Điều khiển H ͚ các hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên ( bản đầy đủ )

và cũng đã thu được một số kết quả nhất định.Trong thập niên 90 thế kỉ 20cho tới nay, bằng cách sử dụng phương pháp thứ hai Lyapunov và các định límở rộng của chúng như Lyapunov-Krasovsk

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Trường Thanh

VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Trường Thanh

VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 62460103

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

1 GS TSKH Vũ Ngọc Phát

2 PGS TSKH Vũ Hoàng Linh

Hà Nội - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thànhdưới sự hướng dẫn của GS TSKH Vũ Ngọc Phát và PGS TSKH Vũ HoàngLinh Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tácgiả khi đưa vào luận án Các kết quả trong luận án là những kết quả mới vàchưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận án

Nguyễn Trường Thanh

LỜI CẢM ƠN

Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học củaGS.TSKH Vũ Ngọc Phát và PGS.TSKH Vũ Hoàng Linh, hai người thầy đãtận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình làm luận án

Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Thầy đã hướngdẫn tôi từ những bước đầu tiên, như cách đặt vấn đề nghiên cứu, làm thế nào

để viết một bài báo khoa học, cách mở rộng vấn đề nghiên cứu, v.v Nhờ sự chỉbảo của Thầy, tôi ngày càng tiến bộ hơn trong nghiên cứu khoa học Bên cạnh

đó, Thầy luôn tạo điều kiện cho tôi được giao lưu, học hỏi với nhiều nhà toánhọc trong nước và quốc tế, khiến cho tôi trưởng thành hơn trong môi trườngnghiên cứu Nhân cách và lối sống của Thầy cũng là điều mà tôi đang phấn đấu

và hoàn thiện bản thân Từ tận đáy lòng, tôi xin bầy tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tớiThầy, mong Thầy luôn mạnh khỏe để có thể cống hiến nhiều hơn cho sự nghiệpgiáo dục nước nhà

Tôi xin chân thành cảm ơn những ý kiến nhận xét và góp ý quý báu củaPGS.TSKH Vũ Hoàng Linh Chính nhờ những bình luận và góp ý của Thầy

mà luận án của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy PGS.TSKH

Vũ Hoàng Linh, PGS.TS Đặng Đình Châu đã nhiệt tình cung cấp và hướng dẫntôi các kiến thức cần thiết xung quanh luận án Đồng thời, tôi cũng chân thànhcảm ơn các thầy, các bạn đồng nghiệp và các anh chị nghiên cứu sinh trong Bộmôn Giải tích-Đại học Khoa học Tự nhiên đã luôn quan tâm, giúp đỡ, và traođổi những ý kiến qúy báu cho tôi trong quá trình học tập

Trong quá trình học tập và nghiên cứu, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ vàtạo điều kiện thuận lợi từ Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tinhọc, Phòng Sau đại học và các phòng ban chức năng của Trường Đại học Khoahọc Tự nhiên Hà Nội Tôi xin trân trọng sự giúp đỡ của các thầy cô

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô, các bạn đồng nghiệp,các nghiên cứu sinh và các thành viên trong Xêmina Tối ưu và Điều khiển tạiViện Toán Học đã quan tâm, trao đổi, góp ý cho tôi trong suốt quá trình họctập và làm luận án

Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Mỏ-Địa chất đã cho tôi cơhội được đi học tập và nghiên cứu Tôi xin cảm ơn ban chủ nhiệm Bộ mônToán-Khoa Đại học Đại cương: TS Nguyễn Văn Ngọc, Ths Tô Văn Đinh, ThsNguyễn Lan Hương đã tạo điều kiện thu xếp công việc thuận lợi cho tôi trongthời gian tôi đi làm nghiên cứu sinh tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên HàNội.

Đặc biệt, tôi thực sự cảm ơn sâu sắc tới những người thân của tôi: bố, mẹ,

vợ và các con của tôi Họ luôn sát cánh bên tôi, chia sẻ và động viên, là độnglực để tôi cố gắng và hoàn thành luận án

Mục lục

1.1 Bài toán ổn định và ổn định hóa 16

1.1.1 Bài toán ổn định Lyapunov 16

1.1.2 Bài toán ổn định hóa 18

1.2 Bài toán tồn tại nghiệm của hệ có trễ 19

1.2.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm 19

1.2.2 Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi sai phân 21

1.3 Bài toán ổn định và ổn định hóa hệ có trễ 26

1.3.1 Bài toán ổn định hệ có trễ 26

1.3.2 Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển có trễ 29

1.4 Bài toán H∞ trong lí thuyết điều khiển 29

1.4.1 Không gian H∞ 29

1.4.2 Bài toán điều khiển H∞ 30

1.5 Một số bổ đề bổ trợ 32

1.6 Bất đẳng thức ma trận tuyến tính 33

2 ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN 37 2.1 Điều khiển H∞ cho một lớp hệ phi tuyến 37

2.2 Điều khiển H∞ cho một lớp hệ quy mô lớn 52

2.3 Kết luận Chương 2 70

3 ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO HỆ QUY MÔ LỚN CHUYỂN

3.1 Tính ổn định của hệ quy mô lớn phi tuyến chuyển mạch 71

3.2 Điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn phi tuyến chuyển mạch 85

C1([a, b], Rn) là không gian các hàm khả vi liên tục trên [a, b] nhận giá trị trong

Rn với chuẩn kxkC 1 = sup

λ(A) là tập các giá trị riêng của ma trận A

λmax(A) := max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

λmin(A) := min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

MỞ ĐẦU

Lý thuyết không gian H∞ có nguồn gốc từ công trình của G H Hardy [21]năm 1915 Sau đó, năm 1981, G Zames [73] áp dụng thành công lí thuyết nàyvào điều khiển, lần đầu tiên đưa bài toán thiết kế điều khiển cho hệ thống mộtđầu vào và một đầu ra về bài toán tối ưu hóa Bài toán điều khiển H∞ tối ưu

có thể hiểu như sau

Tìm điều khiển để ổn định hóa hệ thống khi không có nhiễu và khi có nhiễu thìđiều khiển này đảm bảo tác dụng của nhiễu là nhỏ nhất

Tuy nhiên, việc tìm lời giải cho một bài toán tối ưu của một hệ thống điều khiểntrong thực tế đôi khi quá phức tạp, tốn kém, và thậm chí không cần thiết Chúng

ta chỉ cần thiết kế các điều khiển gần đúng với điều khiển tối ưu mà vẫn đảmbảo được tính ổn định và hiệu suất của hệ thống ở mức chấp nhận được Đây là

lí do cho sự ra đời của của các bài toán điều khiển H∞ dưới tối ưu (suboptimal)

Từ lúc ra đời, lí thuyết điều khiển H∞ đã nhận được nhiều sự quan tâm[29, 52] Tiện lợi của điều khiển H∞ là có thể sử dụng cho hệ đa đầu vào, đa đầu

ra có nhiễu không mong muốn, mà chỉ bằng cách sử dụng các điều khiển cơ bản.Trên cơ sở quy về bài toán tối ưu, việc tìm điều khiển H∞ có thể dựa trên nhiềucông cụ toán học và phương pháp số, và do đó việc thiết kế điều khiển trở nênđơn giản hơn Điều này làm cho bài toán điều khiển H∞ phát triển mạnh mẽ từthập kỉ 80 (thế kỉ 20) cho tới nay, và đã áp dụng thành công trong nhiều lĩnhvực, các quá trình công nghiệp và kĩ thuật Trong thập kỉ 80 (thế kỉ 20), nhiềuphương pháp được sử dụng nhằm giải các bài toán điều khiển H∞, như phươngpháp hàm giải tích Nevanlinna-Pick hoặc phương pháp lí thuyết toán tử [4, 61].Cũng trong giai đoạn này, năm 1984, Doyle [13] lần đầu tiên nghiên cứu bài toánđiều khiển H∞ cho hệ đa đầu vào và đa đầu ra, và kết quả này được phát triểntiếp bởi Glover [20] và Francis [16] Tuy nhiên, điểm hạn chế của các nghiên cứunày là chúng liên quan tới việc giải các phương trình Riccati có kích thước rấtlớn và công thức cho các điều khiển là quá phức tạp Năm 1989, Doyle [14] đã

mở rộng các nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ từ việc nghiên cứu trễ hằng sốsang nghiên cứu trễ biến thiên, từ không gian hữu hạn chiều sang vô hạn chiều,

và cũng đã thu được một số kết quả nhất định.Trong thập niên 90 (thế kỉ 20)cho tới nay, bằng cách sử dụng phương pháp thứ hai Lyapunov và các định lí

mở rộng của chúng như Lyapunov-Krasovskii, Lyapunov-Razumikhin, phươngpháp LMI, và các công cụ tính toán tiên tiến khiến việc nghiên cứu bài toánđiều khiển H∞ trở nên dễ dàng hơn và có nhiều kết quả đáng quan tâm [48, 54].Bài toán điều khiển H∞ cần đảm bảo hai yếu tố: ổn định hóa hệ thốngkhi không có nhiễu đầu vào và đảm bảo hiệu suất của hệ thống khi có nhiễu.Chúng ta luôn biết rằng, việc ổn định hóa cho một hệ thống, nói chung, khôngphải là điều đơn giản Có nhiều nguyên nhân gây bất ổn hệ thống, một trong số

đó là trễ thời gian Tiếp đó, không phải hệ nào cũng có thể thiết kế điều khiển

H∞ do việc giải bài toán tối ưu hoặc dưới tối ưu không phải lúc nào cũng làmđược, đặc biệt với những hệ phi tuyến hoặc hệ có cấu trúc phức tạp Điều nàykhiến cho việc giải bài toán điều khiển H∞ trở nên khó khăn và gần thực tế hơn

so với bài toán ổn định và ổn định hóa Đồng thời, nó cũng thúc đẩy các nghiêncứu của chúng tôi đối với các hệ phi tuyến hoặc hệ có cấu trúc phức tạp có trễthời gian.Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho một

số hệ phương trình vi phân cấu trúc khá phức tạp có trễ biến thiên liên tục,dạng khoảng, không đòi hỏi khả vi Dựa trên một lớp hàm Lyapunov-Krasovskii

và một số bất đẳng thức mới, một số điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H∞

đã được chỉ ra thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính Trước khi đềcập tới các kết quả chính của luận án, chúng tôi chỉ ra một số ưu điểm của các

kĩ thuật được đề cập ở trên

• Các hàm Lyapunov-Krasovskii được thiết lập dựa trên cận trên và dướicủa hàm trễ, điều này cho phép nghiên cứu các hệ có hàm trễ biến thiênliên tục dạng khoảng (tập giá trị của hàm trễ nằm trong một đoạn thẳngcho trước), không đòi hỏi sự tồn tại và bị chặn của đạo hàm hàm trễ Điềunày cho phép hàm trễ biến thiên nhanh tùy ý và không hạn chế cận dướicủa trễ là 0

• Các bổ đề mới cho phép đánh giá đạo hàm của các hàm Krasovskii và đưa ra các điều kiện LMI tốt hơn Cụ thể, Bổ đề 1.5.4 đánhgiá đạo hàm của tích phân bội hai tốt hơn bất đẳng thức thường được sửdụng, Bổ đề 1.5.2(i), do sự xuất hiện của một số ma trận tự do Đặc biệtkhi các ma trận này là 0, các đánh giá này trùng với đánh giá của Bổ đề

Lyapunov-1.5.2(i) Ngoài ra, thông qua bất đẳng thức tích phân mở rộng 1.5.2(ii)cho phép đưa thêm tích phân bội ba vào hàm Lyapunov-Krasovskii, đảmbảo đạo hàm dọc theo nghiệm của hàm Lyapunov-Krasovskii xác định âm

”nhiều hơn” Tích phân bội ba này thể hiện tính hiệu quả trong [65] Sựxuất hiện của các ma trận tự do và tích phân bội ba khiến cho việc giảicác bất đẳng thức ma trận tuyến tính dễ thực thi thông qua hộp công cụLMI của Matlab [19].

Bên cạnh các ưu điểm về mặt kĩ thuật, các kết quả trong luận án cũng có

sự khác biệt với các kết quả đã có như luận án tiến sĩ [1, 3] cho các hệ có trễthời gian biến thiên liên tục dạng khoảng được nghiên cứu thông qua LMI Sựkhác biệt thể hiện không chỉ bởi hệ được nghiên cứu có cấu trúc phức tạp hơn,các bài toán đặt ra khác nhau, các hàm Lyapunov-Krasovskii được sử dụng, màcòn thể hiện thông qua các kĩ thuật mới được áp dụng trong chứng minh như

sử dụng Bổ đề bị chặn 1.5.4 và tích phân bội ba

Trên cơ sở các kĩ thuật mới, chúng tôi thu được một số kết quả nhất định chomột số hệ phi tuyến, hệ quy mô lớn, hệ chuyển mạch Một số bài toán lần đầutiên được đặt ra với các hệ trong luận án, như: bài toán điều khiển H∞ cho lớp

hệ quy mô lớn và quy mô lớn chuyển mạch, thậm chí có trễ xuất hiện ở cả hàmtrạng thái và hàm quan sát; bài toán điều khiển H∞ cho một lớp hệ phi tuyến

có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không đòi hỏi khả vi xuất hiện ở cả hàmtrạng thái và hàm quan sát, đồng thời hàm quan sát là phi tuyến Hơn thế, cáckết quả này có thể áp dụng cho một số lớp hệ có trước đó như: hệ không chắcchắn, hệ có trễ hằng số, v.v trong việc nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa.Lớp hệ đầu tiên được nghiên cứu trong luận án về bài toán điều khiển H∞

nghĩa quan trọng của bài toán điều khiển H∞ cho hệ trễ là sự ra đời của phươngpháp không gian trạng thái [59] Kết quả này đưa ra một giải pháp rõ ràng hơncho bài toán điều khiển H∞ với mục đích tìm một điều khiển phản hồi nhằm

ổn định hóa một hệ thống cho trước thỏa mãn một vài điều kiện chuẩn tối ưutrên hàm nhiễu và biến cố không chắc chắn Đối với bài toán điều khiển H∞,phương pháp thích hợp cho các hệ tuyến tính có trễ thường sử dụng các hàmLyapunov, theo đó các điều kiện thu được thông qua việc giải các bất đẳng thức

ma trận tuyến tính hoặc các phương trình vi phân Riccati đại số [17, 26, 53].Trong thời gian gần đây, một quy trình đơn giản và có hệ thống để xây dựng cáchàm Lyapunov cho các hệ có trễ biến thiên đã được nghiên cứu trong [35, 42]đối với bài toán lọc H∞.Trong [48, 54, 55, 71], một cải tiến của các điều kiện ổnđịnh mũ thông qua LMI cho hệ tuyến tính có trễ được chỉ ra, cho phép nghiêncứu tính ổn định mũ cho các hệ không chắc chắn có trễ biến thiên dạng khoảng

Ở đây, phương pháp hàm Lyapunov được phát triển cho bài toán điều khiển

H∞ của các hệ tuyến tính có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng với giả thiếtcác hàm trễ khả vi và có đạo hàm bị chặn Năm 1990, Lihua Xie và Carlos E

de Souza [72] nghiên cứu hệ

˙x(t) = Ax(t) + B1w(t) + (B2+ ∆B2(t))u(t),z(t) = C1x(t) + D1u(t),

với kết quả thu được là tính ổn định tiệm cận của hệ khi không có nhiễu và điềukiện H∞ được thể hiện thông qua phương trình Riccati đại số Năm 2005, XiefuJiang và Qing-Long Han [28] lần đầu tiên nghiên cứu bài toán điều khiển H∞cho hệ tuyến tính có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng không khả vi và không

có trễ trong hàm quan sát

˙x(t) = [A + ∆A(t)]x(t) + [B + ∆B(t)]u(t)

+ [A1+ ∆A1(t)]x(t− h(t)) + Bωω(t),z(t) = Cx(t) + D1u(t)

và kết quả thu được là tính ổn định tiệm cận Năm 2009, L V Hiện và V N.Phát [23] nghiên cứu hệ với trễ khả vi và đạo hàm trễ bị chặn

˙x(t) = [A0+ ∆A0(t)]x(t) + [A1+ ∆A1(t)]x(t− h(t)) + [B + ∆B(t)]u(t),

và kết quả thu được là tính ổn định và ổn định hóa dạng mũ Kết quả về tính

ổn định mũ với trễ không khả vi và biến thiên liên tục dạng khoảng được V.N

Phat, Y Khongtham, và K Ratchagit [58] chỉ ra năm 2009 cho lớp hệ

˙x(t) = [A + ∆A(t)]x(t) + [D + ∆D(t)]x(t− h(t))

Năm 2012, Changki Jeong, PooGyeon Park, và Sung Hyun Kim [12] nghiên cứu

hệ có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng không khả vi và có trễ ở hàm quan sát

˙x(t) = Ax(t) + Ahx(t− h(t)) + Bw(t) + Gp(t),q(t) = Ex(t) + Ehx(t− h(t)),

z(t) = Cx(t) + Chx(t− h(t)) + Dw(t),trong đó p(t) = ∆(t)q(t), ∆T(t)∆(t) ≤ ρ−2I Họ thu được kết quả là tính ổnđịnh tiệm cận và điều kiện H∞ Năm 2013, O.M Kwon, M.J Park, Ju H Park,S.M Lee, và E.J Cha [36] nghiên cứu bài toán H∞ cho hệ với trễ khả vi và cóđạo hàm trễ bị chặn

áp dụng điều khiển phản hồi cho hệ có trễ sẽ dẫn tới việc nghiên cứu hệ đóng(hệ không có nhiễu) có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng Các khó khăn sau

đó phát sinh khi chúng ta cố gắng tìm ra các điều kiện ổn định mũ và đưa racác thông số điều khiển cho hệ thống Các hàm Lyapunov trong các kết quả liênquan [17, 54, 71] không thể áp dụng để giải quyết các vấn đề đặt ra của hệ (1)khi chúng hoặc là sẽ không thể xử lí được khía cạnh không khả vi của hàm trễ,hoặc dẫn tới các bất đẳng thức ma trận phức tạp Khi nghiên cứu hệ (1), chúngtôi phát triển các kết quả [28, 71, 75] cho bài toán điều khiển H∞ cho hệ phituyến có trễ thời gian biến thiên liên tục dạng khoảng So sánh với các kết quảtrên, kết quả của chúng tôi có một số ưu điểm sau Đầu tiên, thời gian trễ đượcgiả thiết là hàm biến thiên liên tục dạng khoảng và không khả vi xuất hiện ở

cả hàm trạng thái và hàm quan sát Tiếp đó, tính ổn định hóa dạng mũ và điềukhiển H∞ được giải quyết đồng thời Với các kết quả trước, điều khiển này làcần thiết để đảm bảo tính ổn định mũ toàn cục cho hệ đóng Cuối cùng, mộthiệu suất quy định theo một ý nghĩa H∞ phải đạt được với tất cả các nhiễuchấp nhận được Bằng cách sử dụng hàm Lyapunov-Krasovskii và các bất đẳngthức mới, một điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H∞ được thiết lập thôngqua LMI, các LMI này có thể giải được một cách đơn giản thông qua các thuậttoán trong [19] Cách tiếp cận này cho phép chúng tôi nghiên cứu bài toán điềukhiển H∞ cho hệ phi tuyến (1), sau đó áp dụng nghiên cứu bài toán này chomột lớp hệ không chắc chắn có trễ Ngoài ra, các kết quả này khi áp dụng đểnghiên cứu tính ổn định hóa cho hệ tuyến tính có trễ [76] đã dẫn tới một sốđánh giá tốt hơn về độ biến thiên của hàm trễ.

Lớp hệ thứ hai được nghiên cứu trong luận án là một lớp hệ quy mô lớn phituyến có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không đòi hỏi tính khả vi của hàmtrễ, được tạo thành từ N hệ con có liên kết trong giữa các hệ con, và mỗi hệcon được mô tả bởi phương trình vi phân

j=1,j6=i, ui(t), ωi(t)),

zi(t) = Cixi(t) + Fiui(t) + PN

j=1,j6=i

Gijxj(t− hij(t))+gi(t, xi(t),{xj(t− hij(t))}Nj=1,j6=i, ui(t)), t≥ 0

xi(θ) = ϕi(θ), θ ∈ [−h2, 0]

(2)

Nhiều hệ thống trong thực tế nằm trong số các hệ quy mô lớn và bao gồm nhiều

hệ con liên kết trong như: hệ thống điện, hệ thống thông tin liên lạc, hệ thống

xã hội, hệ thống giao thông, hệ thống kinh tế, hệ thống sinh học, v.v Việc kiểmsoát các hệ quy mô lớn này trở nên rất phức tạp khi đối mặt với số chiều rấtlớn của hệ thống, các biến cố không chắc chắn và trễ thời gian [6, 11, 37, 44].Với các hệ quy mô lớn tuyến tính, tính ổn định và bài toán điều khiển đã đượcnghiên cứu rộng rãi Năm 1980, Ikeda và Siljak [27] lần đầu tiên giới thiệu trễthời gian vào việc điều khiển của các hệ quy mô lớn phân quyền và nghiên cứutính ổn định mũ Tiếp đó, Lee và Radovic [38] năm 1988, Almi và Derbel [5]năm 1995 xét bài toán điều khiển cho một lớp hệ quy mô lớn có nhiều trễ hằng

số Năm 2000, Oucheriah [49] nghiên cứu tính ổn định của một lớp hệ quy môlớn với thời gian trễ biến thiên Bài toán điều khiển H cho hệ quy mô lớn với

trễ biến thiên liên tục dạng khoảng được nghiên cứu trong [9, 18] Năm 2005,

Ju H Park [50] xét lớp hệ quy mô lớn với các trễ hằng số

và thu được điều kiện ổn định tiệm cận thông qua LMI Năm 2006, O.M Kwon

và Ju H Park [34], mở rộng kết quả trên cho lớp hệ không chắc chắn

với giả thiết trễ có đạo hàm bị chặn trên (không cần nhỏ hơn 1) và kết quả là

ổn định tiệm cận Các kết quả nêu trên khi nghiên cứu tính ổn định và bài toánđiều khiển H∞ cho thấy một số hạn chế: (i) hàm trễ thời gian hoặc là các hằng

số hoặc cận dưới của trễ là 0 và (ii) các hàm trễ là khả vi và có đạo hàm bị chặn.Khi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho hệ (2), chúng tôi đã khắc phục đượccác hạn chế trên khi chỉ cần các hàm trễ là biến thiên liên tục dạng khoảng vàkhông đòi hỏi tính khả vi Hơn thế, theo hiểu biết của chúng tôi, bài toán trởnên khó khăn hơn khi thời gian trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không đòihỏi khả vi, xuất hiện đồng thời ở cả hàm trạng thái và hàm quan sát của các hệquy mô lớn Kết quả chính thu được khi nghiên cứu hệ (2) là một điều kiện đủcho sự tồn tại điều khiển H∞ và tính ổn định hóa dạng mũ cho hệ đóng tươngứng Đây là kết quả đầu tiên về bài toán điều khiển H∞ cho hệ (2) Ngoài ra,kết quả này có thể áp dụng thiết kế điều khiển H∞ cho một lớp hệ quy mô lớn

không chắc chắn tuyến tính, nghiên cứu tính ổn định hóa cho hệ tuyến tính vớitrễ hằng [50], và hệ tuyến tính không chắc chắn với trễ hằng [34].

Phần tiếp theo của luận án, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của một lớp

hệ chuyển mạch quy mô lớn được tạo thành bởi N hệ con, mỗi hệ con được mô

tả bởi phương trình vi phân như sau:

xi(θ) = ϕi(θ), θ∈ [−h2, 0]

(3)

Hệ chuyển mạch thuộc về một lớp quan trọng của các hệ Hybrid (hay còn gọi

là các hệ lai) được mô tả bởi một họ các phương trình vi phân cùng với các quytắc quy định chuyển đổi giữa chúng Một hệ chuyển mạch có thể đại diện bởimột phương trình vi phân có dạng

˙x(t) = fσ(t, x(t)),trong đó {fσ : σ ∈ J} là họ các hàm được tham số hóa bởi tập chỉ số J gồmhữu hạn phần tử và σ(·) phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống theo thời gian

là hàm chuyển xác định một quy tắc chuyển mạch Hệ chuyển mạch xuất hiệnkhi nhiều quá trình trong thực tế không thể mô tả bởi một hệ động lực liên tụchay rời rạc như: quá trình sản xuất, mạng lưới thông tin liên lạc, các quá trìnhhóa chất, v.v [39, 62, 63] Lịch sử nghiên cứu hệ thống Hybrid có thể được truytrở lại ít nhất từ những năm 1950 với việc nghiên cứu các hệ thống kỹ thuật cóchứa rơle và (hoặc) trễ Tuy nhiên, hệ thống Hybrid bắt đầu thu hút sự quantâm của nhiều người vào khoảng đầu những năm 1990, chủ yếu là do sự ra đờicủa các vi điều khiển kỹ thuật số và các thiết bị nhúng Hai thập kỷ qua đãchứng kiến hoạt động nghiên cứu đáng kể trong mô hình, phân tích và tổng hợpcủa các hệ thống Hybrid liên quan đến các nhà nghiên cứu trong một số lĩnh vựctruyền thống khác nhau, chẳng hạn như khoa học máy tính và kỹ thuật điềukhiển hệ thống Vì vậy, không phải là đáng ngạc nhiên rằng có nhiều cách tiếpcận để mô hình hóa, phân tích và tổng hợp các hệ thống Hybrid Một mặt, cácnhà khoa học máy tính tập trung vào hệ thống Hybrid chủ yếu như các chươngtrình (máy tính) rời rạc tương tác với các môi trường tương tự Họ mở rộng môhình tính toán của họ, chẳng hạn như máy trạng thái hữu hạn, máy tự động vàmạng Petri, từ các hệ thống rời rạc chuyển thành các hệ thống Hybrid bằng cáchnhúng các hệ động lực liên tục biến thành các mô hình rời rạc Thông thường,

các phương pháp tiếp cận này có thể nghiên cứu các hệ động lực rời rạc phứctạp và nhấn mạnh các kết quả phân tích và các phương pháp mô phỏng Mặtkhác, các nhà nghiên cứu các hệ động lực và lý thuyết điều khiển đã mở rộngcác mô hình và phương pháp cho các hệ thống liên tục truyền thống, chẳng hạnnhư phương trình vi sai phân thường, bằng cách bao gồm các biến rời rạc để

mô tả sự nhảy hoặc chuyển đổi các hiện tượng Thông thường, những phươngpháp này có thể nghiên cứu các hệ động lực liên tục phức tạp và chủ yếu là về

sự ổn định, tính bền vững, và tổng hợp các vấn đề Trong nhiều thập kỉ, bàitoán ổn định cho hệ chuyển mạch có trễ đã thu hút được nhiều sự quan tâm củacác nhà khoa học [7, 15, 24, 43, 47, 56, 57, 70] Các kết quả đạt được trên chủyếu nghiên cứu bài toán ổn định tiệm cận cho hệ chuyển mạch tuyến tính có trễthông qua quy tắc chuyển mạch bất kì Tính ổn định mũ được xem xét cho hệtuyến tính chuyển mạch với ảnh hưởng của các xung bằng cách sử dụng kháiniệm hàm ma trận đo được [79] và cho hệ xích với hàm đầu vào và hàm trạngthái phi tuyến có nhiễu và sai số [74] Một vài kết quả đã có trong [41, 60,68, 69]cho hệ chuyển mạch có trễ biến thiên, tuy nhiên thời gian trễ được giả thiết làkhả vi và quy tắc chuyển mạch được xây dựng trên tập nghiệm của tập các bấtđẳng thức ma trận tuyến tính Theo hiểu biết của chúng tôi, hiện chưa có kếtquả về tính ổn định mũ của các hệ quy mô lớn phi tuyến chuyển mạch với trễthời gian biến thiên nảy sinh do sự tương tác lẫn nhau giữa các hệ con Thờigian trễ được giả thiết là các hàm liên tục, biến thiên dạng khoảng, và khôngđòi hỏi tính khả vi Trên thực tế, các hàm Lyapunov trong các kết quả liên quantrong [24, 25, 41, 46, 49, 56, 60] không thể áp dụng để giải quyết bài toán ổnđịnh cho hệ (3) khi chúng hoặc là không xử lí được khía cạnh không khả vi củahàm trễ, hoặc dẫn đến các bất đẳng thức ma trận rất phức tạp không giải quyếtđược Kết quả chính thu được của chúng tôi là một điều kiện đủ cho tính ổnđịnh dạng mũ cho hệ (3) So sánh với các kết quả đã có, kết quả của chúng tôikhi nghiên cứu hệ (3) có các ưu điểm sau:

(i) Hàm trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không đòi hỏi tính khả vi của hàmtrễ, và cận dưới của trễ có thể khác không;

(ii) Các điều kiện được thể hiện thông qua LMI có thể giải số một cách hiệuquả thông qua các thuật toán tính toán tiêu chuẩn [19];

(iii) Một thiết kế hình học đơn giản được sử dụng để tìm các luật chuyển đổi

và cho phép đảm bảo tính ổn định mũ cho hệ thống

Phần cuối của luận án, chúng tôi mở rộng các kết quả về ổn định cho hệ chuyểnmạch (3) để nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho một lớp hệ quy mô lớn

chuyển mạch được tạo thành từ N hệ con, mỗi hệ con được mô tả bởi phươngtrình vi phân như sau:

Kết quả đạt được là một điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H∞ cho hệ (4)

và là kết quả đầu tiên cho bài toán điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn chuyểnmạch có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng Bên cạnh đó, kết quả này có thể

áp dụng để nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho hệ (2) khi tập giá trị σichỉ có một giá trị.Tuy nhiên, chúng tôi phải nhấn mạnh rằng, kết quả của hệ(2) trong luận án không phải là hệ quả của hệ (4) do có sự khác biệt về mặt

kĩ thuật trong việc nghiên cứu hệ chuyển mạch và hệ không chuyển mạch.Việcnghiên cứu hệ (4) khó khăn hơn việc nghiên cứu các hệ (1), (2), (3) rất nhiều,đây không những là sự kết hợp của các hệ quy mô lớn mà còn đòi hỏi phảithiết kế được các điều khiển ngược một cách linh hoạt nhằm ổn định hóa vàđảm bảo hiệu suất tùy thuộc vào chế độ của hệ thống ở các thời điểm khác nhau

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các kí hiệu, danh mục các côngtrình khoa học của tác giả, tài liệu tham khảo, luận án gồm 3 chương như sau:Chương 1 CƠ SỞ TOÁN HỌC

Chương 2 ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

Chương 3 ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO HỆ QUY MÔ LỚN CHUYỂN MẠCH

CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

Các kết quả của luận án được hoàn thành dựa trên ba bài báo (1 bài SCI và 2bài SCI-E) đăng trên các tạp chí chuyên ngành và được báo cáo tại :

-Xêmina Phương trình Vi phân- Tích phân, Bộ môn Giải tích, Khoa Cơ-Tin, Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội.

Toán Xêmina Phòng Tối ưu và Điều khiển, Viện Toán Học

-Hội thảo khoa học Trường Đại học Hồng Đức-Viện Toán học-Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội, tại Thanh Hóa, 24-27/5/2012

-Hội nghị toàn quốc lần thứ nhất về Điều khiển và Tự động hóa VCCA-2011,tại Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, 25-26/11/2011

Hà Nội, năm 2015Nghiên cứu sinh

Nguyễn Trường Thanh

Chương 1

CƠ SỞ TOÁN HỌC

Trong chương này, chúng tôi trích dẫn một số khái niệm và kết quả về tính ổnđịnh và ổn định hoá của hệ phương trình vi phân, điều khiển H∞, và một sốkiến thức bổ trợ trong luận án

1.1 Bài toán ổn định và ổn định hóa

1.1.1 Bài toán ổn định Lyapunov

Xét một hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân

˙x(t) = f (t, x(t)), t≥ 0, (1.1)trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái của hệ, f : R+ × Rn → Rn là hàmvéc tơ cho trước sao cho bài toán Cauchy của hệ (1.1) với điều kiện ban đầux(t0) = x0, t0 ≥ 0, luôn có nghiệm duy nhất xác định trên [t0,∞)

Định nghĩa 1.1.1 ([2]) • Nghiệm x(t) của hệ (1.1) được gọi là ổn địnhnếu với mọi số ε > 0, t0 ≥ 0 sẽ tồn tại số δ = δ(ε, t0) > 0 sao chobất kì nghiệm y(t), y(t0) = y0 của hệ (1.1) thỏa mãn ||y0 − x0|| < δ thì

||y(t) − x(t)|| < ε, ∀t ≥ t0 Nếu δ không phụ thuộc vào t0 thì nghiệm x(t)được gọi là ổn định đều

• Nghiệm x(t) của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và

có một số δ > 0 sao cho bất kì nghiệm y(t), y(t0) = y0 của hệ (1.1) thỏamãn ||y0− x0|| < δ thì limt→∞||y(t) − x(t)|| = 0

• Nghiệm x(t) của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu nó ổnđịnh đều và tồn tại b0 > 0 sao cho với mỗi η > 0, tồn tại h0(η) sao chobất kì nghiệm y(t), y(t0) = y0 của hệ (1.1) thỏa mãn ||y0− x0|| < b0 thì

||y(t) − x(t)|| ≤ η, ∀t ≥ t0+ h0(η) với mọi t0 ∈ R+

Nếu x(t) là nghiệm bất kì của hệ (1.1) thì x(t) là ổn định nếu nghiệm z(t) ≡ 0của phương trình

là ổn định, trong đó F (t, z(t)) = f(t, z(t) + x(t)) − f(t, x(t)) Hàm F(t, z(t))thỏa mãn F (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0 Do đó, tính ổn định của một nghiệm x(t) của hệ(1.1) sẽ đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm x = 0 của hệ (1.2) Để đơngiản kí hiệu, ta luôn xét hệ (1.1) với giả thiết f(t, 0) ≡ 0

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử f(t, 0) = 0, ∀t ≥ 0 Khi đó, nghiệm x = 0 của hệ(1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0, δ > 0 sao cho mọinghiệm x(t) của hệ (1.1) với x(t0) = x0 thỏa mãn

||x(t)|| ≤ Me−δ(t−t0 )||x0||, ∀t ≥ t0 ≥ 0

Định nghĩa 1.1.3 ([2]) Giả sử f (t, 0) = 0,∀t ≥ 0 Hàm V : R+× D → R khả

vi liên tục và thỏa mãn V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, với D ⊂ Rn là lân cận mở tùy ý của

0, được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu các điều kiện sau thỏa mãn:i) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa

∃a(·) ∈ K : V (t, x) ≥ a(||x||), ∀(t, x) ∈ R+× Dvới K là tập các hàm liên tục không giảm a(·) : R+ → R+, a(0) = 0,a(s) > 0, ∀s > 0

ii) ˙V (t, x) := ∂V

∂t(t, x) + ∂V∂x(t, x)f (t, x)≤ 0, ∀(t, x) ∈ R+× D

Nếu hàm V (t, x) là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm các điều kiện

iii) ∃b ∈ K sao cho V (t, x) ≤ b(||x||), ∀(t, x) ∈ R+× D;

iv) ∃c ∈ K sao cho ˙V (t, x) ≤ −c(||x||), ∀t ∈ R+, ∀x ∈ D \ {0},

1.1.2 Bài toán ổn định hóa

Xét hệ điều khiển được mô tả bởi phương trình vi phân

˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t≥ 0, (1.3)trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển, hàm

f là hàm cho trước thỏa mãn điều kiện f(t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0 Giả sử u ∈

L2loc([0,∞), Rm) và với mọi x0 ∈ Rn,hệ (1.3) có nghiệm duy nhất x(t) thỏa mãnđiều kiện ban đầu x(0) = x0 xác định trên [0, ∞)

1.2 Bài toán tồn tại nghiệm của hệ có trễ

Trong mục này, trên cơ sở các định lí đã biết về bài toán tồn tại nghiệm cho hệphương trình vi phân hàm, chúng tôi đưa ra một số kết quả cho một lớp hệ visai phân tổng quát như: Hệ quả 1.2.4 (sự tồn tại nghiệm địa phương), Hệ quả1.2.5 (sự tồn tại nghiệm kéo dài vô hạn), Hệ quả 1.2.6 (sự tồn tại nghiệm kéodài vô hạn với điều kiện tăng trưởng bậc tuyến tính), Hệ quả 1.2.7 (sự tồn tại vàduy nhất nghiệm kéo dài vô hạn), Hệ quả 1.2.8 (sự tồn tại và duy nhất nghiệmkéo dài vô hạn với điều kiện tăng trưởng bậc tuyến tính) Các kết quả này đượcđưa ra dựa trên ý tưởng và cách chứng minh của ba định lí (Định lí 1.2.1, Định

lí 1.2.2, Định lí 1.2.3) và cũng là sự đảm bảo chắc chắn cho sự tồn tại nghiệmkéo dài vô hạn của các hệ được xét trong luận án Tất nhiên, với các điều kiệncủa các hệ trong luận án, sự tồn tại và duy nhất nghiệm kéo dài vô hạn của các

hệ trong luận án có thể suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2.3

1.2.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm

Giả sử Rn là không gian Euclide n chiều và r là một số thực dương cho trước,

C := C ([−r, 0], Rn) và P C ([−r, 0], Rn) lần lượt là không gian của các hàm liêntục và liên tục từng khúc trên đoạn [−r, 0] với giá trị trong Rn và chuẩn củaphần tử ϕ ∈ C hoặc ϕ ∈ PC ([−r, 0], Rn) là ||ϕ||C = sup

−r≤θ≤0||ϕ(θ)|| Nếu t0 ∈ R,

A≥ 0 và x(·) ∈ C ([t0 − r, t0 + A], Rn) thì ta định nghĩa hàm xt(·) ∈ C như sau

xt(θ) = x(t + θ), ∀θ ∈ [−r, 0] Nếu D ⊂ R × C, f : D → Rn là hàm cho trước,

và đạo hàm được hiểu là đạo hàm bên phải thì ta nói biểu thức

là phương trình vi phân hàm có trễ và kí hiệu RF DE(f) Một hàm x(·) đượcgọi là nghiệm của phương trình (1.4) nếu tồn tại t0 ∈ R và A > 0 sao chox(·) ∈ C ([t0− r, t0+ A), Rn) , (t, xt) ∈ D và x(t) thỏa mãn (1.4) với mọi t ∈[t0 − r, t0+ A) Với t0 ∈ R, ϕ ∈ C, ta nói x(t0, ϕ) là nghiệm của phương trình(1.4) với giá trị ban đầu xt0(t0, ϕ) = ϕ Chúng ta luôn giả thiết hàm f thỏa mãnđiều kiện với mỗi điểm (t0, ϕ) ∈ R+× C, hệ (1.4) có nghiệm duy nhất đi quađiểm (t0, ϕ) và xác định trên [t0,∞)

Định lí 1.2.1 (Định lí tồn tại nghiệm địa phương, Định lí 2.1 [22]) Giả sử Ω

là một tập mở của R × C và f0 ∈ C(Ω, Rn) Nếu (t0, ϕ)∈ Ω thì tồn tại nghiệmcủa RF DE(f0) qua điểm (t0, ϕ) Tổng quát hơn, nếu W ⊂ Ω là tập compact

và f0 ∈ C(Ω, Rn) cho trước thì tồn tại một lân cận V ⊂ Ω của W sao cho

f0 ∈ C0(V, Rn), tồn tại một lân cận U ⊂ C0(V, Rn) và α > 0 sao cho với mọi(t0, ϕ) ∈ W, f ∈ U, tồn tại nghiệm x(t0, ϕ, f ) của phương trình RF DE(f ) quađiểm (t0, ϕ) xác định trên [t0− r, t0+ α]

Định lí 1.2.2 (Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương, Định lí 2.3 [22]).Giả sử Ω là một tập mở của R × C, f : Ω → Rn liên tục và f (t, ϕ) là Lipschitztheo ϕ trong mỗi tập con compact của Ω Nếu (t0, ϕ) ∈ Ω thì tồn tại duy nhấtnghiệm qua điểm (t0, ϕ) của phương trình RF DE(f )

Định lí 1.2.3 (Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục, Định lí 1.2 [31]).Cho hàm số

f : [0, +∞) × P C([−r, 0], Rn) → Rnthỏa mãn các điều kiện sau:

i) Với bất kì H > 0, tồn tại M(H) > 0 sao cho

||f(t, ϕ)|| ≤ M(H), ∀(t, ϕ) ∈ [0, +∞) × P C([−r, 0], Rn), ||ϕ||C ≤ H;ii) Hàm f(t, ϕ) là liên tục trên tập [0, +∞) × PC([−r, 0], Rn) với cả hai biến;iii) Hàm f(t, ϕ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz với biến thứ hai, tức là tồn tạihằng số Lipschitz L(H) > 0 sao cho

||f(t, ϕ1)− f(t, ϕ2)|| ≤ L(H)||ϕ1− ϕ2||C

với mọi t ≥ 0, ϕi ∈ P C([−r, 0], Rn), ||ϕi||C ≤ H, i = 1, 2

iv)

||f(t, ϕ)|| ≤ η(||ϕ||C), t≥ 0, ϕ ∈ P C([−r, 0], Rn),trong đó hàm η : [0, ∞) → R liên tục, không giảm và sao cho với r0 ≥ 0bất kì điều kiện sau thỏa mãn

Khi đó, với t0 ≥ 0 và hàm ϕ ∈ P C([−r, 0], Rn) cho trước, hệ (1.4) có duy nhấtnghiệm x(t) xác định trên [t0 − r, ∞) với điều kiện ban đầu xt 0 = ϕ

1.2.2 Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi sai phân

Trên cở sở là các định lí tồn tại nghiệm ở trên, chúng tôi đưa ra một số áp dụngcho lớp phương trình vi sai phân sau

xt0 = ϕ

Chứng minh Ta thấy, hàm F liên tục trên [0, ∞) × C Thật vậy, giả sử

(t1, ϕ1) → (t, ϕ),tức là

Từ bất đẳng thức này và tính liên tục của các hàm hi(·), ta có

lim

(t 1 ,ϕ 1 )→(t,ϕ)||ϕ1(−hi(t1))− ϕ(−hi(t))|| = 0, i = 1, 2, , m, t ≥ 0

Hơn thế, khi (t1, ϕ1) → (t, ϕ),

(t1, ϕ1(0), ϕ1(−h1(t)), , ϕ1(−hm(t)))→ (t, ϕ(0), ϕ(−h1(t)), , ϕ(−hm(t))),kết hợp với tính liên tục của f trên R+× Rn× Rn× · · · × Rn, ta có hàm F liêntục trên [0, ∞) × C Ta mở rộng hàm này thành F hàm liên tục trên R × C

Khi đó, hệ (1.5) có một nghiệm x(t) xác định trên [t0− r, ∞) với điều kiện banđầu xt 0 = ϕ

Chứng minh Từ biểu thức của hàm F trong hệ (1.6) và Hệ quả 1.2.4, ta có:i) F liên tục trên [0, ∞) × C

ii) Tồn tại α > 0 sao cho hệ (1.5) có một nghiệm x(t) xác định trên [t0−r, t0+α]với điều kiện ban đầu xt0 = ϕ

iii) ||F(t, ϕ)|| ≤ η(||ϕ||C), t ≥ 0, ϕ ∈ C

Giả sử hệ (1.5) không có nghiệm trên [t0− r, ∞) Khi đó tồn tại T > 0 lớn nhấtsao cho hệ (1.5) có một nghiệm liên tục xác định trên [t0− r, t0+ T ) Hơn thế,tồn tại một dãy {tk} sao cho

lim

k→∞tk = t0+ T, t0 < tk < t0+ T, ∀k = 0, 1, 2, ,và

và ta có thể trích ra một dãy con của {yk} của dãy {tk} sao cho dãy {x(yk)} hội

tụ Theo nhận xét trước đó, giới hạn của {x(yk)} là M Mặt khác,

||x(t0 + T )− x(tk)|| = ||M − x(tk)|| = lim

n→∞||x(yn)− x(tk)||

≤ limn→∞L||yn− tk|| = L||t0+ T − tk||

Điều này chỉ ra dãy {x(tk)} có giới hạn là M Do tính bất kì của dãy {tk}, hàmx(t) liên tục trái tại t0+ T Hệ quả là x(t) liên tục trên đoạn [t0− r, t0+ T ] và

do đó theo Định lí 1.2.1 nghiệm sẽ mở rộng liên tục trên [t0− r, t0+ T + α], với

α > 0 nào đó, điều này mâu thuẫn với tính lớn nhất của T

Do nghiệm của hệ (1.5), bằng cách biểu diễn qua hệ (1.6), thỏa mãn

t k

Z

t 0

dv(t)η(v(t)) =

k→∞(tk − t0) = T < +∞.

Mâu thuẫn này cho ta điều phải chứng minh

Hệ quả 1.2.6 Giả sử hàm số f : R+× Rn× Rn× · · · × Rn → Rn là liên tục vàtăng trưởng bậc tuyến tính, tức là tồn tại các số thực không âm ai, i = 0, 1, , m,sao cho

đó ta có điều phải chứng minh

Hệ quả 1.2.7 Giả sử hàm số f(t, x0, x1, , xm) : R+×Rn×Rn×· · ·×Rn → Rn

là liên tục theo t, f (t, 0, , 0) ≡ 0, Lipschitz địa phương theo (x0, x1, , xm),tức là với H > 0 bất kì, tồn tại L(H) > 0 sao cho

||f(t, X) − f(t, Y )|| ≤ L(H)||X − Y ||, ∀||X|| ≤ H, ||Y || ≤ H, t ∈ R+với X = (x0, x1, , xm), Y = (y0, y1, , ym) ∈ Rn × · · · × Rn, và

||f(t, ϕ(0), ϕ(−h1(t)), , ϕ(−hm(t)))|| ≤ η(||ϕ||C), t≥ 0, ϕ ∈ C,

trong đó hàm số η : [0, ∞) → R liên tục, không giảm và sao cho với s0 ≥ 0 bất

kì điều kiện sau thỏa mãn

Khi đó, hệ (1.5) có nghiệm duy nhất x(t) xác định trên [t0− r, ∞) với điều kiệnban đầu xt0 = ϕ.

Chứng minh Từ điều kiện f (t, x0, x1, , xm) liên tục theo t và Lipschitz địaphương theo (x0, x1, , xm) dẫn tới tính liên tục của f theo (t, x0, x1, , xm).Tiếp đó, sử dụng biểu diễn (1.6) và Định lí 1.2.3 hoặc có thể chứng minh theocách khác, dựa vào Hệ quả 1.2.5 và Định lí 1.2.2

Hệ quả 1.2.8 Giả sử hàm số f(t, x0, x1, , xm) : R+×Rn×Rn×· · ·×Rn → Rn

là liên tục theo t, Lipschitz địa phương theo (x0, x1, , xm), tức là với H > 0bất kì, tồn tại L(H) > 0 sao cho

||f(t, X) − f(t, Y )|| ≤ L(H)||X − Y ||, ∀||X|| ≤ H, ||Y || ≤ H, t ∈ R+với X = (x0, x1, , xm), Y = (y0, y1, , ym) ∈ Rn × · · · × Rn, và tăng trưởngbậc tuyến tính, tức là tồn tại các số thực không âm ai, i = 0, , m, sao cho

đó ta có điều phải chứng minh

1.3 Bài toán ổn định và ổn định hóa hệ có trễ

1.3.1 Bài toán ổn định hệ có trễ

Định nghĩa 1.3.1 ([22]) Giả sử f(t, 0) = 0 với mọi t ∈ R

• Nghiệm x = 0 của phương trình (1.4) được gọi là ổn định nếu với bất kì

t0 ∈ R, ε > 0, tồn tại δ = δ(t0, ε) sao cho nếu||ϕ||C ≤ δ thì ||xt(t0, ϕ)||C ≤

ε với t ≥ t0 Nghiệm x = 0 của phương trình (1.4) được gọi là ổn định đềunếu tồn tại số δ theo định nghĩa ổn định không phụ thuộc vào t

• Nghiệm x = 0 của phương trình (1.4) được gọi là ổn định tiệm cậnnếu nó ổn định và tồn tại b0 = b0(t0) > 0 sao cho nếu ||ϕ||C ≤ b0 thìlim

t→∞x(t0, ϕ)(t) = 0

• Nghiệm x = 0 của phương trình (1.4) được gọi là ổn định tiệm cận đềunếu nó ổn định đều và tồn tại b0 > 0 sao cho với mỗi η > 0, tồn tại m0(η)sao cho nếu ||ϕ||C ≤ b0 thì ||xt(t0, ϕ)||C ≤ η với t ≥ t0 + m0(η) với mọi

Định nghĩa 1.3.2 ([30]) Giả sử f(t, 0) = 0, ∀t ∈ R và β > 0 cho trước Khi

đó, nghiệm x = 0 của phương trình (1.4) được gọi là β− ổn định mũ nếu tồntại hằng số M > 0 sao cho mọi nghiệm x(t0, ϕ) của hệ (1.4) thỏa mãn

||x(t0, ϕ)(t)|| ≤ Me−β(t−t0 )||ϕ||C, ∀t ≥ t0.Tiếp theo, chúng tôi trình bày định nghĩa hàm Lyapunov-Krasovskii và một sốđiều kiện đủ cho tính ổn định của nghiệm x = 0 của phương trình (1.4) Cáckết quả này được đưa ra bởi Krasovskii cho phương trình vi phân có trễ dựatrên phương pháp thứ hai của Lyapunov Trước khi đưa ra định nghĩa hàmLyapunov-Krasovskii, chúng ta cần kí hiệu và giả thiết sau:

• QH := {ϕ ∈ C : ||ϕ||C ≤ H} và giả sử với mỗi H > 0, hàm số f :

R × QH → R là liên tục, bị chặn, và thỏa mãn điều kiện Lipschitz địaphương theo biến thứ hai

Định nghĩa 1.3.3 ([22, 32, 33]) Nếu V : R × QH → R liên tục và x(·) lànghiệm của phương trình (1.4), chúng ta định nghĩa

Định nghĩa 1.3.4 ([32, 33]) Hàm V : R × QH → R liên tục và V (t, 0) ≡ 0được gọi là hàm Lyapunov-Krasovskii của hệ (1.4) nếu các điều kiện sau thỏamãn

i) hàm V (t, ϕ) xác định dương, tức là

∃u ∈ K : u(|ϕ(0)|) ≤ V (t, ϕ), ∀ϕ ∈ QH, t∈ R,ii) ˙V (t, ϕ) ≤ 0, ∀ϕ ∈ QH

Định lí 1.3.5 (Định lí Lyapunov-Krasovskii về ổn định [32, 33]) Giả sử f (t, 0)≡

0 Khi đó, nếu hệ (1.4) có hàm Lyapunov-Krasovskii thì nghiệm x = 0 của hệ

là ổn định

Định lí 1.3.6 (Định lí Lyapunov-Krasovskii về ổn định và ổn định tiệm cận[22, 32]) Giả sử f : R× C → Rn ánh xạ từ R × (tập bị chặn của C) vào tập

bị chặn của Rn, và u, v, w : R+ → R+ liên tục không giảm, u(s) > 0 và v(s) > 0với s > 0, và u(0) = v(0) = 0 Nếu tồn tại hàm liên tục V : R × C → R saocho

thì hệ (1.4) là ổn định và nghiệm của nó là bị chặn, tức là tồn tại M > 0 saocho

||x(t0, ϕ)(t)|| ≤ M||ϕ||C, ∀(t0, ϕ) ∈ R+× C, t ≥ t0.Nếu thay điều kiện (ii) bằng điều kiện

iii) tồn tại λ0 > 0 sao cho ˙V (t, ϕ)≤ −2λ0V (t, ϕ) với mọi (t, ϕ) ∈ R+× C,thì hệ (1.4) là ổn định mũ và nghiệm của hệ thỏa mãn

||x(t0, ϕ)(t)|| ≤r λλ2e−λ0 (t−t 0 )||ϕ||C, ∀t ≥ t0

1.3.2 Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển có trễ

Xét hệ điều khiển được mô tả bởi phương trình vi phân

˙x(t) = f (t, xt, u(t)), t≥ 0,

x0 = ϕ,

(1.12)

trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển, ϕ ∈ C,

và hàm f thỏa mãn điều kiện f(t, 0, 0) ≡ 0

Định nghĩa 1.3.8 ([1]) Hệ điều khiển (1.12) gọi là ổn định hóa được nếu tồntại hàm g : Rn → Rm, g(0) = 0, sao cho nghiệm x = 0 của hệ phương trình viphân

||F ||∞ := sup

Re(s)>0

pλmax(F∗(s)F (s))

Định nghĩa 1.4.2 Cho ω ∈ L2([0,∞), Rn) và z ∈ L2([0,∞), Rm) Ma trậnchuyển Tzω từ ω tới z được định nghĩa

Z(s) = Tzω(s)Ω(s),

trong đó Z(s), Ω(s) là các biến đổi Laplace của z(t), ω(t).

Ví dụ 1.4.3 Xét hệ phương trình

˙x(t) = Ax(t) + Bω(t), t ≥ 0, x(0) = 0,z(t) = Cx(t) + Dω(t),

trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, ω ∈ L2([0,∞), Rm) là đầu vào ngoạisinh, z là các tín hiệu lỗi mà chúng ta muốn giảm thiểu, A, B, C, D là các matrận thực với số chiều thích hợp, các giá trị riêng của ma trận A có phần thựcâm

Giả sử X(s), Z(s), Ω(s) lần lượt là biến đổi Laplace của x(t), z(t), ω(t) Biếnđổi Laplace hai vế của hệ ta có

sX(s) = AX(s) + BΩ(s) và Z(s) = CX(s) + DΩ(s)

Do các giá trị riêng của A có phần thực âm, (sI −A)−1tồn tại với mọi Re(s) ≥ 0.Hơn thế,

Z(s) = C(sI − A)−1B + D Ω(s),nói cách khác, ma trận chuyển Tzω(s) = C(sI−A)−1B +D Ngoài ra, Tzω ∈ H∞.Theo [77], nếu Tzω(s) = T (s) chỉ phụ thuộc s và T (s)∈ H∞ thì

Trong mục này, chúng tôi quan tâm tới sự xuất hiện của chuẩn H∞ trong líthuyết điều khiển Chính xác hơn, chúng tôi giới thiệu về bài toán điều khiển

H tối ưu và dưới tối ưu (suboptimal)

Hình 1.1: Sự miêu tả thiết bị cho bài toán điều khiển H∞

Xét hệ điều khiển được mô tả như sau: Thiết bị P có hai đầu vào: đầu vàongoại sinh ω, bao gồm tín hiệu tham chiếu và rối loạn, và các biến điều khiển u.Các kết quả đầu ra, các tín hiệu lỗi z mà chúng ta muốn giảm thiểu và các biến

đo x mà chúng ta sử dụng để kiểm soát hệ thống, cụ thể x được sử dụng trong

K để thiết kế biến điều khiển u Chúng ta giả thiết rằng các không gian trạngthái của P và K có thể ổn định hóa và quan sát được Trước hết, chúng ta nhậnđịnh một bộ điều khiển là chấp nhận được nếu nó ổn định hệ thống khikhông có đầu vào ngoại sinh (ω ≡ 0) Sự ổn định là yêu cầu cơ bản cho một hệthống trong thực tế hoạt động, do đó bất cứ điều khiển hợp lí phải là chấp nhậnđược Mục đích thiết kế các điều khiển chấp nhận được K nhằm giảm thiểu ảnhhưởng của các tín hiệu lỗi z, ta có thể chia bài toán điều khiển H∞ thành một

số bài toán như sau

H1 Bài toán điều khiển H∞ tối ưu Tìm các điều khiển chấp nhận đượcđược K sao cho ||Tzω||∞ là nhỏ nhất

Việc tìm lời giải cho bài toán tối ưu này, nói chung là phức tạp và tốn kém.Trong thực tế, chúng ta chỉ cần thiết kế những điều khiển (điều khiển dưới tốiưu) gần đúng theo nghĩa nào đó với điều khiển tối ưu mà vẫn đảm bảo được cáctín hiệu lỗi và chi phí ở mức chấp nhận được Điều này dẫn tới bài toán sau:H2 Bài toán điều khiển H∞ dưới tối ưu (suboptimal) Cho γ > 0.Tìm điều khiển chấp nhận được được K sao cho ||Tzω||∞ ≤ γ

Bài toán (H2) (khi Tzω(s) chỉ phụ thuộc s và Tzω(s)∈ H∞ ) thực chất là tìmcác điều khiển chấp nhận được sao

||z||2 ≤ γ||ω||2, ∀ω ∈ L2[0,∞),

và các biến đo x thường không phụ thuộc vào quá khứ Do đó để nhấn mạnh sự

phụ thuộc của x vào quá khứ, nói cách khác x(t) = ϕ(t), t ∈ [−h, 0], nhiều bàitoán H∞ dưới tối ưu khác xuất hiện nhằm đánh giá các biến lỗi z phụ thuộcvào cả biến ngoại sinh ω và điều kiện ban đầu ϕ của biến đo x.

1.5 Một số bổ đề bổ trợ

Bổ đề 1.5.1 (Bất đẳng thức Cauchy [78]) Giả sử S ∈ Rn×n là ma trận đốixứng và xác định dương Khi đó ta có

2xTQy− yTSy ≤ xTQS−1QTx,với mọi Q ∈ Rn×n, x, y ∈ Rn Đặc biệt, khi Q = I, ta có

2xTy− yTSy ≤ xTS−1x

Bổ đề 1.5.2 (Bất đẳng thức tích phân [64]) Cho Z ∈ Rn×n là ma trận đốixứng và xác định dương, các hằng số 0 < h < h sao cho các tích phân sau xácđịnh Khi đó, ta có các đánh giá sau:

Bổ đề 1.5.3 (Biến đổi Schur [8]) Giả sử X11 = X11T, X22 = X22T, X21 = X12T

là các ma trận có số chiều thích hợp Khi đó các điều kiện sau là tương đươngi)

1.6 Bất đẳng thức ma trận tuyến tính

Định nghĩa 1.6.1 ([8]) Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) là biểu thức

có dạng

LMI(y) = A0+ y1A1+· · · + ymAm ≥ 0,trong đó y = (y1, y2, , ym)T ∈ Rm, A0, A1, , Am ∈ Rn×n là các ma trận đốixứng

Các sự kiện tiêu biểu trong sự phát triển của LMI:

• LMI xuất hiện đầu tiên năm 1890, khi Lyapunov xuất bản các công trình

về lí thuyết Lyapunov Ông chỉ ra rằng phương trình vi phân

• Đầu thập niên 60 (thế kỉ 20), Yakubovich, Popov, Kalman và nhiều nhàkhoa học khác đưa ra một cách tiếp cận khác trong việc giải các LMI,phương pháp hình học Kĩ thuật này cho phép giải các hệ có kích cỡ lớnhơn, tuy nhiên cũng chỉ làm được với hệ không có nhiều hơn một nhiễu phituyến Cuối những năm 60, các nhà khoa học nhận thấy các LMI tương

tự có thể được giải thông qua phương trình vi phân Ricatti

• Những năm đầu thập niên 80 (thế kỉ 20), nhiều LMI có thể giải được bằngmáy tính thông qua bài toán quy hoạch lồi

• Những năm cuối thập niên 80 (thế kỉ 20), sự ra đời của thuật toán điểmtrong cho phép giải được các LMI phát sinh trong các hệ thống có điều

khiển Năm 1984, N Karmarkar giới thiệu một thuật toán quy hoạch tuyếntính mới, thuật toán điểm trong, cho phép giải các bài toán tuyến tính vớithời gian đa thức Các công trình của ông chủ yếu cho các bài toán toànphương (lồi) và tuyến tính Sau đó, năm 1988, Nesterov và Nemirovskii đãphát triển thuật toán điểm trong (thuật toán phép chiếu của Nemirovskii)

và áp dụng trực tiếp để giải các bài toán lồi liên quan tới LMI

• Năm 1993, Gahinet và Nemirovskii đã phát triển một phần mềm Lab dựa trên code FORTRAN, cho phép người sử dụng miêu tả bài toánLMI dưới dạng kí hiệu LMI-Lab giải quyết bài toán LMI này dựa trênthuật toán phép chiếu của Nemirovskii Sau đó, năm 1994, El Ghaoui đãphát triển một phần khác, gọi là LMI-tool được sử dụng trong Matlab.Một phiên bản khác của LMI-tool được phát triển bởi Nikoukhah và Dele-becque

LMI-Ba yếu tố khiến cho kĩ thuật LMI thu hút được nhiều sự quan tâm của nhiềunhà khoa học là:

1 Có nhiều thông số thiết kế và hạn chế có thể được thể hiện qua LMI

2 Sau khi thiết lập LMI, một bài toán có thể được giải quyết một cách chínhxác thông qua các thuật toán lồi tối ưu cho LMI

3 Trong khi các bài toán cùng với nhiều hạn chế và đa mục tiêu khó khăntrong việc tìm nghiệm của các phương trình ma trận, thì vấn đề này lại

dễ xử lí khi dùng kĩ thuật LMI Điều này khiến các thiết kế dựa trên LMI

là sự thay thế đầy ý nghĩa cho các phương pháp cổ điển

Điều thuận lợi nhất cho các nhà kĩ thuật là có nhiều phương pháp số hiệu quả

để xác định xem LMI là khả thi hay không Tính khả thi thể hiện ở chỗ: liệu

có tồn tại y sao cho LMI(y) ≥ 0, hoặc để giải quyết một vấn đề tối ưu lồi hóavới những hạn chế LMI Nhiều vấn đề tối ưu hóa trong lí thuyết điều khiển, hệthống nhận dạng, và xử lí tín hiệu có thể được xây dựng bằng cách sử dụng cácbất đẳng thức ma trận tuyến tính Để kiểm tra LMI thực thi hay không, hộpcông cụ LMI trong Matlab [19] có một vai trò quan trọng Đặc biệt, cùng vớiphần mềm này, các công cụ thiết kế điều khiển có thể sử dụng một cách đơngiản mà không cần phải có kiến thức nhất định về LMI hoặc thuật toán để giảiLMI

Ví dụ 1.6.2 Xét phương trình vi phân có trễ sau

˙x(t) = Ax(t) + Bx(t− h) t ≥ 0,

x0 = ϕ,

(1.13)

trong đó, x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, h là hằng số dương cho trước, A, B ∈

Rn×n là các ma trận hằng số, hàm điều kiện ban đầu ϕ ∈ C([−h, 0], Rn) Đểnghiên cứu tính ổn định hệ (1.13), chúng ta có thể sử dụng một trong các phươngpháp sau:

1 Sử dụng số mũ đặc trưng Nghiệm của hệ (1.13) là ổn định mũ nếumọi nghiệm của phương trình sau có phần thực âm

λmin(P )||ϕ(0)||2 ≤ V (t, ϕ) ≤ λmax(P ) + hλmax(Q)||ϕ||2C

và đạo hàm dọc theo nghiệm của hệ (1.13) xác định như sau