Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

Khi giải một bài toán về chứng minh quan hệ song song trong không gian ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết bài toán, vẽ hình đúng ta còn phải chú ý đến nhiều yếu tố khác nh

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

“PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ

QUAN HỆ SONG SONG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11” GV: NGUYỄN ĐĂNG LONG - Tổ: Toán – Lí Trường THPT Võ Thị Sáu

A MỤC ĐÍCH – YÊU CẦU

1 Mục đích

Qua nội dung của chuyên đề này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho các em học sinhlớp 11 một số kỹ năng vẽ hình cơ bản, phương pháp chứng minh của một số dạng bài toánliên quan đến quan hệ song song trong không gian Học sinh thông hiểu, vẽ hình chínhxác và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi làm bài tập Từ

đó các em học sinh có cơ sở cũng như phương pháp giải một số bài toán bắt buộc trongsách giáo khoa Chương II Hình Học lớp 11 một cách có hiệu quả

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 11 qua các lớp 11A1 , 11A2,

Phạm vi nghiên cứu:

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là “Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song” sách giáo khoa hình học 11 ban cơ bản.

Thời gian dạy: 10 tiết

3 Phương pháp nghiên cứu

hệ song song trong không gian có rất nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng chương trình hình học lớp 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho việc làm bài tập các dạng bài toán này là rất ít

Khi giải một bài toán về chứng minh quan hệ song song trong không gian ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết bài toán, vẽ hình đúng ta còn phải chú ý đến nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định thêm các yếu tố khác trên hình vẽ hay không? hình vẽ như thế có tốt chưa ? Có thể hiện được hết các yêu cầu của đề bài hay chưa ? Để giải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ đâu ? Nội dung kiến thức nào liên quan đến vấn

đề được đặt ra, trình bày nó như thế nào cho chính xác và lôgic… có được như thế mới giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán mà không gặp phải khó khăn Ngoài ra chúng ta còn nắm vững hệ thống lý thuyết, phương pháp chứng minh cho từng dạng toán như: tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, chứng minh hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song.

B NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

I Các định lí và tính chất cơ bản

1 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

TC1 : Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

TC2 : Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

TC3 : Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó

TC4 : Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng

TC5 : Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy

2 Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Định lí 1 : Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho

Định lí 2 : Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau

Hệ quả : Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với mộttrong hai đường thẳng đó

Định lí 3 : Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

3 Đường thẳng và mặt phẳng song song

Định lí 1 : Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng   và d song song

với d' nằm trong   thì d song song với  

Định lí 2 : Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng   Nếu mặt phẳng  

chứa d và cắt   theo giao tuyến d' thì d song song với d'

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giaotuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó

Định lí 3 : Cho hai đường thẳng chéo nhau Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia

4 Hai mặt phẳng song song

Định lí 1 : Nếu mặt phẳng   chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng   thì   song song với  

Định lí 2 : Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt song song với mặt phẳng đã cho

Hệ quả 1: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau

Định lí 3 : Cho hai mặt phẳng song song Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau

Hệ quả 2: Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau

Định lí 4 ( định lí Ta - let): Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ

II Vẽ hình trong hình học không gian

1) Vị trí chức năng của vẽ hình trong việc học phân môn HHKG.

 Vẽ hình là một khó khăn quan trọng đầu tiên trong việc học hình học không gian Có thể nói không vẽ hình thì không thể giải toán hình học không gian

 Vẽ hình đúng - trực quan đã đóng góp một phần rất lớn trong việc giải quyết bài toán hình học không gian

 Vẽ đúng - trực quan hình học không gian sẽ giải quyết được nhiều Vấn đề và nhiều mục tiêu khác nhau của quá trình dạy và học như :

 Tạo tiền đề xuất phát

 Gợi động cơ - gây hứng thú học tập

 Củng cố - kiểm tra kiến thức cũ – phát triển kiến thức mới

 Giáo dục tính thẩm mỹ cho học sinh qua hình vẽ đẹp

 Phát triển trí tưởng cho học sinh

2) Yêu cầu đối với hình vẽ :

 Đúng ( các bất biến của các phép chiếu phải được tôn trọng tuyệt đối )

 Trực quan ( trông giống hình thật trong thực tế )

3) Phương pháp tìm tòi cách vẽ hình :

 Tìm hiểu nội dung bài toán ( đọc kỹ đề )

 Tưởng tượng ra hình thật trong thật trong thực tế ( thầy cố gắng chỉ các hình thực tế để học sinh tưởng tượng )

 Các bất biến của phép chiếu song song

 Đối với phép chiếu song song thì tìm xem trong hình thật có các đường nào song song , các điểm nào thẳng hàng , tỉ lệ các đoạn thẳng cùng phương …

 Chọn đường , điểm cơ bản chủ đạo và các điểm , đường phụ thuộc (Thường là chân đường cao và đường cao là điểm cơ bản , đường cơ bản)

III Một số dạng toán cơ bản về quan hệ song song.

Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) và ()

Cách 2: Xác định một điểm chung và song song với một đường thẳng

Dựa vào các định lý sau:

* Định lý 1: định lý 3 đường trung tuyến (SGK trang 57)

* Hệ quả: Nếu    

   

/ /,

d d

* Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm hai điểm

chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ Nếu trên hình vẽchỉ có một điểm chung thì ta chuyển sang cách hai (dựa vào các định lý và hệ quả nêutrên)

Bài 1: Trong mp( ) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và

BD cắt nhau tại F Gọi S là một điểm nằm ngoài mp( ) Tìm giao tuyến của

các mp sau:

a) mp (SAB) và mp(SCD)

b) mp(SAC) và mp(SBD)

c) mp(SEF) với hai mp(SAD) và (SBC)

* Nhận xét: Với hai mp(SAB) và mp(SCD) thì học sinh dễ dàng tìm được hai điểm chung lần lượt là S là E dựa vào hình vẽ (hình 8) Tương tự đối với hai mp(SAC) và (SBD) thì học sinh cũng phát hiện được giao tuyến là đường thẳng SF (hình 9)

Hình 8 Hình 9

Với câu c) giáo viên nên gợi ý cho học sinh phát hiện ra được điểm chung thứ hai

M, N bằng cách nối EF với BC và EF với AD ( hình 10)

D

E S

B

C

M F

A

D

E S

B

C N

Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’ và CC’,

P là một điểm thuộc đoạn BB’ Tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’ với mp(MNP)

Nhận xét: Để tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’ với mp(MNP) thì giáo viên phải gợi

ý cho học sinh tìm giao tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng DD’ với mp(MNP) Giáoviên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng DD’ nắm trên những mặt phẳng nào và chobiết số điểm chung của các mặt phẳng đó với mp(MNP)?

C' D'

B' A'

P

x

Q

N M

C' D'

B' A'

P

* Chú ý:

Ta có thể chọn mp(AA’D’D) chứa DD’ và tìm được giao tuyến của 2 mp(MNP) vàmp(AA’D’D) là My song song với đường thẳng NP ( hình 12)

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB và CD, (

 ) là mặt phẳng chứa MN và song song với SA

a) Tìm giao tuyến của mp( ) với các mp(SAB) và mp(SAC)

b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp( )

Nhận xét: Với dạng toán trên học sinh thường hay gặp lúng túng ở chỗ xác định mp( ).Giáo viên nên lưu ý cho hoc sinh để xác định mp( ) ta cần tìm thêm một điểm nằm trênmp() nữa ngoài hai điểm M và N mà đề bài đã cho Từ đó mà ta có thề tìm được giaotuyến của mp() với các mp(SAB) , (SAC) và thiết diện của hình chóp với mp()

Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( )

* Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có trên hình vẽ thì ta tìm a như sau:

- Tìm mp   chứa d sao cho   cắt ( )

- Tìm giao tuyến a của hai ( ) và   (hình 16)

* Nhận xét: Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng a Nhiệm vụ của giao

viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a và chọn   sao chophù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong trường hợp đường thẳng a chưa có trên hình

 Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD)

Nhận xét: Với bài toán này thì học sinh dễ dàng phát hiện được đường thẳng a cần tìm

chính là đường thẳng BD Nhiệm vụ của giáo viên là cần lưu ý cho học sinh điều kiện đểhai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng đó phải cùng nằm trên một mặt phẳng vàkhông song song

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB Gọi I, J lần lượt

là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD

a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC)

b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC)

c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM)

Nhận xét: Với giả thiết của bài toán thì dựa vào hình vẽ ( hình 19) học sinh khó mà tìm

được đường thẳng a nằm trên mp(SAC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đườngthẳng BM, nếu không khéo léo hướng dẫn sẽ có nhiều học sinh nhầm là đường thẳng SC.Vai trò của giáo viên là gợi ý cho học sinh biết chọn mp(SBD) chứa BM và tìm giaotuyến của hai mp( SBD) và (SAC) là đường thẳng SO

Từ đó kết luận giao điểm P của hai đường thẳng BM và SO chính là giao điểm cần tìm

Hình 19 Hình 20

Với câu b) (hình 21) thì học sinh cũng khó mà tìm được đường thẳng a nằm

trên mp(SBC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đường thẳng IM nếu không có sựhướng dẫn của giao viên Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng IM nằm trên

mp nào ? và đi tìm giao tuyến của mp đó với mp(SBC) Từ đó tìm được giao tuyến là

đường thẳng SE và giao điểm cần tìm chính là điểm F (hình 22)

P

J I

S

D

C M

P

J I

Xét 2 mp( SAC) và (SBD) có S là điểm chung thức nhất.(1)

Gọi O AC BD  O là điểm chung thứ hai (2)

Từ (1) và (2)  SO (SAC) ( BD)  S

Gọi P=BM SO ;  Kết luận: P=BM(SAC)

b) Ta có IM (SAD)

Xét hai mp(SAD) và (SBC) có: S là điểm chung thứ nhất

Gọi E = ADBC  E là điểm chung thứ hai

J I

F

* Nhận xét: Vấn đề nêu lên ở đây là đường thẳng a có trên hình vẽ hay chưa, nó được xác

định như thế nào, làm thế nào để xác được nó Giáo viên cần làm cho học sinh biết hướnggiải quyết của bài toán là dựa vào giả thiết của từng bài toán mà xác định đường thẳng anhư thế nào cho phù hợp

Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm của các

tam giác ABC, A’B’C’ và ACC’ Chứng minh đường thẳng IG song song vớimp(BB’C’C)

Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng

a) Gọi O , O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF Chứng minh OO’ song songvới hai mp(ADF) và mp(BCE)

b) Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AE và BD sao cho AE3AM ,3

BD BN Chứng minh MN song song với mp(CDFE)

I

K G

- Với câu a) thì học sinh dễ dàng phát hiện được đường thẳng a cần tìm là đường thẳng

DF đối với mp(ADF), và là đường thẳng CE đối với mp(BCE)

- Đối với câu b) thì học sinh khó mà phát hiện được đường thẳng a ở đây là đường thẳng

nào nếu không có sự hướng dẫn của giáo viên thì học sinh sẽ gặp khó khăn (Hình 27)

* Giải quyết vấn đề: Giáo viên yêu cầu học sinh chứng minh M và N là trọng tâm của

tam giác ABF và ABC Sau đó vận dụng định lý Talet đảo Từ đó giúp cho học sinh thấyđược hướng giải quyết của bài toán

* Lời giải:

a) CM OO’// (ADF) và OO’//(BCE)

Ta có: OO’ đường trung bình của tam giác BDF và tam giác ACE

 OO’//DF và OO’ // CE Mà DF  ADF CE, BCE

Kết luận: OO’ // (ADF), OO’ // (BCE)

b) CM MN // (CDFE)

ta thấy M và N lần lượt là trọng tâm của 2 tam giác

ABF và ABC Gọi I là trung điểm của AB

Xét tam giác IFC có : 1

IM IN IC

* Nhận xét: Tương tự như bài toán chứng minh đường thẳng song song với mp, vấn đề

đặt ra là chọn hai đường thẳng a, b như thế nào? Nằm trên mặt phẳng ( ) hay mp()

A

E

N O

O'

B F

M

Nhiệm vụ của giáo viên là hướng dẫn, gợi mở cho hoc sinh phát hiện ra được vấn đề củabài toán.

* Ví dụ:

Bài 8: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC ,

ACD và ABD Chứng minh hai mp(MNP) và mp(BCD) song song

Nhận xét:

Với bài toán này thì học sinh dễ dàng xác định hai đường thẳng a, b nằm trên mặtphẳng này và song song với mặt phẳng kia Vấn đề của bài toán là cách xác định cáctrọng tâm, giáo viên nên lưu ý cho học sinh cách xác định trong tâm dựa vào tính chấtkhông nên vẽ quá nhiều các đường trung tuyến

Bài 9: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt Trên các

đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN Qua M, N dựng cácđường thẳng song song với AB lần lượt cắt AD và AF tại M’và N’

BF là bằng nhau, từ đó gợi mở cho học sinh biết chứng minh hai đường thẳng MM’ vàM’N” song song với mp (DEF) dựa vào định lý talét đảo.

Bài 10 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy là tứ giác lồi Lấy điểm M trên cạnh SA Xác định

thiết diện của mp MCD với hình chóp.

Vậy thiết diện là tứ giác MNCD.

Bài 11 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  SAD  và  SBC 

b) Lấy điểm E trên SC Mặt phẳng (ABE) cắt SD tại F Tứ giác ABEF là hình gì ?

* Lời giải:

a) Ta cóS   SAD    SBC , và hai mặt phẳng này chứa hai đường thẳng song song là

AD và BC nên giao tuyến của hai mp là đường thẳng d qua S và song song với AD và

Bài 12 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N và P lần lượt

là trung điểm của BC, AD, SA

a) Chứng minh SC và SD song song với mp  MNP 

b) Xác định thiết diện của hình chóp với mp   qua O và song song với CD vàSA

b) Ta có MN // CD nên mp   qua O và song song với CD thì mp   chứa MN

Hai mp   và (SAD) có N chung và    / / SA  , do đó      SAD   NK / / SA

Nên      SCD   HK và HK // CD //MN

Vậy thiết diện là hình thang MNKH (hình 32)

O N H

K P

Bài 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AB Gọi M, N lần lượt

là trung điểm của SA và SB

c) Chứng minh MN // CD

d) Gọi P SC  ADN, hai đường thẳng AN và DP cắt nhau tại I Chứng minh SA // IB

Bài 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi E, F, G, H là trung

điểm của SA, SB, SC, SD

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng SAB và  SCD , và  SAD và  SBC 

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  ABH và  CDF 

Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N là trung điểm