Ứng dụng thặng dư logarit để tìm số không điểm của hàm giải tích

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Ứng dụng Thặng dư logarit để tìm số không điểm của hàm giải tích” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác... MỞ ĐẦUGiải tích phức, ha

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn Quốc Tuấn - Người thầy đã tận tình hướng dẫn

và giúp đỡ tôi để tôi hoàn thành bài khóa luận của mình Thầy không chỉ dạycho tôi kiến thức mà còn rèn cho tôi tính cẩn thận, tỉ mỉ và chính xác Hơnnữa, tôi đã học được rất nhiều ứng dụng công nghệ thông tin vào Toán học từthầy Thầy đã dạy cho tôi biết rằng khi làm bất cứ việc gì đều phải dành hếttâm huyết thì mới hoàn thành tốt được công việc Với những lời dạy quý giá

đó, tôi sẽ luôn ghi nhớ và cố gắng thực hiện

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô trong

tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm HàNội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt bàikhóa luận này

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình họctập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, Ngày 14 tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Trương Thị Tuyết Hạnh

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn

tận tình của ThS Nguyễn Quốc Tuấn.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này tôi đã tham khảomột số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Ứng dụng Thặng dư logarit để tìm

số không điểm của hàm giải tích” không có sự trùng lặp với kết quả của các

đề tài khác

Hà Nội, Ngày 14 tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Trương Thị Tuyết Hạnh

Mục lục

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Hàm biến phức 7

1.1.1 Định nghĩa hàm biến phức 7

1.1.2 Tính liên tục và liên tục đều 7

1.2 Chuỗi hàm 8

1.3 Tích phân hàm giải tích 11

1.3.1 Khái niệm hàm giải tích 11

1.3.2 Định lý Cauchy cho miền đơn liên 11

1.3.3 Định lý Cauchy cho miền đa liên 12

1.3.4 Sự tồn tại của nguyên hàm 13

1.4 Chuỗi Taylor 14

1.4.1 Định lý Taylor 14

1.4.2 Định lý duy nhất 15

1.5 Chuỗi Laurent 15

1.5.1 Định lý Laurent 15

1.5.2 Điểm bất thường của hàm giải tích 16

1.6 Khái niệm thặng dư và các định lý cơ bản của thặng dư 18

1.6.1 Định nghĩa và cách tính 18

1.6.2 Các định lý cơ bản về thặng dư 21

Chương 2 Ứng dụng Thặng dư logarit để tìm số không điểm của hàm giải tích 22

2.1 Thặng dư logarit 22

2.1.1 Không điểm của hàm giải tích 22

2.1.2 Cực điểm của hàm giải tích 22

2.1.3 Thặng dư logarit 23

2.2 Mối liên hệ của cực điểm, không điểm của hàm giải tích 25

2.3 Số không điểm của tổng hai hàm giải tích 25

2.4 Nguyên lý bảo toàn miền 26

2.5 Tính chất của dãy các hàm giải tích hội tụ đều trên tập compact 27 2.6 Một số ví dụ 28

MỞ ĐẦU

Giải tích phức, hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức là một nhánh củatoán học nghiên cứu các hệ hàm số một hay nhiều biến và các biến số đều là

số phức (các ánh xạ giữa Cnvà Cm) Giải tích phức là một trong những ngành

cổ điển của toán học, bắt nguồn từ khoảng thể kỷ 19 và thậm chí có thể làtrước đó Một số nhà toán học nổi tiếng nghiên cứu lĩnh vực này như Euler,Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass và nhiều nhà toán học khác ở đầu thế

kỷ 20

Khi đó, hàm phức được nghiên cứu là một hàm trong đó đối số và hàm sốnhận giá trị phức Chính xác hơn, hàm phức là hàm mà tập xác định Ω là tậpcon của mặt phẳng phức và tập giá trị cũng là tập con của mặt phẳng phức.Với một hàm phức tùy ý, cả đối số và hàm số có thể tách thành phần thực vàphần ảo:

z= x + iy và w = f (z) = u(z) + iv(z),trong đó x, y ∈ R và u(z), v(z) là các hàm thực Nói cách khác, các thành phầncủa hàm f (z):

u= u(x, y) và v = v(x, y)

có thể hiểu như các hàm thực của hai biến thực x và y

Các khái niệm cơ bản của giải tích phức thường được nghiên cứu dựa trên

mở rộng các hàm thực sơ cấp (ví dụ như: hàm mũ, hàm logarit và các hàmlượng giác) lên miền phức

Năm 1890, bài báo "Oeuvres Complètes" của Cauchy được công bố, trong

đó nghiên cứu tích phân hàm biến phức mà ta hay gọi là tích phân Cauchy

thì nó có đạo hàm mọi cấp tại điểm đó Công thức tích phân Cauchy và các hệquả của nó là những kết quả rất quan trọng và nhiều ứng dụng trong Lý thuyếthàm biến phức Từ kết quả đó, người ta thấy rằng hàm f có thể khai triểnđược thành chuỗi lũy thừa có tâm tại điểm z0 Trái lại, nếu hàm f không giảitích tại điểm z0 thì hàm f vẫn có thể khai triển được thành một chuỗi khác mà

ta gọi là chuỗi Laurent Năm 1843, chuỗi Laurent lần đầu tiên được xuất bảnbởi Pierre Alphonse Laurent và sau này chuỗi đó được đặt tên theo tên củaông Cũng có thông tin Karl Weierstrass mới là người phát hiện ra chuỗi đóđầu tiên Tuy nhiên, bài báo của ông được viết vào năm 1841 đã không đượccông bố cho đến khi ông qua đời Khái niệm chuỗi Laurent sẽ dẫn đến kháiniệm thặng dư Ngược lại, với lý thuyết thặng dư chúng ta có thể thực hiệncác tính toán trong các bài toán ứng dụng.

Khái niệm về thặng dư logarit đã được nhiều người đưa ra vào nửa cuốithế kỉ 20 do nhu cầu phát triển việc thực hiện tính toán các bài toán ứng dụng.Khi nghiên cứu về ứng dụng trong giải tích toán học, thặng dư logarit cho tamột công cụ để tìm số cực điểm và không điểm của một hàm trên một miềnnào đó Vào thời gian này, các nhà khoa học đã tìm ra mối liên hệ của cựcđiểm và không điểm của hàm giải tích, đó chính là nguyên lý Argument (xem[5]) Đồng thời, các nhà khoa học cũng nghiên cứu được cách tìm số khôngđiểm của tổng hai hàm giải tích (Định lý Rouché) (xem [6]) Năm 1962, định

lý Rouché được chứng minh một cách rõ ràng bởi Estermann (xem [6]) Đếnnăm 1982, Challener và Rubel cũng đã chứng minh được định lý ngược củađịnh lý Rouché (xem [4]) Định Hurwitz được đặt tên theo tên nhà toán họcAdolf Hurwitz đã đưa ra tính chất của dãy các hàm giải tích hội tụ đều trêntập compact Như vậy, thặng dư logarit là một ứng dụng không những đóngvai trò quan trọng trong giải tích mà còn ngày càng phát triển rộng rãi trong

Toán học Với khóa luận này tôi nghiên cứu đề tài “Ứng dụng Thặng dư

logarit để tìm số không điểm của hàm giải tích” Nội dung nghiên cứu của

tôi tuy không phải là những kết quả mới được tìm thấy, nhưng với tinh thầnhoc hỏi, tìm tòi kiến thức mới, hi vọng đề tài này sẽ đem lại nhiều kiến thức

bổ ích cho bản thân và nhiều thú vị cho độc giả

Vì vậy, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo ThS.Nguyễn Quốc Tuấn và saumột thời gian nghiên cứu, tôi trình bày khóa luận với nội dung gồm haichương:

Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản của lý thuyết hàm giải tíchmột biến phức, đó là khái niệm và các tính chất của hàm giải tích, lý thuyếttích phân Cauchy, lý thuyết chuỗi và thặng dư

Chương 2 trình bày lý thuyết thặng dư logarit; mối liên hệ của cực điểm,không điểm của hàm giải tích; tìm số không điểm của hàm số trong một miền;nguyên lý bảo toàn miền và tính chất của dãy các hàm giải tích hội tụ đều trêntập compact Đồng thời, từ lý thuyết Thặng dư logarit đã trình bày, áp dụng

tìm số không điểm của hàm giải tích.

Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực bảnthân nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự quantâm, góp ý của thầy cô và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Định nghĩa 1.1.1 (xem [3]) Giả sử Ω là một tập tùy ý cho trước, một ánh xạ

z 7→ ω = f (z),trong đó Ω gọi là tập xác định, f (z) được gọi là tập giá trị

1.1.2 Tính liên tục và liên tục đều

Cho ω = f (z) xác định trên tập tùy ý Ω, z ∈ Ω, z0 là điểm tụ của Ω Ta nóihàm f (z) khi z dần đến z0 có giới hạn

limz→z0 f(z) = a, a ∈ C,nếu

∀z ∈ Ω, |z − z0| < δ thì | f (z) − f (z0)| < ε.

Nếu z0 là điểm cô lập cuả Ω thì quy ước f liên tục tại z0 Nếu hàm số f liêntục trên tập Ω thì ta nói f liên tục tại mọi điểm thuộc Ω Ta nói hàm f liêntục đều trên tập Ω, nếu

∀ε > 0, ∃δ = δ (ε) > 0 sao cho

∀z1, z2 ∈ Ω mà |z1− z2| < δ thì | f (z2) − f (z1)| < ε

Nhận xét 1.1.1 Nếu f liên tục đều trên Ω thì liên tục trên Ω.

Định lý 1.1.1 (xem [3]) Nếu f liên tục trên tập compact K ⊂ C thì f liên tục

đều trên K

Định lý 1.1.2 (xem [3]) Nếu f liên tục trên tập compact K ⊂ C thì hàm

z→ | f (z)| đạt cận trên đúng và cận dưới đúng trên K, tức là tồn tại a, b ∈ Kđể

được gọi là chuỗi hàm trên Ω

Nếu đặt đối với mỗi n ≥ 1

Sn(z) =

n

∑k=1

fk(z), z ∈ Ω,

riêng của chuỗi hàm (1.2.1) Hơn nữa, Sn(z) được gọi là tổng riêng thứ n

Chuỗi hàm (1.2.1) được gọi là hội tụ hay khả tổng nếu dãy {Sn} hội tụ.Nếu dãy {Sn} hội tụ đều thì chuỗi (1.2.1) được gọi là hội tụ đều Hàm

f(z) = lim

n→∞Sn(z), z ∈ Ωđược gọi là tổng của (1.2.1) và viết

∞

∑n=1

fn hay f (z) =

∞

∑n=1

fk(z), z ∈ Ω

Khi đó, {Rn} là một dãy hàm trên Ω và được gọi là dãy các phần dư của chuỗi(1.2.1), hơn nữa Rn được gọi là phần dư thứ n Rõ ràng chuỗi (1.2.1) hội tụnếu và chỉ nếu dãy {Rn} hội tụ tới không, chuỗi (1.2.1) hội tụ đều nếu và chỉnếu dãy {Rn} hội tụ đều tới không Vì vậy:

i Chuỗi (1.2.1) hội tụ nếu và chỉ nếu

Định lý 1.2.3 (xem [3]) Nếu chuỗi (1.2.1) hội tụ đều và ϕ (z) là hàm bị chặn

trên Ω thì chuỗi

∞

∑n=1

ϕ (z) fn(z)

hội tụ đều.

Định lý 1.2.4 (xem [3]) Nếu chuỗi (1.2.1) hội tụ đều và các hàm fn liên tục trên Ω thì tổng f của nó cũng liên tục trên Ω.

Định lý 1.2.5 (xem [3]) Giả sử chuỗi (1.2.1) hội tụ đều trên Ω và z0 ∈ ∂ Ω.

Giả sử tồn tại các giới hạn hữu hạn

limz→z0

Ck hội tụ và nếu f là tổng của chuỗi (1.2.1) thì

limz→z0

z∈Ω

f(z) =

∞

∑n=1

Cn =

∞

∑n=1

limz→z0

z∈Ω

f(z)

Nhận xét 1.2.1 Từ định lý 1.2.5 suy ra nếu chuỗi (1.2.1) hội tụ đều trên Ω

và các hàm fn liên tục trên Ω thì chuỗi cũng hội tụ đều trên Ω và tổng của nócũng là hàm liên tục trên Ω

Ví dụ 1.1 Xét chuỗi

+∞

∑n=0

zn trong hình tròn đơn vị D (0, 1) Với z 6= 0 tổngriêng thứ n của chuỗi số là

Sn=

n−1

∑k=0

sự hội tụ này là không đều trên D (0, 1)

Thật vậy, giả sử chuỗi

+∞

∑n=0

zn hội tụ đều trên D(0, 1) Vì mọi hàm zn liêntục trên C nên theo nhận xét 1.2.1 chuỗi

+∞

∑n=0

zn hội tụ trên hình tròn đóng

1n phân kỳ(mâu thuẫn).

Vậy chuỗi

+∞

∑n=0

zn không hội tụ đều trong hình tròn đơn vị

1.3 Tích phân hàm giải tích

1.3.1 Khái niệm hàm giải tích

Định nghĩa 1.3.1 (xem [3]) Cho hàm ω = f (z) xác định trên miền Ω, z0∈ Ω.Nếu tồn tại giới hạn

lim

∆z→0

f(z0+ ∆z) − f (z0)

∆zthì ta nói hàm ω = f (z) khả vi (hay có đạo hàm) tại z0 Giới hạn đó được gọi

là đạo hàm tại z0, kí hiệu f0(z0) hoặc ω0(z0)

Định nghĩa 1.3.2 (xem [1]) Cho hàm ω = f (z) xác định trên miền Ω, z0∈ Ω.Nếu hàm số ω = f (z) có đạo hàm tại z = z0và tại mọi điểm trong lân cận củađiểm z0 thì f (z) giải tích tại z0 và z0 là một điểm thường của f (z)

Định nghĩa 1.3.3 (xem [1]) Giả sử f (z) giải tích tại mỗi điểm thuộc miền Ω.

Khi đó, hàm ω = f (z) được gọi là giải tích trên miền Ω

1.3.2 Định lý Cauchy cho miền đơn liên

Định lý 1.3.1 (Cauchy, xem [3]) Nếu hàm Ω = f (z) giải tích trong miền đơn

liên Ω thì với mọi γ, ta có

Z

γ

f dz= 0

Định lý 1.3.2 (xem [3]) Giả sử Ω là miền đơn liên bị chặn, với biên ∂ Ω là

một chu tuyến trơn từng khúc Khi đó, nếu f là hàm liên tục trên Ω = Ω ∪ ∂ Ω

và giải tích trên Ω thì R

∂ Ω

f dz= 0

Hình 1.1: Miền Ω, biên ∂ Ω, chu tuyến γ

1.3.3 Định lý Cauchy cho miền đa liên

Bổ đề 1.3.1 (xem [3]) Ta gọi Ω là miền n - liên (hay đa liên bậc n) nếu biên

của Ω gồm có chu tuyến ngoài γ và các chu tuyến γ1, , γn−1 đôi một không

Hình 1.2: Miền đa liên

Chứng minh. Bổ sung vào biên của Ω các đường l1, , ln−1 (hình 1.2), tađược miền Ω Khi đó, Ω trở thành miền đơn liên với biên là

L= ∂ Ω ∪ l1∪ ∪ ln−1

Định lý 1.3.3 (xem [3]) Nếu Ω là một miền n - liên (hay đa liên bậc n), f là

hàm liên tục trên Ω, giải tích trên Ω thì

Z

∂ Ω

f dz= 0

1.3.4 Sự tồn tại của nguyên hàm

Giả sử hàm f là hàm giải tích trên miền đơn liên Ω và z0, z là các điểmtrong Ω Khi đó, tích phân

không phụ thuộc vào đường cong nối z0và z trong Ω Thật vậy, giả sử γ1 và γ2

là hai đường cong tùy ý nối z0 với z Có thể coi γ1∩ γ2 = {z0, z} bởi vì γ1∪ γ2

là chu tuyến trong Ω Theo định lý 1.3.1, ta có

Định lý 1.3.4 (xem [3]) Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn liên Ω sao

cho với mọi γ, ta có R

Định lý 1.3.5 (xem [3]) Giả sử Ω là miền đơn liên, f là hàm giải tích trên Ω

và f (z) 6= 0, z ∈ Ω Khi đó, tồn tại hàm g giải tích trên Ω sao cho

eg(x) = f (z), z ∈ Ω

Định lý 1.3.6 (Công thức tích phân Cauchy, xem [3]) Giả sử f là hàm giải

tích trên miền Ω và z0 ∈ Ω Khi đó, với mọi γ, z0 ∈ Ωγ ⊂ Ω, ta có công thức

Cn(z − z0)nđược gọi là chuỗi Taylor tại z0 hay chuỗi lũy thừa của z − z0

1.4.1 Định lý Taylor

Định lý 1.4.1 (xem [3]) Nếu f (z) là hàm giải tích trên hình tròn |z − z0| < R

thì trong hình tròn này, f (z) là tổng của chuỗi Taylor của nó tại z0 Cụ thể là

f(z) =

∞

∑n=0

Z

|η − z0| = r

0 < r < R

f(η)(η − z0)n+1dη

Định lý 1.4.2 (Định lý duy nhất, xem [3]) Giả sử f và g là các hàm giải tích

trên miền Ω, (zn) là một dãy những điểm khác nhau {zn} ⊂ Ω mà nó hội tụ

tới một điểm z ∈ Ω Khi đó, f (zn) = g(zn), với mọi n thì f (z) = g(z), với mọi

Khi đó, hàm f (z) biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng của chuỗi Laurent

f(z) =

+∞

∑n=−∞

Cn(z − z0)n.Các hệ số của chuỗi này được xác định bởi công thức

trong đó γρ là đường tròn bất kỳ |z − z0| = ρ, r < ρ < R

1.5.2 Điểm bất thường của hàm giải tích

Định nghĩa 1.5.2 (xem [3]) Giả sử f là hàm xác định trên miền Ω, z0 ∈ C.Nếu tồn tại r > 0 sao cho vành khăn 0 < |z − z0| < r bao hàm trong Ω thì z0được gọi là điểm bất thường của f

Hàm f giải tích trên vành khăn 0 < |z − z0| < r không thể mở rộng giải tíchtới z0, tức là không tồn tại hàm giải tích g trên hình tròn |z − z0| < r sao cho

ii Tồn tại lim

z→z0 f(z) = ∞ Khi đó, z0 được gọi là cực điểm của hàm giải tích

f

iii Không tồn tại lim

z→z0 f(z) (trong C) Khi đó, z0 được gọi là điểm bấtthường cốt yếu của f

thì ta phải khai triển hàm f (z) thành chuỗi Laurent trong hình vành khăn

0 < |z − z0| < r Ta có

f(z) =

+∞

∑n=−∞

Ck(z − z0)k = (z − z0)m

∞

∑k=0

b z0 là bất thường cốt yếu nếu và chỉ nếu m = −∞

iii z0 là cực điểm bậc m của f (z) nếu và chỉ nếu nó là không điểm cấp m

f(z).

iv Điểm ∞ gọi là điểm bất thường của hàm giải tích f (z) trên |z| > R nếu

z

 Như vậy, tồn tại R > 0 sao cho

f giải tích trên vành khăn |z| > R và không giải tích tại ∞ Khai triển Laurent

z

trong vành khăn 0 < |z| < 1

gọi là khai triển Laurent của hàm f (z) tại ∞, trong vành khăn |z| > R

f(z) =

∞

∑n=−∞

Nhưng trong (1.5.6), chuỗi ∑∞

n=1

Cnzn là phần chính còn chuỗi ∑0

n=−∞

Cnzn làphần đều Tuy nhiên, (1.5.6) cũng chính là khai triển Laurent của f tại 0trong vành khăn R < |z| < +∞

Phân loại tính bất thường của ∞ được suy tương ứng từ phân loại tính bất

z

 Như vậy, nếu tồn tại

limz→∞f(z) ∈ Cthì z = ∞ là điểm thường của hàm f , tức là f có thể mở rộng giải tích tới

∞ Nếu tồn tại lim

z→∞f(z) = ∞ thì tồn tại m > 0 để Cn = 0 với mọi n > m và

Định nghĩa 1.6.1 (xem [3]) Giả sử f (z) là hàm giải tích trên vành khăn

0 < |z − z0| < r, γ là chu tuyến bất kỳ (đặc biệt là đường tròn) vây quanh z0nằm trong vành khăn đó Khi đó, tích phân

12πi

khăn R < |z| < ∞ thì thặng dư của f tại ∞ là số

f(z) = 1

z6



z−z33!+