Khoá luận tốt nghiệp ứng dụng phương pháp parabol giải gần đúng phương trình phi tuyến

Nó nghiên cứu lý thuyết xấp xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình thường gặp.... Đặc biệt Giải tích so chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần đúng các bài

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s u PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Được sự phân công của khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2,

và được sự đồng ý của Thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh em

đã thực hiện đề tài “ủ n g dụng phương pháp parabol giải gần đúng phương

trình ph i tuyến”.

Đe hoàn thành khóa luận này em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tận tình hướng dẫn, giảng dạy trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, rèn luyện ở Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo trực tiếp hướng dẫn

PGS.TS Khuất Văn Ninh đã tận tình, chu đáo hướng dẫn em hoàn thành

khóa luận này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài này một cách hoàn chỉnh nhất Song do buổi đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót mà bản thân chưa thấy được Em rất mong được sự góp ý của quý thầy cô để khóa luận được hoàn chỉnh hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Lê Thị Ngọc Yến

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu thực sự của

cá nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Khuất văn Ninh.

Các nội dung được trình bày trong khóa luận này trung thực và chưa từng được công bố dưới bất kỳ hình thức nào

Em xin chịu trách nhiệm về khóa luận của mình

Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên

Lê Thị Ngọc Yến

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI D UNG 3

Chương 1 Kiến thức liên quan 3

1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối 3

1.1.1 Số gần đúng 3

1.1.2 Sai số tuyệt đ ố i 3

1.1.3 Sai số tương đối 3

1.2 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn 4

1.2.1 Làm tròn s ố 4

1.2.2 Sai số của phép làm tròn 5

1.3 Cách viết số xấp x ỉ 7

1.3.1 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc 7

1.3.2 Chữ số đáng ti n 7

1.3.3 Cách viết số xấp xỉ .7

1.4 Tỷ sai phân 6

1.5 Một số khái niệm về dãy s ố 8

1.5.1 Dãy số và giới hạn của dãy số 8

1.5.2 Một số tính chất của dãy hội tụ 9

1.6 Một số kiến thức về hàm số liên tụ c 12

1.6.1 Định nghĩa và ví d ụ 12

1.6.2 Hàm số liên tục trên một đoạn 13

1.7 Các định lý cơ bản của hàm khả v i 13

1.8 Sự tồn tại nghiệm và khoảng tách nghiệm 14

1.8.1 Sự tồn tại nghiệm 14

1.8.2 Khoảng tách nghiệm 14

1.9 Công thức T aylor 15

Chương 2 Phương pháp parabol 16

2.1 Nội dung phương pháp 16

2.2 Bậc hội t ụ 18

2.2.1 Định nghĩa bậc hội tụ 18

2.2.2 Bậc hội tụ của phương pháp parabol 18

Chương 3 Một số ví dụ minh h ọ a 29

3.1 Một số ví d ụ 29

3.2 Bài tậ p 51

KÉT LUẬN 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

M Ở ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Chúng ta đã biết, Giải tích số là một ngành khoa học đã có từ lâu đời,

đặc biệt tù’ khi máy tính điện tủ’ ra đời, ngành khoa học này phát triển rất nhanh chóng Ngày nay, cùng với sự phát triển của tin học, phạm vi và ứng

dụng của Giải tích số ngày càng được mở rộng.

Giải tích số là một lĩnh vực toán học rất rộng Nó nghiên cứu lý thuyết xấp xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình thường

gặp Đặc biệt Giải tích so chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần

đúng các bài toán thực tế được mô hình hóa bằng ngôn ngữ toán học Trong nghiên cún khoa học và trong các bài toán thực tế (trong thiên văn, đo đạc ruộng đất, ) dẫn đến cần phải giải các phương trình phi tuyến, tuy nhiên các phương trình này thường phức tạp, do đó nói chung khó có thế giải được (đưa được về các phương trình cơ bản) bằng các biến đổi đại số, hoặc không tránh khỏi sai số, ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả tính toán Hơn nữa, vì các công thức nghiệm của phương trình phi tuyến thường phức tạp, cồng kềnh, nên cho dù có công thức nghiệm, việc khảo sát các tính chất nghiệm qua công thức cũng vẫn gặp phải rất nhiều khó khăn Vì vậy, các phương pháp giải gần đúng đã sớm được xây dựng, với các thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sự sai

số, đồng thời tiện lợi cho việc lập trình và tiết kiệm số lượng các phép tính, thời gian tính toán, v ấn đề tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến

có ý nghĩa lí thuyết và ứng dụng rất lớn

Chính vì vậy nên em đã lựa chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp của em

là: “ứ n g dụng phương pháp parabol giải gần đúng phương trình p h ỉ

tuyến“.

2 Mục đích nghiên cứu

Hiểu và nắm vững phương pháp Parabol giải gần đúng phương trình phi tuyến, tìm nghiệm của phương trình với độ chính xác cần thiết hoặc sai số cho phép

Áp dụng phần mềm toán học như: Maple và Pascal vào đế giải quyết một số bài toán

3 Nhiệm vụ nghiên cún

- Nghiên cứu việc giải gần đúng phương trình phi tuyến bằng phương pháp Parabol

- ứ n g dụng của Maple trong việc giải phương trình phi tuyến

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản của phương pháp Parabol giải gần đúng phương trình phi tuyến

Khóa luận được chia làm 3 chương (ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo):

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Phương pháp parabol giải gần đúng phương trình phi tuyến Chương 3: Một số ví dụ minh họa

5 Phương pháp nghiên cứu

Tra cứu và tham khảo tài liệu

Viết thuật toán chạy chương trình

Đưa ra các ví dụ minh họa cho phương pháp

Tổng họp bài tập

NỘI D UNG CHƯƠNG 1 CÁC KIÉN THỨC LIÊN QUAN

Đe nắm vững và hiểu rõ hơn về phương pháp Parabol giải gần đúng phương trình phi tuyến trong chương này em xin trình bày về một số kiến thức liên quan trực tiếp như: sai số, làm tròn số, tỷ sai phân, một số khái niệm

về hàm số, hàm số liên tục, hàm khả vi, sự tồn tại nghiệm của phương trình

1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối

1.1.1 Số gần đúng

Ta nói rằng a là số gần đúng của số a nếu như a không sai khác a nhiều, hiệu

số À = ị^a - a ) là sai số thực sự của a.

Neu A > 0 thì a là giái trị gần đúng thiếu của a

Neu A < 0 thì a là giái trị gần đúng thừa của a

1.1.2 Sai số tuyệt đối

Vì rằng a nói chung không biết nên cũng không biết À, tuy nhiên có thế thấy, tồn tại À a >0 thỏa mãn điều kiện:

I a - a\ < Aa

Số Aa thỏa mãn điều kiện (1.1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a

Neu số xấp xỉ của a* có sai số tuyệt đối là Afl thì ta viết:

với ịa* - aị < A a

1.1.3 Sai số tương đối

Tỷ số ổ = là sai số tương đối của a

\a

Ta có thể suy га: Д =|ö|.c> (1-1.4)

Từ (1.1.2) ta có: a = a (l ± ố )

Công thức (1.1.3) và (1.1.4) cho ta công thức liên hệ giữa sai số tuyệt đối và sai số tương đối

Chủ ý: Neu đoạn thẳng AB có số đo là a = lOOmét và đoạn CD có số đo

đoạn thắng AB là chính xác hơn phép đo doạn thắng CD

Từ đó ta thấy độ chính xác của một phép đo thường được phản ánh qua sai sốtương đối

( GL: nếu о < и < - I O 1 hộc и = 10* mà а, ỉâ số chằn

I {cLị + 1) nếu ụ > ^ 10l hoặc ịi= -.1 0 * mà OLị Ik số lẻ.

1.2.2 Sai số của phép làm trịn

Ta ký hiệu sai số của phép làm trịn là Г , như vậy а - а - Г , rõ ràng

Xét số a = ± ịa 10^ + + « 10' + + а chữ số ữj ở (1.2) của

số а là chữ số chắc nếu: Ao < ú) 10' (ü) là số cho trước) Tham so Ü) sẽ được

chọn sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi làm trịn vẫn là chữ số chắc

Cho số a là giá trị xấp xỉ của a với giá trị tuyệt đối Aa Có hai cách viết số xấp xỉ a :

Cách 1: Viết kèm sai số.

Cách 2 : Viết theo quy ước mọi chữ số có nghĩa đáng tin.

Một số viết theo cách thứ hai có nghĩa là nó có sai số tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị hàng cuối cùng

Tông quát, tỷ sô :

-được gọi là tỷ sai phân cấp к của hàm số у = f ( x ) tại Xi và nó -được

Tính chất 1.4.2: Tỷ sai phân là hàm đối xứng đối với các Jtj.

Tỉnh chất 1.4.3: Tỷ sai phân cấp (m+ỉ) của đa thức bậc m là đồng nhất 0

1.5 Một số khái niệm về dãy số

1.5.1 Dãy số và giới hạn của dãy số

Cho tập hợp số nguyên dương N* = {1,2,3 } Một ánh xạ

u : N* —» Rđược gọi là một dãy số thực Neu đặt un = w(«)thì ta có thể biểu

diễn dãy số thực dưới dạng u],u2,uĩ , ,u , Ta ký hiệu dãy đó bằng {«„} hay

ịu n} Phần tử un được gọi là số hạng tổng quát của dãy.

Định nghĩa:

Cho dãy số thực {un}n- số a eM đ ư ợ c gọi là giới hạn của dãy{w(ỉ}(; nếu với mọi £ > Ocho trước bao giờ cũng tồn tại một số tĩ() (phụ thuộc vào £) sao cho với mọi n > n0 ta đều có Iu —a\< £.

Khi đó ta nói rằng dãy un hội tụ tới a hay tiến đến giới hạn a và ta viết

u„ —> aí^n —> 0 0^ hay limw(ỉ = a

Một dãy không có giới hạn được gọi là phân kì

( phần nguyên c ủ a j —- 2 ) thì với mọi n > nfì ta có n +1

«->o° n +2

1.5.2 Một số tính chất của dãy hội tụ

Định lý 1: Giới hạn của dãy hội tụ là duy nhất.

Chứng minh Trước hết ta cần chú ý rằng nếu ữ , ữ 'e l v à \a - a'\ < 8 với mọi

a - a

, ta có

£ > 0 thì a = a Thật vậy, nếu a ^ a ' , thì chọns

-ịa - a'ị > s , trái với giả thiết.

Giả sử limw;j = a,\\m un =a \ Khi đó:

Từ trên ta suy ra a = a'.

Định lý 2: Mọi dãy con của dãy hội tụ là dãy hội tụ và có cùng giới hạn của dãy

Chứng minh: Giả sử lim un = a Theo định nghĩa ta có

i}-> 00

V í > 0,3«n: V7 Kỉ /2 > «„ thì w - a \ < - - u I tì I 2

Cho Iun Ị là một dãy con của dãy \un Khi đó với mọi k > n0 ta có

nk > k > n0 và do đó \u —a\ <£ Theo định nghĩa lim u =a

Định lý 3: Neu { u„ }„ là dãy hội tụ và limun =a thì {| u„ |„} cũng hội tụ

Từ đó do 11 u„ I - I a 11 < \un - a I ta suy ra 11 u„ I - I a 11 < £, \/n > n0.

Vì thế dãy {| un In} hội tụ và limlw I = |a |

//—>00 *

Định lý 4: Mọi dãy hội tụ thì bị chặn

Chứng minh: Giả sử {un}„ là dãy hội tụ vàlimw(j = a Theo trên

» —>00

limlw,| = M Cho s = ỉ, theo định nghĩa 3n0 :V n > n 0 ta có

n ^ o o

11 u„ I - I a 11 < 1, từ đó suy ra I u„ I < I a I + ỉ, V/7 > n0.

Đặt M = max{I U/ \, I u2 \, ịun ị, I a I + /} Ta có I u„ I < M, V/igN*

Vậy dãy { un }„ là dãy bị chặn.

Định lý 5 ( Nguyên lý Bolzano - Weierstrass):

Mọi dãy vô hạn bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ

Định lý 6 ( Nguyên lý Cauchy):

Định nghĩa' Dãy số thực {un}„ được gọi là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu

với mọi £ > 0 cho trước tồn tại n0 ( phụ thuộc vào £ ) sao cho với mọi

n, m > n0 ta có Iu„ - um\ < £.

Nguyên lý hội tụ Cauchy: Dãy số thực {u„}„ hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy

cơ bản, tức là khi và chỉ khi \f £ > 0 ,3nQ,\fn ,m > n0 thì Iu„ - umI < £.

Ch ng m in h :

a) Đi u ki n c n Gi s {z/zjj/jh i t t i gi i h n a Khi đó

£

\ /s > 0,3n0,\/n,m > fl0thì Iu„ - a\ <—

Vì thế với mọi m, n > n0 ta có I u„ - um\ < I a - nn I + \a — um \< £

V y {£//7}/7 là dãy c b n

b) Đi u ki n đ ■ Ng c 1 i gi s {un}n là dãy cơ bản Khi đó

theo trên {un}n là dãy bị chặn và do đó theo nguyên lý Bolzano -

Weierstrass dãy {Un}n có một dãy con hội tụ đến một giới hạn a nào

đó.Theo tính chất của dãy cơ bản, chính dãy cũng h i t đ n a

Ví dụ 1: Dùng nguyên lý Cauchy xét sự hội tụ của dãy số {ỉ//?}/7V i

Vậy dãy {u„}„ hội tụ.

Ví du 2: Cho dãy {un}n với un = 1 + — + — + Ta chứng minh rằng dãy

2 3 / 2này phân kỳ

Muốn vậy, theo nguyên lý Cauchy ta cần chứng minh rằng:

3 s > 0,v« > /20thì| u„ - um \> £.

Ta thấy I u2„ — u„

Vậy dãy {u„}„ phân kỳ.

mọi £ > 0 cho trước bao giờ cũng tồn tại 5 > 0 (phụ thuộc vào e) sao cho với mọi x g { x g A \ \ x - x 0 \ < ổ } ta đều có I f [ x ) - ß j x 0)\ < Ö thì ta nói hàm f liên tục tại điểm x0.

Neu/ lên tục tại mọi điếm X E Ả thì ta nói/ liên tục trên A

Neu / ’không liên tục tại Xo thì ta nói hàm / gián đoạn tại điểm x 0, hay Xo là

điếm gián đoạn của hàm f

Ví dụ Hàm số f(x) = sinx liên tục trên R.

Thật vậy, cho Xo G R Ta có

Ví dụ:

Dãy sô {u„}„ trong đó u„ = là dãy tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ

s in x - s in x n = 2cos—-— s i n —

-01 2 2 — < 2 sin ——— < \x - X,

2 1 '0(

Vì thế, cho trước £ > 0 nếu chọn ố = £ thì với mọi JC GIR thỏa mãn

|jc — x 0\ < 5 ta có|sinx - sinx0| < £ Theo định nghĩa f ( x ) = sinx liên tục tại x0.

Vì x0 là điểm bất kỳ của M, / ’liên tục trênM

Tương tự ta cũng chứng minh được rằng hàm sốf(x) = cosx liên tục trênM

1.6.2 Hàm số liên tục trên một đoạn

Định nghĩa: Cho hàm số / : \a,b\ —> R Neu/ liên tục trên (a, b), liên tục bên

phải tại điểm a và liên tục trái tại điểm b thì ta n ó i/liê n tục trên [a, b \

Định lý 1: Neu hàm số liên tục trên đoạn [a,b] thì nó bị chặn trên đó.

Định lý 2: Neu hàm số / ’liên tục trên đoạn [a, b] thì nó đạt được cận trên đúng

và cận dưới đúng trên đó, tức là tồn tại hai số Xo, Xo ’ e [a, b] sao cho

f{xo) = sup f { x ) , f [ x 0’) = inf f ( x )

xe[a,b]

Định lý 3 (Định lý Bolzano - Cauchy thứ nhất) Giả sử hàm

/: [a,b] —» Mliên tục trên đoạn [a, b] vầf(a).f(b) < 0 Khi đó tồn tại c e [a,b] sao cho f{c) = 0.

Định lý này có ý nghĩa hình học rất rõ ràng: nếu một đường cong liên tục đi từ một phía của trục X sang phía kia thì nó cắt trục này

Định lý 4 (Định lý Bolzano - Cauchy thứ hai) Giả sử hàm / [a,b] —» M

liên tục trên [a, b \ Khi đó / nhận mọi giá trị trung gian giữa f(a), fib), tức là

với mọi số thực Y nằm giữa f{à),fib), tồn tại c e [ a ,b]sao cho f[c) = Ỵ.

1.7 Các định lý cơ bản của hàm khả vi

Định lý 1 (Fermat) Cho tập hợp mở u a M và hàm/ : ư —» M Neu điểm

c G Ư là điểm cực trị của hàm/ và nếu tồn tại f ’(c) thì f ’(c) = 0.

Định lý 2 (Rolle) Giả sử hàm số f: [a,b] —» R có các tính chất:

a) /liê n tục trên [(a, b].

b) /'khả vi trong (a, b).

c) Ẫà) =Ẩl>\

Khi đó tồn tại ít nhất một điếm c 6[a, b] sao cho f ’(c) = 0.

Định lý 3 (Laggrange) Giả sử hàm số/ : [a,b] —» M có các tính chất:

1) / liên tục trên [a, b].

2) /k h ả vi trong (a, b).

Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c G [a , b] sao cho f{b) - f { à ) = f { c ) { b - à).

1.8 Sự tồn tại nghiệm và khoảng tách nghiệm

Khoảng [ia, b] nào đó được gọi là khoảng tách nghiệm của phương trình

(1.4.1) nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó

Định lý (1.8.2)

Hàmy(jt) liên tục, đơn điệu trên [a, b] vầf{a).f(b) < 0 thì \a, b] là khoảng

tách nghiệm của phương trình

Định lý (1.8.3):

Hàm^(x) xác định trên [a, b] có f ’(x) không đối dấu trên (a, b) và

Ẫ đ ) № < 0 thì (a, b) là khoảng tách nghiệm của phương trình (1.4.1).

Ví dụ: Cho f(x) = x 3- 2 x - 5 = 0 hãy chứng minh phương trình có nghiệm

thực và tìm khoảng tách nghiệm ?

Giải:

Dễ thấy f(x) xác định và liên tục Vx đồng thời

f ’(x) = 0 tại X = + —— từ đó ta có bảng biên thiên:

< 0 vậy nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại duy nhất một

Định lý ( Công thức Taylor với số dư Lagrangge) Giả sử hàm số

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP PARABOL

Như chúng ta đã biết, trong việc giải phương trình dạng / ( jc) = 0 trừ một vài trường hợp đặc biệt, ta có công thức giải đúng còn nói chung phải sử dụng một số phương pháp để gải gần đúng phương trình đó

Trong chương này, ta nghiên cứu về phương pháp Parabol, một trong số các

phương pháp giải gần đúng phương trình dạng: f ( x ) = 0, (trong đó f (jc) là

Phương pháp Parabol là phương pháp ba bước Đe xây dựng được dãy (jcn), trước tiên ta phải biết trước ba mốc X o , x ì , X 2

Đưa vào các ký hiệu:

2.2.2 Bậc hội tụ của phương pháp parabol

Người ta chứng minh được rằng bậc hội tụ a của phương pháp parabol

là nghiệm dương của phương trình :

a 3 - a 2 - a - ỉ = 0

Hay a «1.839.

=> phương trình đã cho có nghiệm dưcmg X 6(1, 2).

Theo phương pháp ta có bảng sau:

Begin

Write( ‘ Nhap hai so a, b readln(a, b);

Write(‘Nhap sai so:’); readln(s);

Write(‘ Chon ba xap xi ban dau:’); readln(xO, x l, x2);

Writeln(‘ Cac xap xi tiep theo la:’);

Cho phương trình: X3 - X - 1 = 0 bằng phương pháp parabol hãy tìm

nghiệm của phương trình với độ chính xác là £ = 5.10~4.

Giải.

Đ ặ t y í x ) = X3 - X - ỉ

C ó / / ) = -1< 0,j{2) = 5 > 0 =>j[l).f{2) < 0

=> phương trình đã cho có nghiệm X G Ụ, 2).

Theo phương pháp ta có bảng sau: