Ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co vào dãy số

Lý do chọn đề tài Ra đời vào cuối thế kỉ XVIII, Giải tích toán học có một vị trí quan trọng trong chương trình toán cao cấp của các khoa Khoa học tự nhiên của các trường Đại học sư phạm

HÀ NỘI, 2015

Em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Khuất Văn Ninh,

người đã trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu này

Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên khóa luận này không tránh khỏi những sai sót Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý phê bình của các thầy cô và các bạn để khóa luận này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Khuất Văn Ninh cùng với sự cố gắng của bản thân trong quá trình học tập,

nghiên cứu và thực hiện khóa luận

Khi nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này, em có tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần: Tài liệu tham khảo

Vì vậy em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên

Lưu Thị Hồng Yên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Phương pháp nghiên cứu 1

4 Cấu trúc 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Sai số 3

1.1.1 Số gần đúng 3

1.1.2 Sai số tuyệt đối 3

1.1.3 Sai số tương đối 5

1.2 Một số định lí về dãy số 6

1.3 Một số định lí về hàm số liên tục 9

1.4 Không gian metric 12

1.5 Nguyên lí ánh xạ co 16

1.5.1 Ánh xạ liên tục Lipschitz 16

1.5.2 Ánh xạ co 16

1.5.3 Nguyên lí ánh xạ co của Banach 17

1.5.4 Ví dụ 22

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ COVÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 25

2.1 Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình đại số và siêu việt 25

2.1.1 Bài toán 25

2.1.2 Bậc hội tụ của dãy số 29

2.1.3 Ví dụ 30 CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO VÀO GIẢIMỘT SỐ

3.1 Phương pháp lặp 49

3.1.1 Phương pháp lặp để giải phương trình đại số và siêu việt 49

3.1.2 Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải một số bài toán về dãy số 50

KẾT LUẬN 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ra đời vào cuối thế kỉ XVIII, Giải tích toán học có một vị trí quan trọng trong chương trình toán cao cấp của các khoa Khoa học tự nhiên của các trường Đại học sư phạm và các trường kĩ thuật Đây là môn học hấp dẫn với các sinh viên, khi giải quyết các bài toán người học gặp phải những tình huống , những giả thiết phức tạp Điều này đòi hỏi phải có sự trợ giúp của nhiều kiến thức về toán học liên quan và kiến thức về phần mềm về lập trình tính toán

Điểm bất động là một khái niệm xuất hiện sớm trong Toán học giải tích Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của giải tích hàm – một môn học

cơ bản vừa mang tính lý thuyết vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Nói đến lý thuyết điểm bất động thì không thể không nhắc đến kết quả kinh điển của nó, đó là: Nguyên lí ánh xạ co của Banach

Nguyên lí ánh xạ co có rất nhiều ứng dụng trong Toán học Nó dùng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình đại số và siêu việt,

hệ phương trình tuyến tính, phương trình tích phân, phương trình vi phân,…

Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu “ Ứng dụng của

nguyên lí ánh xạ co vào dãy số ’’ nhằm có điều kiện tiếp cận sâu hơn, làm

phong phú thêm kiến thức của mình và ứng dụng trong giải toán ở THPT và đại học

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Sự phát triển của Giải tích toán học nói riêng và của Toán học nói chung được quy định bởi sự phát triển những nhu cầu có tính thực tiễn nhất định Nghiên cứu ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co vào dãy số là mục đích chính của khóa luận này

3 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu

4 Cấu trúc

Khóa luận bao gồm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình

Chương 3: Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải một số bài toán về dãy

số

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày về sai số, một số định lí về dãy số, hàm số liên tục, không gian metric và nguyên lí ánh xạ co

Tài liệu tham khảo của chương này bao gồm các tài liệu: [1], [2], [4] và [5]

1.1 Sai số

1.1.1 Số gần đúng

Trong nhiều trường hợp, ta không biết được giá trị đúng của các đại lượng

mà ta quan tâm mà chỉ biết giá trị gần đúng của nó

Ta gọi a là số gần đúng của a nếu a không sai khác a nhiều

Ví dụ 1.1

Theo tổng cục thống kê, đứng đầu một trong 5 tỉnh thành có sản lượng tôm lớn nhất cả nước năm 2014 là: Cà Mau là tỉnh có sản lượng tôm lớn nhất nước đạt hơn 116.000 tấn Bạc Liêu giữ vị trí thứ hai với sản lượng 95.700 tấn Ở vị trí thứ ba là Sóc Trăng với sản lượng 67.312 tấn Tiếp đến là Bến Tre có sản lượng là 52.000 tấn và cuối cùng là Kiên Giang với 51.430 tấn

Các số liệu trên là số gần đúng

1.1.2 Sai số tuyệt đối

Giả sử a là số gần đúng của a Giá trị aa phản ánh mức độ sai lệch giữa a và a

Ta gọi đại lượng : a   a là sai số thực của a

Nếu  0 thì a được gọi là số gần đúng thiếu của a

Nếu  0 thì a được gọi là số gần đúng thừa của a

Trên thực tế nhiều khi không biết a nên ta không tính được  Do đó ta tìm cách ước lượng sai số đó bằng một số dương a nào đó thỏa mãn:

số dương bé nhất có thể thỏa mãn (1.2) Do đó, một số gần đúng a của số đúng

a với sai số tuyệt đối a được viết đơn giản là:

a

Ví dụ 1.2

Xét số đúng a = 2 và giá trị gần đúng của nó là a = 1,41 Hãy cho biết

sai số tuyệt đối của nó

1.1.3 Sai số tương đối

Cho số gần đúng a có số đúng a với sai số tuyệt đối a và giả sử a 0

Ta gọi sai số tương đối của số gần đúng a là một số, kí hiệu a là tỉ số giữa sai

số tuyệt đối và a

*

a a

a a

a

Suy ra  a a.a (1.6) Các công thức (1.5) và (1.6) cho liên hệ giữa sai số tương đối và sai số tuyệt đối Biết a thì (1.5) cho phép tính a, biết a thì (1.6) cho phép tính a

Nhận xét:

1 Sai số tuyệt đối cũng như sai số tương đối của số gần đúng a của số

đúng a là không duy nhất

Chẳng hạn, xem ví dụ 1.2 có a  2, a1,41 thì có thể lấy  a 0,01hoặc  a 0,005

2 Độ chính xác của phép đo phản ánh qua sai số tương đối

3 Người ta thường viết sai số tương đối ở dạng phần trăm

 Dãy số  x n được gọi là dãy tăng (giảm) nếu với n ta có x n x n1

x n1x n Dãy số tăng hoặc dãy số giảm được gọi chung là dãy đơn điệu

 Dãy số  x n được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho n

ta có x n M

 Dãy số  x n được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho n

ta có x n m

Một dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn

 Dãy  x n được gọi là dãy Cauchy nếu:

0

0, n



   ℕ sao cho n m, n0 ta có x m x n 

Các điều kiện hội tụ

Định lí 1.2.1 ( Điều kiện hội tụ của dãy đơn điệu )

a) Nếu dãy  x n tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và

Định lí 1.2.2 ( Điều kiện hội tụ của dãy bất kì )

Điều kiện cần và đủ để dãy  x n hội tụ là dãy đó là dãy Cauchy

Chứng minh

 Điều kiện cần

Giả sử dãy  x n hội tụ, tức là lim n

x   x x  với nn0

Điều đó chứng tỏ  x n bị chặn

Theo bổ đề Bolzano – Weierstrass, từ  x n ta rút ra đƣợc một dãy con hội

tụ  x n k sao cho lim

có giới hạn Ta đi chứng minh cho một phép toán ( cộng ) trong định lí này còn các phép toán khác chứng minh tương tự

Định lí này sử dụng dấu hiệu đặc trƣng của hàm số liên tục để chứng minh

Chứng minh tương tự đối với hàm tan ,cotx x

Vậy ta có điều phải chứng minh

Định lí 1.3.3

Nếu hàm số y f x  liên tục trên  a b, thì đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và mọi giá trị trung bình giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn

Hệ quả Nếu hàm số f x liên tục trên đoạn    a b và , f a f b    0 thì tồn tại ít nhất một số c a b, : f c 0

Hay nói cách khác: Nếu hàm số f x  liên tục trên  a b, và

    0

f a f b  thì phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm trên  a b ,

1.4 Không gian metric

+ Không gian metric

Định nghĩa 1.4.1

Ta gọi là không gian metric một tập hợp X   cùng với một ánh xạ d từ

tích XX vào tập hợp số thực ℝ thỏa mãn các tiên đề sau đây:

Ví dụ 1.5

X ℝk ,  

1 2 2

1

,

k

i i i

Không gian metric kí hiệu là ℝk

Sự hội tụ của một dãy điểm  x n trong không gian ℝ1

là sự hội tụ của dãy

số thực đã biết trong giải tích toán học

Các bất đẳng thức (1.11) chứng tỏ với  j 1,2, ,k dãy số thực   n

j

x hội

tụ tới số thực x j khi n  sự hội tụ đó đƣợc gọi là sự hội tụ theo tọa độ

Ngƣợc lại, giả sử dãy điểm  n

x = x1    n ,x2n , ,x k n  n1, 2,  hội tụ theo tọa độ tới điểm xx x1, 2, ,x k theo định nghĩa:

;

k n

j j j

j j j

Cho hai không gian metric M1X d, 1, M2 Y d, 2, ánh xạ f từ không

gian M1 đến không gian M2 Ánh xạ f gọi là liên tục tại điểm x0X nếu

Ánh xạ f đƣợc gọi là liên tục đều trên tập A X nếu:

, m n, n0, d x x m, n

Định nghĩa 1.4.7

Không gian metric M X d,  gọi là không gian đủ nếu mọi dãy cơ bản

trong không gian này đều hội tụ

, m n, n0, d x m,x n

hay là  

1 2 2

1

k

m n

i i i

i

n x

 ; i1,k; x: ( , x x1 2, ,x k)

 dãy (x hội tụ theo tọa độ điểm đến n) x

Suy ra (x hội tụ đến n) x trong ℝk

1.5 Nguyên lí ánh xạ co

1.5.1 Ánh xạ liên tục Lipschitz

Định nghĩa 1.5.1

Cho X d và , 1 Y d, 2 là các không gian metric trên trường K

Ánh xạ f : X d, 1  Y d, 2 được gọi là ánh xạ liên tục Lipschitz nếu có một

số L0 sao cho d2 f x   , f y Ld x y1 , ; x y, X

Số L nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên gọi là hằng số Lipschitz Nếu

f là ánh xạ liên tục Lipschitz thì nó là ánh xạ liên tục.

1.5.2 Ánh xạ co

Định nghĩa 1.5.2

Ánh xạ f từ không gian metric X d, X vào không gian metric Y d, Y

được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số 0,1 sao cho:

,

x y X

  ta đều có: d Y f x   , f y d X x y,

Như vậy ánh xạ co là một trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển nhiên nó là liên tục

1.5.3 Nguyên lí ánh xạ co của Banach

Giả sử X là một không gian metric đủ và f : X X là một ánh xạ co của

X vào chính nó thì có duy nhất một điểm bất động nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm xX sao cho f x( )x

n d x x

  ; p = 1,2,…

Do đó  x n là một dãy cơ bản trong không gian metric đủ X d , 

 x n hội tụ nên  x X : lim n

Vậy x là điểm bất động duy nhất của f

Định lí 1.5.1 ( Nguyên lí Cantor về dãy hình cầu đóng thắt dần )

Không gian metric M X d,  là không gian metric đầy khi và chỉ khi mọi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có điểm chung duy nhất

Giả sử

1

n n

Lấy một dãy cơ bản bất kì  x n trong M , ta chứng minh dãy này hội tụ

f có phải là ánh xạ co hay không?

f có điểm bất động hay không? Vì sao?

Bài giải

Ta có [1, +) là tập con đóng của ℝ với metric d x y ,  x y

Do đó 1, cùng với metric trên lập thành một không gian metric đầy

0

10

x  (vô lí)

Vậy f không có điểm bất động Do đó f không là ánh xạ co

Nguyên lí ánh xạ co trong không gian định chuẩn

Giả sử X là không gian định chuẩn Ta xác định một metric trên X theo

x y, M , k cố định , k0,1 Khi đó các kết quả sau là đúng:

(i) Tồn tại và duy nhất nghiệm x của phương trình xA x (**) (ii) Với mỗi x0Mđã cho, dãy (x n) tạo bởi x n1 Ax n n0,1, 2,  hội tụ đến nghiệm duy nhất x của phương trình (**)

hội tụ tới một phần tử xX hay x nx khi n 

Tiếp theo ta chỉ ra rằng giới hạn X là nghiệm của phương trình x n1 Ax n

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO

VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Nguyên lí ánh xạ co có rất nhiều ứng dụng trong Toán học Nó dùng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình đại số và siêu việt,

hệ phương trình tuyến tính, phương trình tích phân, phương trình vi phân,… Trong chương này, chúng ta tập trung tìm hiểu về ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình đại số và siêu việt, trên cơ sở lí thuyết trên áp dụng vào giải một số bài tập cụ thể

Tài liệu tham khảo của chương này bao gồm các tài liệu [1], [2], [3] và [6]

2.1 Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình đại số và siêu việt

Cơ sở lí thuyết là ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình đại

+ Bước giải sơ bộ: Ở giai đoạn này, ta tìm một khoảng đủ bé chứa nghiệm của ( )f x

+ Bước giải hiện toàn: Tìm nghiệm với độ chính xác cần thiết

Để giải gần đúng phương trình (2.1) ta sử dụng phương pháp lặp đơn mà bản chất của phương pháp này là vận dụng nguyên lí ánh xạ co của Banach.

i, Phương trình (2.1) có nghiệm  duy nhất trên  a b ,

ii, Phép lặp (2.4) hội tụ, hơn nữa ta có ước lượng

Do ℝ (  , ) là không gian metric đầy, a b, là tập đóng trong ℝ nên

 a b, là một không gian metric đầy

Xét hàm xác định trên  a b, Theo điều kiện a,

2.1.2 Bậc hội tụ của dãy số

*

lim n

n n

Sơ đồ khối của phép lặp đơn như sau:

Suy ra f  1 f  2 < 0 nên [1,2] là khoảng tách nghiệm

Phương trình đã cho tương ứng với x 5 x10

Vậy nghiệm của phương trình (2.11) là x* x6 1,633588779

Trong Maple ta dùng câu lệnh sau để giải phương trình (2.11)

[> fsolve(x^5-x-10,{x});

x x

   ' 

1 [4,5]ax 37,5 1

Vậy nghiệm của phương trình (2.12) là x*x6 4,498007114

Trong Maple ta dùng câu lệnh sau để giải phương trình (2.12)

Ví dụ 2.3

Bằng phương pháp lặp đơn giải phương trình sau ( n = 8 )

sinxcosx4x0 (2.13) Bài giải

Bằng phương pháp lặp giải phương trình

sinxcosx4x 0 sin cos

Trong Maple ta dùng câu lệnh sau để giải phương trình (2.13)

x

x

  

 ;   x  1,0 Phương trình trở thành

.3

Trường hợp 2:

x

 

 ;  x  0,1 Phương trình trở thành

.3

x

   ;  x  2,3 Phương trình trở thành

Suy ra f    2 f 3 0 nên [2,3] là khoảng tách nghiệm

Có các cách đưa phương trình về dạng x x như sau:

Do đó 3 là ánh xạ co nên tồn tại điểm x=  sao cho  3( ) là nghiệm của phương trình trên Dãy (x n) được xác định như sau:

x   x  x  ,n0,1,2, ;  x  2,3Chọn x0= 2, theo công thức lặp trên ta có:

Ta có công thức đánh giá sai số: 1 0

1

n n

7 8 9

2,918554596 2,918741122 2,918799918

2,918826982 2,918826982 2,918826982

0,000272386 0,00008586 0,000027064

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO VÀO GIẢI

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

3.1 Phương pháp lặp

Với toán tử A tác dụng trong không gian metric đủ X Giải phương trình (3.1) có nghĩa là tìm phần tử xD A  bất động với toán tử A

3.1.1 Phương pháp lặp để giải phương trình đại số và siêu việt

Giả sử phải giải phương trình

f x 0 (3.2)

Trong đó f là hàm số xác định trên đoạn  a b , bằng một cách nào đó ta ,đưa phương trình (3.2) về dạng tương đương

x x (3.3) Giả sử  x thỏa mãn điều kiện Lipschitz

Để đưa về phương trình (3.3), ta có '  ' 

1

   và do đó ' 

1k  x  1 k

Từ đó chỉ cần chọn  sao cho thỏa mãn điều kiện   1 1 k2 và

1

1k 1 Hiển nhiên chỉ cần

2

20

k



  thì cả hai bất đẳng thức đồng thời được

thực hiện

3.1.2 Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải một số bài toán về dãy số

Cho dãy số  x n Nếu dãy  x n có dạng x n 1  x n ; n0,1,2,

Đây là dãy số thường gặp trong các bài toán về giới hạn dãy số Dãy số này

sẽ hoàn toàn xác định khi biết  và giá trị ban đầu x0 Do vậy sự hội tụ của dãy

số sẽ phụ thuộc vào tính chất của hàm số  và x0 Một đặc điểm quan trọng khác của dãy số dạng này là nếu a là giới hạn của dãy số thì a phải là nghiệm của phương trình x x Chúng ta có một số kết quả cơ bản như sau:

Nếu  là co trên D thì dãy số  x n xác định bởi x0  a D, x n1 x n

hội tụ Giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất trên D của phương trình