình bày ứng dụng của bài toán conmiền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính Đăc biệt chú trọng đếnứng dụng vào tối ưu vững của bài toán bình phương tối thiểu cũng như bàitoán mô hình quy hoạch nón bậc hai.

Do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khóa luậnkhông tránh khỏi những sai sót Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiếnphản biện của quý thầy cô và bạn đọc Xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

Cơ sở lí thuyết

1.1 Giới thiệu chung

Xét bài toán mô hình miền tin cậy mở rộng với ràng buộc bất đẳng thức tuyếntính

x ∈R n xTAx + aTxthỏa mãn ||x − x0||2≤ α,

bTi x≤ βi, i = 1, , m,trong đó A là một ma trận đối xứng cấp (n × n), a, bi, x0 ∈ Rn và α, βi ∈ R, α >

0, i = 1, , m Bài toán mô hình của dạng này xuất phát từ việc áp dụng phươngpháp miền tin cậy đối với nghiệm bài toán tối ưu ràng buộc, ví dụ như bài toán quyhoạch phi tuyến với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính, bài toán tối ưu phi tuyếnvới các biến rời rạc [1], và bài toán tối ưu vững dưới chuẩn ma trận hoặc tính bấtđịnh đa diện [4]

Trong trường hợp đặc biệt của (P) trong đó (bi, βi) = (0, 0), nó là mô hìnhmiền tin cậy nổi tiếng, và được nghiên cứu rộng rãi từ lý thuyết đến thuật toán Bàitoán miền tin cậy cổ điển có được sự nới lỏng quy hoạch nửa xác định (sự nới lỏngSDP) chính xác và thừa nhận đối ngẫu mạnh Hơn nữa, nghiệm của nó có thể tìmbằng cách giải một hệ Lagrangian đối ngẫu Thật không may, những kết quả này,nói chung, không còn đúng với mô hình miền tin cậy mở rộng (P) của chúng ta.Thật vậy, ngay trong trường hợp đơn giản nhất của (P) với ràng buộc bất đẳng thức

tuyến tính duy nhất, đã được chỉ ra rằng sự nới lỏng SDP là không chính xác [2].Tuy nhiên, trong trường hợp cho ràng buộc bất đẳng thức duy nhất, đối ngẫu mạnh

và sự nới lỏng SDP chính xác thỏa mãn dưới một điều kiện số chiều

1.2 Tính lồi ẩn của miền tin cậy mở rộng

Trong phần này, chúng ta nhận được tính chất về tính lồi ẩn quan trọng của hệtoàn phương miền tin cậy mở rộng cái mà giữ vai trò quan trọng trong nghiên cứucủa chúng ta về sau về sự nới lỏng chính xác và đối ngẫu mạnh

Chúng ta bắt đầu bằng cách đặt các kí hiệu và định nghĩa sẽ được sử dụng về sautrong bài khóa luận Đường thẳng thực được kí hiệu bởi R và không gian Eucliclethực n chiều được kí hiệu là Rn Tập tất cả các vec-tơ không âm của Rn được kíhiệu bởi Rn+ Không gian tất cả ma trận thực đối xứng cấp (n × n) được kí hiệu là

Sn×n Ma trận đơn vị cấp (n × n) được kí hiệu bởi In Kí hiệu A  B có nghĩa là matrận A − B là nửa xác định dương Tuy nhiên, kí hiệu A  B là xác định dương Tậpbao gồm tất cả các ma trận nửa xác định dương cấp n × n được kí hiệu là Sn+ Cho

A, B ∈ Sn×n Tích trong của A và B được kí hiệu bởi A · B = ∑ni=1∑nj=1ai jbi j, trong

đó ai j là phần tử nằm ở dòng i cột j của A và bi j là phần tử nằm ở dòng i cột j của B.Một sự kiện hữu ích về tích trong là A · (xxT) = xTAx với mọi x ∈ Rn và A ∈ Sn×n.Cho một ma trận A ∈ Sn×n, đặt Ker(A) := {d ∈ Rn : Ad = 0} Với một không giancon L, người ta sử dụng dim L để kí hiệu số chiều của L

f(x) ≤ r, ||x − x0||2≤ α + s0, bT1x≤ β1+ s1, , bTmx≤ βm+ sm

Nghĩa là, (r, s0, s1, , sm) ∈ U ( f , g0, g1, , gm) Do vậy, U ( f , g0, g1, , gm) làđóng.

Ví dụ một chiều đơn giản sau chứng tỏ rằng tập U ( f , g0, g1, , gm), nhìnchung, không là tập lồi

Ví dụ 1.2.1 (Tính không lồi của U ( f , g0, g1, , gm)) Đối với (P), cho n = 1, m =

1, f (x) = x − x2, g0(x) = x2− 1 và g1(x) = −x Khi đó, f (x) = xTAx+ aTx+ r với

A = -1, a = 1 và r = 0, g0(x) = ||x − x0||2− α với x0= 0, α = 1 và g1(x) = bT1x− β1với b1 = 1 và β1= 0

Khi đó, tập U ( f , g0, g1) không là tập lồi Để thấy điều này, ta chú ý rằng

f(0) = 0, g0(0) = −1 và g1(0) = 0 và f (1) = 0, g0(1) = 0 và g1(1) = −1 Do vậy,(0, −1, 0) ∈ U ( f , g0, g1) và (0, 0, −1) ∈ U ( f , g0, g1) Tuy nhiên, trung điểm củachúng (0, −12, −12) /∈ U( f , g0, g1) Trái lại, tồn tại x ∈ R sao cho

x− x2≤ 0, x2− 1 ≤ −1

2 và − x ≤ −

1

2.

Dễ dàng kiểm tra rằng hệ bất phương trình trên vô nghiệm Đây là một mâu thuẫn,

và do đó (0, −12, −12) /∈ U( f , g0, g1) Do vậy, U ( f , g0, g1) là không lồi

Các điều kiện về số chiều sau đóng một vai trò quan trọng trong phần còn lạicủa bài khóa luận Nhắc lại rằng với mọi ma trận A ∈ Sn, λmin(A) kí hiệu giá trịriêng nhỏ nhất của A

Định nghĩa 1.2.1 (Điều kện số chiều) Xét hệ của hàm số f (x) = xTAx+ aTx+ γ,

g0(x) = ||x − x0||2− α, gi(x) = bTi x− βi, i = 1 , m, trong đó A ∈ Sn×n, a, x0, bi∈

Rn và γ, α, βi ∈ R, i = 1, , m Cho s là số chiều của không gian con sinh bởi

{b1, , bm}, s ≤ n Khi đó, chúng ta nói rằng điều kiện số chiều thỏa mãn hệ khi

dimKer(A − λmin(A)In) ≥ s + 1 (1.2.2)

Nói cách khác, điều kiện số chiều khẳng định rằng bội của giá trị riêng của A nhỏ nhất là s+1.

Nhắc lại rằng hàm giá trị tối ưu h: Rm+1→ R ∪ {+∞} của (P) được cho bởi

trong đó D = {(r, s , , s ) : ||x − x ||2 ≤ α + r, bTx≤ β + s, đối với x ∈ Rn}

Định lý 1.2.1 [Đều kiện số chiều dẫn tới tính lồi ẩn] Cho f (x) = xTAx+ aTx+

Chứng minh. Đầu tiên chúng ta chú ý rằng, nếu A là nửa xác định dương, thì

f, gi, i = 0, 1, , m là các hàm lồi Do vậy, trong trường hợp này U( f , g0, g1, , gm)luôn là lồi Vì vậy, chúng ta có thể giả sử rằng A không là nửa xác định dương và

do đó λmin(A) < 0

[U( f , g0, g1, , gm)] = epi h Cho D = {(r, s1,, , sm) : ||x − x0||2 ≤ α +

r, bTi x≤ βi + si} với x ∈ Rn} Rõ ràng, D là một tập lồi Khi đó, theo định nghĩa,chúng ta có U( f , g0, g1, , gm) = epi h

[Tính lồi của hàm giá trị h] Để thấy điều này, ta khẳng định rằng, với mỗi

(r, s1, , sm) ∈ D , bài toán sự cực tiểu hóa

Chú ý rằng

F(x) := f (x) − λmin(A)||x − x0||2

= xT(A − λmin(A)In)x + (a + 2λmin(A)x0)Tx+ (γ − λmin(A)||x0||2)

là một hàm lồi, và do vậy, (r, s1, , sm) 7→ minx ∈R n{F(x) : ||x −x0||2≤ α +r, bT

i x≤

βi+ si} cũng là lồi Suy ra rằng

(r, s1, , sm) 7→ min

x ∈R n{ f (x) : ||x − x0||2 ≤ α + r, bTi x≤ β + si, i = 1, , m}

là lồi Do đó, h là lồi, và như vậy, U( f , g0, g1, , gm) = epi h là lồi

[Cực tiểu đạt được trên hình cầu] Chúng ta tiến hành chứng minh theo

phương pháp phản chứng và giả sử rằng mọi điểm cực tiểu x* của

min

x ∈R n{F(x) : ||x − x0||2≤ α + r, bTi x≤ βi+ si}thỏa mãn ||x∗− x0||2 < α + r và bTi x∗ ≤ βi+ si Ta chú ý rằng tồn tại v ∈ Rn\{0}sao cho

Vì ||x∗− x0||2 < α + r nên tồn tại t0> 0 sao cho ||x(t0) − x0||2= α + r Chú ý rằng

bTi x(t0) = bTi (x∗+ t0v) = bTi x∗≤ βi+ si và

F(x(t0)) = (x∗+ t0v)T(A − λmin(A)In)(x∗+ t0v)

+(a + 2λmin(A)x0)T(x∗+ t0v) + (γ − λmin(A)||x0||2)

= (x∗)T(A + λmin(A)In)x∗+ (a + 2λmin(A)x0)Tx∗+ (γ − λmin(A)||x0||2)

= F(x∗)

Điều này mâu thuẫn với giả sử của chúng ta rằng x* là điểm cực tiểu bất kì củaminx ∈R n{F(x) : ||x − x0||2≤ α + r, bT

i x≤ βi+ si} thỏa mãn ||x∗− x0||2< α + r.Giả sử trường hợp 2 đúng, tức là, (a + 2λmin(A)x0)Tv6= 0 Bởi phép thế v với-v nếu cần thiết, chúng ta có thể giả sử mà không làm mất tính tổng quát rằng(a + 2λmin(A)Tx0)Tv< 0 Vì ||x∗− x0||2 < α + r tồn tại t0 > 0 sao cho ||x(t) −

x0||2≤ α + r với mọi t ∈ (0, t0] Chú ý rằng bTi x(t0) = bTi (x∗+t0v) = bTi x∗ ≤ βi+ sivà

F(x(t0)) = (x∗+ t0v)T(A − λmin(A)In)(x∗+ t0v)

+(a + 2λmin(A)x0)T(x∗+ t0v) + (γ − λmin(A)||x0||2)

< (x∗)T(A + λmin(A)In)x∗+ (a + 2λmin(A)x0)Tx∗+ (γ − λmin(A)||x0||2)

= F(x∗)

Như một hệ quả, chúng ta suy ra tính lồi ẩn của hệ miền tin cậy nổi tiếng

Hệ quả 1.2.1 Cho f(x) = xTAx + aTx + γ và g0(x) = ||x − x0||2− α trong đó

bTi x≤ βi, i = 1, , m,

là chính xác dưới điều kiện số chiều Quan trọng là, nó thỏa mãn mà không cầnđiều kiện Slater Để thiết lập sự nới lỏng SDP của (P), chúng ta xét các ma trận cấp(n + 1) × (n + 1) sau đây M =

(1.3.4)Chú ý rằng xTAx+aTx= Tr(MX ), ||x−x0||2−α = Tr(H0X) và bTi x−βi= Tr(HiX),trong đó X = ˜xx˜T với ˜x= (xT, 1)T Do vậy, bài toán mô hình có thể được viết tươngđương như sau

Bài toán sự nới lỏng nửa xác định (SDRP) là một quy hoạch lồi trên một không gian

ma trận Bài toán đối ngẫu lồi có thể được phát biểu như sau

nó trùng với bài toán đối ngẫu Lagrangian của (P) Rõ ràng, (SDRP) và (D) là bàitoán quy hoạch tuyến tính nửa xác định và do vậy có thể giải được một cách hữuhiệu, trong khi bài toán (P) ban đầu là một quy hoạch toàn phương không lồi vớinhiều ràng buộc, nói chung, là một bài toán tính toán khó Vì vậy, ta nghiên cứuvấn đề này khi sự nới lỏng nửa xác định là chính xác theo nghĩa rằng min(P)=min(SDRP)

Nếu A là nửa xác định dương, thì bài toán (P) là bài toán tối ưu toàn phươnglồi đã được biết đến với những tính chất tốt ví dụ như đối ngẫu mạnh và và sự nớilỏng chính xác Vì thế, từ bây giờ , chúng ta giả thiết rằng A không là nửa xác địnhdương và do vậy, có ít nhất một giá trị âm

Định lý 1.3.1 (Sự nới lỏng SDP chính xác) Giả sử rằng điều kiện số chiều (1.2.2)

được thỏa mãn Khi đó, sự nới lỏng nửa xác định là chính xác, tức là, min (P) = min(SDRP).

Chứng minh [min(P) = max(D) < +∞] Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng không

có quãng cách đối ngẫu giữa (P) và (D) dưới điều kiện số chiều Ý nghĩa rằng tachứng tỏ rằng hàm giá trị tối ưu của (P)

và gi(x) = bTi x − βi, i = 1, , m Vì vậy, từ Mệnh đề 1.2.1, epi v là một tập lồi, và

do vậy v là một hàm lồi Tính liên tục dưới của v sẽ được suy ra từ Mệnh đề 1.2.1

Như vậy không có quãng cách đối ngẫu giữa (P) và (D), chúng ta rút ra được min(P)

= min (SDRP)

[Cực tiểu đạt được của (SDRP)] Bây giờ chúng ta chứng tỏ rằng trong (SDRP)

đạt được cực tiểu Để thấy điều này chúng ta chỉ cần thiết lập tập chấp nhận đượccủa (SDRP) bị chặn Nếu không, thì tồn tại Xk ∈ Sn+1+ với

sao cho ||Xk||F :=pTr(XkXk) → +∞, Tr(HiXk) ≤ 0, i = 0, 1, , m trong đó

Hi, i = 1, , m được định nghĩa như trong (1.3.4) Điều này dẫn tới

0 ≤ Tr(Yk) ≤ −||x0||2 + α + 2(yk)Tx0 và bTi yk ≤ βi

Vì Xk  0, chúng ta có Yk− yk(yk)T  0 Do vậy,

||yk||2 = Tr(yk(yk)T) ≤ Tr(Yk) ≤ −||x0||2 + α + 2(yk)Tx0

Do vậy, yk là bị chặn, và do đó Tr(Yk) cũng là một dãy bị chặn Theo đó, cả Yk

và yk đều bị chặn Điều này kéo theo Xk là bị chặn, mâu thuẫn với thực tế rằng

Xk → +∞

Cần lưu ý rằng tính lồi của tập U ( f , g0, g1, , gm) giữ một vai trò quan trọngtrong việc xây dựng sự nới lỏng SDP chính xác của (P) Tuy nhiên, như chúng tathấy trong các ví dụ sau đây, tính lồi không suy ra rằng bài toán (P) tương đươngvới bài toán tối ưu lồi theo nghĩa chúng có cùng tập nghiệm tối ưu

Ví dụ 1.3.1 Xét f (x) = x2, g0(x) = x2− 1 và g1(x) = −x2+ 1 Ta kiểm tra rằng

U( f , g0, g1) = {(x2, x2− 1, −x2+ 1) : x ∈ R} = {(z, z − 1, −z + 1) : z ≥ 0},

là đóng và là tập lồi Nói cách khác, bài toán tối ưu tương ứng minx ∈R{(x2: x2− 1 ≤

0, −x2+ 1 ≤ 0)} không thể tương đương với bài toán tối ưu lồi vì tập nghiệm của

nó là {−1, 1} không là tập lồi

Một mặt mạnh hấp dẫn của kết quả sự nới lỏng SDP của chúng ta là sự chínhxác của nó độc lập với điều kiện Slater Ví dụ sau minh họa rằng sự nới lỏng SDPcủa chúng ta có thể chính xác mà không cần điều kiện Slater

Ví dụ 1.3.2 (Sự nới lỏng SDP chính xác mà không cần điều kiện Slater) Xét bài

toán tối ưu toàn phương ba chiều với hai bất đẳng thức tuyến tính

dimKer(A − λmin(A)In) = 3 = s + 1

Do vậy, điều kiện số chiều được thỏa mãn

Nói cách khác, sự nới lỏng (SDP) của (EP) được cho bởi

(SDRPE) min

X ∈S 4 −z1+ 3z4− z5+ 2z7− z8+ 2z9thỏa mãn z1− 2z4+ z5+ z8≤ 0

Từ đó z1 = z2 = · · · = z9 = 0 là chấp nhận được của (SDRPE), min(SDRPE) ≤ 0

Hơn nữa, với mỗi X chấp nhận được, X =

Điều này cho biết rằng

−2z4 ≤ z1− 2z4+ z5+ z8 ≤ 0

và do vậy z4 ≥ 0 Vì z4 ≤ 0, chúng ta có z4 = 0 và do vậy z1+ z5+ z8 ≤ 0 Do đó,

z1 = z5= z8= 0 và z7 = z9= 0 Vì vậy, min(SDRPE) = 0 = min(EP)

Trong phần sau, chúng ta sử dụng bài toán tối ưu toàn phương một chiều đơngiản để chứng tỏ rằng sự nới lỏng SDP có thể không chính xác nếu điều kiện sốchiều đầy đủ (1.2.2) của chúng ta không được thỏa mãn

Ví dụ 1.3.3 (Tầm quan trọng của điều kiện số chiều đầy đủ) Xét bài toán sự cực

tiểu hóa

(EP1) min

x ∈R{ f (x) : g0(x) ≤ 0, g1(x) ≤ 0},trong đó f (x) = x − x2, g0(x) = x2− 1, g1(x) = −x, n = 1 và m = 1 Khi đó, f (x) =

(bTx)2 ≤ r,trong đó A ∈ Sn×n, a, x , b ∈ Rn, α ∈ R và r ≥ 0

Bài toán mô hình của dạng này xuất phát từ ứng dụng của phương pháp miềntin cậy đối với sự cực tiểu hóa cuả một hàm phi tuyến với ràng buộc gián đoạn Ví

dụ, xét bài toán xấp xỉ miền tin cậy

min

x ∈R n xTAx + aTxthỏa mãn ||x − x0||2≤ α,

bTx∈ {1, −1}

Sự nới lỏng liên tục của bài toán trở thành

min

x ∈R n xTAx + aTxthỏa mãn ||x − x0||2≤ α,

−1 ≤ bTx≤ 1,

trong đó, lần lượt, tương ứng đến (P0) với r = 1

Sự nới lỏng SDP của (P0) được cho bởi

( ˜M) = A a/2

aT/2 0

!, ( ˜H0) = In −x0

Bây giờ chúng ta có được kết quả sự nới lỏng SDP chính xác như sau đối với bàitoán (P0) dưới điều kiện số chiều

Hệ quả 1.3.1 (Mô hình miền tin cậy với ràng buộc hạng một) Giả sử rằng dimKer(A−

λmin(A)In) ≥ 2 Khi đó, sự nới lỏng nửa xác định là chính xác đối với (P0), nghĩa là,

min(P0) = min(SDRP0)

Chứng minh. Chú ý rằng (bTx)2 ≤ r là tương đương với −√r≤ bTx≤√r Trongtrường hợp này, điều kiện số chiều của Định lí 1.3.1 quy về giả thiết rằng

dimKer(A − λmin(A)In) ≥ dim span{b, −b} + 1

Hệ quả được suy ra từ Định lý 1.3.1 và thực tế rằng không gian con sinh bởi {b, −b}

có số chiều nhỏ hơn hoặc bằng 1

1.4 Tối ưu toàn cục và đối ngẫu mạnh

Trong phần này, chúng tôi trình bày điều kiện cần và đủ để tối ưu toàn cục cho(P) và nhờ đó, đạt được đối ngẫu mạnh giữa (P) và (D) khi điều kiện số chiều đượcthỏa mãn và điều kiện Slater đúng đối với (P)

Định lý 1.4.1 (Điều kiện cần và đủ của bài toán tối ưu toàn cục) Đối với (P),

giả sử rằng tồn tại x¯∈ Rn với ||x¯− x0||2 < α và bTi x¯< βi, i = 1, , m, và giả

sử rằng điều kiện số chiều trong (1.2.2) là thỏa mãn Cho x* là điểm chấp nhận được của (P) Khi đó, x* là điểm cực tiểu toàn cục của (P) khi và chỉ khi tồn tại

(λ0, λ1, , λm) ∈ Rm+1+ sao cho điều kiện sau thỏa mãn:

Chứng minh [Điều kiện cần để tối ưu] Cho x* là điểm cực tiểu toàn cục của (P).Khi đó, hệ bất phương trình sau vô nghiệm:

||x − x0||2 ≤ α, bTi x≤ βi, i = 1, , m, xTAx+ aTx< (x∗)TAx∗+ aTx∗.Đặc biệt, cho γ = −((x∗)TAx∗+ aTx∗), hệ bất phương trình sau cũng vô nghiệm:

||x − x0||2 < α, bTi x< βi, i = 1, , m, xTAx+ aTx+ γ < 0

Khi đó, 0 /∈ intU( f , g0, g1, , gm), trong đó

U( f , g , g , , g ) := {( f (x), g (x), g (x), , g (x)) : x ∈ Rn} + Rm+2

là một tập lồi bởi Mệnh đề 1.2.1 Hơn nữa, vì f , gi là các hàm liên tục , chúng tathấy rằng

{( f (x), g0(x), g1(x), , gm(x)) : x ∈ Rn} + intRm+2+ = intU ( f , g0, g1, , gm)cũng là lồi

Bây giờ, bởi định lý tách các tập lồi, tồn tại (µ, ˜λ0, ˜λ1, , ˜λm) ∈ Rm+2+ \{0} saocho, với mọi x ∈ Rn,

[Điều kiện đủ của tối ưu] Ngược lại, nếu điều kiện tối ưu được thỏa mãn,

thì ta thấy rằng h(x) := xTAx+ aTx+ λ0(||x − x0||2− α) + ∑mi=1λi(bTi x− βi) với

∇h(x∗) = 0 và ∇2h(x∗)  0 Do vậy, x* là điểm cực tiểu toàn cục của h, và do đó,với mọi điểm chấp nhận được x ∈ Rn của (P),