bài giảng và bài tập hay giải tích 12

Chương 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM§1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A... Xác định m để hàm số − nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó 6... 1/ GTCĐ, GTCT fx0 của một hàm số khôn

Chương 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

§1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

A Tóm tắt lí thuyết:

1 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên (a;b)

- f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) ⇔ ∀x x1, 2∈( ; ),a b x1 < ⇒x2 f x( )1 < f x( )2

- f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) ⇔ ∀x x1, 2∈( ; ),a b x1< ⇒x2 f x( )1 > f x( )2

Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu

Một cách khác,

f(x) tăng trên (a;b) khi và chỉ khi ∀ ∈x ( ; )a b ta có f x( x) f x( ) 0, x 0,x x ( ; )a b

x

+ ∆ − > ∀∆ ≠ + ∆ ∈

∆f(x) giảm trên (a;b) khi và chỉ khi ∀ ∈x ( ; )a b ta có f x( x) f x( ) 0, x 0,x x ( ; )a b

x

+ ∆ − < ∀∆ ≠ + ∆ ∈

∆

2 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Định lí 1: Cho f(x) có đạo hàm trên (a;b) thì

- Nếu f'(x) >0, x (a;b) ∀ ∈ thì f(x) tăng trên (a;b)

- Nếu f'(x) <0, x (a;b) ∀ ∈ thì f(x) giảm trên (a;b)

Để chứng minh đlí trên ta thừa nhận đlí sau

Định lí 2: ( ĐL Lagrange) Nếu f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b) thì tồn tại c∈( ; )a b

sao cho: f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)

2 +∞ ?Vd2: Xét tính đơn điệu của ham số 1 3 2

33

y= x − −x x.

Chú ý: Nếu f(x) có đạo hàm trên (a;b) và f’(x) o≥ ( hoặc f’(x) o≤ ) và dấu bằng chỉ xảy ra tại 1 số

hữu hạn điểm trên (a;b) thì f(x) tăng (hoặc giảm ) trên khoảng ấy.

Vd3: Xét tính đơn điệu của hàm số 1 3 2

3

y= x − +x x

Vd4: Xét tính đơn điệu của hàm số y = 1

x

3 Điểm tới hạn:

- Cho hàm số f(x) xđ trên (a;b) và x0∈( ; ).a b x đgl điểm tới hạn của hàm số f(x) nếu f’(0 x ) = 0 0

hoặc f’(x ) không tồn tại.0

Vd: Tìm các điểm tới hạn của các hàm số sau:

a) y 3x 3 5

x

Chú ý: - Điểm tới hạn của hàm số phải nằm trong TXĐ của nó

- Nếu f(x) liên tục trên khoảng xác định của nó thì giữa hai điểm tới hạn kề nhau f’(x) giữ nguyên một dấu.

4 Các bước xét sự biến thiên của hàm số:

B1: Tìm TXĐ, tính đạo hàm và tìm các điểm tới hạn

B2 : Xđ dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn

B3 : Lập BBT, suy ra chiều biến thiên của hàm số

B Bài tập:

=+ c) y x= +sinx d)

1

y x

=

2 CMR hàm số y= 2x x− 2 tăng trên (0;1) và giảm trên (1;2)

3 CMR hàm số f(x) = x – sinx tăng trên ( ; )

+ luôn tăng trên từng khoảng xác định của nó

5 Xác định m để hàm số

− nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó

6 Xác định m để hàm số 1 3 2

− giảm trên từng khoảng xác định của nó

8 CMR ∀ >x 0 và tanx có nghĩa ta luôn có x< tanx

9 Xác định m để hàm số

a) y = x2 +mx + 1 tăng trên (1;+∞)

b) y = mx2 – (m+6)x + 3 giảm trên (-1;+∞)

C Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số:

Có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các dạng toán sau:

1/ CM bất đẳng thức

2/ So sánh hai số vô tỉ

3/ CM tính duy nhất nghiệm của pt, hệ pt; giải pt và hệ pt

4/ Tìm cực trị của hàm số

2tan2

NX: Nếu biến đổi đại số thì rất phức tạp!!!

Xét f(x) = x+ +1 x+ +3 2x−1 liên tục và có đạo hàm trên [1; )

x y

15 CMR pt x2+15 3= x+ +2 x2+8 co nghiệm duy nhất

16 Giải pt sin cos 222

e +e− = + x với x≥0 có nghiệm duy nhất.

18 So sánh các số sau đây:

a) eπ và πe

b) 20072008 và 20082007 (HD: Xét hàm f(x) = lnx,(x 0)

x > )c) 2

Định lí Lagrange: Nếu f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b) thì tồn tại c ( ; )∈ a b sao cho

f’(c) = f b( ) f a( )

b a

−

−

Ý nghĩa hình học: Trên cung trơn AB bkỳ, luôn tồn tại

điểm C thuộc cung AB (C ≠A;B) sao cho tiếp

tuyến tại C song song với cát tuyến AB

Hệ quả1: (Đlí Rolle)

Nếu f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b) và f(a) = f(b) thì ∃ ∈c ( ; ) : '( ) 0a b f c =

CM: Theo đlí Lagrange thì tồn tại c ( ; ) : '( )a b f c f b( ) f a( ) f a( ) f a( ) 0

Nếu f(x) liên tục trên [a;b] và f’(x) = 0 ∀ ∈x ( ; )a b thì f x( )≡const x,∀ ∈ a b; ]

CM: Với bất kì x∈[a b; ) vì f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b) nên f(x) liên tục trên [x;b] và có đạo hàm trên (x;b), do đó áp dụng Đlí Lagrange trên [x;b]

- Nếu x0 = a hoặc x0 =b thì khi đó f’(x) không đổi dấu trên [a;b] nên f(x) tăng hoặc giảm trên [a;b]

do đó pt f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm

- Nếu x0∈( ; )a b khi đó x0 chia đoạn [a;b] thành 2 nữa đoạn [a;x0) và (x0;b] Trong mỗi nữa đoạn

này f’(x) giữ nguyên một dấu nên pt f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm thuộc [a;x0) và không quá 1 nghiệm thuộc (x0;b] Như vậy pt f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm trên [a;b]

Ứng dụng định lí Lagrange: Có thể chứng minh một số dạng toán sau đây:

1/ Chứng minh bất đẳng thức:

− < − < −Vd2: Cho a < b < c

Mặt khác f’(x) = 3x2 – 2x(a+b+c) + ab+bc+ca

Suy ra

2

2 2 2 1

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A Tóm tắt lí thuyết:

1 Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên D, x0∈D

1/ GTCĐ, GTCT f(x0) của một hàm số không phải là GTLN, GTNN của nó trên D, mà chỉ

là GTLN, GTNN của hàm số đó trên một khoảng nào đó chứa x0

2/ Một hàm số có thể đạt cực đại, cực tiểu tại nhiều điểm trên D, nhưng chỉ có duy nhất một

GTLN và một GTNN

2 Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị:

a) Điều kiện cần: (Định lí Fecma)

Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại đó thì f’(x0) = 0 Như vậy mọi điểm cực trị đều là điểm tới hạn của hàm số Từ đó ta thấy muốn tìm các điểm cực trị của hàm số ta chỉ cần tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại

b) Điều kiện đủ:

Dấu hiệu I: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trong (a;b) và f’(x0) = 0 với x0 ( ; )∈ a b

- Nếu f’(x) < 0 khi x < x0 và f’(x) > 0 khi x > x0 thì x0 là điểm cực tiểu của của hàm số

- Nếu f’(x) > 0 khi x < x0 và f’(x) < 0 khi x > x0 thì x0 là điểm cực đại của của hàm số

Chú ý1: * Định lí vẫn đúng khi f không có đạo hàm tại x 0 nhưng liên tục tại x 0

* Nói một cách dễ hiểu, nếu f’(x) đổi từ + sang – khi x qua x 0 thì x 0 là điểm cực đại

nếu f’(x) đổi từ – sang + khi x qua x 0 thì x 0 là điểm cực tiểu

Quy tắc1: Muốn tìm các điểm cực trị của hàm số ta làm như sau:

B1: Tính f’(x), giải pt f’(x) = 0

B2: Xét dấu đạo hàm f’(x)

B3: Lập BBT suy ra các điểm cực trị

Dấu hiệu II: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục tại x0 và f’(x0) = 0

- Nếu f’’(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu

- Nếu f’’(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại

Quy tắc2: Muốn tìm các điểm cực trị của hàm số ta làm như sau:

B1: Tính f’(x) và giải pt f’(x) = 0 tìm các nghiệm xi của nó

B2: Tính f’’(x) và f’’(xi)

B3: Từ dấu của f’’(xi) suy ra các điểm cực trị

Chú ý2: Kết hợp đk cần và đk đủ ta có kết quả sau:

- x0 là điểm cực đại của f(x) 0

0

'( ) 0''( ) 0

x

+Giải: D = R

CTTừ BBT suy ra x = -1 là điểm cực đại; x = 1 là điểm cực tiểu

Cách khác: Tính f’’(-1) = -2 < 0 nên x = -1 là điểm cực đại

Tính f’’(1) = 2 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu

B Bài tập:

Có các dạng bài tập sau đây:

1/ Tìm các điểm cực trị của hàm số Cách giải: Áp dụng dấu hiệu I và II

2/ Tìm tham số m để hàm số nhận x0 là điểm cực đại; cực tiểu Cách giải: Dựa vào chú ý 2

3/ Cm hàm số luôn có cực trị( hoặc c/m hàm số có 1,2,3,… cực trị)

Cách giải: Ta c/m pt y’ = 0 có 1,2,3,… nghiệm

4/ Tìm tham số m để hàm số có 1,2,3,… cực trị

Cách giải: Dựa vào tam thức bậc 2 để định tham số để pt y’ = 0 có 1,2,3,… nghiệm

5/ Tìm tham số m để hàm số có cực trị và các điểm cực trị thoã mãn 1 đẳng thức nào đó

Cách giải: Dựa vào tam thức bậc 2 và định lí Vi-et cho pt bậc 2

Đề bài tập:

22 Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 1:

25 Định m để hàm số : y = f(x) = x33 −mx2+(m+3)x−5m+1 đạt cực đại tại x=1 Kết quả: m = 4

26 Xác định tham số m để hàm số y=x3−3mx2+(m2−1)x+2 đạt cực đại tại x=2

( Đề thi TNTHPT 2004−2005) Kết quả : m=11

27 Định m để hàm số y = f(x) = x3−3x2+3mx+3m+4

c Có đồ thị (Cm) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trị (đạt cực trị 4 khi x = 0)

Hd: M(a;b) là điểm cực trị của (C): y =f(x) khi và chỉ khi:

0 ) a (' 'f

0 ) a (' f

Kết quả : m=0

d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O

Kq : d:y = 2(m−1)x+4m+4 và m= −1

28 Định m để hàm số y = f(x) = x2−1−xx+m

a Có cực đại và cực tiểu Kết quả : m>3

29 Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y =x2+m(mx2−−1m)x−m4+1 luôn có cực trị

30 Cho hàm số y = f(x) =31x3−mx2+(m2−m+1)x+1 Có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại

31 Cho hàm số y = f(x) =31x3−mx2+(m+2)x−1 Xác định m để hàm số:

b) Có hai cực trị trong khoảng (0;+∞) Kết quả: m > 2

c) Có cực trị trong khoảng (0;+∞) Kết quả: m <−2 V m > 2

32 Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = −x4+2mx2−2m+1

Hd và kq : y’=−4x(x2−m)

 m ≤ 0: 1 cực đại x = 0

 m > 0: 2 cực đại x=± mvà 1 cực tiểu x = 0

33 Định m để đồ thị (C) của hsố y = f(x) =x2x−x+1+m có2 điểm cực trị nằm khác phía so với Ox

=

+ luôn luôn có 1 cực đại và 1 cực tiểu

39 Tìm a và b để các cực trị của hàm số 5 2 3 2

x = − là điểm cực đại.

42 Cho hàm số y = x3 + 4mx2 + (m+1)x + 3, m là tham số

a) Định m để hàm số có cực trị

b) Viết pt đt đi qua các điêm cực trị của nó

43 Cho hàm số 2 ( 2)

C MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ:

1 Hàm số f(x) đạt cực trị tại x0 thì f’(x0) = 0 Như vậy tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm

(x0;f(x0)) song song với trục hoành Tức là pttt của (C) tại điểm cực trị x0 là: y = f(x0)

2 Đối với hàm bậc 3: y= ax3+bx2+cx+d (a≠0).

Ta có y’ = 3ax2 + 2bx +c

Chia y cho y’ ta được: y = ( ) ' ( )

3 9

y r x a

+ + ; trong đó r(x) là đa thức bậc nhất Tại điểm cực trị thì y’ = 0, do đó ptđt đi qua các điểm cực trị của nó là: y = r(x)

Chú ý: Bài toán này chỉ nên áp dụng khi các nghiệm của pt y’ = 0 chứa biểu thức căn ( các nghiệm

biểu diễn công kềnh) hoặc bài toán có tham số

3 Đối với hàm hữu tỉ y P x( )( )

Q x

= Nếu x0 là điểm cực trị thì y’(x0) = 0

'( ) ( ) '( ) ( )'( )

0

'( ) ( ) '( ) ( )

'( ) 0( )

Ví dụ minh hoạ:

1 Cho hàm số y = x3+4mx2 + (m+1)x +3; m là tham số

a) Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu

b) Viết ptđt đi qua các điểm cực trị đó

Giải: a) y’ = 3x2+8mx+m+1 Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

2' 16m 3m 3 0

y= − m − −m x− m − m+Vậy ptđt đi qua các điểm cực trị là: 2 16 2 4 2 4

m y

x

+

= +

+Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ =0 có 2 nghiệm phân biệt

12

m m

§3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

A Tóm tắt lí thuyết :

1 Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D

*

, ( ) max ( )

: ( )

D





, ( ) max ( )

Pt: f(x) = M có nghiệm D

D

*

, ( ) min ( )

: ( )

D





, ( ) min ( )

Pt: f(x) = m có nghiệm D

D

2 GTLN và GTNN trên 1 khoảng:

Xét D = (a;b), (a và b có thể là +∞ hoặc −∞) Tìm max ( );

D f x min ( )

D f x ? Dựa vào cách tìm cực trị của hàm số, lập BBT và kết luận

Vd: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y x 5 1

x

= − + trên khoảng (0;+∞) Giải: Ta có y’ = 2

1 1

x

− ; y’ = 0 ⇔ = ±x 1 BBT

X 0 1 +∞

y’ - 0 +

y

CT

Vậy (0;min ( )+∞) f x = −3; không tồn tại (0;max ( )+∞) f x = −3 Chú ý: Nếu hàm số chỉ có 1 cực đại hoặc 1 cực tiểu duy nhất thì đó cũng là GTLN (GTNN) của hàm số của hàm số trên khoảng đó. 3 GTLN và GTNN trên 1 đoạn: Cách 1: Lập BBT rồi suy ra GTLN và GTNN Cách 2: Giả sử tồn tại max ( )[ ]; a b f x , min ( )[ ]; a b f x  Nếu f(x) tăng trên [a;b] thì max ( )[ ]; a b f x = f(b) và min ( )[ ]; a b f x = f(a)  Nếu f(x) giảm trên [a;b] thì max ( )[ ]; a b f x = f(a) và min ( )[ ]; a b f x = f(b)  Nếu f(x) có hữu hạn điểm tới hạn trên [a;b], giả sử là x1,x2,x3, ta tìm Max, Min như sau B1: Giải pt f’(x) = 0 tìm các điểm tới hạn x1, x2, x3,…

B2: Tính f(xi); f(a); f(b)

B3: So sánh các giá trị và rút ra kết luận

Vd1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = x + sinx trên đoạn 0;

2

π

Giải: Ta có y’ = 1 + cosx > 0 , 0;

2

x  π

∀ ∈   do đó y tăng trên đoạn 0;

2

π

Vậy: [0;

2

y f

π





= = + và [0;

2

miny f(0) 0

π 



Vd2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = x3 -3x2 – 9x+35 trên đoạn [-4; 4]?

B Các phương pháp tìm GTLN và GTNN :

1 Phương pháp đạo hàm lập BBT ( xem mục 2,3)

2 Phương pháp đánh giá dựa vào các bất đẳng thức

Vd: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y=sinx+ 3 cosx

Giải: Biến đổi lượng giác ta được 2sin( )

3

3 Phương pháp miền giá trị:

Phương pháp này thường sử dụng cho các hàm số lượng giác hoặc các hàm số hữu tỉVd: Tìm GTLN và GTNN của hàm số 2 1

1

x y

+

=+ +Giải: D =R Gọi y0 là giá trị có thể đạt của hàm số Khi đó pt 0 2

11

x y

+

=+ + có nghiệm x2

Vậy: −1/ 3≤ ≤ ∀ ∈y 1, x ¡ Do đó: Maxy = 1 và Miny = -1/3

Vd2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y 2 cos2sinx

x

=+Giải: Gọi y0 là giá trị có thể đạt của hàm số Khi đó pt 0

2sin

2 cos

x y

x

=+ có nghiệm x

1 Nói chung pp1 có thể sd cho mọi ham số

2 Phương pháp 2 thường ít sử dụng vì rất khó, chỉ áp dụng trong trường hợp có thể thấy

ngay việc áp dụng bđt nào

3 Phương pháp thường sử dụng cho các hàm số lượng giác và hàm số hữu tỉ Ta thường

sử dụng điều kiện có nghiệm của các pt sau

a +b ≥c

4 Ngoài ra pp đặt ẩn phụ cũng thường được sử dụng để đưa hàm số về dạng đơn giản trước sau đó mới áp dụng 3 pp trên.

Bài tập:

44 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x2−2x+3 Kq:Min R f(x) = f(1) = 2

45 Tìm giá trị lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x2−2x+3 trên [0;3]

Kq: Min [ 0 ; 3 ] f(x)=f(1)=2 và Max [ 0 ; 3 ] f(x)=f(3)=6

46 Tìm giá trị lớùn nhất của hàm số y = f(x) = x2−x−x1+4 với x<1

Kết quả : Max ( ; 1 )

−∞ f(x) = f(0) = −4

47 Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m3, có dạng hình hộp chữ nhật (không nắp) mà các kích thước của đáy tỉ lệ 1:2 Hỏi: Các kích thước của hồ như thế nào để khi xây ít tốn vật liệu nhất

Kết quả : Các kích thước cần tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m

48 Tìm GTLN: y=−x2+2x+3 Kết quả: Max R y=f(1)= 4

49 Tìm GTNN y = x – 5 +

x

1 với x > 0 Kết quả: Min ( 0 ; )

±∞ y=f(1)= −3

50 Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 + 4 − x 2 Kết quả: Max y ( 2 ) 2 2 5

] 2

; 2 [− = = − ; Min[−2 ; 2 ]y= (−2)= −7

51 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x3+3x2−1 trên đoạn −2;1

a) y = x4-2x2+3 Kết quả: Min R y=f(±1)=2; Không có Max R y

b) y = x4+4x2+5 Kết quả: Min R y=f(0)=5; Không có Max R y

55 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau

+ +

= Kết quả: Min R y=31; Max R y=3

−

α +

− α

1 cos x x

cos x cos x

y 2 2 Chứng minh rằng : −1≤ y ≤ 1

59 Định x để hàm số y = f(x)= lg2x + lg2x1+2 đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất :

Hướng dẫn và kết quả : Txđ: (0; +∞ ) Đặt t= lg2x, t≥0, ⇒ hàm số y=g(t)=t+t+12xác

định trên [0; +∞), dùng đạo hàm đưa đến y’=0 ⇔ t=−3 ∉[0; +∞ ) V t=−1 ∉[0; +∞ ) ⇒ hàm số y=g(t) đồng biến trên [0;+∞ ) ⇒ Min [ 0 ; )

Kết quả: Max [ 0 ; ]

π f(x)=f(π /4)= f(3π /4)=232 ; Min [ 0 ; ]

π f(x)=f(0)=f(π )=0

61 Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

65 Tuỳ theo giá trị của m, tìm GTLN và GTNN của hàm số y=sin6 x+cos6 x m+ sin cosx x

66 Cho hàm số y x2 x m 4

x m

+ + +

=

− Định m để giá trị lớn nhất của hàm số trên [1;3] bằng 2

67 Tìm các giá trị của tham số a và b sao cho hàm sốy ax b2 1

x

+

=+ có GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1

68 Cho hsố f(x) = 4(sin6x + cos6x)+4(sin4x + cos4x) + msinx.cosx Định m để hàm số có GTLN = 9

69 Cho hàm số 2

1

y x

−

=+ Tìm m để Maxy = 2 khi x∈[0;1]

70 Chop x; y là 2 số dương thay đổi thoã mãn 0≤ ≤x 3;0≤ ≤y 4 Tìm GTLN của biểu thức sau (3 )(4 )(2 3 )

A= −x −y x+ y KQ: Maxy = 36 khi x = 0; y = 2

ỨNG DỤNG CỦA GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

Có thể ứng dụng việc tìm GTLN và GTNN của hàm số để giải một số dạng toán sau đây:

1/ Chứng minh các bất đẳng thức:

a) Để CM bđt: f(x) ≥ ∀ ∈m x D, ta tìm Min ( )D f x và chứng tỏ Min ( )D f x ≥m

b) Để CM bđt: f(x) ≤ ∀ ∈m x D, ta tìm Max ( )D f x và chứng tỏ Max ( )D f x ≤m

2/ Định tham số m để phương trình g(x;m) = 0 có nghiệm

B1: Đưa pt về dạng f(x) = h(m)

B2: Tìm Minf(x) và Maxf(x)

B3: pt f(x) = h(m) có nghiệm ⇔Minf( )x ≤h m( )≤Maxf x( )

3/ Định tham số m để bất phương trình g(x;m) ≥ 0 (hoặc g(x;m) ≤ 0 ) có nghiệm

B1: Đưa bpt về dạng f(x) ≥ h(m) (3); hoặc f(x) ≤ h(m) (4)

B2: Tìm Minf(x) và Maxf(x)

B3: Kết luận:

- Nếu (3) có nghiệm ∀ ∈x Dthì inf( )M D x ≥h m( )

- Nếu (3) có nghiệm trên D thì Max x D f( )≥h m( )

- Nếu (4) có nghiệm ∀ ∈x Dthì Max x D f( )≤h m( )

- Nếu (4) có nghiệm trên D thì Min x D f( )≤h m( )

Bài tập: