CHUYÊN đề một số CÁCH GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH

Hệ phương trình trong đó có một phương trình bậc nhất theo một ẩn Phương pháp giải: Phương pháp chung để giải hệ phương trình loại này là phương pháp thế, rút ẩn có bậc nhất trong phươn

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Người viết: PHAN ĐÌNH CÔNG

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THPT Phạm Công Bình

1 Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh lớp 12

2 Dự kiến số tiết: (15 tiết)

TÓM TẮT CHUYÊN ĐỀ

I MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BIẾT TRƯỚC CÁCH GIẢI ( 3 TIẾT)

1 Hệ phương trình trong đó có một phương trình bậc nhất theo một ẩn

2 Hệ phương trình đối xứng loại 1

3 Hệ phương trình đối xứng loại 2

4 Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp

II MỘT SỐ CÁCH GIẢI CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHƯA BIẾT TRƯỚC LỜI GIẢI ( 9 tiết)

1 Biến đổi hệ đã cho về hai biểu thức chứa x, y rồi đặt ẩn phụ.(2 tiết)

2 Chia hai vế của các phương trình trong hệ cho một lũy thừa của x, y.(1 tiết)

3 Sử dụng phương pháp thế để giải hệ phương trình.(2 tiết)

4 Cộng đại số để có một phương trình hệ quả đơn giản hơn.(1 tiết)

5 Đưa về một phương trình tích.(1 tiết)

6 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.(1 tiết)

7 Phương pháp đánh giá – bất đẳng thức.(1 tiết)

III BÀI TẬP TỔNG HỢP TRONG MỘT SỐ ĐỀ THI ( 3 tiết)

NỘI DUNG

I MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BIẾT TRƯỚC CÁCH GIẢI

1 Hệ phương trình trong đó có một phương trình bậc nhất theo một ẩn

Phương pháp giải:

Phương pháp chung để giải hệ phương trình loại này là phương pháp thế, rút

ẩn có bậc nhất trong phương trình đó theo ẩn còn lại rồi thế vào phương trình còn lại trong hệ.

 Trong đó, f x y( , ) và g x y( , ) là các biểu thức chứa

hai biến x, y thỏa mãn f y x( , ) = f x y g y x( , ), ( , ) =g x y( , ).

Phương pháp giải: Gồm các bước

- Biểu diễn từng phương trình theo tổng x y+ và tích xy

- Giải hệ phương trình mới theo S P, .

- Với mỗi cặp ( , )S P thỏa mãn điều kiện, thì x, y là nghiệm của phương trình

là hệ phương trình đối xứng loại 1 và giải như theo phương pháp đã nêu

Kq:  = −u v =72 hoặc  =u v = −72; các nghiệm của hệ: 1;7 45 , 7 45; 1

u v uv

Phương pháp giải: Gồm các bước

- Trừ từng vế tương ứng của hai phương trình ta được một phương trình tích dạng (x y g x y− × ) ( , ) 0 = .

Nếu kết hợp phương trình g x y( , ) 0 = với phương trình f x y( , ) + f y x( , ) 0 = thì ta

thu được hệ phương trình đối xứng loại 1

Nếu g x y( , ) 0 = phức tạp thì thử tìm cách chứng minh nó vô nghiệm.

Ví dụ:

Nếu x=y, thế vào phương trình (1), ta được nghiệm hệ là (1;1).

Với phương trình 2xy x y+ + = 0 (3), nếu rút thế thì sẽ rất phức tạp, tuy nhiên, nếu để ý(1) và (2) có vế trái ≥ 0, vế phải có giá trị tuyệt đối ≥ 2 thì ta có thêm điều kiện

x y

, vô nghiệm do điều kiện.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( )1;1

4 Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp

Định nghĩa:

Phương trình F x y( , ) =c được gọi là phương trình có vế trái đẳng cấp bậc n

số Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp là hệ mà mọi phương trình của nó đều có vế trái đẳng cấp.

Ta thường hay gặp hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai.

Phương pháp giải:

Thường có các cách giải như sau:

y ở một phương trình rồi rút một ẩn theo ẩn còn lại, sau đó thế vào phương trình còn lại.

Cách 2: Cộng đại số làm mất hệ số tự do, ta được phương trình dạng

0

thế vào một trong hai phương trình của hệ.

không Khi x≠ 0 hoặc y≠ 0, đặt y tx= hoặc x ty= .

III MỘT SỐ CÁCH GIẢI CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHƯA BIẾT TRƯỚC LỜI GIẢI

Nhận xét: Khi ta gặp một hệ phương trình không thuộc một trong các dạng đã nêu

thì ta vận dụng một số cách sau để giải:

- Biến đổi hệ đã cho về hai biểu thức chứa x, y rồi đặt ẩn phụ.

- Chia hai vế của các phương trình trong hệ cho một lũy thừa của x, y.

- Sử dụng phương pháp thế để giải hệ phương trình.

- Cộng đại số để có một phương trình hệ quả đơn giản hơn.

- Đưa về một phương trình tích.

- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

- Sử dụng phương pháp đánh giá – bất đẳng thức.

Sau đây, ta đi sâu vào từng cách giải và các ví dụ áp dụng

1 Biến đổi hệ đã cho về hai biểu thức chứa x, y rồi đặt ẩn phụ.

Thông thường những hệ thuộc loại này hai phương trình đều phức tạp như nhau Điều quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện biểu thức sẽ đặt ẩn phụ

có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một số phép biến đổi.

Đặt  =u x x v =y y(( −+3)4), ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

5 4 5

 Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1.

Bài tập 1 Giải các hệ phương trình:

y

x y x

Những phương trình giải theo cách này thường có hai vế là các biểu thức chứa

x, y (thông thường là chia cho lũy thừa của x, y ở vế phải).

Với x≠ 0, lần lượt chia 2 vế của (1), (2) cho 3

x , 2

x ; hệ phương trình (I) trở thành

3 3

1 4 1

Những hệ phương trình giải được theo cách này thường có một phương trình phức tạp không biến đổi được và phương trình còn lại đơn giản hơn cho phép ta có thể biểu diễn được biến này thông qua qua biến kia hoặc một biểu thức thông qua các biểu thức khác.

HD: Nhận thấy x= 0 không thỏa mãn (2) Do đó x≠ 0, từ (2) suy ra y 1 x2 1

x

− + = , thế

Thế x y+ từ phương trình thứ vào phương

trình thứ nhất, đặt t= xy ≥ 0, ta được phương trình chứa căn ẩn t Giải phương trìnhnày được nghiệm t= 4

4 Cộng đại số để có một phương trình hệ quả đơn giản hơn.

Phương pháp này đã được dùng để giải hệ phương trình đối xứng loại 2 và hệphương trình có vế trái đẳng cấp

Nhận dạng:

Hai phương trình trong hệ khó tương đương, không thể biến đổi từng phương trình trong hệ được.

Phương pháp giải:

Ta phải kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia để được một phương trình hệ quả đơn giản hơn hoặc phương trình hệ quả này

có thể đưa được về phương trình tích Và khó khăn của các hệ phương trình giải theo cách này chính là nên cộng đại số như thế nào để có được kết quả thuận lợi.

HD: Các biểu thức trong ngoặc là tổng, hiệu nên ý tưởng để giải bài này là viết tổng,

hiệu đó theo x, y rồi cộng trừ

Điều kiện x≥ 0, y≥ 0,x y+ ≠ 0 Ta thấy x= 0 hoặc y= 0 không thỏa mãn hệ Do đó

Ta thấy vế trái của hai phương trình lại là tổng, hiệu và nếu nhân lại thì sẽ mất căn

Do đó, nhân vế với vế của hai phương trình ta được phương trình hệ quả

Thông thường, phương trình đưa được về phương trình tích có một nhân tử dạng

Với x y+ = 0, không xảy ra do điều kiện.

Với x= 2y+ 1, thế vào (2), ta được phương trình ( y+ 1) 2y = 2( y+ 1) .

Kq: nghiệm của hệ là ( )5; 2

Nhận xét:

Phương trình (1) phân tich được thành tích hai nhân tử bậc nhất đối với x (hoặc y) nên có thể phân tích (1) thành tích bằng cách coi (1) là phương trình bậc hai đối với x (hoặc y) bằng cách áp dụng kết quả: “Nếu phương trình ax2 + + =bx c 0

⇔ − + − + + = Đây là phương trình bậc hai

ẩn y, coi x là tham số, ta có ∆ = ′ 9x2 Ta được y= 5x+ 4 hoặc y= − 4 x Kết hợp với (1),

ta sẽ được nghiệm của hệ

Các hệ sử dụng phương pháp này thường có một phương trình trong hệ có hai vế độc lập theo hai biểu thức của ẩn, cụ thể phương trình đó có dạng

HD: Nếu sử dụng phương pháp thế thì dẫn tới phương trình bậc 6 Tuy nhiên, nếu để

ý phương trình (1), ta thấy hai vế là hai biểu thức độc lập theo x, y Ta có

1

f x = f y+ Ta có f t( ) là hàm số đồng biến trên [0; +∞) nên (3) ⇔x2 = +y 1

Từ đây, rút y, thế vào (2) ta sẽ tìm được nghiệm của hệ.

HD: Hệ là hệ đối xứng loại 2, nhưng nếu trừ vế với vế của 2 phương trình thì rất khóbiến đổi xuất hiện x y− , vì mẫu số có căn bậc ba Để ý, nếu cộng hai vế thì sẽ mất đi

x, y bậc nhất ở hai vế Hơn nữa, biểu thức x2 − 2x+ 9 gợi cho ta nghĩ đến (x− 1) 2 + ≥ 8 8

HD: Vế phải của hai phương trình là các đa thức, dường như sẽ phân tích thành nhân

tử Nhậm thấy x= 2 và y= 2 thỏa mãn hệ Vì vậy, ta biến đổi hệ như sau

2 3

2 3

Nhận xét:

Ý tưởng phân tích các phương trình trong hệ như trên hay gặp một số đề thi chọn học sinh giỏi và thường cho các hệ phương trình có ba biến, điểm mấu chốt để phân tích được như vậy chính là nhẩm được nghiệm của hệ.

x +y ≤ + = < , suy ra (1) không xảy ra.

Vậy, hệ phương trình đã cho vô nghiệm

HD: Đánh giá bất đẳng thức ở phương trình thứ hai.

III BÀI TẬP TỔNG HỢP TRONG MỘT SỐ ĐỀ THI

Phần này bổ sung các bài tập về hệ phương trình trong các đề thi tuyển sinh Đạihọc và các đề thi chọn học sinh giỏi của các tỉnh – thành phố Để thấy được sự phongphú – đa dạng của bài toán cũng như phương pháp Vì điều kiện thời gian có hạn nêntôi chỉ nêu mà chưa làm hướng dẫn giải

1 Bài toán về hệ phương trình trong đề thi Đại học

x y

2 3

y y x x x y

x

y

y e

y x e

2 Bài toán về hệ phương trình trong đề thi chọn học sinh giỏi

2 4

x x y

B13) Đề thi chọn đội tuyển trường PTNK – TPHCM:

x y x

B37) Đề thi chọn đội tuyển trường ĐHKHTN Hà Nội, vòng 3:

2 4

2 1

1 4

Xin chân thành cảm ơn!

Yên lạc, ngày 08 tháng 03 năm 2014

Người viết Phan Đình Công