Ứng dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân để giải các bài toán về xác suất

Nhưng đa số học sinh chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc mà chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc cộng, quy tắc nhân để giải các bài tập về xác suất..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

********

TRỊNH THỊ PHA ỨNG DỤNG QUY TẮC CỘNG, QUY TẮC NHÂN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp được hoàn thành tại Đại học Sư phạm Hà Nội

2 Có được bản khóa luận tốt nghiệp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán, đặc biệt là ThS Nguyễn Thị Bình đã trực tiếp hướng dẫn và giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu

để em có thể hoàn thành đề tài này

Với mong muốn viết được một bản khóa luận đầy đủ, phong phú và hữu ích cho người đọc em đã rất cố gắng nhưng do lượng thời gian và kinh nghiệm bản thân còn hạn chế nên không thể tránh khỏi sai sót và chưa hoàn thiện Rất mong được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để

đề tài được hoàn chỉnh và phát triển hơn nữa

Em xin chân thành cảm ơn!

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân để giải các bài toán xác suất" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô giáo Nguyễn Thị Bình Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được ghi rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 14 tháng 4 năm 2015

Sinh viên

Trịnh Thị Pha

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích yêu cầu 2

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5.Phương pháp nghiên cứu 2

PHẦN II: NỘI DUNG 3

CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 Quy tắc đếm cơ bản 3

1.1.1 Quy tắc cộng 3

1.1.2 Quy tắc nhân 5

1.2 Hoán vị 9

1.3 Tổ hợp 13

1.3.1.Định nghĩa tổ hợp 13

1.3.2.Các ví dụ 15

1.4 Hoán vị lặp 18

1.4.1 Hoán vị của tập hợp có các phần tử khác nhau 18

1.4.2 Hoán vị của tập hợp có các phần tử đồng nhất hay phần tử không phân biệt 19

1.5 Hoán vị vòng tròn 21

1.5.1 Khái niệm hoán vị vòng tròn 21

1.5.2 Các ví dụ 24

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC SUẤT 27

2.1 Một số bài toán sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân 27

2.1.1.Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện bài toán 27

2.1.2.Sử dụng quy tắc cộng để thực hiện bài toán 28

2.1.3 Các dạng toán thường gặp 30

2.2 Các ví dụ và bài tập 37

2.2.1 Các ví dụ 37

2.2.2 Bài tập áp dụng 38

KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán xác suất là một ngành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế…Vì vậy lí thuyết xác suất đã được đưa vào chương trình toán lớp 11 nhằm cung cấp cho học sinh THPT những kiến thức cơ bản về ngành toán học quan trọng này

Để có thể học tốt toán xác suất học sinh phải nắm vững các khái niệm và các công thức cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán về tính xác suất Nhưng đa số học sinh chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc mà chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc cộng, quy tắc nhân để giải các bài tập về xác suất

Tôi đã đi tìm hiểu các tài liệu Toán học về cách giải các bài toán xác suất và sau khi đọc được một số tài liệu Toán học của Singapore nói

về chuyên đề này, tôi đã đầu tư thời gian học tập và nghiên cứu Một mặt là giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề và không còn lúng túng trong việc giải các bài toán xác suất Mặt khác sau khi nghiên cứu tôi sẽ có thêm một phương pháp giải các bài toán về xác suất Hơn nữa tôi hy vọng rằng những nghiên cứu nhỏ của tôi có thể giúp thấy được phần nào thực tế việc đưa ứng dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân vào giải các bài toán xác suất trong chương trình sách giáo khoa sắp tới

Với mong muốn ấy tôi chọn đề tài: “Ứng dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân để giải các bài toán về xác suất ”

Nội dung đề tài gồm:

Chương 1 Một số kiến thức cơ sở

Chương 2 Ứng dụng quy tắc đếm cơ bản để giải các bài toán xác suất

2 Mục đích yêu cầu

Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán về tính xác suất

Tự học, bồi dưỡng nâng cao chuyên môn nghiệp vụ

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Quy tắc cộng, quy tắc nhân và cách giải các bài toán về xác suất

Phạm vi nghiên cứu: Mở rộng thêm các kiến thức cơ bản về xác suất trong chương trình SGK môn Toán lớp 11

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

a) Hệ thống các kiến thức cơ bản về xác suất

b) Hướng dẫn học sinh ứng dụng nguyên lý đếm vào giải các bài toán

về xác suất

5.Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp

PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Quy tắc đếm cơ bản

1.1.1 Quy tắc cộng

1.1.1.1 Khái niệm quy tắc cộng

Giả sử một công việc có thể được hoàn thành bằng cách thực hiện một trong hai phương án A hoặc B

 Nếu phương án A có a cách thực hiện

 Nếu phương án B có b cách thực hiện

Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi một trong hai phương án A

hoặc B là a+b

Chú ý: Phương án A và phương án B loại trừ lẫn nhau Nếu thực hiện

phương án A sẽ loại trừ khả năng thực hiện phương án B và ngược lại (Phương án A và phương án B không thể xảy ra cùng một lúc )

Ví dụ: Giả sử cần chọn hoặc là một học sinh nam của khối 12 hoặc

một học sinh nữ của khối 11 làm đại biểu cho một trường THPT Hỏi có bao nhiêu cách chọn vị đại biểu này nếu khối 12 có 81 học sinh nam và khối 11 có 72 học sinh nữ?

Quy tắc cộng dạng tổng quát:

Giả sử các công việc T1, T2, … , Tm có thể làm tương ứng bằng n1,

n2, …, nm cách và giả sử không có hai việc nào làm đồng thời Khi đó số cách làm một trong m việc đó là: n1 + n2 +…+ nm

Ví dụ 2: Một sinh viên có thể chọn bài thực hành máy tính từ một trong

ba danh sách tương ứng có 23, 15 và 19 bài Có bao nhiêu cách chọn bài thực hành?

 Có 19 cách chọn bài thực hành từ danh sách thứ ba

1.1.2.1 Khái niệm quy tắc nhân

Giả sử một công việc có thể đƣợc hoàn thành bởi hai công đoạn A

và B, công đoạn A và công đoạn B là độc lập

Nếu công đoạn A có a cách thực hiện và công đoạn B có b cách

thực hiện thì số cách hoàn thành công việc bằng cách thực hiện công

đoạn A và công đoạn B liên tiếp là: a.b

Ví dụ 1: Người ta có thể ghi nhãn cho những chiếc ghế trong một giảng

đường bằng một chữ cái và một số nguyên dương không vượt quá 100 Bằng cách như vậy, nhiều nhất có bao nhiêu chiếc ghế có thể được ghi nhãn khác nhau?

Như vậy, nhiều nhất ta có thể gắn nhãn cho 2600 chiếc ghế

Ví dụ 2: Trong một trung tâm máy tính có 32 chiếc máy vi tính Mỗi máy

có 24 cổng Hỏi có bao nhiêu cổng khác nhau trong trung tâm này?

Quy tắc nhân cho thấy có 32.24=768 cổng

Ví dụ 3: Đi từ thành phố X đến thành phố Y khách du lịch phải đi qua

Du lịch từ thành phố X đến thành phố M và du lịch từ thành phố M tới thành phố Y là các hoạt động độc lập

Nếu chúng ta giả định rằng việc lựa chọn du lịch bằng 1 trong 4 tuyến đường bộ không ảnh hưởng đến việc lựa chọn đi lại bằng bất kì 1 trong 3 tuyến đường biển và ngược lại

Do vậy, số cách đi du lịch từ thành phố X đến thành phố Y bằng đường

bộ và đường biển là: 3.4 = 12

Quy tắc nhân dạng tổng quát:

Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ H cần thực hiện k công việc nhỏ

là H1, H2, … , Hk trong đó:

H1 có thể làm bằng n 1 cách

H2 có thể làm bằng n 2 cách, sau khi hoàn thành H1

Hk có thể thực hiện bằng n k cách, sau khi hoàn thành công việc Hk-1

Khi đó để thực hiện công việc H sẽ có n 1 n 2 n k cách

1.1.2.2.Ví dụ

Ví dụ 1: Có nhiều nhất bao nhiêu biển đăng ký xe ô tô nếu mỗi biển

chứa một dãy ba chữ cái tiếp sau là ba chữ số (không bỏ dãy chữ nào ngay cả khi nó có ý nghĩa không đẹp)

 Có tất cả 26 cách chọn mỗi một trong ba chữ cái

 Có 10 cách chọn cho mỗi chữ số

Vì thế theo quy tắc nhân, nhiều nhất có:

26.26.26.10.10.10= 17 576 000 biển đăng ký xe

Ví dụ 2:Có bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau có thể lập từ các chữ

số 0, 2, 4, 6, 8

Giải:

Số cần lập có dạng a a a1 2 3 Ta có 4 cách chọn a1, vì a1 0 Ứng với mỗi cách chọn a1 có 4 cách chọn a2 Ứng với mỗi cách chọn a1,a2 có 3 cách chọn a3 Theo quy tắc nhân ta có 4.4.3 = 48 số cần lập

Ví dụ 3:

1 Cho ba tập hợp chữ cái

A = { a, b } B = { c, d, e, f } C = { g } Nếu chọn một chữ cái bất kì từ bộ ba tập hợp thì số cách chọn là:

2 + 4 + 1 = 7 (A, B và C là các tập hợp loại trừ lẫn nhau, vì không có yếu tố chung) Nếu một chữ cái đƣợc chọn từ một tập hợp của ba tập hợp thì số lựa chọn của ba chữ cái khác nhau là: 2 4 1 = 8

(A, B và C là những tập hợp độc lập vì khi lựa chọn bất kì một yếu tố nào trong một tập hợp không gây ra bất kì sự hạn chế về một yếu tố bất

(A, B và C không là các tập hợp độc lập vì lựa chọn b từ tập hợp A sẽ hạn chế sự lựa chọn b từ tập hợp B )

Mỗi cách sắp xếp có thứ tự 5 đối tượng khác nhau được gọi là một hoán

vị của 5 đối tượng khác nhau

Để tìm số hoán vị của 5 đối tượng khác nhau, chúng ta xem xét nhiệm vụ sắp xếp như một hoạt động 5 bước, như sau:

Ô trống đầu tiên, có thể được lấp đầy bởi bất kì 1 trong 5 đối tượng nên

Mỗi hoạt động của 5 hoạt động độc lập với nhau

Vì thế, theo nguyên tắc nhân số hoán vị là: 5 4 3 2 1 = 5!

Bước 1: Chọn vật đứng đầu có n cách chọn (n vật đều có thể

đứng đầu)

Bước 2: Chọn vật đứng thứ hai có n-1 cách chọn (do đã chọn vật

đứng đầu nên bây giờ ta chỉ còn n - 1 vật )

…

Bước n: Chọn vật còn lại cuối cùng chỉ có một cách duy nhất

Nhƣ vậy, theo nguyên lý nhân, số cách xây dựng hoán vị cũng chính

là số các hoán vị của n vật ban đầu là: n.(n-1)…2.1 = n!

Ví dụ 1: Cho 7 đối tƣợng phân biệt đƣợc dán nhãn a, b, c, d, e, f, g và 3

Ví dụ: Cho 4 đối tƣợng khác nhau đƣợc dán nhãn a, b, c, d Ta có thể

chọn từ 4 đối tƣợng khác nhau lấy 3 đối tƣợng cùng một thời điểm bởi một số cách nhƣ sau: { a, b, c } hoặc { a, c, d }

Mỗi lựa chọn 3 đối tƣợng từ 4 đối tƣợng khác nhau đƣợc gọi là một

tổ hợp của 4 đối tƣợng lấy ra 3 đối tƣợng tại một thời điểm

4

P3 = 24 hoán vị của việc chọn 3 trong 4 đối tƣợng khác nhau tại cùng một thời điểm thể hiện bởi bảng sau:

abc acb bac bca cab cba { a, b, c }

abd adb bad bda dab dba { a, b, d}

acd adc cad cda dac dca { a, c, d }

n ! 0!

n ! (n – 0)!

n !

n !

n ! (n – r)!

24 lần hoán vị đƣợc tạo thành từ 4 nhóm không giống nhau:

Mỗi nhóm gồm 3! = 6 hoán vị khác nhau với 3 đối tƣợng giống nhau đƣợc xem nhƣ một tổ hợp từ 3 đối tƣợng không quan tâm đến thứ tự

do đó ta có công thức: !

r

r n n

n n

1 1 0! 1

Ví dụ 1: Lớp có 70 sinh viên, trong đó 40 nam và 30 nữ Hỏi có bao

nhiêu cách chọn ngẫu nhiên 10 sinh viên nam và 10 sinh viên nữ đi dự hội sinh viên của trường?

2 4 giải khuyến khích được trao cho một lớp có 20 học sinh

3 16 giải khuyến khích được trao cho một lớp 20 học sinh

Ví dụ 6: Có bao nhiêu cách có thể chọn một ủy ban gồm 4 quý ông và 5

quý bà được chọn từ 8 quý ông và 7 quý bà

Ví dụ 7: Từ 7 nam và 5 nữ , một đội gồm 7 người được thành lập Có bao

nhiêu đội khác nhau được thành lập nếu cả nam và nữ được chọn và nam

Ví dụ 8: 5 nam và 5 nữ đƣợc chọn từ 10 nam và 8 nữ thành lập một đội

gồm 5 cặp hỗn hợp chơi tennis (bóng bàn ) Tìm tổng số đội khác nhau của các cặp khác nhau có thể thành lập

Nếu ta cho phép bất cứ số nào trong 7 số khác nhau được nhắc lại sau

đó sắp xếp bất kì trong 7 đối tượng đó chọn 3 đối tượng cùng thời điểm

Nhận xét: Ở đây có sự tương tự như chỉnh hợp (có thứ tự), nhưng cho

phép sự lặp lại của các đối tượng

Ví dụ 11: Tính xác suất lấy liên tiếp được 3 quả bóng đỏ ra khỏi bình kín

chứa 5 quả đỏ và 7 quả xanh nếu sau mỗi lần lấy một quả bóng ra lại bỏ

Như vậy, xác suất cần tìm là:

3 3

512

1.4.2 Hoán vị của tập hợp có các phần tử đồng nhất hay phần tử không phân biệt

Ví dụ: Cho 4 đối tượng khác nhau được dán nhãn a1, a2, a3, b

4

P4 = 4! = 24 hoán vị của 4 đối tượng khác nhau cho dưới bảng:

Hoán vị của a1, a2, a3, b

Hoán vị của

24 hoán vị được thành lập từ 4 nhóm không giống nhau

Nếu ta xét a1,a2,a3 là các số đồng nhất hoặc không phân biệt (ta có thể gọi chung là a), vậy mỗi nhóm có 3! = 6 hoán vị được xem như một phép hoán vị

Do đó, số hoán vị của 4 đối tượng với 3 đối tượng đồng nhất là

4!

43! 

Định lý:

Số hoán vị của n phần tử với p phần tử đồng nhất hoặc không

phân biệt được tính bởi !

!

n

p với pn

Số hoán vị của n phần tử, nếu có

p1 phần tử như nhau thuộc loại 1

p2 phần tử như nhau thuộc loại 2

p3 phần tử như nhau thuộc loại 3

Để xác định số hoán vị trước tiên chúng ta nhận thấy có:

 nCp1 cách giữ p1 chỗ cho p1 phần tử loại 1, còn lại n – p1 chỗ trống

 Sau đó có 1

2

n p

pC

n p p

n p n

1 Không chữ nào được sử dụng nhiều hơn một lần trong số đó

2 Bất kì chữ số nào cũng có thể nhắc lại trong một số

Ví dụ 14: Ba cặp sinh đôi cùng trứng nằm trong một hàng có 6 ghế Cho

biết các cặp sinh đôi không phân biệt Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp

Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách sắp xếp n phần tử này vào n

vị trí theo một đường tròn gọi là một hoán vị vòng tròn cuả tập hợp A

Ví dụ: Cho 4 số được dán nhãn a, b, c, d Ta có thể sắp xếp 4 số khác

nhau này quanh một vòng tròn trong một phép chọn như sau:

Mỗi vòng tròn sắp xếp 4 số đó được gọi là một hoán vị vòng tròn của

4 số khác nhau Một vòng tròn sắp xếp của n đối tượng khác nhau có thể coi như sự tham gia của 2 đối tượng kết thúc trong sắp xếp một hàng của n đối tượng khác nhau tạo thành một vòng tròn

Tuy nhiên, không giống như sắp xếp hàng, một vòng tròn sắp xếp không có điểm bắt đầu và kết thúc

Vậy 4 cách sắp xếp hàng: abcd dabc cdab bcda tương ứng với 4 vòng tròn sắp xếp:

Được coi như là cùng một hoán vị vòng tròn từ vị trí tương đối của 4 đối tượng (phân biệt) khác nhau là như nhau trong mỗi trường hợp

4

P4 = 4 ! = 24 hàng hoặc hoán vị vòng tròn của 4 đối tượng khác nhau trong đó có 4 đối tượng khác nhau được bố trí trong một hàng, lập bảng sau:

Hoán vị hàng của a, b, c, d

Hoán vị vòng tròn của a, b,

c, d

Có 24 hoán vị hàng đƣợc phân chia làm 6 nhóm không chồng lên nhau (trùng nhau)

Do đó, số hoán vị của 4 đối tƣợng khác nhau sắp xếp trong cùng một

Nhận xét:

Số hoán vị vòng tròn của n phần tử khác nhau trong đó n phần tử

khác nhau sắp xếp trong một vòng tròn cho bởi: n! (n 1)!

Số hoán vị vòng tròn của n phần tử khác nhau lấy ra r phần tử tại

một thời điểm, kí hiệu: !

( )!

n r

Ví dụ 16: Có bao nhiêu cách sắp xếp để một bên của 4 chàng trai và 4 cô

gái đƣợc ngồi vào một bàn tròn nếu:

1 Không có điều kiện gì?

2 Không có 2 nam ngồi cạnh nhau

Số cách để 4 nam có thể ngồi cạnh 4 nữ bằng: 4! = 24 (hoán vị hàng)

 Số cách để không có 2 nam ngồi cạnh nhau bằng:

3! 4! = 6 24 = 144

Chú ý: Sau khi sắp xếp 4 nữ trong một vòng tròn, các vị trí của 4 ghế

được cố định bằng 4 nữ Vì vậy khi 4 nam được bố trí trong 4 ghế còn lại việc bố trí được xem xét như hoán vị hàng hoặc hoán vị vòng tròn

Ví dụ 17: Có 10 hạt màu khác nhau:

1 Chọn 6 hạt sắp xếp trong một vòng tròn Có bao nhiêu cách

có thể sắp xếp như vậy?

2 Chọn 6 hạt và chạy quanh tạo thành một vòng tròn Có thể có

bao nhiêu vòng tròn như vậy?

Số hoán vị tròn của n phần tử khác nhau lấy ra r phần tử tại một thời

điểm cho bởi công thức: !

n r



Ví dụ 18: Tại một bữa ăn tối đám cưới, 4 cặp vợ chồng và 2 người đàn

ông ngồi trong một bàn tròn riêng biệt Tìm số cách để họ có thể ngồi trong một bàn tròn

1 Không có điều kiện gì?

2 Nếu 2 người phụ nữ không ngồi canh nhau

3 Mỗi cặp vợ chồng phải ngồi lại với nhau và chỗ ngồi đó có đánh số