Khoá luận tốt nghiệp toán ứng dụng thặng dư logarit để tìm số không điểm của hàm giải tích

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “ứ ng dụng Thặng dư logarit đ ể tìm số không điểm của hàm giải tích” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác... 23 25 25 26 27 Mối l

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

LÒI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn Quốc Tuấn - Người thầy đã tận tình hướng dẫn

và giúp đố tôi để tôi hoàn thành bài khóa luận của mình Thầy không chỉ dạy cho tôi kiến thức mà còn rèn cho tôi tính cẩn thận, tỉ mỉ và chính xác Hơn nữa, tôi đã học được rất nhiều ứng dụng công nghệ thông tin vào Toán học từ thầy Thầy đã dạy cho tôi biết rằng khi làm bất cứ việc gì đều phải dành hết tâm huyết thì mới hoàn thành tốt được công việc Với những lời dạy quý giá

đó, tôi sẽ luôn ghi nhớ và cố gắng thực hiện

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô trong

tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt bài khóa luận này

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, Ngày 14 tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Trương Thị Tuyết Hạnh

LÒI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn

tận tình của ThS Nguyễn Quốc Tuấn.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này tôi đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “ứ ng dụng Thặng dư logarit đ ể tìm

số không điểm của hàm giải tích” không có sự trùng lặp với kết quả của các

đề tài khác

Hà Nội, Ngày 14 tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Trương Thị Tuyết Hạnh

Mục lục

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1.Hàm biên phức

1.1.1.

1.1.2.

1.2.

1.3.

Đ ị n h n g h ĩ a h à m b i ế n p h ứ c 7

T í n h liế n tu c v à liê n tu c đ ê u l 7

8

11

Chuỗi hàm Tích phân ]làm giải tích 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 K h á i n i ệ m h à m g iải tíchỊ 11

11

12

Đ ị n h lý C a u c h y c h o m i ê n đ ơ n liê n Đ ị n h lý C a u c h y c h o m i ê n đ a liê n 1.4. 1.4.1 1.4.2. 1.5. Chuỗi Taylor Đ ị n h lý T a y l o r Đ ị n h lý d u y n h ấ t Chuỗi Laurent 1.5.1 1.5.2. 1.6. 1.6.1 1.6.2 S ự t ồ n tại c ủ a n g u y ê n h à m 13

14

14

15

15

15

16

18

18

21

Đ ị n h lý L a u r e n t Đ i ể m b â t t h ư ờ n g c ủ a h à m g iải tích Khái niệm thặng dư và các định lý cơ bản của thặng dư Đ ị n h n g h ĩ a v à c á c h tín h C á c đ ị n h lý cơ b ả n vê t h ặ n g d ư giai Chương 2 ứ n g dụng Thặng dư logarit đ ể tìm số không điểm của hàm ’ ỉ tíchl ! 22

2.1. 2.1 1 2.1.2 2.1 3 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Thặng dư logarit 22 K h ô n g đ i ể m c ủ a h à m g iải t í c h 22

C ự c đ i ê m c ủ a h à m g iải t í c h 22

T h ặ n g d ư l o g a r i t 23

25 25 26 27 Mối liên hệ của cực điểm, không điểm của hàm giải tích Sô không điếm của tống hai hàm giải tích Nguyên lý bảo toàn miên Tính chât của dãy các hàm giải tích hội tụ đều trên tập compact M ột sồ ví d ụ 28

MỞ ĐẦU

Giải tích phức, hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức là một nhánh của toán học nghiên cứu các hệ hàm số một hay nhiều biến và các biến số đều là

số phức (các ánh xạ giữa C" và ư n) Giải tích phức là một trong những ngành

cổ điển của toán học, bắt nguồn từ khoảng thể kỷ 19 và thậm chí có thể là trước đó M ột số nhà toán học nổi tiếng nghiên cứu lĩnh vực này như Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, W eierstrass và nhiều nhà toán học khác ở đầu thế

z = x + iỵ va w = f ( z ) = u(z) + iv(z),

trong đó x ,y e M và u(z), v(z) là các hàm thực Nói cách khác, các thành phần của hàm f(z ):

u = u( x , y ) và V = v(*,;y)

có thể hiểu như các hàm thực của hai biến thực Jt và y

Các khái niệm cơ bản của giải tích phức thường được nghiên cứu dựa trên

mở rộng các hàm thực sơ cấp (ví dụ như: hàm mũ, hàm logarit và các hàm lượng giác) lên miền phức

Năm 1890, bài báo "Oeuvres Completes" của Cauchy được công bố, trong

đó nghiên cứu tích phân hàm biến phức mà ta hay gọi là tích phân Cauchy

Công thức tích phân Cauchy cho hàm biến phức / mà có đạo hàm tại điểm Zo

thì nó có đạo hàm mọi cấp tại điểm đó Công thức tích phân Cauchy và các hệ quả của nó là những kết quả rất quan trọng và nhiều ứng dụng trong Lý thuyết hàm biến phức Từ kết quả đó, người ta thấy rằng hàm / có thể khai triển

được thành chuỗi lũy thừa có tâm tại điểm Zo- Trái lại, nếu hàm / không giải tích tại điểm Zo thì hàm / vẫn có thể khai triển được thành một chuỗi khác mà

ta gọi là chuỗi Laurent Năm 1843, chuỗi Laurent lần đầu tiên được xuất bản bởi Pierre Alphonse Laurent và sau này chuỗi đó được đặt tên theo tên của ông Cũng có thông tin Karl Weierstrass mới là người phát hiện ra chuỗi đó đầu tiên Tuy nhiên, bài báo của ông được viết vào năm 1841 đã không được công bố cho đến khi ông qua đời Khái niệm chuỗi Laurent sẽ dẫn đến khái niệm thặng dư Ngược lại, với lý thuyết thặng dư chúng ta có thể thực hiện các tính toán trong các bài toán ứng dụng.

Khái niệm về thặng dư logarit đã được nhiều người đưa ra vào nửa cuối thế kỉ 20 do nhu cầu phát triển việc thực hiện tính toán các bài toán ứng dụng Khi nghiên cứu về ứng dụng trong giải tích toán học, thặng dư logarit cho ta một công cụ để tìm số cực điểm và không điểm của m ột hàm trên m ột miền nào đó Vào thời gian này, các nhà khoa học đã tìm ra mối liên hệ của cực điểm và không điểm của hàm giải tích, đó chính là nguyên lý Argum ent (xem Ịl5lỊ) Đồng thời, các nhà khoa học cũng nghiên cứu được cách tìm số không điểm của tổng hai hàm giải tích (Định lý Rouché) (xem 0 ) Năm 1962, định

lý Rouché được chứng minh một cách rõ ràng bởi Estermann (xem 10) Đến năm 1982, Challener và Rubel cũng đã chứng minh được định lý ngược của định lý Rouché (xem [Hl)- Định Hurwitz được đặt tên theo tên nhà toán học

A dolf H urwitz đã đưa ra tính chất của dãy các hàm giải tích hội tụ đều trên tập compact Như vậy, thặng dư logarit là một ứng dụng không những đóng vai trò quan trọng trong giải tích mà còn ngày càng phát triển rộng rãi trong Toán học Với khóa luận này tôi nghiên cứu đề tài “ ứ n g d ụ n g T h ặ n g d ư

logarit đ ể tìm số không điểm củ a h àm giải tích ” Nội dung nghiên cứu của

tôi tuy không phải là những kết quả mới được tìm thấy, nhưng với tinh thần hoc hỏi, tìm tòi kiến thức mới, hi vọng đề tài này sẽ đem lại nhiều kiến thức

bổ ích cho bản thân và nhiều thú vị cho độc giả

Vì vậy, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo ThS.Nguyễn Quốc Tuấn và sau một thời gian nghiên cứu, tôi trình bày khóa luận với nội dung gồm hai chương:

Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản của lý thuyết hàm giải tích một biến phức, đó là khái niệm và các tính chất của hàm giải tích, lý thuyết tích phân Cauchy, lý thuyết chuỗi và thặng dư

Chương 2 trình bày lý thuyết thặng dư logarit; mối liên hệ của cực điểm, không điểm của hàm giải tích; tìm số không điểm của hàm số trong một miền; nguyên lý bảo toàn miền và tính chất của dãy các hàm giải tích hội tụ đều trên tập compact Đồng thời, từ lý thuyết Thặng dư logarit đã trình bày, áp dụng

tìm số không điểm của hàm giải tích.

Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực bản thân nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự quan tâm, góp ý của thầy cô và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

1.1.2 Tính liên tục và liên tục đều

Cho ù) = f ( z ) xác định trên tập tùy ý Q, z E n , zo là điểm tụ của £2 Ta nói hàm f ( z ) khi z dần đến zo có giới hạn

lim f ( z ) = CI,CI e c ,

z—>-Zonếu

Ve > 0 ,3 5 = ỗ (e,zo ) sao cho Vz G n v à o < \z — zo\ < ỏ

V z G Í l ,|z - z o | < ổ thì | / ( z ) - / ( z o ) | <£■

Nếu Zo là điểm cô lập cuả Q thì quy ước / liên tục tại ZQ Nếu hàm số / liên tục trên tập Q thì ta nói / liên tục tại mọi điểm thuộc Q Ta nói hàm / liên

tục đều trên tập £2, nếu

Ve > 0,3Ỗ = ô( e) > 0 sao cho

V zi,z2 e ũ m ầ \ zỉ - z 2\ < ỏ thì \ f { z 2) - f { z ] ) \ < £.

N h ận xét 1.1.1 Nếu / liên tục đều trên Q thì liên tục trên £1.

Đ ịnh lý 1.1.1 (xem (О ) Nếu / liên tục trên tập com pact к с с thì / liên tục đều trên К

Đ inh lý 1.1.2 (xem Щ ) Nếu / liên tục trên tập com pact к с с thì hàm

z —>• \ f ( z ) \ đạt cận trên đúng và cận dưới đúng trên K, tức là tồn tại a, b G к

Đ ịnh ng h ĩa 1.2.1 (xem Щ ) Giả sử {fn}, z G £2 là một dãy hàm phức xác

định trên Г2 Tổng vô hạn / i (z) + /2(2) H -, kí hiệu là

00

11= 1

được gọi là chuỗi hàm trên £2

Nếu đặt đối với mỗi n > 1

s n{z) = ỵ , f k ( z ) , z e £1,

k=\

ta nhận được dãy hàm { s/z} trên £2 Dãy hàm này được gọi là dãy các tổng

riêng của chuỗi hàm ị \ 2.1Ị) Hơn nữa, s n(z) được gọi là tổng riêng thứ n.

Chuỗi hàm (Ịl.2.11) được gọi là hội tụ hay khả tổng nếu dãy { s n} hội tụ Nếu dãy {Sn} hội tụ đều thì chuỗi d 1.2.1 Ị) được gọi là hội tụ đều Hàm

i Chuỗi (Ị1.2.1D hội tụ nếu và chỉ nếu

Đ ỉnh lý 1.2.3 (xem ||3]j) Nếu chuỗi d 1.2.1 Ị) hội tụ đều và ọ (z) là hàm bị chặn

trên Q thì chuỗi

oo

ỵ , <p ( z ) f n { z ) n= 1

hội tụ đều.

Đ ỉnh lý 1.2.4 (xem [Щ) Nếu chuỗi (Ị1.2.1Ị) hội tụ đều và các hàm f n liên tục

trên Q thì tổng f của nó cũng liên tục trên Q

Đ ỉnh lý 1.2.5 (xem Щ ) Giả sử chuỗi d 1.2.1 Ị) hội tụ đều trên Q và Zo G до

Giả sử tồn tại các giới hạn hữu hạn

Z^Zo n=ỉ _ , n=ỉ _ Z^Zo

N h ận xét 1.2.1 Từ định lý 1.2.5 suy ra nếu chuỗi (Ị1.2.1Ị) hội tụ đều trên Í2

và các hàm f n liên tục trên Q thì chuỗi cũng hội tụ đều trên Q và tổng của nó

sự hội tụ này là không đều trên D (о, 1 ).

Thật vậy, giả sử chuỗi £ zn hội tụ đều trên D (0 ,1 ) Vì mọi hàm zn liên

n=0

-|-oo

chuỗi ỵ, zn hội tụ trên hình tròn đóng

tục trên С nên theo nhận xét 1.2.1

/2 = 0

D ( 0 ,1) Với z = 1 € D ( 0 ,1) thì lim s n = lim \ n = o o , chuỗi £ \ n phân kỳ

1.3.1 Khái niệm hàm giải tích

Đ ịnh ng h ĩa 1.3.1 (xem [O ) Cho hàm (0 = f ( z ) xác định trên miền í ì , Zo e £1

Nếu tồn tại giới hạn

ị /(z ọ + Az) ~ / ( z 0)

Az->0 A z thì ta nói hàm ù) = f ( z ) khả vi (hay có đạo hàm) tại Zo- Giới hạn đó được gọi

là đạo hàm tại Zo, kí hiệu f ( z o ) hoặc (ởf ( zo )

Đ ịnh ng h ĩa 1.3.2 (xem [QỊ]) Cho hàm (ở = f ( z ) xác định trên miền £2, Zo e Nếu hàm số ú) = f ( z ) có đạo hàm tại z = Zo và tại mọi điểm trong lân cận của

điểm ZQ thì f ( z ) giải tích tại Zo và ZQ là m ột điểm thường của f ( z )

Đ ịnh n g h ĩa 1.3.3 (xem (Ù ) Giả sử f ( z ) giải tích tại mỗi điểm thuộc miền Í2 Khi đó, hàm (ở = f ( z ) được gọi là giải tích trên miền Í2.

1.3.2 Định lý Cauchy cho miền đơn liên

Đ ịnh lý 1.3.1 (Cauchy, xem Q ) Nếu hàm Q, = f ( z ) giải tích trong miền đơn

liên Q thì với mọi Ỵ, ta có

/ f d z = 0.

7

Đ ỉnh lý 1.3.2 (xem [Ó ) Giả sử Cl là miền đơn liên bị chặn, với biên d o là

một chu tuyến trơn từng khúc Khi đó, nếu f là hàm liên tục trên (] = í l u

và giải tích trên Q thì f f d z = 0.

d o

Hình 1.1: M iền Q , biên d£ì, chu tuyến 7

1.3.3 Định lý Cauchy cho miền đa liên

B ổ đề 1.3.1 (xem (Ó ) Ta gọi Q là miền n - liên (hay đa liên bậc n) nếu biên của Q gồm có chu tuyến ngoài 7 và các chu tuyến 7i , , 7/1 -1 đôi một không giao nhau nằm trong Í2y Như vậy

Chiều dương của d o như đã quy ước (xem Hình 1.2).

H ình 1.2: M iền đa liên

Chứng minh Bổ sung vào biên của Q các đường ln- \ (hình _L2), ta

được miền Q Khi đó, Q trở thành miền đơn liên với biên là

L = d £ l u l \ u u / n_i.

Bởi vì f f d z = - f f d z nên theo định lý 1.3.2

J f d z = j f d z 0

dũ L

□

Đỉnh lý 1.3.3 (xem [Ù ) Nếu Q là một miền n - liên (hay đa liên bậc n), f là

hàm liên tục trên Q, giải tích trên Q thì

Ị f d z = 0.

do.

1.3.4 Sự tồn tại của nguyên hàm

Giả sử hàm / là hàm giải tích trên miền đơn liên Q và Z(), z là các điểm trong £1 Khi đó, tích phân

z

ệ(zo, z) = Ị f ( n ) d r \

Zũ

không phụ thuộc vào đường cong nối Z() và z trong í ì Thật vậy, giả sử 7i và 72

là hai đường cong tùy ý nối zo với z Có thể coi 7i H72 = {zq, z} bởi vì 7i u 72

là chu tuyến trong í ì Theo định lý 1.3.1, ta có

Định lý 1.3.4 (xem Ó ) Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn liên £1 sao

cho với mọi ỵ, ta có f f { z ) d z = 0 Khi đó, với mọi zo E ũ cố định và z € £1,

Đỉnh lý 1.3.5 (xem Q ) Giả sử Q là miền đơn liên, f là hàm giải tích trên ũ

và f ( z ) / 0, z 6 íl Khi đó, tồn tại hàm g giải tích trên £2 sao cho

eg(x) = / ( z ) , z e n

Đinh lý 1.3.6 (Công thức tích phân Cauchy, xem [Ó ) Giả sử f là hàm giải

tích trên miền Í2 VÀ Z() E £2 Khỉ đó, với mọi Ỵ, Zo € c £2, ta có công thức

Đ ịnh lý 1.4.1 (xem @ ) Nếu f ( z ) là hàm giải tích trên hình tròn \z — Zo| < R

thì trong hình tròn này, f ( z ) là tổng của chuỗi Taylor của nó tại zo- Cụ th ể là

1.4.2 Định lý duy nhất

Giả sử hàm f ( z ) giải tích trên miền bị chặn Q và liên tục trên £1 = о и до

Khi đó, theo công thức ( 1.3.2), ta có

Đ ỉnh lý 1.4.2 (Định lý duy nhất, xem Щ ) Giả sử f và g là các hàm giải tích

trên miền ũ., (Zn) là một dãy những điểm khác nhau {z,i} с ũ mà nó hội tụ

tới một điểm z G П Khi đó, f ( z n) = g( zn), với mọi n thì f ( z ) = g(z), với mọi

Khỉ đó, hàm f ( z ) biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng của chuối Laurent

1.5.2 Điểm bất thường của hàm giải tích

Đ ịnh n g h ĩa 1.5.2 (xem [0]) Giả sử / là hàm xác định trên miền £2, Zo e c Nếu tồn tại r > 0 sao cho vành khăn 0 < |z — Zol < r bao hàm trong Q thì ZQ

được gọi là điểm bất thường của /

Hàm / giải tích trên vành khăn 0 < \z — Zol < r không thể mỏ rộng giải tích

tới ZQ, tức là không tồn tại hàm giải tích g trên hình tròn \z — Zo| < r sao cho

thường bỏ được) của /

ii Tồn tại lim f ( z ) = 00 Khi đó, Zo được gọi là cực điểm của hàm giải tích

z— >Z q

/ •

iii Không tồn tại lim f ( z ) (trong C) Khi đó, ZQ được gọi là điểm bất

Z - > Z ữ

thường cốt yếu của /

Đ ể khảo sát các xem một điểm ZQ là điểm bất thường loại nào của f ( z ) thì ta phải khai triển hàm f ( z ) thành chuỗi Laurent trong hình vành khăn

0 < \z — Zo\ < r Ta có

- | - 00