Khoá luận tốt nghiệp toán ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co vào dãy số

Lý do chọn đề tài Ra đời vào cuối thế kỉ XVIII, Giải tích toán học có một vị trí quan trọng trong chưong trình toán cao cấp của các khoa Khoa học tự nhiên của các trường Đại học sư phạm

Em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Khuất Văn Ninh,

người đã trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu này

Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên khóa luận này không tránh khỏi những sai sót Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý phê bình của các thầy cô và các bạn để khóa luận này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm 0’n!

L Ờ I C A M Đ O A N

Khóa luận này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Khuất Văn Ninh cùng với sự cố gắng của bản thân trong quá trình học tập, nghiên cún và thực hiện khóa luận

Khi nghiên cún và hoàn thành khóa luận này, em có tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần: Tài liệu tham khảo

Vì vậy em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác

M Ụ C LỤ C

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Phương pháp nghiên cứu 1

4 Cấu trú c 2

NỘI D U N G 3

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN B Ị 3

1.1 Sai s ố 3

1.1.1 Số gần đúng 3

1.1.2 Sai số tuyệt đ ố i 3

1.1.3 Sai số tương đối 5

1.2 Một số định lí về dãy s ố 6

1.3 Một số định lí về hàm số liên tụ c 9

1.4 Không gian metric 12

1.5 Nguyên lí ánh xạ co 16

1.5.1 Ánh xạ liên tục Lipschitz 16

1.5.2 Ánh xạ c o 16

1.5.3 Nguyên lí ánh xạ co của Banach 17

1.5.4 Ví d ụ 22

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ c o VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 25

2.1 ứ ng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình đại số và siêu việt 25

2.1.1 Bài to á n 25

2.1.2 Bậc hội tụ của dãy s ố 29

2.1.3 Ví d ụ 30

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ c o VÀO GIẢI MỘT SÓ BÀI TOÁN VỀ DÃY SÓ 49

3.1 Phương pháp lặp 49

3.1.1 Phương pháp lặp để giải phương trình đại số và siêu v iệt 49

3.1.2 ứ n g dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải một số bài toán về dãy số 50

KẾT LUẬ N 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

M Ở Đ Ầ U

1 Lý do chọn đề tài

Ra đời vào cuối thế kỉ XVIII, Giải tích toán học có một vị trí quan trọng trong chưong trình toán cao cấp của các khoa Khoa học tự nhiên của các trường Đại học sư phạm và các trường kĩ thuật Đây là môn học hấp dẫn với các sinh viên, khi giải quyết các bài toán người học gặp phải những tình huống , những giả thiết phức tạp Điều này đòi hỏi phải có sự trợ giúp của nhiều kiến thức về toán học liên quan và kiến thức về phần mềm về lập trình tĩnh toán

Điểm bất động là một khái niệm xuất hiện sớm trong Toán học giải tích Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của giải tích hàm - một môn học

cơ bản vừa mang tĩnh lý thuyết vừa mang tĩnh ứng dụng rộng rãi Nói đến lý thuyết điểm bất động thì không thể không nhắc đến kết quả kinh điển của nó, đó là: Nguyên lí ánh xạ co của Banach

Nguyên lí ánh xạ co có rất nhiều ứng dụng trong Toán học Nó dùng đê chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình đại số và siêu việt,

hệ phương trình tuyến tính, phương trình tích phân, phương trình vi phân,

Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cún “ ú n g dụng của

nguyên lí ánh xạ co vào dãy số ” nhằm có điều kiện tiếp cận sâu hơn, làm

phong phũ thêm kiến thức của mình và ứng dụng trong giải toán ở THPT và đại học

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Sự phát triển của Giải tích toán học nói riêng và của Toán học nói chung được quy định bởi sự phát triển những nhu cầu có tính thực tiễn nhất định

Nghiên cứu ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co vào dãy số là mục đích chính của khóa luận này

3 Phương pháp nghiên cún

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận

+ Phương pháp nghiên cún tống kết tài liệu.

4 Cấu trúc

Khóa luận bao gồm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: ứ n g dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình

Chưong 3: ứ n g dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải một số bài toán về dãy

Trong nhiều trường họp, ta không biết được giá trị đúng của các đại lượng

mà ta quan tâm mà chỉ biết giá trị gần đúng của nó

Ta gọi a là số gần đúng của a nếu a không sai khác a nhiều.

Ví dụ 1.1

Theo tổng cục thống kê, đúng đầu một trong 5 tỉnh thành có sản lượng tôm lớn nhất cả nước năm 2014 là: Cà Mau là tỉnh có sản lượng tôm lớn nhất nước đạt hon 116.000 tấn Bạc Liêu giữ vị trí thứ hai với sản lượng 95.700 tấn Ớ vị trí thứ ba là Sóc Trăng vói sản lượng 67.312 tấn Tiếp đến là Ben Tre có sản lượng là 52.000 tấn và cuối cùng là Kiên Giang với 51.430 tấn

Các số liệu trên là số gần đúng

1.1.2 Sai số tuyệt đối

Giả sử a là số gần đúng của a Giá trị a - a phản ánh mức độ sai lệch giữa a và ứ*.

Ta gọi đại lượng A := a* - a là sai số thực của a

Neu A > 0 thì a được gọi là số gần đúng thiếu của a*.

Nếu A < 0 thì a được gọi là số gần đúng thừa của a

Trên thực tế nhiều khi không biết a nên ta không tính được À Do đó ta tìm cách ước lượng sai số đó bằng một số dương A a nào đó thỏa mãn:

số dương bé nhất có thể thỏa mãn (1.2) Do đó, một số gần đúng a của số đúng

a với sai số tuyệt đối A (l được viết đơn giản là:

Ví dụ 1.2

Xét số đúng a = \ Ị Ĩ và giá trị gần đúng của nó là a = 1,41 Hãy cho biết

sai số tuyệt đối của nó

Do đó cũng có thể lấy sai số tuyệt đối của a là A t = 0,005.

1.1.3 Sai số tương đối

Cho số gần đúng a có số đúng a với sai số tuyệt đối A a và giả sử d ^ 0

Ta gọi sai số tương đối của số gần đúng a là một số, kí hiệu Sa là tỉ số giữa sai

số tuyệt đối và a

Tuy nhiên vì số đúng a chưa biết cho nên đại lượng Sa xác định bởi (1.4)

chỉ có ỷ nghĩa lí thuyết Đe đảm bảo tương đối chính xác người ta thường tĩnh

toán s theo công thức sau ( điều kiện a ^ 0 ):

Các công thức (1.5) và (1.6) cho liên hệ giữa sai số tương đối và sai số

tuyệt đối Biết Aw thì (1.5) cho phép tính ổ , biết ổ thì (1.6) cho phép tĩnh Atí.

Do (1.6) nên (1.3) cũng có thể viết a* = a(l + ổ ) (1.7)

Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác hơn phép đo b mặc dù At/ = Ah Như

vậy độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối

2 Độ chính xác của phép đo phản ánh qua sai số tương đối.

3 Người ta thường viết sai số tương đối ở dạng phần trăm

• Dãy số (jtn) được gọi là dãy tăng (giảm) nếu với \/n ta có xn ^ x„;,

Dãy số tăng hoặc dãy số giảm được gọi chung là dãy đơn điệu

• Dãy số (x,;) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho V«

ta có JC < M

• Dãy số (x„) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho V/2

ta có xn > m.

Một dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn

• Dãy (*„) được gọi là dãy Cauchy nếu:

\ / 6 > 0, 3^0 € N sao cho \/n,m > n{) ta có \xm —xn\< s.

* Các điều kiện hội tụ

Định lí 1.2.1 ( Điều kiện hội tụ của dãy đon điệu )

a) Nếu dãy (xn) tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và

Định lí 1.2.2 ( Điều kiện hội tụ của dãy bất k ì )

Điều kiện cần và đủ đế dãy (x;ỉ) hội tụ là dãy đó là dãy Cauchy

Chứng minh

• Điều kiên cần

Giả sử dãy (jt ) hội tụ, tức là lim Jt;ỉ = a Thế thì,

Theo bố đề Bolzano - Weierstrass, từ (jc#í ) ta rút ra được một dãy con hội

tu (x ) sao cho lim x = a Ta chứng minh rằng a cũng chính là giới hạn của

phép toán về giới hạn của hàm số áp dụng được khi các hàm số f ( x ) và g(x)

có giới hạn Ta đi chứng minh cho một phép toán ( cộng ) trong định lí này còn các phép toán khác chúng minh tương tự

= > [/(x ) + gC*)] liên tục tại x0 (điều phải chứng minh).

Vậy định lí được chứng minh

Định lí này sử dụng dấu hiệu đặc trung của hàm số liên tục để chứng minh.

= Ax [ữ, (x) + a2.g2 (x) + + a„_, ]

Suy ra : lim Ày = lim AxỊa,gị (jt) + a^g2 (jt) + + a , 1 = 0

Theo tính chất đặc trung của hàm số liên tục thì

/' (x) = ciịX" + a2x n~] + + an là liên tục tại x {)

Do x0 là bất kì thuộc K nên / ’(x) liên tục trên IR

b’ F {x ) = ^ r \ ’ s M * 0

-g ( x )

TXĐ: D = R \ { x : g ( x ) = 0}

Lấy Jt() là điểm bất kì thuộc D Cho Jt() một số gia Ax ta có :

Khi đó: lim Ày = lim

Ax->0 AAv_^nằ—>0

/(* 0 + A*) / ( * o ) l _ / ( xo) / ( * o) 0

g (x 0 +Ax) g (x 0) J g (x 0) g (x 0)Vậy liên tục tại x0 Do x0 bất kì nên ^ ( x ) liên tục trên D.

c, Các hàm so lượng giác.

• ỵ = sin X

TXĐ: D = R

Lấy JC0 là một điểm bất kì thuộc D Cho x0 một số gia A x , ta có :

Ay = sin (JC0 + Ax) - sin (jt0 ) = 2 cos xn + Ax + Xr sin x0 + Ax - x0

Chứng minh tương tự đối với hàm tanx,cotx

Vậy ta có điều phải chứng minh

Định lí 1.3.3

Neu hàm số ỵ = f ( x ) liên tục trên [a,b] thì đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất và mọi giá trị trung bình giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn

Hệ quả Neu hâm so f licn tuc txcn đocin Ị^ÍZ,Z?J V3 f ^ 0 thitồn tại ít nhất một số c e ( ứ ,ử ) : / ( c ) = 0.

Hay nói cách khác: Neu hàm số / ( j t ) liên tục trên [a,b] và

< 0 thì phương trình / ( * ) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a, b ).

1.4 Không gian metric

+ Không gian metric

(1.9) xác định cho ta một metric trên M và gọi là metric tự nhiên trên M

Không gian metric tương ứng được kí hiệu là R 1

Không gian metric kí hiệu là R k.

+ Sự hội tụ trong không gian metric

Sự hội tụ của một dãy điểm (jtn) trong không gian IR1 là sự hội tụ của dãy

số thực đã biết trong giải tích toán học

Ví dụ 1.7

Sự hội tụ của một dãy điểm trong C ụ b-ị tương đương với sự hội tụ đều của

dãy hàm liên tục trên đoạn [a,b].

Các bất đẳng thức (1.11) chứng tỏ với V7 = 1,2, ,/: dãy số thực (-*^1 hội

tụ tới số thực X j khi n —> 00 sự hội tụ đó được gọi là sự hội tụ theo tọa độ

Ngược lại, giả sử dãy điểm x ^ = j (n = 1,2, ) hội tụ theo

tọa độ tới điểm x = (x1,x2, ,x/t) theo định nghĩa:

v<s:>0 (với mỗi Vý = 1,2, ,Ả:), Bn.eN*, \ / n > n ,

Định nghĩa 1.4.4

Ánh xạ / gọi là liên tục trên tập A c X , nếu ánh xạ / liên tục tại mọi

điểm x e A Khi A = X thì ánh xạ / gọi là liên tục.

Định nghĩa 1.4.5

Ánh xạ / được gọi là liên tục đều trên tập Ẩ c X nếu:

Dễ thấy mọi dãy điểm (x;ỉ) hội tụ trong M đều là dãy cơ bản, vì:

Giả sử (*;I) hội tụ đến xữ

=> > 0 , 3n0 e M*, Vra > n0, d ( x m,x0) < —.

Mặt khác d ( x m,xn) < d ( x m,x0) + d ( x 0,xn) <— + — = £; \ / m,n > n0.

Vậy \ / s > 0, 3n0 G N*, Vra, n >n0, d (jcot , xn) < 8.

Định nghĩa 1.4.7

Không gian metric M = ( x , d ) gọi là không gian đủ nếu mọi dãy cơ bản

trong không gian này đều hội tụ

Ví dụ 1.9

X = Mk với metric ơclit là không gian metric đầy.

Giả sử (•*")<= là một dãy cơ bản, x" = (*¡',.*2, x n e Rk; \/neN*

=> Vố* > 0 , 3nữ e N \ Vm,n > n0, d (V", x nì < s.

hay là

i=1

=>I x rn — x" \< £ ; V m,n > n{); ỉ = 1,k Suy ra với mỗi i E { 1 , 2 thì dãy là một dãy số thực thỏa mãn tiêu

chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số Do đó dãy ( x ') hội tụ Vỉ = l,k

Đặt lim x"; i = ì,k; x:=(xị,x2, ,xk)

=> dãy (x") hội tụ theo tọa độ điểm đến X.

Suy ra (x'!) hội tụ đến X trong R k

1.5 Nguyên lí ánh xạ co

1.5.1 Á n h xạ liên tục Lipschitz

Định nghĩa 1.5.1

Cho ( x , d }) và ( Y,d2) là các không gian metric trên trường K.

Ánh xạ / : ( x , d }) —» (Y ,d 2) được gọi là ánh xạ liên tục Lipschitz nếu có một

số L > 0 sao cho ¿/2( / ( x ) , / ( y ) ) < L d 1(x ,y ); \/x ,y & X

Số L nhỏ nhất thỏa mãn bất đắng thức trên gọi là hang so Lipschitz Neu

/ là ánh xạ liên tục Lipschitz thì nó là ánh xạ liên tục

Như vậy ánh xạ co là một trường họp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển nhiên nó là liên tục.

1.5.3 Nguyên lí ánh xạ co của Banach

Giả sử X là một không gian metric đủ và / : X —» X là một ánh xạ co của

X vào chính nó thì có duy nhất một điểm bất động nghĩa là tồn tại duy nhất một

điểm x e l sao cho f ( x ) = x.

Do đó (*„) là một dãy cơ bản trong không gian metric đủ ( x , d)

> ( x ) hội tụ nên 3x<=X: limx;ỉ = X Do đó:

Vậy Jt là điểm bất động duy nhất của /

Định lí 1.5.1 ( Nguyên lí Cantor về dãy hình cầu đóng thắt dần )

Không gian metric M = ( x ,d) là không gian metric đầy khi và chỉ khi mọi

dãy hình cầu đóng thắt dần đều có điểm chung duy nhất

Chứng minh

• Điều kiện cần

Giả s ừ M = ( X , d ) là một không gian metric đầy và i s ì; Sn := Sn (ứ/;,r ),

V/1 G M l à một dãy hình cầu đóng t h ắ t d ầ n b ấ t k ì trong M.

=> (ữ;i) là một dãy cơ bản trong không gian đầy M .

=> (an) hội tụ Đặt a - lim a Ta chứng minh a là điểm chung duy nhất của

Giả sử không gian metric M = ( x , d ) thỏa mãn tính chất: Một hình cầu

đóng thắt dần bất kì đều có điểm chung duy nhất, ta chứng minh không gian này đầy

Lấy một dãy cơ bản bất kì (jtn) trong M , ta chứng minh dãy này hội tụ.

Ta có V ^ > 0 , 3/7()eN*, \/ n , m > n (), d [ x n,xm^ < s.

Với \/£| = —, 3«J eN*, Vw,m>np d ( x n,xfn) < —.

Với V£2 = — , B/ĩ2 gM , n2 >n], \ / n ,m > n 2, d [ x n,xm)< —

Lặp lại quá trình này vô hạn lần ta thu được dãy ) là dãy con của dãy

Vậy (x/;) hội tụ đến a ( điều phải chứng minh ).

Cho ánh xạ / ánh xạ nửa đoạn vào chính nó xác định bằng công thức:

Ta có [1, +00) là tập con đóng của R với metric d (x, y) = \x - y|.

Do đó [l,+oo) cùng với metric trên lập thành một không gian metric đầy

Xet anh Xci f I [l,+oo)->[l,+oo)

Giả sử / là ánh xạ co => / có điêm bất động duy nhất hay tồn tại duy nhất

x0 <E [1, +00) sao cho / (x0 j = JC()

1

f ( x ) = x + - ; x e [ 1,+g o)

/ có phải là ánh xạ co hay không?

/ có điếm bất động hay không? Vì sao?

<=>— = 0 (vô lí)x0

Vậy / không có điêm bất động Do đó / không là ánh xạ co

Nguyên lí ánh xạ co trong không gian định chuấn

Giả sử X là không gian định chuẩn Ta xác định một metric trên X theo

\ / x , ỵ e M , k cố định , k e [ o ,l ) Khi đó các kết quả sau là đúng:

(i) Tồn tại và duy nhất nghiệm X của phương trình X = Ax (**)

(ii) Với mỗi xữe M đã cho, dãy ( xn) tạo bởi xn+ỉ = Axn (n = 0,1,2, ) hội tụ

đến nghiệm duy nhất X của phương trình (**)

Ta chứng minh (ii)

Trước hết, ta chỉ ra rằng (x n) là một dãy Cauchy.

Thật vậy, với m ỗi(n =0,1,2, )sử dụng (*) ta có:

l k +1 - \ II = ||Ax„ - A*„_, II ^ k \xn - xn_, II = k II Ax„_, - Axn_2II

Tiếp theo ta chỉ ra rằng giới hạn X là nghiệm của phương trình X n+Ị = Axn

Từ x0 € M , Xị= Ax0, A [ M ) c M và Xị G M , bằng quy nạp ta được

Điều phải chứng minh

Tài liệu tham khảo của chương này bao gồm các tài liệu [1], [2], [3] và [6J.

2.1 Úng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình đại số và siêu việt

Cơ sở lí thuyết là ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình đại

Nghiệm của phương trình (2.1) là số thực <Ẹ thỏa mãn (2.1) Tức là khi thay

Phương trình (2.1) trừ một số trường họp đặc biệt có công thức giải đúng, nói chung rất phức tạp Do đó ta phải tìm cách giải gần đúng Thông thường quá trình giải phương trình (2.1) bao gồm 2 bước:

+ Bước giải sơ bộ: Ở giai đoạn này, ta tìm một khoảng đủ bé chứa nghiệm

của f ( x )

+ Bước giải hiện toàn: Tìm nghiệm với độ chính xác cần th iế t

Để giải gần đúng phương trình (2.1) ta sử dụng phương pháp lặp đơn mà bản chất của phương pháp này là vận dụng nguyên lí ánh xạ co của Banach.

+ Mô tả phương pháp

Xét phương trình (2.1) với giả thiết nó có khoảng tách nghiệm là [a,bỴ

Trước hết ta chuyển phương trình (2.1) về dạng phương trình tương đương với

i, Phương trình (2.1) có nghiệm ị duy nhất trên [a,b].

ii, Phép lặp (2.4) hội tụ, hơn nữa ta có ước lượng