Thực tế giảng dạy cho thấy môn Toán học trong trường phổ thông là một trong những môn học khó, nếu không có những bài giảng và phương pháp dạy phù hợp đối với thế hệ học sinh thì dễ làm
Trang 1PHẦN I MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Năm học 2013 – 2014 được coi là năm học sẽ đánh dấu sự chuyển mình của ngành Giáo dục Đối với giáo dục phổ thông nói chung và giáo dục cấp trung học nói riêng, năm học này được dư luận xã hội dành sự quan tâm đặc biệt với nhiều nhiệm vụ mới, nhiều thay đổi trong cách dạy, cách học và kiểm tra đánh giá
Thực tế giảng dạy cho thấy môn Toán học trong trường phổ thông là một trong những môn học khó, nếu không có những bài giảng và phương pháp dạy phù hợp đối với thế hệ học sinh thì dễ làm cho học sinh thụ động trong việc tiếp thu, cảm nhận
Xuất phát từ mục đích dạy- học phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh nhằm giúp các em nắm được hệ thống các cách giải một bài toán liên quan đến bất phương trình Tôi thiết nghĩ cần xây dựng được một chuyên
đề về phương pháp giải bất phương trình trong đó phải hệ thống được các cách giải và các dạng bài tập điểm hình về các bài toán liên quan đến thể tích khối đa diện
Xuất phát từ mọi bài toán đều quy về giải phương trình, bất phương trình
Với những lí do trên chúng tôi đã lựa chọn chuyên đề: ‘Một số phương
pháp giải bất phương trình vô tỷ lớp 10”
2 Phạm vi nghiên cứu.
Trong chuyên đề này tôi chỉ đưa ra một số phương pháp hay dùng khi giải bất phương trình vô tỷ Tôi không đưa ra các bài toán chứ tham số
Chuyên đề dự định dạy trong 6 tiết
Trang 2
PHẦN II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I Phương pháp lũy thừa
a) Kiến thức cơ bản: Đây là phương pháp cơ bản nhất của bất phương trình vô
tỉ Giáo viên dạy lưu ý cho học sinh kết hợp các điều kiện khi kết luận của bất phương trình
Có ba dạng phương trình cơ bản :
- Dạng 1 :
2
( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0
( ) [ ( )]
f x
f x g x g x
f x g x
<
- Dạng 2 :
2
( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )
( ) 0 ( ) [ ( )]
f x
g x
f x g x
g x
f x g x
<
> ⇔ ≥
>
Ở trường hợp này học sinh không chắc kiến thức sẽ bỏ quên trường hợp ( ) 0
g x <
- Dạng 3 : A+ B < C
b) Bài tập:
Bài 1: Giải bất phương trình 2
6 5 8 2
Giải
ĐKXĐ: − +x2 6x− ≥ ⇔ ≤ ≤ 5 0 1 x 5
TH1: Nếu 8 2 − x< ⇔ > 0 x 4
Kết hợp với điều kiện xác định thì bất phương trình có nghiệm 4 < ≤x 5
TH2: Nếu 8 2 − x≥ ⇔ ≤ 0 x 4
Bất phương trình (1) ⇔ − +x2 6x− ≥ − 5 (8 2 )x 2
2
5 38 69 0
23 3
5
x
⇔ ≤ ≤
Trang 3Kết hợp với điều kiện xác định thì bất phương trình có nghiệm 3 ≤ ≤x 4
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: 3 ≤ ≤x 5
Lưu ý: Học sinh hay nhầm khi lấy nghiệm của TH1 và TH2 giao nhau.
Bài 2(ĐH KA 2005) Giải bất phương trình: 5x− − 1 x− > 1 2x− 4 (2)
Giải
ĐKXĐ: x≥ 2
Bất phương trình (2) ⇔ 5x− > 1 2x− 4 + x− 1
2
5 1 2 4 1 2 ( 1)(2 4)
2 ( 1)(2 4)
10 0
0 10
x
⇔ − + >
⇔ < <
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là: 2 ≤ <x 10
Lưu ý: Ở bài toán này giáo viên cần hướng dẫn học sinh chuyển vế rồi bình phương
Bài tập tương tự:
1 (CĐ 2009): Giải bất phương trình: x+ + 1 2 x− ≤ 2 5x+ 1
2 (ĐH A 2004) Giải bất phương trình:
2
3
x
3 Giải bất phương trình: 2 1 2 1 1
2x 3x 5 > x
−
4 Giải bất phương trình : x2 − 4x+ − 3 2x2 − 3x+ ≥ − 1 x 1
5 Giải bất phương trình (4x 3 − ) x 2 − 3x 4 8x 6 + ≥ −
Lưu ý: Ở bài tập 3 học sinh không được phép nhân chéo ngay.
II Phương pháp đặt ẩn phụ
1 Bất phương trình chứa f x( ), f x( ) Đặt f x( ) =t
Trang 4Lưu ý: Cho học sinh đặt diều kiện cho ẩn phụ.
Bài 1: Giải bất phương trình: (x− 3)(8 − +x) x2 − 11x< 0
Bài 2: Giải bất phương trình : 5 5 2 1 4
2 2
x x
Bài 3: Giải bất phương trình 2 1 3
1
+
+
2 Bất phương trình có chứa A+ B và AB
Đặt t = A+ B
Bài 1:(ĐHB 2011) Giải bất phương trình : 3 2 + −x 6 2 − +x 4 4 −x2 ≥ − 10 3x Giải
ĐKXĐ: − ≤ ≤ 2 x 2
Đặt t = 2 + −x 2 2 −x Từ đó suy ra t2 = − 10 3x− 4 4 −x2
Bất phương trình trở thành: 2t t≥ ⇔ ≤ ≤ 2 0 t 2
Nghiệm bất phương trình là 6 2
5 ≤ ≤x Bài tập tương tự:
Giải các bất phương trình sau:
1 2x+ + 3 x+ > 1 3x+ 2 2x2 + 5x+ − 3 2
2 7x+ + 7 7x− + 6 2 49x2 + 7x− 42 181 14 ≥ − x
3 Biến đổi làm xuất hiện ẩn phụ.
Bài 1 (ĐH B 2012) Giải bất phương trình 2
x+ + x − x+ ≥ x (1)
Giải
Trang 5Tập xác định: x∈ [0;2 − 3] [2+ 3; ∪ +∞ )
Ta có x= 0 là 1 nghiệm của (1)
Với x> 0 chia 2 vế của (1) cho x ta được: x 1 x 1 4 3
x x
Đặt t x 1 x 1 t2 2
x x
= + ⇒ + = − (t ≥ 2)
Ta được bất phương trình: 2
6 3
t+ t − ≥
Giải bất phương trình 5
2
t
⇒ ≥
1
[0; ] [4; )
4
T
⇒ = ∪ +∞ là tập nghiệm của bất phương trình
x − − +x x ≤ x − x−
Giải
Điều kiện xác định: x≥ 2
Bình phương 2 vế và rút gọn ta được : 3. x x( − 2)(x+ ≤ 1) 2 (x x− − 2) 2(x+ 1) Chia 2 vế cho (x+ 1) ta được bất phương trình:
( 2) ( 2)
1
x x
t
x
−
=
+ (t ≥0) ta được bất phương trình:
2
2t − − ≥ 3t 2 0 Giải bất phương trình ta được tập nghiệm cuối cùng của bất phương trình là: T=[3 + 13; +∞ )
Bài 3: Giải bất phương trình : 3 2
3 x − ≤ 1 2x + 3x+ 1
Giải
Trang 6Điều kiện: x ≥ 1
3 x − ≤ 1 2x + 3x+ ⇔ 1 3 x− 1. x + + ≤ − +x 1 (x 1) 2(x + +x 1)
Chia hai vế cho x2 + x + 1, ta được bất phương trình tương đương:
+ + + +
Đặt t =
1
1
−
x x
x , t ≥ 0, ta ta được bất phương trình:
2
3t t≤ + ⇔ ≤ 2 t 1 hoặc t≥ 2
+ Với t≤ 1, ta có:
2
1
1
x
− ≤ ⇔ − ≤ + + ⇔ ≥ −
2
1
1
x
− ≥ ⇔ − ≥ + + ⇔ + + ≤
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x ≥ 1.
Bài 4: Giải bất phương trình x3 + (3x2 − 4x− 4) x+ ≤ 1 0
Giải
Điều kiện : x≥ − 1
0 1
1
y
≥
= + ⇔ = +
, bất phương trình trở thành
TH 1 y= ⇔ = − 0 x 1 Thỏa mãn BPT
TH 2 y> ⇔ > − 0 x 1 Chia hai vế cho y3 ta được
+ − ≤
÷ ÷
x t y
= và giải BPT ta được t≤ 1
Trang 70
1 0
x
y
− ≤ <
≥
≤ ⇒ ≤ ⇔ ≤ + ⇔ − − ≤
1
2
x x
x x
− ≤ <
≤ ≤
Kết hợp x> − 1 ta được 1 1 5
2
− < ≤
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = 1;1 5
2
+
−
Bài 5: Giải phương trình: x 2 + 41x 4x x 18 − + ≤ +(3 4 x) 2x 2 + 44x 18 +
Giải
Điều kiện:x 0 ≥
Bất phương trình⇔ 2x 2 + 44x 18 x + − 2 − 3x 4x x (3 4 x ) 2x − ≤ + 2 + 44x 18 +
Đặt: t = 2x 2 + 44x 18 + (t 0 > )
Ta được bất phương trình:t 2 − x 2 − x(3 4 x ) (3 4 x )t 0 + − + ≤
⇔ + − − − ≤ ⇔ − − − ≤ (vì t+x>0 với mọi x≥0)
Ta có pt⇔ 2x 2 + 44x 18 x 3 4 x + ≤ + −
2
x 1
x 9
=
⇔ + − ≤ ⇔ + − = ⇔ =
Vậy nghiệm của bất phương trình là: x 1, x 9 = =
Bài 6 Giải bất phương trình 21log (2 ) log (4 418 ) 0.
2 1
2 +x + − −x ≤
Giải
Trang 8Điều kiện: 2 18
0 18
4
0 18
, 0 2
>
−
−
≥
−
>
+
x x
x x
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với
log 2 log ( 4 4 18 )
2
Đặt t= 4 18 −x. Khi đó 0 ≤t< 4 20 và bất phương trình trở thành : 20 −t4 ≤ 4 −t
2 0
t t
⇔ − ≤ − ⇔ + − − ≥ ⇔ − + + + ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ ≤
Suy ra 4 18 −x≥ 2 ⇔ x≤ 2
Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là − 2 <x≤ 2
III Phương pháp nhân liên hợp.
Khi không dùng được phương pháp bình phương
Không có dấu hiệu đặt ẩn phụ
Bất phương trình nhẩm được nghiệm để 2 vế bằng nhau Khi đó bất phương
trình có thể giải được bằng phương pháp nhân với biểu thức liên hợp
Bài 1: Giải bất phương trình : 2
3x+ − 1 6 − +x 3x − 14x− < 8 0
Giải Nhận thấy x= 5 thì 2 vế của bất phương trình bằng nhau
Tập XĐ: 1;6
3
D= −
Trang 95 0
x
3x 1 4 + 6 x 1 + x+ >
5
x
⇔ <
Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của BPT là: 1;5
3
T = −
÷
Bài 2 Giải phương trình : 2 33 x− −2 3 6 5− x +16 0≥
Giải
ĐKXĐ: 6
5
x≤ (*)
Nhẩm nghiệm x= − 2 thì 2 vế của BPT bằng nhau:
Bất phương trình đã cho ( 2)[ 3 2 6 3 + 15 ] 0
( 3 2) 2 3 2 4 6 5 4
x
2 0
x
( 3x− 2) − 2 3x− + 2 4 6 5 − x+ 4 với x thỏa mãn (*).
x -2
⇔ ≥
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là: T=[ 2; ]6
5
Bài 3: Giải bất phương trình 1− 1 4− x2 < 3
Giải
2 x 2 x
Thực hiện phép nhân liên hợp ta thu được bất phương trình:
< + − ⇔ − > −
<
− <
− ≥ ≤
− ≥
− > −
− > −
2
3 4
1
2
2
x x
x x
x x
x
Trang 10
Kết hợp điều kiện thu được nghiệm của bất phương trình là:
− ≤ <
< ≤
1
0 2
1 0
2
x x
Bài 4: Giải bất phương trình sau:
(2 + x2 − 2x+ 5) (x+ 1)+ 4x x2 + 1 ≤ 2x x2 − 2x+ 5
Giải
Ta có: (2 + x2 − 2x+ 5) (x+ 1)+ 4x x2 + 1 ≤ 2x x2 − 2x+ 5
5 2 1
2
1 2 3 2 )
1 ( 5 2 2
2 2
2
+
− + +
− + +
+ +
− +
⇔
x x x
x x x x
x x
5 2 1
2
) 1 3 ( 1 2 )
1 ( 5 2 2
2 2
+
− + +
− +
+ + +
− +
⇔
x x x
x x
x x
x x
)
1
(
0 5 2 1
2
) 1 3 ( 2 5
2 2
)
1
(
2 2
2 2
2
2 2
2
≤ +
− + +
− + +
+
− +
+ +
⇔
≤
+
− + +
− +
+
− +
+
⇔
x x x
x x
x x x
x
x x x
x x x
x x
1 0
+
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: T = (− ∞ ; − 1].
Bài 5: Giải bất phương trình : 2 2
x + 91 > x 2 x − +
Giải
Điều kiện x 2 ≥
Phương trình đã cho tương đương với: ( 2 ) ( ) ( 2 )
x + 91 10 − − x 2 1 − − − x − > 9 0
2
2
(x 3)(x 3) 0
x 2 1
− + + +
Trang 11(x 3)
x 2 1
+ − − + >
+ +
(*)
x 2 1
+ − + − <
− +
Do đó (*) ⇔ x < 3.
Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là : 3> x ≥ 2
Bài 6 Giải bất phương trình: 12 2
1
x
x
Giải
Điều kiện:
2
2
2
2
2
( 1) 1 1
1 1
0
1
3 (3 1) 8 5 1 0
x
x
x x
− +
≥ ∨ ≤
Tập nghiệm của bất phương trình là: T = −∞( ;0]
Bài 7Giải bất phương trình: 8 2 3.
− − − ≥
− −
Giải
ĐK : 1< x¸< 9 ( * ) Với đk ( * ) ta có : (1)
⇔ − + − − + ÷≥
− + −
⇔ − + − − ÷÷≥
(2)
Trang 12Đặt t = 9 − +x x− 1 , t > 0 Ta có:.
2
8 < = +t 8 2 (9 −x x).( − 1) ≤ + − + − = 8 9 x x 1 16
⇒ < ≤ ( ** ) và (9 ).( 1) 2 8
2
t
− − =
Khi đó BPT ( 2 ) trở thành: 2
2
3 8
t t
t
− ⇔t3 −3t2−10t +24 ≥0 ( do ( **) ).
⇔ (t+3).(t−2).(t − ≥4) 0 ⇔ ≥t 4 Kết hợp với ( ** ) ta suy ra t = 4 hay
9 − +x x− 1
= 4 ⇔ =x 5
Vậy BPT đã cho có tập nghiệm T = { }5 .
Bài tập tương tự
Giải các bất phương trình sau:
1 1 1 8 2 1
2
x
x
− − <
IV Phương pháp đánh giá.
Đây là phương pháp tư duy tổng hợp, đòi hỏi người dạy cũng như người học cần phải nhìn nhận nhanh và có tư duy dài, lý luận chính xác
Kiến thức cơ bản cần nhớ: Bất đẳng thức Cosi, Bunhiacopxki, hằng đẳng thức
Bài 1: Giải bất phương trình: x− +2 4−x ≥ x2 −6x+11 (1)
Giải
ĐKXĐ: 2 x 4 ≤ ≤
Trang 13Ta có VP(1)=x2 −6x+11 (= x−3)2 + ≥ 2 2 dấu bằng xảy ra khi x= 3 (*)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ở vế trái ta có
VT = x− + −x ≤ + x− + −x = dấu bằng xảy ra khi x= 3 (**)
Từ (*) và (**) ta có x= 3 là nghiệm duy nhất của bất phương trình
Bài 2: (ĐH A2010) Giải bất phương trình : 2 1
x x
Giải
ĐKXĐ: x≥ 0
Ta có 1 − 2(x2 − + <x 1) 0 nên BPT ⇔ 2(x2 − + ≤ − +x 1) 1 x x (1)
Mặt khác ta lại có : 2(x2 − + =x 1) 2(1 −x) 2 + 2( x) 2 ≥ − + 1 x x (2)
Từ (1) và (2) 2
2(x x 1) 1 x x
2
Bài 3 Giải bất phương trình: 2 7 x 3 − 11 x 2 + 25 x − 12 ≥ x 2 + 6 x − 1
Giải
ĐKXĐ: (7x −4)(x2 − + ≥x 3) 0 ⇔ ≥ x 47
Theo bất đẳng thức Cosi ta có:
2 6 1
2
VP
Trang 141 7
x
=
V Phương pháp hàm số.
Sử dụng tính chất của hàm số là dạng toán khá quen thuộc, nhưng học sinh rất khó phát hiện vấn đề Ta thường có 2 hướng áp dụng sau:
Hướng thứ 1: Thực hiên theo các bước
+ Chuyển bất phương trình về dạng f x ( ) > k
+ Chỉ ra hàm số y = f x ( )là hàm số đơn điệu
+ Chỉ ra giá trị x0sao cho f x ( )0 = k
Hướng thứ 2: Thực hiên theo các bước
+ Chuyển bất phương trình về dạng f u ( ) > f v ( )
+ Chỉ ra hàm số y = f x ( )là hàm số đơn điệu
+ Từ đó suy ra mối quan hệ của u, v
Bài 1: Giải bất phương trình: x2 − 2x+ − 3 x2 − 6x+ 11 > 3 − −x x− 1
Giải
ĐKXĐ: 1 ≤ ≤x 3
Bất phương trình đã cho: x2 − 2x+ + 3 x− > 1 3 − +x x2 − 6x+ 11
⇔ − + + − > − + + − (2)
Xét hàm số: f x( ) = x2 + + 2 x là hàm số đồng biến với 1 ≤ ≤x 3
Khi đó (2) viết lại: f x( − > 1) f(3 − ⇔ − > − ⇔ >x) x 1 3 x x 2
Trang 15Vậy nghiệm của bất phương trình là: 2 < ≤x 3.
Bài 2
Giải bất phương trình 3
4x + − +x (x 1) 2x+ ≥ 1 0
Giải
2
x≥ −
Nhân 2 vế với 2 và biến đổi bất phương trình
3
(2 )x 2x (2x 1) 2x 1 2x 1
( ) '( ) 3 1 0
f t = + ⇒t t f t = t + > ⇒Hàm số luôn đồng biến
Từ phương trình có f(2 )x ≥ f( 2x+ ⇒ 1) 2x≥ 2x+ 1
2
4
4 2 1 0
x
x
≥
⇔ ≥
Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là: 1 5
4
x≥ + Bài tập tương tự
Giải các bất phương trình sau:
1 3
1 −x < +x 5
x− + x − ≥ −x −x
3 x+ ≤ − 1 1 2x x+ − 2 x3
2 (4x x + ≥ 1) (x + 3x+ 1) x + 3x
5 4x3 + − +x (x 2) 2x+ ≤ 3 0
Trang 16PHẦN III KẾT LUẬN
Hiện nay, lộ trình thực hiện Đổi mới phương pháp dạy học, phương pháp kiểm tra, đánh giá, Đổi mới hình thức thi Đại học – Cao đẳng và tốt nghiệp
Trang 17phương pháp giải phương pháp giải bất phương trình vô tỷ” thực sự là tài liệu bổ ích, có hiệu quả cao trong quá trình ôn tập và luyện thi của các em học sinh Tài liệu đã khái quát được toàn bộ hệ thống kiến thức phần bất phương trình một phần quan trọng trong nội dung đề thi theo mẫu mới của Bộ GD & ĐT Trên cơ
sở đó, tài liệu đã đưa ra hệ thống các câu hỏi ôn luyện đầy đủ và chi tiết, bao quát được cả nội dung cơ bản cũng như nâng cao liên quan đến bất phương trình
Trên đây là một số vấn đề lý luận và thực tiễn của việc Ôn tập và luyện thi phần bất phương trình lớp 10 THPT mà chúng tôi đã tìm tòi, biên soạn và đã đạt được những kết quả rất đáng khả quan Tuy nhiên, việc áp dụng tài liệu chưa được nhiều năm nên chưa thể hoàn thiện, chúng tôi sẽ tiếp tục triển khai trong những năm học tiếp theo để khẳng định kết quả của đề tài Rất mong tiếp tục nhận được những ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp để đề tài của chúng tôi hoàn thiện hơn
Xin chân thành cảm ơn!