“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP hàm số tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT, NHỎ NHẤT của BIỂU THỨC và CHỨNG MINH bất ĐẲNG THỨC ”

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.. Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất củ

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

C huyên đề:

“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.”

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

I MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ 4

1 Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số 4

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

A.PHẦN MỞ ĐẦU I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu để viết chuyên đề tôi lựa chọn viết chuyên đề này vì các lý do sau:

- Xu hướng ra đề thi đại học những năm gần đây, ở câu bất đẳng thức người ra đề thường ra bài toán mà có thể giải bằng nhiều cách giải Và sử dụng phương pháp hàm

số là một trong những cách giải của bài toán

- Trong quá trình giảng dạy và tìm tòi tài liệu tôi nhận thấy tài liệu về: “Sử dụng

phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức” còn rất ít và trình bày rời rạc, chưa thành hệ thống

- Thực tế giảng dạy cho thấy, học sinh rất cần có một tài liệu trình bày có hệ thống về:

“Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức” để các em có thể học tập tốt hơn Đồng thời tài liệu cũng có thể giúp cho các giáo viên bồi dưỡng chuyên môn nâng cao khả năng của bản thân

Chính vì những lý do, tôi quyết định viết chuyên đề về: “Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức”

II.MỤC ĐÍCH

Chuyên đề viết ra nhằm đạt các mục đích sau:

- Chuyên đề là tài liệu dạy và học trong việc ôn thi đại học cao đẳng, đồng thời cùng dùng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi

- Chuyên đề giúp giáo viên nâng cao chuyên môn

- Chuyên đề nhằm phát triển và rèn luyện tư duy hàm cho học sinh

- Đồng thời mong muốn thông qua chuyên đề học sinh có thể nâng cao được điểm thi đại học cao đẳng

III.ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH

- Đối tượng dạy học của chuyên đề là học sinh lớp 12A1, 12A2 của trường THPT Bình Sơn

IV.THỜI GIAN DẠY CHUYÊN ĐỀ

- Dự kiến thời lượng giảng dạy chuyên đề là : 9 tiết

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

I MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ

1.Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số

1.1 Định nghĩa: Cho hàm số f x( ) xác định trên khoảng K Khi đó

*) f x( ) gọi là đồng biến trên K nếu với mọi x x1 , 2 K mà x1 x2 ta đều có f x( ) 1  f x( ) 2

*) f x( ) gọi là nghịch biến trên K nếu với mọi x x1 , 2 K mà x1 x2 ta đều có f x( ) 1  f x( ) 2

Các hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng còn được gọi chung là các hàm đơn điệu trên khoảng đó

1.2 Định lý ( Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng)

Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên khoảng (a;b) Khi đó

*) Nếu f x( ) 0   x ( ; )a b (và dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì f x( ) đồngbiến trên ( ; )a b

*) Nếu f x( ) 0   x ( ; )a b (và dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì f x( ) nghịchbiến trên ( ; )a b

1.3 Điểm tới hạn của hàm số

Điểm x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số f x( ) nếu nó thuộc tập xác định của

( )

f x và f x '( ) 0 0 hoặc f x'( ) 0 không xác định

Chú ý: Trên mỗi khoảng phân chia bởi hai điểm tới hạn kề nhau, đạo hàm của hàm số

giữ nguyên một dấu.

2 Cực trị của hàm số

2.1 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên tập D, x 0D

*) x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa điểm x 0 sao

cho (a;b)D và f(x)<f(x 0 ), với mọi x 0(a;b)\{x 0 } Lúc đó, f(x 0) được gọi là giá trị cực

đại của f

*) x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa điểm x 0 sao

cho (a;b)D và f(x)>f(x 0 ), với mọi x 0(a;b)\{x 0 } Lúc đó, f(x 0) được gọi là giá trị cực

tiểu của f

- Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số

- Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị của hàm số

- Nếu x 0 là điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x 0 ; f(x 0)) được gọi là điểm cực trị của đồ

thị hàm số f.

2.2 Định lí 1 (Định lí Fecmart-Điều kiện cần để hàm số có cực trị)

Nếu hàm số f có đạo hàm và đạt cực trị tại điểm x 0 thì f’(x 0) = 0

2.3 Định lí 2 (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 1)

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên các khoảng

(a;x 0 ) và (x 0 ;b) Khi đó:

i) Nếu f’(x)<0,  x (a;x 0)và f’(x) > 0  x (x ;b 0 ) thì f đạt cực tiểu tại điểm x 0

ii) Nếu f’(x)>0,  x (a;x 0)và f’(x) < 0  x (x ;b 0 ) thì f đạt cực đại tại điểm x 0

2.4 Định lí 3 (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 2)

Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a;b) chứa điểm x 0 đồng thời f’(x 0)

= 0 và f’’(x 0)0 Khi đó

i) Nếu f’’(x 0 ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x 0

ii) Nếu f’’(x 0 ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x 0

Quy tắc 2

-Tìm tập xác định

-Tính f’(x) Tìm các nghiệm x i của phương trình f’(x) = 0

-Tính f’’(x) và suy ra f’’(x i)

o Nếu f’’(x i ) < 0 thì f đạt cực đại tại x i

o Nếu f’’(x i ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x i

Chú ý: Khi áp dụng qui tắc 2, ta chỉ tìm được các điểm cực trị là nghiệm của phương

trình f’(x)=0, hơn nữa f’’(x) phải bằng khác 0 Ngoài các trường hợp trên, ta phải sử dụng qui tắc 1.

3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và biểu thức

3.1 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

<1>Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên tập D Khi đó

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

- Dựa vào Bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

<3> Các bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a;b]:

- Tính đạo hàm

- Tìm các điểm tới hạn x i và tính các giá trị f a f b f x( ), ( ), ( ).i

- Kết luận max ( ) max[ ; ]  ( ); ( ); ( ) ; min ( ) mini  [ ; ]  ( ); ( ); ( )i 

a b

3.2 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Cho biểu thức n biến Pf x x( ; ; ; ) 1 2 x n xác định trên D D D 1  2   D n, tức là

- Trường hợp 3 số: Với mọi x, y, z không âm, ta đều có: x y z   3 3 xyz.

Bất đẳng thức Cô si được vận dụng nhiều trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhấtcũng như các bài toán chứng minh bất đẳng thức Ta có thể khai thác, sử dụng các dạng

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

thức khác nhau của bất đẳng thức này, chẳng hạn trường hợp ba số dương, ta có các dạngkhác như:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a a a1 : 2 : 3 b b b1 : 2 : 3.

4.3 Các bất đẳng thức suy ra từ bình phương một biểu thức

*) (x y ) 2   0 x2 y2  2 xy Dấu bằng xảy ra khi x = y.

*) (x y ) 2  (y z ) 2  (z x ) 2   0 x2 y2 z2 xy yz zx 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.

*) (x y ) 2  (y z ) 2  (z x ) 2   0 (x y z  ) 2  3(xy yz zx  )

5 Các bước lập Bảng biến thiên của hàm số

Việc lập Bảng biến thiên của hàm số là một khâu quan trọng trong quá trình giải bàitoán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số một biến trên khoảng hay nửa khoảng

Kỹ năng này học sinh đã được rèn luyện nhiều trong quá trình học lý thuyết, vì thời giankhông nhiều nên trong đề tài này tôi chỉ đề cập tới kĩ năng chuyển bài toán tìm giá trị lớnnhất, nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến thành bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất củahàm số (một biến) và đưa ra bảng biến thiên để suy ra kết luận cuối cùng mà không trìnhbày chi tiết từng bước, đặc biệt là bỏ qua việc tìm giới hạn Trong giảng dạy, yêu cầu họcsinh phải lập bảng biến thiên với những bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm

số trên một khoảng hay nửa khoảng, còn với đoạn thì ta không cần lập bảng biến thiên.

Các bước cơ bản để lập Bảng biến thiên bao gồm: Tìm tập xác định, tính đạo hàm, tìmcác điểm tới hạn, các giới hạn cần thiết rồi hoàn thiện Bảng biến thiên

6 Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh

bất đẳng thức:

- Đánh giá, biến đổi biểu thức, bất đẳng thức đưa về xét một hàm số

- Tìm khoảng đánh giá của hàm số

- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng vừa tìm được

- Giải quyết bài toán ban đầu

II CÁC VÍ DỤ

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

- Đối với bất đẳng thức có nhiều hơn 2 ẩn thì sử dụng đánh giá tìm ra hàm số, ra

khoảng của biến số để giải.

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.



 ; 1 4

3

z z

3

t

Pf t  t Xét hàm số :

2( ) 4

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Xét hàm số : f x( ) x3 x với x 0;1

'( ) 3 2 1; '( ) 0 1

3

f t  x  f x   t Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra :

(0;1)

2Max ( )

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Với 0;1

2

a   

7( ) (0)

ab bc ca   abc Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/3

Ví dụ 9 Cho các số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện x y z  0 Chứng minh rằng:

Dấu bằng xảy ra khi x y z  0

Ví dụ 10 Cho các số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện x y z  0 và x2  y2 z2 1

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Dấu bằng xảy ra khi

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Dựa vào BBT  minS = 5 đạt được khi x1,y 4

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

(3 2)4

21

2( )

Suy ra : min ( ) 82; f t   minP 8 x y 2

Ví dụ 17 Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn : x2  xy y 2 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

11

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

  nên ta có

2

2 2

(3 2)4

21

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

cos sin cos sin

31

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

'( ) 8 1 0, ;3 Suy ra

t

t

      

3; 1 280

(3)

1; 3 9

.

MaxP h





      

Ví dụ 22 Cho các số thực x, y không đồng thời bằng 0 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

của biều thức:

2 2 2

P

 





Lời giải

Vì tử số và mẫu số của biêỉ thức P là các đa thức đẳng cấp bậc hai đối với x, y nên

ta xét hai trường hợp sau:

-Nếu y = 0 

2 2

1 0

x

x

-Nếu y 0 Chia cả tử số và mẫu số của P cho 2

y ta được :

2 2 2 2

1

P

x y

 





Đặt t x

y

 , ta được 2 2 1

2 1

P t

 



 Ta có

2

2 2

' (2 1)

P

t



' 0 2 2 1 0

2

P   t  t   t   Bảng biến thiên

t - 1 3

2

  1 3

2

  +

P’ - 0 + 0 -

P 1 2 3

2 3 2 

3

2 3 2  1

2

Kết hợp các trường hợp trên, ta có: 3

2 3 2   P  3

2 3 2 

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Vậy MinP = 3

2 3 2  khi 1 3

2

x y

9 945 27

9 945 27

x y

Ví dụ 24 Cho các số thực x y, thỏa mãn x y  1  2x 4  y 1 Tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S (x y)2 9 x y 1

x y



Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

min

1 33 2 5

2 4

x y z

 

Lời giải:

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Ví dụ 31 Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện (a b b c )(  ) 4 c2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 32 3 3 32 3 3 2 2

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Từ bảng biến thiên suy ra minP 7 x y z  1

Ví dụ 34 Cho các số thực x y z, , thỏa mãn x2 y2z2 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 3y3z3 3xyz

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Từ bảng biến thiên ta có: Max P = 2 2 ; Min P = 2 2

Ví dụ 35 Cho các số thực không âm x y z, , thỏa mãn x2  y2 z2 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P xy yz zx 5

Bài 1 Cho hai số dương x , y thỏa mãn : x y 5

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 2

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Bài 2 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn : 2 2 2 3

4

a b c  Tìm giá trị nhỏ nhất của:

HD:

Đặt a x 2 xy y 2  0 a 3

TH1: a 0 x y  0 P0

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

xy P

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Ta có f’’(a) > 0 suy ra f’(a) đb suy ra f a f b  b4 2bc3  3b c2 2 0

Vây f’(a) > 0 suy ra f(a) > f(b) = 0.

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Bài 28 Cho các số dương a, b thỏa mãn 2(a2 b2 ) abab 2 a b  Tìm giá trị nhỏ

Bài 29 Cho các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện x2 y2 xy 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x 4 y4  4xy x y 3 3

Bài 30 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x2 y2 z2  1. Tìm GTLN của biểu thức

Bài 31 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thứcP 3a2 b2 c2 4abc

Bài 32 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x y z   1. Tìm GTNN của biểu thức

C KẾT QUẢ SAU KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI

Trong năm học vừa qua tôi đã thực hiện đề tài này với nhóm học sinh có học lựckhá và giỏi (lớp 12A1) Để đánh giá hiệu quả của đề tài, tôi đã thực hiện hai bài kiểm tratrước và sau khi áp dụng, cụ thể như sau:

Đề 1(Trước khi thực hiện chuyên đề)

Đề 2(Sau khi thực hiện chuyên đề)

Hai đề có mức độ khó tương đương

Kết quả cho thấy điểm số trung bình ở lớp 12A1 tăng 68,74%,.Như vậy, việc áp dụng đềtài này rất có hiệu quả đối với lớp học sinh khá và giỏi

D ĐỀ XUẤT VÀ KIẾN NGHỊ