Bất đẳng thức và bài toán MinMax ôn thi THPT Quốc Gia 2016

Nhìn vào biểu thức P ta thấy P cĩ dạng hai biến khơng đối xứng nhưng nhờ sự phân tích hợp lý kết hợp với việc chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cơsi ta tìm được giá trị nhỏ nhất của P..

CHUYÊN ĐỀ 10

BẤT ĐẲNG THỨC BÀI TOÁN MIN - MAX

Bài 1 Cho x , y , z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện 1

2z    Tìm giá trị nhỏ x y znhất của biểu thức

    

Suy ra f t nghịch biến trên   1;1

Bài 2 Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn 1; 2 

  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

44

11

t P

t t

t

f t

t t

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 8 17

Bài 3 Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x2y26z2 4z x y Tìm giá trị nhỏ

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: '' a  , 1 b  1  2

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên và kết hợp với P , ta được

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: '' a2b2 6 4a b  3

Từ  1 ,  2 và  3 , suy ra dấu '' xảy ra khi: '' a  , 1 b  1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1

2

2 , khi x  y z

Nhận xét Nhìn vào giả thiết ta thấy hai biến x , y cĩ vai trị đối xứng nhau, cịn biến z cĩ vai trị khơng đối xứng Điều này gợi ý cho ta đưa bài tốn đã cho về bài tốn mới với 2 biến cĩ vai trị đối xứng nhau, loại bỏ

đi 1 biến thừa khơng cần thiết và việc khĩ của cách giải này là chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cơsi

Bài 4 Cho a , b , c là các số thực thỏa mãn điều kiện a2b3 a  b 1 3 b3c 2 3c Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P  a 2b3c

HƯỚNG DẪN GIẢI

Gọi D là tập giá trị của P Khi đĩ mD khi và chỉ khi hệ sau cĩ nghiệm:

Nhận xét: Đây là một phương pháp dùng để tìm GTNN, GTLN của một biểu thức Phương pháp này gọi là

‘’Miền giá trị’’ dựa vào điều kiện cĩ nghiệm của hệ phương trình đối xứng loại 1 Dạng tốn này nằm trong chương trình cơ bản của SGK lớp 10 Đặc thù của dạng này là tìm được GTNN, GTLN của biểu thức P nhưng khơng cần chỉ rõ biểu thức đạt tại đâu vì hệ (1) cĩ nghiệm thì khi đĩ chắc chắn sẽ tồn tại a , b , c Để cho thành thạo hơn, các em cĩ thể làm thêm ví dụ '' Cho x , y là hai số thực thỏa mãn

x x   y   Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P y   '' x y

Bài 5 Cho x , y , z là ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

HƯỚNG DẪN GIẢI

Từ giả thiết abc  a c b, suy ra ac 1

Thật vậy: Giả sử ac 1, từ abc  a c b, suy ra a    c 0 a c

Điều này vơ lý với giả thiết a , b , c là ba số thực dương

2 2

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: '' x 2y

t



 Xét hàm số   2

P  Từ  1 và  2 , suy ra dấu '' xảy ra khi: '' x  , 4 y  2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 8

HƯỚNG DẪN GIẢI

Từ giả thiết ta cĩ 16x242y4x2y2 4 2x y, suy ra 0xy 8

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

P  Từ  1 và  2 , suy ra dấu '' xảy ra khi: '' x  , 2 y  4

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 27

Khi đó:

2 2

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2 ; khi x  2 , 1 y  2 , 1 z  1

Nhận xét: Thoạt đầu nhìn vào biểu thức P thấy rất cồng kềnh nhưng dùng giả thiết thì nó lại đơn giản Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki thì ta có thể đưa P về một biểu thức gọn hơn chỉ còn chứa z Cuối cùng là đặt t và xét hàm

Bài 12 Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện x  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức z

Suy ra P  5 Từ  1 và  2 , suy ra dấu '' xảy ra khi: '' x 2y4z

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 5 ; khi x 2y4z

Nhận xét: Bạn đọc cần lưu ý các bất đẳng thức phụ ở phần chứng minh vì nó chính là mấu chốt giúp chúng ta giải quyết những bài toán loại này Chú ý rằng:

Dấu ''  xảy ra khi a''  hoặc b ab  1

Bài 13. Cho ba số thực x , y , z thuộc đoạn  

1; 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

36x 2y z P

Suy ra P  Dấu ''7  xảy ra khi và chỉ khi: '' x  , 1 y  , 3 z  3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 7; khi x  , 1 y  , 3 z  3

Nhận xét: Cách làm này chỉ áp dụng khi các biến x, y, z không phụ thuộc lẫn nhau chúng phải là các biến tự

do trong một đoạn Bạn đọc có thể áp dụng cách làm này để giải đề thi Đại học khối A năm 2011 Tuy tính toán biến đổi hơi vất vả nhưng dễ làm '' Cho x, y, z là ba số thực thuộc 1; 4 

Bài 14. Cho x , y , z là ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện 5x2y2z26xyyzzx

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

Ta có    

2 2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f x   10 với mọi x  0

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: '' 2

và z Sau đó ta biến đổi để đánh giá biểu thức P f x  và đến đây thì mọi việc đã đơn giản vì chỉ còn xét hàm là giải quyết bài toán

Bài 16. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện  2

12

t

 

 , 0  t 4

P  Từ  1 và  2 , dấu '' xảy ra khi: '' x  , 1 y  2, z  1

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 21

5 ; khi x  , 1 y  2, z  1

Nhận xét Bài toán này khó ở chổ dùng giả thiết để đánh giá x2y2z2 Việc còn lại thì áp dụng bất 4

đẳng thức Côsi và xét hàm là hoàn toàn đơn giản

Bài 17. Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn điều kiện xyz   và 1 x4y4 8xy Tìm giá trị lớn 6

Bài 18. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện xzy xy zx z2 2 4y2 và xz 2y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Nhận xét Nếu ngay từ đầu ta đưa biểu thức P về biểu thức chứa biến y

HƯỚNG DẪN GIẢI

Từ giả thiết ta suy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 21 ; khi x   y 1

Nhận xét Nhìn vào biểu thức P ta thấy P cĩ dạng hai biến khơng đối xứng nhưng nhờ sự phân tích hợp lý kết hợp với việc chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cơsi ta tìm được giá trị nhỏ nhất của P

Bài 20. Cho x , y , z là ba số thực khơng âm và thỏa mãn điều kiện x2y2 Tìm giá trị lớn nhất của 0

Áp dụng bất đẳng thức 2 2 1 2

2

a b  ab , a b,   Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: a''  b

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

P  Từ  1 và  2 , suy ra dấu '' xảy ra khi: '' x   y t 1

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1

3; khi x   , y 1 z  0

Nhận xét Bài toán sử dụng qua hai lần đổi biến và áp dụng hai bất đẳng thức phụ mới đưa đến được biểu thức cần xét hàm đặc trưng Nhưng nếu bạn đọc đã nghiên cữu kỹ về điều này thì nó không còn khó nữa

Bài 21. Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn 1; 4 

  và x   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức z y

Như vậy kết hợp hai bất đẳng thức ta suy ra  * đúng và dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: a''  b

1

t P

t







Xét hàm  

2 2

4

P  Từ  1 và  2 , suy ra dấu '' xảy ra khi: x''   y z

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5

Do đó với A , B , C là ba góc của tam giác ABC

Bài 23. Cho ba số thực x , y , z thỏa mãn x  , 1 y  , 0 z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 0

P  Từ  1 và  2 , suy ra dấu '' xảy ra khi: '' a   b c 1

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1

xy xy

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: x''  và y z  1  1

P  Từ  1 và  2 , suy ra dấu '' xảy ra khi: '' x    y z 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3

2; khi x    y z 1

Nhận xét: Bất đẳng thức phụ  * thường hay được áp dụng trong các bài toán tìm min, max của biểu

thức chứa 2 biến hoặc 3 biến Bất đẳng thức  * còn có một dạng khác nữa mà bạn đọc nêm chú ý

Bài 25. Cho các số thực không âm x , y , z thỏa mãn xzyz 1 xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

c P

c c

c

f c

c c

 2 2

Bài 27. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn x2 y2 z2  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1

x   y z

Nhận xét Bài toán khá khó khi có sự lồng ghép giữa bất đẳng thức Côsi và giả thiết để đưa biểu thức P

về dạng đặt được ẩn phụ Những kỷ thuật này bạn đọc cần nắm để vận dụng cho bài khác.

Bài 28. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn x maxx y z; ;  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Dấu " xảy ra khi và chỉ khi: x"   y z

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1 232; khi x   y z

Nhận xét: Bài toán áp dụng kỷ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi khá hay.

Bài 29. Cho x , y là các số thực thỏa mãn: 2

2 2

HƯỚNG DẪN GIẢI

Đặt x  Từ giả thiết bài tốn ta cĩ z a xz y z hay 1 y z 1

P t



Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

1;min f t f 2 3

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi:  '' t 2 a2 2  2

Suy ra P  Từ 3  1 và  2 , suy ra dấu '' xảy ra khi: ''

Nhận xét: Bằng việc đổi biến thích hợp và vận dụng bất đẳng thức Côsi ta đưa biểu thức P về còn một

biến Bước tiếp theo ta chỉ việc xét hàm đặc trưng

Bài 31. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn x   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y z 1

34

2 2 2

29

94

Bài 32. Cho x , y , z là ba số thực không âm thỏa x2y2z2  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức1

Ta chứng minh:   2 2

2 1yz  x y z  * với x2y2z2 1Thật vậy,  *  2 4yz2y z2 2 x2y2z22xyyzzx

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: x''  , y z  0  1

Tiếp tục ta chứng minh: 22xyz    x y z  * *

Nhận xét: Bài toán khá khó khi đi từ các bất đẳng thức cơ bản kết hợp với giả thiết để đưa biểu thức P

về dạng đối xứng và tự triệt tiêu các biến

Bài 33. Cho ba số thực x , y , z không âm đồng thời thỏa mãn điều kiện z maxx y z; ;  và

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: '' t    1 x y z  3

Suy ra P  Từ 4  1 ,  2 và  3 , suy ra dấu '' xảy ra khi: x''  , z y  0

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 4 ; khi x  , z y  0

Nhận xét: Bài toán nhìn vào hình thức rất đẹp mắt Ở đây ta sử dụng bất đẳng thức Côsi để biến đổi biểu thức P về dạng đặt được ẩn phụ dùng cho việc xét hàm đặc trưng

Bài 34. Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a2b2c2ab2bc2ca 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Xét f t  42 2

t t

Suy ra P  Từ 2  1 và  2 , suy ra dấu '' xảy ra khi: '' x   y 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 ; khi a   b c

Nhận xét: Bằng việc đổi biến hợp lý ta đưa biểu thức P từ ba biến về thành hai biến mới Vận dụng giả thiết kết hợp với các bất đẳng thức cơ bản đề đưa P về một biểu thức đặt được ẩn phụ

Bài 35. Cho a , b , c là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của :  

3 2

1'

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

Nhận xét: Bài toán khá đơn giản chỉ cần bạn đọc biết được kỷ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi

để biến đổi P về biểu thức đối xứng và đặt được ẩn phụ

Bài 36. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa x2y2z23y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

HƯỚNG DẪN GIẢI

Từ giả thiết ta cĩ sự đánh giá:

 2   2   2   2 2 2

2x4y2z  x 1  y 4  z 1  x y x  6 3y 6Suy ra 2x  y 2z  6

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: '' x 1;y2;z  1  1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1 ; khi x 1;y2;z  1

Nhận xét: Ban đầu nhìn vào ta thấy biểu thức P ba biến nhưng khơng đối xứng chắc cĩ vẻ phức tạp, nhưng chỉ cần áp dụng đánh giá trên thì ta đưa P về dạng đơn giản hơn cĩ sự gắn kết giữa các biến Sau

đĩ tiếp tực vận dụng giả thiết và bất đăng thức Cơsi để tìm ra được giá trị nhỏ nhất của P

Bài 37. Cho x , y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện x  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y 2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

Nhận xét: Bạn đọc cũng có thể giải theo cách lượng giác hóa

Bài 39. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn x  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y z

y

z y

b y

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: '' c  4  2

Suy ra P  Từ 4  1 ,  2 và điều kiện abc  , suy ra dấu ''1  xảy ra khi: ''

12

a  , b c  hay 4 x2y4z

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 4 ; khi x 2y4z

Nhận xét: Bài toán khá hay khi đổi biến để được biểu thức P đơn giản hơn, kết hợp áp dụng bất đẳng thức Côsi và giả thiết để đưa P về biểu thức một biến

Bài 40. Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a23b c2 22abc Tìm giá trị nhỏ nhất

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi : '' a  1  2

Suy ra P  Từ 3  1 và  2 , suy ra dấu '' xảy ra khi: '' a   b c 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 ; khi a   b c 1

Nhận xét: Từ giả thiết ta thấy a và 2a thì ta nghĩ đến hằng đẳng thức chứa a để đánh giá bc 2

Bài 41. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức z

P  Từ  1 ,  2 và  3 , suy ra dấu '' xảy ra khi: x''   y z

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5

2; khi x   y z

Nhận xét: Biểu thức P chứa ba biến nhưng không đối xứng Áp dụng bất đẳng thức phụ (*) và (**) để đưa biểu thức P về còn hai biến ở dạng đặt được ẩn phụ để xét hàm đặc trưng Những bất đẳng thức phụ có dạng (*) và (**) thường xuyên được áp dụng để dồn biến nên bạn đọc nên nhớ

Bài 42. Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa mãn a2b2c22ab3a b c Tìm giá trị nhỏ

HƯỚNG DẪN GIẢI

Từ giả thiết bài tốn và áp dụng đánh giá  2

 Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: '' t      6 a b c 6  2

Suy ra P 310 Từ  1 và  2 , dấu '' xảy ra khi: '' a  ; 1 b  ; 2 c  3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 310 ; khi a  ; 1 b  ; 2 c  3

Nhận xét: Biểu thức P chứa ba biến nhưng khơng đối xứng Bằng cách áp dụng bất đẳng thức AM – GM, kết hợp với việc chọn điểm rơi ta đưa được P về biểu thức dạng đối xứng giữa ba biến Đến đây thì bài tốn hồn tồn đơn giản

Bài 43. Cho x , y , z là ba số thực thuộc 0;1 và thỏa mãn x   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu y 1 z

HƯỚNG DẪN GIẢI

Do x , y , z0;1

 , ta cĩ xy  và 1 z2  zSuy ra xyz2  mà 1 z1 z    nên x y xyz2  x y

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: '' x    y z 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3

2; khi x    y z 1

Nhận xét: Bằng cách vận dụng giả thiết kết hợp với đánh giá ta đưa được biểu thức P về dạng biểu thức đối xứng ba biến x , y , z Biểu thức P ở dạng này rất quen thuộc, tiếp tục áp dụng đánh giá  * (chứng

minh dựa vào bất đẳng thức Cơsi cho ba số) ta tìm được gái trị nhỏ nhất của P

Bài 44. Cho x , y , z là các số thực khơng âm thỏa mãn điều kiện xyyzzx Tìm giá trị nhỏ nhấ 0của biểu thức:

42

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: '' x 2y và z  0  2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

0;min f t f 4 4 5 2

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: '' t   4 x 2y4z  4  4

Suy ra P  4 5 2 Từ  1 ,  2 ,  3 và  4 , suy ra dấu '' xảy ra khi: ''

x  y , z  0

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 45 2; khi x 2y , 2 z  0

Nhận xét: Bài toán rất khó khi có sự kết hợp hai biểu thức A và B Ở biểu thức A ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (*), biểu thức B sử dụng bất đẳng thức phụ (**)

Bài 45. Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn x2y2z2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

HƯỚNG DẪN GIẢI

Suy ra f t đồng biến trên     1;  nên f t f    1 3

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi: '' t 1 x y z 0

Bài 46. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn 1 1 1

x y  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức z

P  Từ  1 và  2 , suy ra dấu '' xảy ra khi: '' x  y 2z

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 33

4 ; khi x  y 2z

Nhận xét: Bài toán khá nhẹ nhành khi sử dụng giả thiết biến đổi cơ bản để đưa P về biểu thức đặt được

ẩn phụ t Ở đây ta áp dụng đánh giá là để tìm miền giá trị cho tham số t

Bài 47. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn 1 1 2

x y  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức z

Suy ra P  Dấu ''4  xảy ra khi và chỉ khi: '' a  1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 4 ; khi x   y z

Cách 2 Từ giả thiết, ta có 1 1 2 2xy

z

 Thay vào  P , ta được: 2 2