CHUYÊN đề ôn THI đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH

Số tiết dự kiến: 10T trên lớp + 10T tự họcTrong chương trình toán trung học phổ thông, hệ phương trình là một nội dung quan trọng, thường có trong các đề thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳn

Số tiết dự kiến: 10T trên lớp + 10T tự học

Trong chương trình toán trung học phổ thông, hệ phương trình là một nội dung quan trọng, thường có trong các đề thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng hay trung cấp chuyên nghiệp và trong các đề thi học sinh giỏi các cấp Hệ phương trình có nhiều dạng với nhiều cách biến đổi khác nhau nên có thể gây khó khăn cho học sinh trong việc giải hệ Chính vì thế đây là một nội dung đòi hỏi học sinh phải có tư duy, biến đổi, lựa chọn phương pháp hợp lí để tìm lời giải tốt nhất

Đã có nhiều sách viết về hệ phương trình, tuy nhiên hầu hết là không hệ thống các phương pháp hay sử dụng trong biến đổi hệ, giải hệ; hoặc nếu có thì còn sơ sài, chưa đầy

đủ Chuyên đề “Phương pháp giải hệ phương trình” sẽ giúp cho học sinh có cách nhìn

tổng quát hơn về các phương pháp biến đổi giải hệ Qua đó, hi vọng sẽ giúp các em học sinh có thêm kĩ năng biến đổi, giải hệ phương trình để bước vào các kì thi đạt được kết quả tốt hơn

B NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

I CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CẦN NHỚ:

1 Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc n, n≥2

Phương pháp giải: Bằng phương pháp thế, từ phương trình (1) rút x theo y hoặc

rút y theo x, thay vào phương trình (2) ta được phương trình một ẩn.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 2 2 1 2

x y

2.1 Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại 1 có dạng ( ; ) ( ; ) 0

trong đó các đa thức f x y g x y( ; ), ( ; ) là các đa thức đối xứng đối với x, y

(Đa thức đối xứng đối với x, y là đa thức khi thay đổi vai trò của x và y thì đa thức đó

Giải phương trình trên ta có được các nghiệm (x;y) của hệ phương trình.

Chú ý: Với cách đặt ẩn phụ S, P như trên thì điều kiện có nghiệm là

2

02

S S

P PS

-2.2 Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại 2

Hệ phương trình đối xứng loại 2 có dạng: ( ; ) 0

(trong đó f x y( ); là đa thức đối với x và y)

Phương pháp giải : Biến đổi tương đương, trừ vế hai phương trình ta được

( ) ( ; ) 0

Từ đó đi giải các hệ phương trình (II), (III) sẽ thu được các nghiệm của hệ (I)

Chú ý: Tập nghiệm của hệ (I) là hợp của tập nghiệm hệ (II) và (III).

2

x y

y x x

x y x

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

2 2 2 2

y y y

Chú ý: Trong một số trường hợp để giải hệ phương trình đối xứng loại 2 phải cộng và trừ

theo vế hai phương trình

Ví dụ:Giải hệ phương trình

3 3

 Giải hệ (I) có ( ; ) (0;0) x y =

 Giải hệ (II) có ( ; ) ( 5;x y = − 5),(− 5; 5)

 Giải hệ (III) có ( ; ) ( 11; 11), (x y = − 11;− 11)

Đưa hệ phương trình ẩn x, y về hệ phương trình hai ẩn x, t Chia theo vế hai phương trình,

ta được phương trình một ẩn t Giải phương trình tìm được t, thay vào tìm được x, y.

4

24

y

y y

1 4

1 3

Với t =1 suy ra x = y Thay t = 1 vào (3) có: −2t2 = 4 ⇒vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là (0; 2),(0; 2)− .

Chú ý: Có thể kiểm tra hệ với y = 0; sau đó đặt x ty= rồi biến đổi và giải tương tự.

t t

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm ( ; )x y là (1; 2),( 1; 2), (2;1), ( 2; 1)− − − −

- Với t= 1 thay vào hệ ta được (x y; ) ( )= 1;1 hoặc (x y; ) (= − −1; 1)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x y; ) là ( ) (1;1 , 1; 1− − ).

24 2 2 0

14

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ HỆ PHUƠNG TRÌNH KHÁC:

Các hệ phương trình này không có dạng đối xứng, không là hệ đẳng cấp, việc áp dụng phương pháp giải hợp lý sẽ giúp ích cho học sinh trong việc tìm ra lời giải ngắn gọn, chính xác

Hướng dẫn: Phương trình (2) có dạng bậc nhất đối với y, ta tìm cách rút y qua x.

Lời giải:

• Ta thấy x = 0 không thoả mãn phương trình (2).

• Với x≠0, từ (2) có:

2 11

x y x

Có x=0không thoả mãn Khi đó, thay x vào ta tìm được y

Hệ phương trình có hai nghiệm ( ; )x y là (1;-1), (-2; )-5

Hướng dẫn: Ta có thể nhận thấy nếu thế số 12 ở phương trình (2) vào phương trình (1)

thì ta được phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với x và y, từ đó rút được x qua y.

Thay x= −2y vào phương trình (2) ta được:12y2 =12⇔ = ±y 1

Hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là (2; 1),( 2;1) − − .

• Với x=0, thay vào (2) không thỏa mãn ⇒hệ vô nghiệm

• Với x= −4, thay vào (2) ta được 17

2 Phương pháp biến đổi tương đương:

Phương pháp này chủ yếu dựa vào những kỹ năng biến đổi đồng nhất, phân tích bằng cách cộng, trừ, nhân, chia, bình phương, lập phương, nhân chia biểu thức liên hợp,… nhằm đưa một phương trình của hệ về dạng đơn giản hơn

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

 Giải hệ phương trình (*) ta được nghiệm ( ; ) (2; 4)x y =

 Giải hệ phương trình (**) ta được nghiệm ( ; ) (113; 161)

Hướng dẫn: Phương trình (1) có thể phân tích được thành phương trình tích:

x y y



⇔ = ⇔ =

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; ) (5; 2)x y =

Nhận xét: Với các hệ phương trình trong ví dụ 1, ví dụ 2, phương trình (1) của mỗi hệ

có dạng là phương trình (bậc hai) theo ẩn x hoặc y, khi đó ta coi ẩn còn lại là tham số

Giải phương trình bậc hai đó theo tham số ta có thể tìm được các phân tích như trên

Hướng dẫn: Coi phương trình (2) là phương trình bậc hai đối với ẩn y, tham số x Tìm

nghiệm y qua tham số x, sau đó thay vào phương trình (1) để tìm nghiệm của hệ.

(Có thể coi là phương trình bậc hai đối với ẩn x, tham số y và làm tương tự)

 Với y= −4 x, thay vào (1) ta được (x y; ) ( )= 0; 4 hoặc (x y; ) ( )= 4;0

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm ( ; )x y là (0; 4), (4;0), ( 4;0)

5

−

Hướng dẫn: Bình phương hai vế phương trình (1) làm xuất hiện nhân tử chung.

Lời giải: Điều kiện: x y≥ ≥0

Bình phương hai vế phương trình (1) ta được: 2x+2 x2−y2 =4y

 Với xy=1 có (x y; ) ( )= 1;1 hoặc (x y; ) (= − −1; 1)là nghiệm

 Với x=2 ,y thay vào ta được ( ; ) 2 10; 10

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm (x y; ) là (− −1; 1),( )1;1 , 2 10; 10

• Nếu x=0thì y=0, ngược lại, nếu y= ⇒ =0 x 0, do đó hệ có nghiệm ( ; ) (0;0)x y = .

• Nếu xy≠0: Nhân hai vế của (2) với x rồi cộng với (1) ta được:

2

1

(*) ( 2) 3

(**) ( 2) 3

Ẩn phụ có thể xuất hiện ngay trong từng phương trình hoặc phải qua một số phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một giá trị, biểu thức khác 0

5215

x

x y y

15 1

4

u v

xy x y

x y x

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; ) (1;0)x y =

545

04

45

254

16

x

x y xy

Do a b b

x x

y y x x

Thay x=1 vào (1) có y=1

Ta có ( ; ) (1;1) x y = thoả mãn (2) và thoả mãn điều kiện

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; ) (1;1)x y =

Hệ phương trình (II) là hệ đối xứng loại 2, học sinh đã biết cách làm.

Hệ phương trình có hai nghiệm( ; ) x y là (1 5 1; 5), (1 5 1; 5)

Suy ra mâu thuẫn, vậy với x>2 hệ vô nghiệm

Nếu x<2: Tương tự ta cũng suy ra điều mâu thuẫn

Với x = 2, thay vào có y = 2 suy ra ( ; ) (2; 2) x y = là nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; ) (2;2)x y =

Thay x = = y 1 vào phương trình (2) thoả mãn

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ; ) (1;1)x y =

6 Phương pháp hàm số

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để tìm nghiệm, như vậy để áp dụng được phương pháp này học sinh phải được trang bị các kiến thức về sự đơn điệu của các hàm số, cách chỉ ra tính đơn điệu của hàm số Trong phương pháp này qua các phép biến đổi thường xuất hiện phương trình có dạng f x( )= f y( ), trong đó hàm số f đơn điệu trên miền xác định của nó

Vậy từ (1) suy ra x = y, thay vào (2) có: x8+ − =x4 1 0

Đặt a x = 4 ≥ 0, giải phương trình tương ứng có 1 5 4 1 5

Hướng dẫn: Phương trình (1) viết về dạng f ( )2x = f ( 5 2− y) với f t( ) =t t( 2+1)

Lời giải: Điều kiện 3, 5

x≤ y≤

x= là nghiệm duy nhất của (5) Thay vào (4) ta được y=2.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; ) 1; 2

=



⇔  = (do y≥0)Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x y; ) là ( ) ( )1;0 , 2;1

-III BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giải các hệ phương trình sau:

12

3 2

1 ( )(1 ) 5

2 4

-C KẾT LUẬN CHUNG

Hệ phương trình là một nội dung quan trọng, đòi hỏi học sinh phải biết cách tư duy, biến đổi, lựa chọn phương pháp giải phù hợp Chuyên đề đã nêu lên các dạng hệ phương trình thường gặp, các phương pháp hay sử dụng trong biến đổi giải hệ phương trình Tuy nhiên, do đây là một nội dung rộng, gồm nhiều dạng và hàm chứa nhiều cách biến đổi nên việc đưa ra các phương pháp đôi khi còn mang tính tương đối Hi vọng qua bài viết này phần nào giúp cho học sinh có tư duy tốt hơn, thành thạo kỹ năng biến đổi giải hệ và một số các kiến thức liên quan

Các kiến thức trong chuyên đề cũng đã được tôi áp dụng với học sinh các lớp tôi dạy và cũng thu được một số kết quả khả quan Tuy nhiên, do kiến thức cá nhân có hạn, kinh nghiệm giảng dạy còn nhiều hạn chế và bài viết cũng chưa được áp dụng nhiều đối với các đối tượng nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót Hi vọng sẽ nhận được sự góp ý của các thầy cô, anh chị đồng nghiệp để chuyên đề được hoàn thiện hơn và có ứng dụng rộng rãi hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Vĩnh Tường, ngày 06 tháng 03 năm 2014

Giáo viên thực hiện:

Đỗ Gia Chuyên