Khoá luận tốt nghiệp toán cấu trúc và tính cực tiểu sắc yếu của tập nghiệm pareto trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc

Vì thế việc nghiên cứu các bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tín h từng khúc càng có ý nghĩa quan trọng hơn.. M ột trong các vấn đề quan trọng Iihất khi nghiên cứu m ột bài toán tối ưu v

T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

KHOA TO Á N

N G U Y Ễ N T H Ị V Â N

ĐA MỤC TIÊU T U Y ẾN TÍNH TỪNG KHÚC

K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H I Ệ P Đ Ạ I H Ọ C

C h u y ê n n g à n h : G iả i tíc h

H à N ộ i - 2015

KHOA TO Á N

N G U Y Ễ N T H Ị V Â N

Em xin chân th à n h cảĩii ƠĨ1 T hầy giáo Nguyễn Văn Tuyên đã tậ n tìn h hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.

Em xin chân th à n h cảrri Ơ11 các thầy, các cô trong tổ giải tích-khoa Toán, trường Đại học SƯ phạm Hà Nội 2 đã tạo rriọi điều kiện giúp đỡ erri hoàn th à n h khóa luận Iiày

Em xin chân th à n h cảrri ơn gia đình và bạn bè đ ã tạo rriọi điều kiện

th u ân lợi cho em trong quá trìn h thực hiện khóa luận

E m xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, th án g 05 năm 2015

Sinh vicn

Nguyễn T hị Vân

LỜI CAM Đ O A N

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của T hầy giáo Nguyễn Văn Tuyên khóa luận " C ấ u t r ú c v à t í n h cự c t i ể u sắ c y ế u c ủ a t ậ p n g h iệ m

P a r e t o t r o n g t ố i ư u đ a m ụ c t i ê u t u y ế n t í n h t ừ n g k h ú c " được hoàn

th à n h không trù n g với b ất kỳ dề tài nào khác

Trong quá trìn h hoàn th à n h khóa luận, em đã th ừ a kế những th àn h

tự u của các Iihà khoa học với sự trâ n trọng và biết ƠĨ1

Hà Nội, th án g 05 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn T hị Vân

M ở đ ầ u 1

1 B à i t o á n t ố i ưu v e c t o r 3

1.1 M ộ t số k h á i Iiiệm cơ b ả n 3

1.2 Q u a n hộ h a i ngôi và q u a n hộ t h ứ t ự 8

1.3 Đ iể m h ữ u h i ệ u 10

1.4 Sự t ồ n tạ i c ủ a đ iể m h ữ u h i ệ u 13

1.5 B à i t o á n tố i Ưu v e c to r ( V O P ) 14

2 C ấ u t r ú c v à t í n h c ự c t i ể u s ắ c y ế u c ủ a t ậ p n g h i ệ m P a r e t o t r o n g t ố i Ưu đ a m ụ c t i ê u t u y ế n t í n h t ừ n g k h ú c 16 2.1 Đ ặ t b à i t o á n 16

2.2 C ấ u t r ú c c ủ a t ậ p n g h iệ m P a r e t o 18

2.2.1 T r ư ờ n g h ợ p k h ô n g lồi 18

2.2.2 T r ư ờ n g h ợ p l ồ i ‘23

2.3 T í n h cự c tiể u sắc y ế u to à n cục 26

T ài liệ u t h a m k h ả o 31

MỞ ĐẦU

Tối ưu đa mục ticu tuyến tín h được nghicn cứu rộng rãi và được áp dụng đổ giải quyết nhiều vấn đề khác nhau trong kinh tế, tổ chức khoa học, năng lượng Ta biết rằng họ các hàm tuyến tín h từng khúc lớn hơn

họ các hàm tuyến tín h và tồn tại m ột lớp rộng các hàm có th ẻ xấp xỉ bằng các hàrri tuyến tín h từng khúc Vì thế việc nghiên cứu các bài toán tối ưu

đa mục tiêu tuyến tín h từng khúc càng có ý nghĩa quan trọng hơn

M ột trong các vấn đề quan trọng Iihất khi nghiên cứu m ột bài toán tối ưu vector đó là nghiên cứu cấu trú c của tậ p nghiệm của bài to án Iiày Định lí Arrow, Brakin và Blaclwell cổ điển (Định lí ABB) p h át biểu rằng:

“ Với bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính bất kì trong khôny gian định chuẩn hữu hạn chiều, tập nghiệm Pareto và Pareto yếu là hợp của hữu hạn các đa diện và liên thông đoạừ\ G ần đây Yang [14] đã đưa ra m ột số mở

rộng cho định lý này cho bài to án tối ưu đa mục ticu tuyến tín h từng khúc không gian định chuẩn vô hạn chiều

M ột vấn đề quan trọng khác khi nghiên cứu bài to án tối ưu vector

đó là nghiên cứu các th u ậ t to án để giải bài to án này Như chúng ta đã

biết, khái niệm cực tiểu sắc yếu toàn cục (global weak sharp m inim a) của

bài toán tối ưu vô hướng được đề x u ất bởi Burke và Ferris [8] và được sử dụng để chứĩig m inh tiêu chuẩn dừĩig hữu hạn của m ột vài th u ậ t toán, như

th u ậ t to án gradien và các th u ậ t to án chiếu gradien Sau Iiày, khái Iiiệm quan trọng này được p h át triển và áp dụng trong nhiều lĩnh vực (xem

[9, 10, 11]) Một khái Iiiệm liên quan gọi là tín h cực tiểu sắc cũng dược

m ột vài tác giả nghicn cứu (xem [12])

T ính cực tiểu sắc yếu toàn cục của tập nghiệm P areto yếu của rnột bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tín h trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều được nghiên cứu bởi Deng và Yang [13] K ết quả này được mở

rộng trong [14] cho bài toán lồi đa mục ticu tuyến tín h từng khúc trong không gian định chuẩn bằng cách sử dụng các tín h chất đặc trư ng của tậ p nghiệm P areto yếu được th iết lập trong [1].

Mục đích của khóa luận này là trìn h bày các kết quả trong bài báo [19] Các kết quả Iiày là m ột mở rộng Định lí ABB cho trường hợp tậ p nghiệm P areto của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tín h từng khúc trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều và áp dụng Ĩ1Ó dể th iế t lập tín h cực tiểu sắc yếu to àn cục cho m ột bài toán lồi đ a mục tiêu tuyến tín h từng khúc

K hóa luận được chia th à n h hai chương:

Chương 1 giới thiệu m ột số kiến thức cơ bản về tối ưu vector

Chương 2 chúng ta chứng m inh rằng tập nghiệm Paret.o của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tín h từng khúc trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều là hợp của hữu hạn các đ a diện nửa đóng Cũng trong phần này

ta chỉ ra rằng, nếu hàm mục tiêu là lồi theo nón, th ì tậ p nghiệm P areto là hợp của hữu hạn các đa diện và liên thông đoạn Cuối cùng, chúng ta th iết lập tín h cực tiểu sắc yếu to àn cục với tậ p nghiệm P areto của bài to án lồi

đa mục tiêu tuyến tín h từng khúc

C hương 1

B ài to á n tố i ưu v ecto r

G iả sử E là không gian tuyến tính, M là tậ p các số thực

Đ ịn h n g h ĩa 1.1 Tập A c E được gọi là lồi, nếu:

Vx'i,x' 2 € A\ VA 6 E : 0 ^ A ^ 1 =7* Ax‘x ~\~ (1 — A)x‘ọ £ A.

V í d ụ 1.1 Các nửa không gian là các tậ p lồi Hình tam giác, hình trò n trong m ặt phang là các tậ p lồi Hình cầu đơn vị trong không gian Banach

là tậ p lồi

Đ ịn h n g h ĩa 1.2 G iả sử A c X Tương giao của tấ t cả các tậ p lồi chứa

A được gọi là bao lồi của tậ p A, kí hiệu là co Ả.

N h ậ n x é t 1.1 a) coA là m ột tậ p lồi Đó là tậ p lồi bé n h ấ t chứa A\ b) A lồi khi và chỉ khi A = CO A.

Đ ịn h n g h ĩa 1.3 Tập c c E được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu:

V.T e c , VA > 0 => Xx e c.

c được gọi là nón có đỉnh tại Xo, nếu c — Xo là nón có đỉnh tại 0

Đ ịn h n g h ĩa 1.4 Nón c có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi, liến c là m ột

tậ p lồi, nghĩa là:

V.T, y EC, VA, n > 0 => Xx + ịẲ,y e c.

V í d ụ 1.2 Các tậ p sau đây tro n g R n:

{ f i , Ỉ 2 , - , ỉ » e R " : í > 0 , í = l , , n }(nón o rth a n t không âm)

(nón o rth a n t dương)

là các nón lồi có đỉnh tại 0 Đó là nón lồi quan trọng trong R n

Ngoài ra, nếu cho D c là m ột nón lồi, nón cực dương của D được xác định bởi:

D* := {x* e R m :< x \ x > ^ 0,Vx € D ) .

Cho a j ) € Mm, a ^ D b khi và chỉ khi a — b G D ; a ^ 0 khi và chỉ khi

(lị ^ 0, i = 1 , ra Kí hiệu M™ := {x e M™ : T ^ 0} và cho g : X —> R r".

Hàrri g được gọi là D- giống lồi trên s c X khi và chỉ khi :

Khoá luận tốt nghiệp Nguy ễ n Thị Vân

Đ ịn h n g h ĩa 1.6 Tương giao của tấ t cả các tậ p affine chứa tậ p A c R n được gọi là bao affine của Ả và kí hiệu là a f f A

Đ ịn h n g h ĩa 1.7 P h ần trong tương đối của tậ p A c M"' là phần trong của

A trong a f f A (bao affine); kí hiệu là r iA Các điểm thuộc riẨ được gọi là điểm trong tương đối của tậ p A.

N h ậ n x é t 1.2

i nt A := { x £ Mn : > 0, X + e№ c Ả ) ,

r i A := {x e 0 , f f A : 36 > 0, (x + eB) n a f f A c Ả ) ,

trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong R n

Tiếp theo chúng ta s ẽ đi x em xét m ộ t số nón thường gặp

Cho c là nón lồi trong không gian vector tôpô E Kí hiệu l(C) :=

c n ( - C ) (phần tuyến tín h của C); clc (bao đóng của ơ ); rriột tậ p con

A c E, A c là phần bù của A trong E , nghĩa là A c = E \ A

Đ ịn h n g h ĩa 1.8 Chúng ta nói I1ÓĨ1 c là:

(a) Nhọn Iiếu l(C) = 0;

(b) Nón sắc nếu bao đóng của Ĩ1Ó là nhọn;

(c) Nón có giá chặt nếu C \ l ( C ) là được chứa trong m ột nửa không gian

mở th u ần Iihất;

(đ) Nón đúng Iiếu (clC) + C \ l ( C ) c c , hoặc tương đương

clC + C \ l ( C ) C C \ l ( C )

V í d ụ 1.3 theo định nghĩa 1.8

1 Cho Mn là không gian Euclid n-chiều Khi đó, nón o rth a n t không

ârri Wị gồm tấ t cả các vectơr của W l với t.oạ độ không âm là nón lồi, sắc,

đóng, có giá chặt và là nón đúng

5

2 Cho íì là không gian vectơr gồm tấ t cả dãy X = { x n} số thực Cho

c = { x e ũ : xn ^ 0,Vn}, th ì c là nón nhọn, lồi Tuy nhicn, ta chưa biết nón c là nón đúng hoặc nón sắc vì ta chưa biết tôpô xác định trcn không

gian này

3 Nón th ứ tự từ điển: Cho

lp = € íỉ : ||a;|| = 51 ^ p <

°°-Kí hiệu c là hợp của 0 và các dãy rrià số hạng đầu tiên khác không của

dãy là dương Đây là một, nón lồi, CÒ11 gọi là nón th ứ tự từ điển Nó là nón nhọn nhưng không là nón đúng và cũng không phải là nón có giá chặt

M ệ n h đ ề 1.1 Nón c là đúng khi và chỉ khi một trong các các điều kiện sau thoả mãn:

(c) G iả sử С = {0} u (n { H \ : Л G Л}), ở dây H\ là nửa không gian dóng

hoặc II1Ở trong E Nếu tấ t cả H\ là đóng th ì điều này tươĩig đương với

С là dóng Do đó, ta có thể giả sử ít Iihất Iiiột nửa không gian là 1I1Ở th ì

1(C) — {0} và b £ C \ l ( C ) khi và chỉ khi b G H x, v \ £ Л Hơn th ế nữa, ta

th ấy a £ clC khi và chỉ khi a G c l H \ , V A G A ncn cl Hx + H X G H \.

b E В, t > 0 sao cho с = tb th ì в được gọi là cơ sỏ của с Khi в là rnột

tậ p hữu hạn, cone(conv(B)) được gọi là m ột nón đa diện.

N h ậ n x é t 1.3 Rõ ràng trong không gian hữu hạn chiều m ột nón có cở sở

là lồi, đóng bị chặn khi và chỉ khi nó là nhọn, đóng Tuy nhicn nó không đúng trong không gian vô hạn chiều

M ệ n h đ ề 1.2 Nếu E là không gian Hausdorff thì một nón với một cư sở lồi, đóng bị chặn là nón đóng, nhọn vì vậy nó là nón đúng.

Chứng minh Trước hết ta chỉ ra rằng с là đóng Cho dãy {ca } là m ột lưới

từ С hội tụ tới c Do В là m ột cơ sở ncn tồn tại m ột lưới {ba } từ в và m ột lưới { t a } các số dương m à ca = taba Dễ th ấy t a là bị chặn T h ậ t vậy, giả

sử ngược lại l i mt a = (X) Vì E là không gian H ausdorff liên lưới |/ ; tt = 7^1 hội tụ tới 0 Hơn th ế nữa в là đóng, dẫn tới m âu thuẫn: 0 = limba G в Bằng cách này, ta có th ề giả sử { t a } hội tụ tới điểrn t 0 ^ 0 Nếu t 0 = 0

th ì từ tín h bị chặn của £>, l i mt aba = 0 Do đó с = 0 và hiển nhiên с G с Nếu t 0 > 0, ta có th ể giả sử ta > 6, Va, 6 > 0 T ừ bn = 7*'ữ ^ hôi tu tới J- và *0

7

hơn nữa B đóng liên vector *0 G B Do đó c G c và c đóng nêĩi c nhon là

Cho m ột tậ p hợp E tu ỳ ý, rriột quan hệ hai ngôi trong E được định nghĩa bởi rnột tậ p coil B của tậ p hợp tích E X E Điều này có nghĩa là

m ột phần tử X € E có quan hệ với y (E E liến 0 ,2 /) e B.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 0 Cho B là m ột quan hệ hai ngôi trong E Ta nói quan

hệ này là:

(a) P h ản xạ Iiếu ( x, x) 6 B với mọi X G E ;

(b) Đối xứng nếu(.T, y) £ B suy ra (?/, x) G B với mỗi T, y £ E;

(c) Bắc cầu nếu (x, y) G B , ( y , z) G B suy ra (x, z) G B với X, y, z 6 B; (d) Đầy đủ hoặc licn thông nếu {x, y) G B hoặc ( y, x) G B với mỗi x , y G

E , x Ỷ ỉ/;

(e) Tuyến tín h trong trường hợp E là không gian vector thực nếu (x, y) € B suy ra (tx + z, t y + z) 6 B với mọi X, y, z G E , t > 0;

(f) Đóng trong trường hợp E là không gian vcctor tôpô, nếu nó là đóng

như m ột tậ p COĨ1 của không gian tích E X E

Để làm rõ định nghĩa này chúng ta xem xét m ột số ví dụ cổ điểnsan Cho E là rriột cộng đồng dân CƯ của m ột th à n h phố và chúng ta định

nghĩa quan hệ hai ngôi như sau (số dân cư được gán bởi X, y, z, )

1 {x, y) G Bị nếu X, y là những người tuổi cao hoặc có tuổi

2 (x, y ) (E B 2 nếu X, y là hai giới tín h khác nhau

3 (x, y) G B 3 nếu X, y là những người có họ.

Khoá luận tốt nghiệp Nguy ễ n Thị Vân

Ta th ấy rằng Bị là phản xạ, bắc cầu, không đối xứng, đầy đủ B 2 không phản xạ, đối xứng, không bắc cầu, không đầy đủ E >3 là phản xạ, khôĩig bắc cầu, đối xứng, không đầy đủ

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 1 Q uan hệ hai ngôi là m ột quan hệ th ứ tự nếu nó là phản

xạ, bắc cầu

T h ậ t vậy, nếu B là m ột quan hệ th ứ tự m à là tuyến tín h trong m ột

khôĩig gian vector th ì tậ p

c = {x G E : (x-,0) 6 B }

là rriột nón lồi Hơn nữa, nếu B là không đối xứng th ì c là nhọn Ngược

lại, mỗi nón lồi trong E cho m ột quan hệ hai ngôi

X > c y nếu X y yà không phải là y X,

hay là X (E y + C \ l ( C ) Khi ỉ n t c 0 , x ^$>c y nghĩa là X >K y với

K = {0} u i n t c

V í d ụ 1.4 1 Cho R n và tậ p c = MỊ T hì Bc là phản xạ, bắc cầu, tuyến

tính, đóng, không đối xứng nhưng không đầy đủ Cho X = ( Xị , x n) , y =

{yu-: Un) e IRn:

9

X ^ c y khi và chỉ khi Xi ^ ịji với i = 1, , II;

X > c y khi và chỉ khi X i ^ Ui với i = 1, , n và ít n hất một b ất đẳng thức là ngặt;

X ^ c y khi và chỉ khi Xi > ĩji với mọi i = 1, , II

2 Trong R 2 Nếu c = (M ^o) thì B c là phản xạ, bắc cầu, tuyến

tính, đóng và đối xứng Trong trường hợp này X y khi và chỉ khi hai

th à n h phần của các vector trù n g nhau T hứ tự này không đầy đủ

3 Nón th ứ tự từ điển là m ột quan hệ phản xạ, bắc cầu, tuyến tín h

đầy đủ trong lp.

Cho E là không gian vector tôpô thực với quan hệ th ứ tự ( ^ ) được

sinh bởi một nón lồi c

Đ ịn h n g h ĩa 1 12 Cho A là m ột tậ p COĨ1 khác rỗng của E Ta nói rằng: (a) X € A là m ột điểm hữu hiệu lí tưởng (hoặc cực tiểu lí tưởng) của A tương ứng với c nếu y ^ V// £ A;

Tập các điềm cực tiểu lí tưởng của A được kí hiệu là IE( A\ C) ; (b) X € A là điểm hữu hiệu (cực tiểu -P areto hoặc cực tiểu) của A tương ứng với c nếu X ^ y, y £ A th ì y ^ x;

Tập các điổrri hữu hiộu của A kí hiộu là E( A\ C)\

(c) X G A là điểm hữu hiệu thực sự (toàn cục) của A tương ứng với c Iiếu tồn tại rriột nón lồi K Ỷ E V(3i i n t K D C \ l ( C ) sao cho X £ E( A\ K) ;

Tập các điổrri hữu hiộu toàn cục của A được kí hiộu là Pr E( A\ C) ; ((1) Giả sử i n t c 7^ 0, X (E -A là m ột điểm hữu hiệu yếu của A tương ứng với

Khoá luận tốt nghiệp Nguy ễ n Thị Vân

WE(A) = E(A) u {(x,y) : y = - l , x > 0 }.

Bây giờ cho c — (M1, 0) c R 2 Ta có :

(b) X 6 E( Á) khi và chỉ khi A n (x — C) c X + l(C) hoặc tương đương:

Ẹ y G A sao cho X > y Đặc biệt khi c là nhọn, X G E( Á ) khi và chỉ khi

A n (x — C) — {a;};

(c) Khi c 7^ E , x G W E ( A ) khi và chỉ khi A c \ ( x — i n t c ) = 0 hoặc tương

đương với Ịầy (E Ả sao cho X y.

M ệ n h đ ề 1.4 Cho tẠp khác rỗng A c E có:

11

P r E ( A ) c E( A) c W E ( A )

Hơn nữa, nếu I E ( A ) Ỷ 0 thì I E ( A ) — E( A) và nó là tập một điểm

khi c là nhọn.

Chứng minh Lấy X (E P r E ( A ) Nếu X ị E( Á) c ó y ^ A v ầ x — y €

C \ l { C ) Lâý nón lồi K, K Ỷ E với i n t K c C \/( C ) và X e £ ( Ẩ |iO - Thì

X — y £ i n t K c K \ l ( K ) Điều này rnâu th u ẫn với a: € ^(AỊìỷT) suy ra

Pr E( A) c £(Ấ).

Lấy X G E( A) Nếu X Ệ W E ( A ) theo Mộnh đề 1.3 tồn tại y € A sao cho X — y E i n t c Do c Ỷ E, i n t c c C \ l ( C ) liên ta có X —7/ £ C \/(C ).Đ iề u này m âu th u ẫn với X e E( A) Vậy i£(i4) c W E ( A )

Khoá luận tốt nghiệp Nguy ễ n Thị Vân

(b) G iả sử y 6 E ( A X) Theo M ệnh đề 1.4 có A x n (y — C) c y + l(C) suy

ra y — c c X — c nên

A n y - c c Ả n (y - C) n (x - C) c Ax n (y - C) c y + l(C).

Do đó y £ E( A)

N h ậ n x é t 1.4 Q uan hệ P r E ( A x) c P r E ( A ) nói chung không đúng trừ

một số trường hợp đặc biệt.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 4 Cho lưới { x a : a G 1} từ E được gọi là lưới giảm (tương ứng với C) nếu x a > c với a, Ị3 € I; Ị3 > a.

Đ ịn h n g h ĩa 1 15 Cho Ả c E đitợc gọi là đầy đủ (tương ứng đầy đủ m ạnh) nếu nó không có phủ dạng {(.7;0: — CỈCỴ : a G 1} (tương ứng {(xtt — C Ỵ : a £ /} ) với {.Ttt} là m ột lưới giảm trong A.

C-Đ ịn h lý 1.1 Giả sử c là một nón lồi đúng và A là một tập khác rỗng trong E Thì E( A\ C) Ỷ 0 khi' và chỉ khỉ A có một nhát cắt C- đầy đủ và khác rỗng.

Chứng minh Nếu E( A\ C) Ỷ 0 thì mọi điểm của tậ p này cho ta m ột n h át cắt C- dầy đủ vì không tồn tại lưới giảm Ngược lại, cho A x khác rỗng là

m ột n h át cắt C- đầy đủ của A Theo Mệnh đề 1.5 th ì ta chỉ cần chứng

m inh E ( A X\C) Ỷ 0- X ét tậ p p bao gồm tấ t cả các lưới giảm trong A Vì

A Ỷ 0 suy ra p / 0 Với a, b G p ta viết a >- b nếu b c tí Rõ ràng (>-) là

quan hộ th ứ tự trong p , và m ột xích b ấ t kì trong p đều có cận trcn T h ậ t

vậy, giả sử £ A} là m ột xích trong p Gọi B là tậ p tấ t cả các tập

13