Các tính chất của chuẩn orlicz trong không gian orlicz

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNNGUYỄN THANH THÚY CÁC TÍNH CHẤT CỦA CHUẨN ORLICZ TRONG KHÔNG GIAN ORLICZ Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THANH THÚY

CÁC TÍNH CHẤT CỦA CHUẨN ORLICZ TRONG

KHÔNG GIAN ORLICZ

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ NHẬT HUY

Hà Nội - 2014

Lời cám ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơnchân thành và sâu sắc của mình tới TS Vũ Nhật Huy, người thầy vô cùng mẫu mực

đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong khoaToán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội

và Khoa sau đại học, đã nhiệt tình truyền thụ kiến thức và tạo điều kiện giúp đỡ tôihoàn thành khóa Cao học

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn động viên và khuyếnkhích tôi rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và học tập

Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thờigian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả kính mongnhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, năm 2015

Nguyễn Thanh Thúy

Mục lục

1.1 Hàm lồi 5

1.2 Hàm Young 8

1.3 Cặp hàm liên hợp 9

1.4 Lớp Orlicz 17

1.5 Không gian Orlicz 20

1.6 Chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg 21

2 CÁC TÍNH CHẤT CHUẨN ORLICZ 26 2.1 Bất đẳng thức Kolmogorov-Stein 26

2.2 Tính tương đương của chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg 32

2.3 Công thức tính chuẩn Orlicz 36

2.4 Định lý về hàm dịch chuyển 43

Mở đầu

Năm 1931, W Orlicz và Z.W Birnbaum đã đề xuất một lớp không gian Banach

mà ngay sau đó được chính Orlicz phát triển Lớp không gian này ngày sau được gọi

là không gian Orlicz.Lớp không gian Orlicz là một mở rộng của lớp không gian Lp vàđược xác định qua một hàm Young φ Lý thuyết về không gian Orlicz có nhiều ứngdụng trong giải tích hàm, phương trình vi phân đạo hàm riêng, lý thuyết nhúng Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm haichương:

Chương 1: Không gian Orlicz Chương này trình bày về hàm lồi, hàm Young,hàm Young liên hợp, đây là các khái niệm cơ bản để ta đi xây dựng lớp Orlicz và khônggian Orlicz, cũng trong chương này luận văn còn trình bày về chuẩn Orlicz và chuẩnLuxemburg, các kết quả liên quan đến chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg là cơ sở xâydựng chương sau

Chương 2: Một số tính chất chuẩn Orlicz Chương này là nội dung cốt lõi củaluận văn, trong chương này luận văn trình bày về tính tương đương của chuẩn Orlicz

và chuẩn Luxemburg, các kết quả liên quan đến chuẩn Orlicz, cũng trong chương nàyluận văn còn trình bày đến bất đẳng thức Kolmogorov-Stein đối với chuẩn Orlicz vàđịnh lý về hàm dịch chuyển

Chương 1

KHÔNG GIAN ORLICZ

Trong chương này chúng tôi trình bày về các khái niệm và các kết quả cơ bản về khônggian Orlicz, các kết quả này được sử dụng để xây dựng và chứng minh các kết quả ởchương sau (xem [1, 3, 4])

ϕ (t) dt với c ≤ x ≤ d,

ở đây, ϕ : R →R là một hàm đơn điệu không giảm và liên tục trái Ngoài ra, φ còn

có đạo hàm trái và phải tại mỗi điểm thuộc (a; b) và các đạo hàm này chỉ khác nhautại không quá đếm được các điểm

Chứng minh Điều kiện cần Do φ là hàm lồi nên ta có

φ (c1) − φ (c)

c1− c

;

φ (d) − φ (d1)

d − d1

Ta chỉ ra điều mâu thuẫn Thật vậy, do f ∈ Lφ ta dễ dàng có f ∈ L1loc(R) Do đó với

n = 1, 2 thì f (tk+ y) → f (y) trong L1(−n, n) Do đó tồn tại một dãy biểu thị lại bởi{tk}∞k=0 sao cho f (tk + y) → f (y) trong (−n, n) Do đó tồn tại một dãy ( để đơn giản

về kí hiệu ta giả sử nó trùng {tk}∞k=0 sao cho

f (x0+ tk+ y) → f (x0+ y)trong (−∞; +∞)

Mặt khác không mất tính tổng quát có thể giả sử rằng

Điều này mâu thuẫn với (2.3)

Trường hợp 1 ≤ r ≤ n được chứng minh tương tự

Tính liên tục của Fε(r)(x) được chứng minh Hàm Fε(r)(x) là liên tục và bị chặn trong

Fε(k)(0)

≤ Ck,nkfλkn−kφ fλ(n)

k φ

ta có với bất kỳ 0 ≤ k ≤ n hàm fλ(k) liên tục và bị chặn trong Lφ(R)

Bây giờ ta sẽ chứng minh với bất kỳ v ∈ Lψ thì

R

(fλk(x) − f (x)) v (x) dx

>ε0, k >0 (2.6)

Do đó dễ thấy rằng fλ→ f khi λ → 0 trong L1

loc(R) Do đó tồn tại dãy {km} để đơngiản ta giả sử km = m sao cho

fλk(x) → f (x) h.k.n

vì fλk(x) → f (x) (h.k.n) điều này mâu thuẫn với (2.12).

Vậy (2.12) được chứng minh, nên với ϕ ∈ C0∞(R) bất kỳ

Chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg là hai chuẩn tương đương, trước khi đến với định

lý chứng minh điều này ta xét mệnh đề sau

υf là một độ đo có tính chất tập con hữu hạn.

Thật vậy, dễ thấy υf : Λ →R+là σ cộng tính và nếu υf(E) > 0 thì µ (E) > 0 nên với

Vì thế υf là một độ đo có tính chất tập con hữu hạn

Chúng ta chứng minh bất đẳng thức đã cho đúng với mọi A ∈ Λ thỏa mãn µ (A) < ∞nghĩa là f được thay bởi fχA

Thật vậy, xét f là hàm đơn giản thì g = ϕ kf kf

φ

cũng là hàm đơn giản và thuộc Lφ.Hơn nữa, ta có

Z

A

f

kf kφgdx

... class="page_container" data-page="20">

1.5 Không gian Orlicz< /h3>

Định nghĩa 1.7 Giả sử Leφ lớp Orlicz ứng với hàm Young φ Khi khơng gian

Lφ(R)... Leφ.

(ii) Khơng gian Leφ tuyến tính φ ∈ ∆2 tồn cục Đảo lại, điều kiện ∆2 toàn cục

là cần để khơng gian Leφ tuyến tính

Chứng... φ(x) = xp khơng gian Lφ tập hợp hàm f thỏamãn

Z

R

|f |pdx < ∞

1.6 Chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg

Một