TẬP tài LIỆU CHUYÊN đề bồi DƯỠNG ôn THI đại học các môn học TỈNH VĨNH PHÚC

TT Môn Tác giả Tên chuyên đề1 Toán Đại Văn Hải Ứng dụng hàm số trong giải phương trình,hệ phương trình và bất phương trình 2 Toán Ngyễn Thị Thanh Hải Các dạng toán về phép đếm 3 Vật lý Đ

SỞ GD & ĐT TỈNH VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT VĨNH YÊN

TẬP TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG ÔN THI ĐẠI HỌC

NĂM HỌC 2013 - 2014

Vĩnh Yên, tháng 3 năm 2014

TT Môn Tác giả Tên chuyên đề

1 Toán Đại Văn Hải Ứng dụng hàm số trong giải phương trình,hệ phương trình và bất phương trình

2 Toán Ngyễn Thị Thanh Hải Các dạng toán về phép đếm

3 Vật lý Đào Thị Phương Lan

Phương pháp giải bài toán viết biểu thức cường độ dòng điện và điện áp trong mạchđiện xoay chiều

4 Hóahọc Nguyễn Thị Lan Phương

Hệ thống Lý Thuyết và bài tập về kim loạikiềm, kiềm thổ và hợp chất quan trọng củachúng

5 NgữVăn Lê Thu Hà

Việc biên soạn hệ thống đề hướng dẫn chohọc sinh ôn thi đại học tác phẩm CHí Phèo của Nam Cao

Văn Nguyễn Văn Lự

Dạy kỹ năng làm văn – một số giải pháp quan trọng giúp học sinh lớp 12 thi đại học đạt kết quả cao

7 Lịchsử Nguyễn Tuyết Mai Lịch sủ thế giới – các nước Á – Phi – Mĩ La Tinh (1945-200)

8 Địa lý Lê Thị Thúy Oanh

Địa Lí dân cư – hướng dẫn ôn luyện phần địa lí dân cư lớp 12 bằng phương pháp sử dụng “Sơ đồ”

9 Tiếnganh Triệu Thị Hằng Reported speech

10 Tiếnganh Đỗ Thị Thu Minh TEACHING SKILLS TO DO READING COMPREHENSION TESTS

11 Sinhhọc Nguyễn Thị Thúy Phương pháp giải một số dạng bài tập di truyền liên kết với giới tính

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌCỨNG DỤNG HÀM SỐ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Tác giả: Đại Văn Hải

Giáo viên trường THPT VĨNH YÊN

Đối tượng học sinh: Lớp 12, Ôn thi ĐH – CĐ

Số tiết dự kiến:12 tiết

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Bài toán giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình là một bài toán cơ bản trong chương trình phổ thông thường giải bằng một trong 4 phương pháp ( phương pháp biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, đánh giá, phương pháp hàm số) và xuất hiện thường xuyên trong các đề thi Đại học-Cao đẳng có lời giải dùng phương pháp hàm

số Phương pháp hàm số thường dựa vào một số tính chất của hàm số và đồ thị hàm số nhờ vào dùng đạo hàm (ở lớp 12) khảo sát chiều biến thiên của hàm số để xét nghiệm phương trình Chuyên đề này nhằm ôn tập cho các em học sinh các kiến thức về hàm

số và kĩ năng giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình bằng phương pháp hàm số.

B NỘI DUNG

I HỆ THỐNG KIẾN THỨC CẦN SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ:

1 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K

3 Định lí : Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b)

Nếu f x '( ) 0(hoặc f x '( ) 0),  x ( ; )a b và dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạnđiểm trờn khoảng (a; b) thỡ f (x) đồng biến ( hoặc nghịch biến) trờn trờn khoảng(a; b)

II CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐẶC TRƯNG TRONG CHUYấN ĐỀ:

1 Giải phương trỡnh :

Dạng 1: Dạng ( )F x  0 , với ( ) hoặc đồng biến, hoặc nghịch biến trên D F x

Bước 1: Xột hàm số yF x( )

Chỉ rừ hàm số yF x( ) đồng biến hay nghịch biến trờn D.

Bước 2: Đoỏn được F x 0  0 Lỳc đú phương trỡnh cú nghiệm duy nhất

F x

G x Bước 1: Tỡm TXĐ: D

Bước 2: Xột hai hàm số yf x( ) và yg x( )

Chỉ rừ hàm số yF x( ) là hàm đồng biến(nghịch biến) trờn D và

( )



y G x là hàm nghịch biến (đồng biến) trờn D.

Bước 3: Đoỏn được F x 0 G x 0 Lỳc đú phương trỡnh cú nghiệm duy nhất 0

Chỉ rừ hàm số đồng biến hay nghịch biến trờn a b ; 

Bước 2:Với u và v nhận giỏ trị trờn (a; b) Khi đú: ( ) F u F v( )  uv

2.Giải hệ phương trỡnh:

Bài toỏn: Giải hệ

Nếu một trong hai phương trỡnh của hệ đưa về dạng:

Bước 1: Xét hàm số yF x( )

Lập bảng biến thiên của hàm số trên D.

Bước 2: Đoán được số nghiệm của phương trình F x   0 trên D

Bước 3: Từ bảng biến thiên suy ra tập nghiệm của bất phương trình

III CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Nhận dạng: Nếu đặt

2 2

- Nhận thấy phương trình có nghiệm u = v

Thiết lập hàm số: biến đổi phương trình 2 về dạng: log3u + u = log3v + v

Đối chiếu ĐKXĐ được nghiệm của phương trình đã cho là:

4

5 4 2

x

x y

Giải: Điều kiện x y  , 3 (*)

Học sinh nhận thấy được phương trình (1) có nghiệm x = y

Biển đổi phương trình (1) về dạng 3x + x = 3y + y (3)

Ví dụ 8 (Đề thi Ôlimpic 30-4 năm 2012)

 '

2 t t  t ( tR)f’(t) = 1 2

- Nhận dạng: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 nên có 1 nghiệm x = y

- Lấy (1) – (2) và đưa phương trình về dạng 2x  3 4  x 2y  3 4  y

(3)  f x f y  xy

Suy ra: 2x 3  4  x  4 (pt vô tỉ dạng cơ bản)

Giải pt được 2 nghiệm : x=3, x=119 (thỏa mãn điều kiện)

11

; 9 11

x y

thỏa mãn hệ phương trình đã cho

Kết luận : Hệ phương trình đã có nghiệm duy nhất  ,  4;1

Từ (1) ta thấy x 1 là nghiệm của phương trình và đó là nghiệm duy nhất.

Ta thấy x 1 là nghiệm của phương trình (3) (thỏa điều kiện)

Suy ra phương trình có nghiệm x 1 là nghiệm duy nhất.

tm

y x

- Nếu x 1;y 1 hoặc x 1;y 1 thì x 1 y 1   0 xy x y    1 0

x2  xy y 2  x y 1 do đó phương trình vô nghiệm

Vậy hệ vô nghiệm

     nên hàm số đồng biến trên 0; 

Khi đó:  3  f 7  x f 6  y  7  x  6 y y x  1 thay vào  2 ta được:

Loại 3: Vận dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình

Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau:

x

(*)

Biến đổi bất phương trình: 2 2

Đối chiếu với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình (2) là T 2;3 .

IV CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

3 2

5 , 4

- Tên chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM

- Tác giả chuyên đề: NGUYỄN THỊ THANH HẢI

- Chức vụ : Giáo viên Toán

- Đơn vị công tác: Trường THPT Vĩnh Yên

- Đối tượng học sinh bồi dưỡng: lớp 11, lớp 12

- Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 10 tiết

I HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ:

+ Công việc A2 có n2 cách thực hiện

………

+ Công việc A k có n k cách thực hiện

Khi đó số cách thực hiện công việc A là : n1 n2  n k cách

2 Quy tắc nhân:

Một công việc A được thực hiện lần lượt qua k giai đoạn A A1 , 2 , ,A k , vớimỗi cách thưck hiện ở giai đoạn này không trùng với bất kỳ cách thực hiện nà ởcác giai đoạn còn lại Trong đó:

+ Giai đoạn A1 có n1 cách thực hiện

+ Giai đoạn A2 có n2 cách thực hiện

+ Giai đoạn A3 có n3 cách thực hiện

………

+ Giai đoạn A k có n k cách thực hiện

Khi đó số cách thực hiện công việc A là : n n n n1 2 3 k cách

3 Hoán vị:

3.1 Định nghĩa:

- Cho tập hợp A gồm n phần tử n 1 Mỗi cách sắp xếp có thức tự n phần tửcủa tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

- Hai tổ hợp khác nhau là hai tập con có ít nhất 1 phần tử khác nhau

II DẤU HIỆU NHẬN BIẾT ĐẶC TRƯNG :

1 Bài toán 1: có sử dụng hoán vị của n phần tử Chúng ta thường dựa trên dấuhiệu đặc trưng sau:

- Khi đó số cách chọn k phần tử có sắp xếp thứ tự từ n phần tử là số chỉnhhợp chập k của n phẩn tử đó.

Và có  !   1   1

!

k n

n C

k n k





III CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:

DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐẾM PHƯƠNG ÁN

1 Bài toán đếm có sự sắp xếp

Ví dụ 1:

Có bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn học sinh A, B, C, D, E, F, G vào một chiếc ghế dài sao cho

a- Bạn D ngồi vào chính giữa 7 bạn ?

b- Hai bạn A và G ngồi ở 2 đầu ghế ?

*Phân tích:

a/Sau khi sắp xếp vị trí ngồi cho D chúng ta thấy rằng 6 bạn còn như 6 phần tửđều có mặt và chỉ xuất hiện 1 lần Mỗi cách sắp xếp có sự phân biệt thứ tự Do

đó ta sử dụng bài toán 1

b/Tương tư ta thấy: Sau khi sắp xếp vị trí ngồi cho A và G chúng ta thấy rằng 5bạn còn như 5 phần tử đều có mặt và chỉ xuất hiện 1 lần Mỗi cách sắp xếp có

sự phân biệt thứ tự Do đó ta sử dụng bài toán 1

*Lời giải:

a/Sắp xếp D ngồi vào chính giữa: có 1 cách

Mỗi cách sắp xếp A, B, C, E, F vào 6 chỗ còn lại là một hoán vị của 6 phần tửnên có 6 cách sắp xếp A, B, C, E, F

Vậy có 16!=720 cách sắp xếp thoả mãn yên cầu bài toán

b/ sắp xếp 2 bạn A và G vào vị trí : có 2 cách

Sắp xếp các bạn còn lại : có 5! cách

vậy có 2!5!=240 cách sắp xếp thoả mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2:

Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau Người ta muốn chọn

ra 3 tem thư và 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn Một bì thư chỉ dán một tem thư Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy?

Một thầy giáo có 12 quyển sách khác nhau, trong đó có 5 quyển văn học,

4 quyển âm nhạc và 3 quyển hội hoạ Ông muốn lấy ra 6 quyển và đem tặng cho

6 học sinh khác nhau Mỗi em chỉ được một quyển.

a/ Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các em học sinh trên những quyển sách văn học và âm nhạc Hỏi có bao nhiêu cách tặng?

b/ Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi loại còn ít nhất một quyển Hỏi có bao nhiêu cách tặng?

Đội thanh niên xung kích của trường X có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm

vụ sao cho:

a/ 4 học sinh này thuộc cả 3 lớp trên

b/ 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp.

Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

*Phân tích:

Số học sinh được chọn từ 12 học sinh không sắp xếp thứ tự gì nên ta có thể sửdụng bài toán 2

*Lời giải:

a/Vì 4 học sinh được chọn cần ở cả 3 lớp nên ta có các trường hợp chia như sau:

Học sinh lớp A Học sinh lớp B Học sinh lớp C Số cách chọn tương

b/ Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là C 124 495

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có 1 học sinh là 270 cách chọn

Nên số cách chọn 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp phải là :

495-270=225 cách chọn

Ví dụ 5: (ĐH khối B-2004)

Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hổi khó, 10 câu hỏi trung bìnhvà 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình và dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?

*Lời giải :

Ta có trường hợp như sau:

số câu hỏi dễ số câu hỏi TB số câu hỏi khó Số cách lập đề dạng này

a/ Mọi người đều vui vẻ tham gia.

b/ Cậu Tâm và cô Bình không thể rời nhau.

c/ Cậu An và cô Hà không thể làm việc chung với nhau.

Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu Tâm và cô Bình không thể rời nhau là:

3 28

28

C cách chọn -Chọn 5 người trong đó có Bình mà không có Tâm =>có 4

28

C cách chọn Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu Tâm và cô Bình không thể rời nhau là:

5 30

28

C cách chọn

Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu An và Hà không thể làm việc chung với nhau là:

C 3 10

C cách chọn

- Chọn 5 người trong đó có 3 nam và 2 nữ => có 3

10

C 2 10

C 3 10

C + 3

10

C 2 10

C + 4

10

C 1 10

-Chọn 5 người trong đó có 5 nam và 0 nữ => có C cách chọn 105

Vậy có tất cả số cách chọn 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ là:

5 20

C -( 1

10

C 4 10

DẠNG 2: BÀI TOÁN ĐẾM CÓ LIÊN QUAN ĐẾN SỐ TỰ NHIÊN

Từ x 666 suy ra a 6, ta có các trường hợp sau:

*TH1: Với a 7;8;9 khi đó b,c chọn tuỳ ý Ta có :

Vậy có tất cả 168+21=189 số thoả mãn yêu cầu bài toán

Do đó với mỗi tập P như trên ta được 4! số x cần tìm

Vậy số x được lập trong trường hợp này là : 5

9

C 4! (số).

*Gọi Q là tập chứa chữ số 0 và 4 chữ số khác 0

Do đó với mỗi tập Q như trên ta được 3.3! số x cần tìm.

Vậy số x được lập trong trường hợp này là : 4

9

C 3.3! (số).

Vạy có tất cả là:

5 9

C 4!+ 4

9

C 3.3! =5292 (số)

2 Tính số các số tự nhiên liên quan đến tính chia hết:

*Dấu hiệu chia hết của số tự nhiên:

+dấu hiệu chia hết cho 2 là có chữ số tận cùng là số chẵn:0,2,4,6,8

+dấu hiệu chia hết cho 3 là tồng các chữ số là một số chie hết cho 3

+dấu hiệu chia hết cho 4 là có hai chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết cho 4

+dấu hiệu chia hết cho 5 là có chữ số tận cùng là 0, 5

+dấu hiệu chia hết cho 6 là số chia hết cho cả 2 và 3

+dấu hiệu chia hết cho 9 là tổng các chữ số là một số chia hết cho 9

+dấu hiệu chia hết cho 10 là có chữ số tận cùng là 0

+dấu hiệu chia hết cho 11 là tổng các chữ số ở vị trí lẻ trừ tồng các chữ số ở

A =10752 số

Vậy có tất cả 3024+10752=13776 số cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán

b/ Vì x chia hết cho 5 nên e0;5 .

b/ có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 3.

c/ có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9.

*Lời giải :

a/ theo dấu hiệu chia hết thì số cần tìm chia hết 5 nên nó có hàng đơn vị là 0hoặc 5

+ nếu chữ số hàng đơn vị là 0 thì cách sắp xếp các chữ số từ 1 đến 5 vào 3 vị trícòn lại có : 3

Vì x3 nên a b c   3 Xét các trường hợp sau:

*a b c , ,   0,1, 2 , 0, 4,5 , 0, 2, 4 , 0,1,5        Trong TH này có 4 bộ số , mỗi bộ cóthể tạo thành (3!-2!) số

Vậy có 4 (3!-2!)=16 số trong TH này

*a b c , ,   1, 2,3 , 2,3, 4 , 3, 4,5 , 1,3,5        Trong TH này có 4 bộ số , mỗi bộ có thểtạo thành 3! số

Vậy có 4 3!=24 số trong TH này

b/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 25.

c/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 4.

*Lời giải :

Gọi số cần tìm là x abcd a b c d , , , , 1,2, ,5 ,a b c d  

Số tự nhiên chia hết cho 9 là số có tổng tấc cả các chữ số chia hết cho 9

-Các số có 6 chữ số chia hết cho 9 viết theo thứ tự tăng dần là dãy số :

10008,100017,100026,….,999999

Đây là một cấp số cộng có công sai d=9

-Các số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 se là dãy con của dãy số trên Nó là cấp sốcộng u1  100017,u2  100035, ,u n  999999 với công sai d=18

Do đó 100017+(n-1)18=999999 =>n=50000

Vậy có tất cả 50000 số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9

Ví dụ 15:

Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau đôi một được lập bằng cách dùng 7 chữ số 1,2,3,4,5,7,9 sao cho hai chữ số không năm liền nhau?

*Lời giải:

Có 7! số có 7 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho

Bây giờ ta đi tìm số có hai chữ số chẵn nằm liền nhau

Ta coi hai chữ số nằm liền nhau như một khối thống nhất Khối thống nhất nàycùng với 5 chữ số còn lại sẽ cho ta 6! số

Mỗi lần hoán vị 2 chữ số chẵn trong khối ta sẽ có 2! Số mới

Nên có 6!.2! số có hai chữ số chẵn nằm liền nhau

b/ Trong các số tìm được ở câu a/ có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 7 đứng kề nhau, chữ số 1 đứng bên trái chữ số 7?

A 5 2

5

A =2000 (số)

b/Nhận thấy rằng : “ Số cách chọn hai chữ số 1 và 7 đứng cạnh nhau mà chữ số

1 luôn đứng bên trái chữ số 7 trong dãy có 5 vị trí là 4 cách chọn”.

Do đó ta xét 2 TH:

*TH1: Chữ số 1 đứng ở hàng vạn (vị trí a) thì chữ số 7 sẽ đứng ở hàng nghìn (vịtrí b)

 Mỗi bộ số dành cho ba vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập 3 của cácphần tử của A\1,7 là 6 phần tử 

Khi đó ta có tất cả là:

1 3 6

A +3.5 2

5

A =420 (số)

Ví dụ 18:

Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có

5 chữ số khác nhau đôi một, sao cho trong 5 chữ số đó có đúng 3 chữ số chẵn

Chọn 8 chữ số vào 8 vị trí và hoán vị chúng ta được 8! số

Trong đó có 7! Số có chữ số 0 đứng đầu và 3! Số giống nhau khi hoán vị chữ số

 Từ đó có bài toán tổng quát:

Bài 1: “ Cho n chữ số khác nhau và khác 0, 1  n 9 Hỏi có bao nhiêu

số tự nhiên có n+k chữ số trong đó một chữ số được lặp lại k lần ( k>1) còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần”

 Công thức  1 !

!

n k k

 

số cần tìm

BÀi 2: “ Cho n chữ số khác nhau chứa cả chữ số 0, 1  n 9 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có n+k chữ số trong đó một chữ số được lặp lại k lần ( k>1) còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần”

Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ

số khác nhau đôi một được tạo thành từ các chữ số trên Hãy tính tổng tất cả các số vùa tìm được

*Lời giải :

Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ

số, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8?

*Lời giải :

Gọi số cần tìm là abcdef

Theo giả thiết c+d+e=8.

Suy ra c d e, , 1;2;5 hoặc c d e, , 1;3;4 .

Vậy có tất cả là 720+720=1440 số thoả mãn yêu cầu bài toán

DẠNG 3: BÀI TOÁN ĐẾM LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC

Ví dụ 23: a/ Cho một đa giác lồi n cạnh Hỏi có bao nhiêu đường chéo?

b/ Một đa giác lồi có bao nhiêu cạnh để số đường chéo bằng 35?

*Phân tích :

Mỗi đoạn thẳng tương ứng với 2 điểm thuộc n điểm , trong đó có cả cạnh

và đường chéo của đa giác.Và ngược lại 2 điểm thuộc n điểm tạo được 1 đoạn thẳng có thể là cạnh hoặc đường chéo của đa giác