Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 10

Vậy, các thành phần của vectơ cuờng độ điện trường và tủ trường đối với hệ quán tính K nào đấy lập thành các thành phần của tenxơ trường điện tủ Fii hai lần hiệp biến phán đối xứng tron

CH ƯƠ N G X

Lý thuyết trường

Sự tương tác giừa các hạt với nhau có thể mó tả bằng khái niệm trư ờ n g lưc Thay cho cách phát biểu hạt này tác dụng lên hạt kia, ta có thế nói hạt tạo ra quanh nó một trường; bất kỳ hạt nào khác nằm trong trường này củng chịu tác dụng bời một lực nào đẫy Trong cơ học cổ điển, trường chi là một cách

mô tả hiện tượng vật lý về sự tương tác giữa các hạt Nhờ vận tổc truyền tương tác là giói nội, nên trong lý thuyết tương đối đà có thay đổi cơ bản Việc thay đổi vị trí của một hạt nào dó ảnh hường đến các hạt khác chỉ sau một khoảng thời gian nào dó Điều này có nghĩa là, bàn thân trường củng trờ thành một thực thể vật lý Ta không thể nói về tương tác trực tiếp giữa các hạt ờ cách xa nhau; tại mỗi thời điểm tương tác chi xảy ra giữa các hạt ờ

các điểm gần nhau, vì vậy ta nói tương tác của mỏi hạt với trường và tương tác tiếp theo của trường với hạt khác

Chúng ta sẽ xét hai loại trường: trường điện từ (như đà nêu trong mục8.4 chương VIII) và trường hấp dẫn (hay trọng trirờng) T ất nhiên cả hai trường hạp củng chỉ giới hạn ớ các phương trình cơ bàn có sử dụng đến phép tính tenxơ

t r ư ờ n g điện t ừ

Để nghiên cứu tương tác của các hạt với trường điện từ, trong cơ học tương đối người ta đưa vào khái niệm h ạt cơ bản Các hạt phải xem như điểm, không có kích thirớc giới nội, trạng thái cơ học của nó hoàn toàn đặc trưng

bởi ba tọa độ và ba thành phần vận tốc chuyển động của nó (vì lý thuyết tương đối chỉ ra không có khả năng tồn tại vật rắn tuyệt đối)

Hạt tích điện ờ trong trường không nhừng chịu tác dụng của trường, mà

421

422 C h ư ơ n g X L Ý T H U Y Ế T T H Ư Ờ N G

bản thân nó còn ảnh hưíVng đến trường Nhưng nếu điện tích e không lớn, thì

có thể bỏ qua tác clụng của nó với trường Trong trường hợp này xét chuyển động trong trường cho trước, có thể xem bản thân trường không phụ thuộc

vị trí và vận tốc của hạt tích điện

B ây giờ dể viết phương trình chuyển động của hạt tích điện trong trường điện từ cho trước, ta xác định lực của trường điện từ tác dụng lên hạt tích điện

G iả sử xét trường điện từ trong hệ quy chiếu quán tính K nào đấy với vectơ cường độ điện trường E và vectơ cường độ từ trường H Hạt tích điện

e chuyển động với vận tốc V trong trường dó nó chịu một lực tác theo quy luật Lorentz

F = e E + e(v X B ),trong dó B = ạoịiH là vectơ từ cảm Nếu trường trong chân khóng thì

B = /¿oH, fiQ là độ từ thầm tỷ đối của chân không (xem còng thức (8.25) mục8,4 chương V III) Theo lý thuyết tương đối, quy luật này đủng trong hệ quán tính bất kỳ Thay F vào phương trình tương đối của chuyển động (9.27) ta được

Nếu vận tốc V nhỏ hơn nhiều so với vận tốc ánh sáng u < c, xung lượng p

sẽ gần đúng bằng biểu thức cổ điển rav (m không đổi), phương trình chuyểnđộng đưa về dạng

1 0 ỉ H A T T ÍC H Đ IỆ N T R O N G T R r Ở N G Đ IỆ N TỨ 4 2 3

Như đả biốt, phương trình (10 1), (10.2) khóng bất biến dối với phép biến đổi Lorontz (tức là phép biến đổi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tínhkhác), do đó ta cần thiết lập phương trình trong không thời gian 4 chiều

Sừ dụng phương trìnli nằng lượng (9.29) vào đây, ta được

y - ( m c 2) = F • V = ỊeE f e ( v X B )] • V = e E • V ,

(vì (v X B ) • V = 0), hay là

d(rnc2) = cE • dr = e ( E \ d y l + E 'idy 2 4- E ^ d i / ) (10-4)Phương trình (10.2) viết dưới dạng thành phần trong hệ tọa độ Descartes

^ ( m n ! ) = e(E i + v 2B 3 - V3B 2),

■j-(mv2) = e{E 2 + v z B i - v l B 3), at

B ây giờ chuyển sang không thời gian, trong đó hệ quán tính K tương ứng với hệ tọa độ trực chuẩn

424 Chương X L Ý T H U Y Ế T T R Ư Ờ N G

Chuyển sang thành phần hiệp biển của vận tốc đơn vị

Ui =tức là

UQ = ĩiP, Ui =5 — U , U 2 = — u y U3 = - l i

ta viết hệ phương trình trên dưới dạng

d(moc 2 uo) = ^ (E id x1 + Ẽ 2 d x 2 -f E^dx^), d(moc 2 u \) = e { - E \ d x ữ - cB ^d x 2 + cJ32c/x3),

có tính chất bất biến với phép biến đổi Lorentzf tức là đúng với mọi hệ quán

tính T h e o d ấu hiệu n gư ạc lại củ a tenxơ, vì Ui là tenxơ hiệp biến hạng n h ất, dxi là tenxơ phản biến hạng nhất, suy ra F ị j là tenxơ hiệp biến hạng hai, hơn nừa có tính chất phản đối xứng Tenxơ Fịj gọi là tenxơ trường điện tủ.

Vậy, các thành phần của vectơ cuờng độ điện trường và tủ trường đối với hệ quán tính K nào đấy lập thành các thành phần của tenxơ trường điện

tủ Fii hai lần hiệp biến phán đối xứng trong hệ tọa (tộ trực chuẩn tương ứng của không thời gian theo công thức (10.6) Nó cho phép ta biết trường điện

từ trong hệ quán tính này, có thể tính được nó trong hệ quán tính khác Quả vậy, nếu hệ tọa độ biến đổi theo công thức Lorent.z (9.8) với (.4*) xác định theo (9 15), thì các thành phần của tenxơ diện từ trường biến đổi như sau

F' — Am 4n

r ij ~ •'M ‘rij 1 TĨĨTÌ'

từ trường, thì trong hệ quy chiếu khác ta sẽ có cả diện trường lẫn từ trường Như vậy, chỉ có một khái niệm tuyệt đối là điện từ trường duy nhất Việc phân tích nó ra các thành phần diện và từ trường là tương đối, tùy thuộc vào

hệ quy chiếu mà ta chọn dể mô tả quá trình điộn từ

Dùng tenxơ mêtric phản biến g*lJ = — có thể xác định tenxơ phản biến của trường điộn từ bằng phép nâng chỉ số

4 2 6 Chương X. L Ý T H U Y Ể T T R Ư Ờ N G

Bằng phép biến đổi Lorentz, có thề hoàn toàn loại bỏ từ trường hoặc điện trường chỉ khi tồn tại đằng thức E • B = 0, tức là khi các vectơ E và 13 trực giao với nhau Nếu E 2 — C2B2 trong một hộ quán tính nào đấy, thi nó thỏa màn trong hệ quán tính bất kỳ khác Nếu C2 D 2 - E 2 = 0 và c(E B ) = 0, thì vecta E và c B bằng nhau về độ lớn và trực giao với nhau trong moi hệ quy chiếu

Chia hai vế phương trình (10.7) cho dơ ta được

1 0 2 T H Ể 4 C H IÈU V E C T Ơ M Ậ T HỘ DÒNG 4 CH]KI 4 2 7

tức là

«0 = = a°, <r, (a\1 \ — = - a 1, - - —a ‘ , (12 - - a " , 03- - ~3 = —o"

Dựa vào các kết quà này, ta xây dựng vcctơ t h ế 4 chiều từ các hộ thức (10 12).Gọi v?i (i — 0 , 1 , 2 , 3 ) là thành phần phàn biến và hiệp biến của vectơ thế 4 chieu, chúng xác định qua các thành phần A a (hoặc A a ) và V Iihư sau

428 Chương X L Ý T H Ư Y Ễ T T H Ư Ờ N G

10.2.2 V e c tơ m â t đô d ò n g 4 chiều

X ét phương trình liên tục (8.12) chương V III

Tương ứng với hệ tọa độ trực chuẩn trong không thời gian Minkowsky nó có dạng

Đẳng thức này là một đẳng thức bất biến, nó đủng trong bất kỳ hệ quy chiếu

n à o , vì n ó b i ể u d i ễ n định luật bảo toàn điện tích là đ ị n h l u ậ t đ ú n g t r o n g m ọ i

hệ quy chiếu Do đó ta kết luận rằng j ì y j 2 y j:ì (ba thành phần không gian của vectơ m ật độ dòng) và cpe = j ° (mật độ diện tích) là nhửng thành phần của

vectơ m ậ t độ dòng 4 chiều. Hệ thức trên có thể phát biểu như sau: div của vectơ m ật độ dòng 4 chiều bằng không

T ừ đó suy ra, các thành phần của vectơ mật độ dòng ba chiều và mật độ diộn tích không phải là những lượng tuyệt đối mà chúng phụ thuộc vào hệ quy chiếu

Dùng các kết quả trẽn, ta viết phương trình thỏa mân thế 4 chiều, suy từ

4 phương trình (8.32) chương V III

-— -T = 0 (tổng theo k = 0 ,1 , 2 ,3 )

c2 d t 2 ~ eo ’với điều kiên Lorentz

div A 4- o-7T" =

c 2 at

Chuyển sang không gian Minkowsky, ta được

10.3.1 P h ư ơ n g t r ì n h M ax w ell tr o n g hê t o a đô t r ư c c h u ẩ n

Theo thuyết tương đói, mọi quy luật vật lý phải diễn ra như nhau trong các

hệ quán tính, điều đó có nghĩa là hệ phương trình cơ bản của điện động lực học - hệ phương trình Maxwell phải bất biến.

Như đả biết, các phương trình động lực học tương đối lúc đầu viết dưới dạng ba chiều, chuyển sang dạng 4 chiều tính bất biến của chúng trờ thành hiển nhiên.

Bây giờ chúng ta chứng minh rằng cả hệ phương trình điện động lực học cũng có thể viết dưới cỉạng 4 chiều, do đó tính bất biến của hệ phương trình

đó sẽ được giải quyết.

ỡ2<£>* d2<pi d2ipl ỡ2<pl _ .ị

T d ử ỹ + ( d x 2)2 + (0x3)2 - (¿/*0)2 = +MCJ

còn-điều kiện Lorentz

(10.17)

x ° s z c t , r ' = y \ x 2 = y 2 , X 3 = J/3

và chú ý đến các liên hệ (10.14), ta biến đổi hộ (10.18) và (10.19)

Trước hết đối với hộ (10.18), ta đưực

10.3. DANG T E N X O CỦA P H Ư Ơ N G TRÌNH MAXWELL 4 3 1

Dùng tính chất phản đối x ứ n g c ủ a F ị j = —F)X t a có thể viết các phương trình dirới dạng đối xứng hơn, s a u k h i c h u v ể n t ấ t c à các số hạng sang vế phải:

= 0,

ỠÍ23 4- ỡ f 31 + d F n

T ừ các phương trình này, ta thấy lại định luật bảo toàn điện tích (10 16 )

là hệ quả của phương trình Maxwell (10.24) Quả vậy từ (10.24) và từ tính chất phản đối xứng của F 'J suy ra

1 4 = 0.

d x k

Củng như vậy, từ phương trình (10 21) suy ra tồn tại tenxơ một lần hiệp biến

(pi, sao cho có hệ thức (10 15 )

_ d<pi d(pj

thỏa màn đồng nhất phương trình (10 21) Vectơ tpi gọi là thế 4 chiều cùa trường điện từ

10.3.2 Phương trình Maxwell trong hê tọa đô cong bất kỳ

Bảy giờ biến đổi các phương trình Maxwell về hệ tọa độ cong bất kỳ trong không thời gian bốn chiều

G iả sử X* là hệ tọa độ cong tùy ý, liên hệ với các tọa độ x i theo công thức

x ' = ^ ( i V 1^ 2, ^ 3) (* = 0,1 ,2 ,3 ),thì cỏng thức dạng toàn phưcmg cơ sử có dạng

hệ tọa độ cong xác định bời đẳng thức

J? dxm dxn _ dxm

F l j = mn~ d ? W ' {pl" p m ~ ẽ r '

Trong không giari Minkowsky các đạo hàm hiệp biến trùng với đạo hàm riêng,

vì trong hệ tọa độ trực chuẩn đó tất cả các ký hiệu Christoíĩel đều bằng không.Chú ý rằng, do tính chất phản đổi xứng của F ij trong hệ tọa độ bất kỳ,các số hạng của (10.25) có chứa ký hiệu Christoffel đều triệt tiêu nhau, nênphương trình này trong hệ tọa độ cong bất kỳ vẫn có dạng

G ià sừ trường điện từ xác định hởi tenxơ Fij trong không gian Minkowsky

Ta thiết lập từ tenxơ này và tenxơ metric g*j một tenxơ mới dưới dạng saudây

= ( - g*mnF 'mF jn + -ị g ' i j F mnFmn) (10.28)

Rõ ràng là tenxơ đối xứng hai lần phản biến có tên gọi tenxơ năng xung lượng diện tủ. Vấn đề ờ chỗ ta phải nêu ý nghĩa vật lý của từng thành phàn

1 0 4 T E N x o N Ă N G X U N G LƯ Ợ NG C Ủ A TRƯ Ờ NG Đ IỆ N T Ừ 4 3 5

của tenxơ này sao cho phù hạp với thực tế, trước hết là phải tuân theo định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng

Tương tự cách làm này, ta có thể khẳng định các thành phần T aỉ3 (a,/? =

1 , 2 , 3 ) t ư ơ n g ứ n g v ớ i mật độ dòng xung lượng h a y tenxơ ứng suất ba chièu

của trường điện từ Bây giờ xét định luật bảo toàn năng xung luợng của

436 Chxtơng X L Ý T H U Y Ể T t r ư ờ n g

truờng điện tủ. Tenxơ n ă n g xung lượng (10.28) là riêng phần, vì nó chỉ liên quan đến một loại hiện tượng là trường điện từ; do đó năng lượng loại này xuất hiện có thể do năng lượng loại khác mất đi (chẳng hạn cơ năng), tức

là có sự chuyển dạng năng lượng này sang dạng khác Vì vậy dạng của định luật bào toàn năng lượng và xung lượng sẽ khác với (9.39), (9.40), (9.41).Trong miền V mồi một đan vị thời gian xuất hiện một lượng năng lượng

và xung lượng của trường điện từ do chuyển từ dạng khác sang, xác định bằng công thức

-10.4. TEN x o NẰNG XUNG LƯỢNG CỦA TRƯỜN' ; « I Ệ N T Ừ 437

ta đi đến

C£q

Để khảo sát ý nghĩa vật lý của tenxơ T l theo quan điểm trong hệ quán tính

K nào đấy, ta xét các thành phần T* trong hệ tọa độ trực chuẩn X* tương

ứng Chú V rằng, tất cả các tenxơ và hệ thức tenxơ có thể xét trong hệ tọa

độ apphin bất kỳ, nhưng về ý nghía vật lý thì chỉ nhận được trong hệ tọa độ trực chuẩn Với hệ tọa độ đó ta được

e a T n = - ^ [ e + (v X B ) Ị,

£otrong đó /?e là m ật dộ diện tích, còn V là vân tốc chuyển động của nó

Bây giờ tính các biểu thức (10.29)

(10 31)

(10.32)

438 Chương X L Ý T H U Y Ế T T R Ư Ở N G

CÓ n g h í a là, s ụ x u ấ t h iệ n n ă n g lư ợ n g tro n g ti'u à n g đ iệ n t ủ ( v é trá i) x ả y ro do

sụ tiêu hao cùng lượng cơ năng của các hạt tích điện (vế phải).

Trong quan hệ tương hổ giửa trường điện từ và hạt tích diện phải tuân thủ định luật bảo toàn năng lượng.

Trong vế phải (10.32), biểu thức ÍE -f (v X B)] là lực tác cỉụng của trường điện từ lên hạt tích điện một đơn vị chuyển động với vận tốc V, toàn bộ vế phải là xunq lượng cơ học trên một đơn vị thời gian do trường điện từ tronq mien V gẫy ra cho các hạt mang điệnS còn dấu trừ biểu thị tiêu hao xung lượng cơ học của các hạt

Đẳng thức (10 32) có nghĩa là: sụ xuất hiện xung lượng của truờng điện

từ (v ế trái) xảy ra do sụ tiêu hao cùng lượng xung luợng cơ học của các hạt tích diện. Đó là định luật bảo toàn xung luợnq.

Tóm lại cho tenxơ năng xung lượng của trường điện từ dưới dạng (10.28),

nó vẫn tuân theo định luật bảo toàn năng xung lượng

ta gọi m là khốì lượng quán tính.

Một quy luật thiên nhiên cơ bàn, xác lập bằng thực nghiệm là đối với mọi vật tỉ lệ giữa khối lư ạng hấp dẫn Ị1 và khối lirạng quán tính m là như nhau:

— là một hằng số nào đắv

m

10.5. THƯỜNG HẤP DẰN N G U Y Ê N LÝ TƯƠNG ĐƯƠNG 439

khi đó ta cổ cách viết thòng t.hưưng của đinh luật vạn vật hấp dẫn

77117712

r 2Chẳng hạn, xét một vật đứng yên trên mặt đất Gọi trọng lượng cùa nó

là p , khối lirạng quán tính ra và gia tốc do trọng lực truyền cho vật là g

Theo định luật Newton thứ hai

theo định luật vạn vật hấp dan

hấp dần đèu giống nhau (với các điều kiện ban đầu cho trước)

Sự đồng nhất của khối lượng hấp dẫn và khối lượng quán tính, cững như tính chất nêu trên dẫn đến một hệ quả sâu sắc đả được Einstein lấy làm cơ

sờ của lý thuyết tương đối rộng Đó là nguyên lý tương đxiơĩig:

N g u y ê n lý Các tính chất của chuyền động trong hệ quy chiếu không quán tỉnh củng giống như trong hệ quán tính với sụ có mặt của trọng trường. Nói một cách khác, hệ quy chiếu không quán tinh tương đư ơ ng với m ột trọng trường (trường hấp dẫn) nào đó.

Điều này có nghĩa là thiết lập được sự tương tự giữa chuyển động của các vật trong trọng trường với chuyển động của các vật không đặt trong một

Chú ý rằng các trường tương đương với hệ quy chiếu không quán tính

không hoàn toàn đồng nhất với các tnrờng hấp dẳn “thực” , tồn tại ngay cả trong hệ quán tính Sự khác biệt chủ yếu là do tính chất của chúng ờ vô cùng

Ờ khoảng cách khá xa các vật sinh ra trường, thì trường hấp dần “thực” bao giờ củng tiến đến không Ngược lại các trường tương đương với hệ quy chiếu không quán tính ờ vô cực, tăng vỏ hạn hay ít nhất cũng có giá trị giới nội Chẳng hạn, lực quán tính ly tâm xuất hiện trong hệ quy chiếu quay tăng vô hạn khi xa trục quay, còn trường tương đương với hệ quy chiếu chuyển động thầng có gia tốc; không đổi như nhau trong toàn bộ không gian kể cà ớ vô cùng

Trường tương đương VỚI hộ quy chiếu không quán tỉnh sè biến mất khi ta chuyền vè hệ quán tỉnh. Ngược lại các trường hấp dẵn “ thực” , tồn tại ngay trong hệ quán tính, thì không thể loại trừ đirợc bằng bất kỳ cách chọn hệ quy chiếu nào Chl có một cách duy nhất, bằng cách chọn hộ quy chiếu tưorng ưng loại trừ được trường hấp dẫn trong miền đủ nhỏ cho trước của không g:an, sao cho trong miền này có thể xem trường là đồng nhất (điều này sẽ được thể hiện bẳng biểu diễn toán học tương ứng!) Cách chọn dó như sau: lấy hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc bằng gia tốc mà hạt nhận được, khi đặt nó trong miền đang xét của trường

4 chiều tro n g lý th u y ế t t ư ơ n g đối

Như trên đã chỉ ra, tính chất cơ bản của trirờng hấp dẫn là tất cả các vật chuyển động trong trường này đều giống nhau, diều đó cũng vản đúng trong

cơ học tương đối Do dó vẫn có sự tương đương giữa các trường hấp lẫn với các hệ quy chiếu không quán tính trong thuyết tương dối Lý thuyết các trường hấp dẫn dựa trên lý thuyết tương đối gọi là Lý thuyết Utơng đối rộng

10.6 HÌNH HỌC RI EM ANN C Ủ A KH Ô N G THỜI GIAN 441

hay L ý thuyết truờnq hấp dần tương đối tỉnh. Einstein đà xây dựng nó hoàn toàn bằng suy luận, sau này đă được xác nhận hảng quan sát thiên văn

Ý nghĩa của hai loại lý thuyết tương đối (họp và rộng) trong vật lý hiện đại không tương xứng với tên gọi của chúng Lý thuyết tương đối hẹp đi vào nội dung cơ bàn cùa toàn bộ vật lý hiện đại, nó chuyền hằn khái niệm về không thời gian, trong khi đó lý thuyết tương dối rộng, về mặt toán học là

sự mớ rộng quan trọng lý t.hiĩyết họp, nhưng chỉ giải thích một hiện tượng vật lý là hiện tirợng vạn vật hấp dẫn Một ý niệm cơ bản đặt nền móng cho thuyết này, như sau này ta sẽ thấy, là sự liên hệ giừa các tính chất hình học của khỏng thời gian với sự phân bố và chuyển động của các khổi lượng và từ đây giải thích hiện tượng hấp dẫn; nói một cách khác, các tính chất hình học của không thời gian xác định bời các hiện tượng vật lý, chứ không phải là các tính chất không đổi cùa không gian và thời gian Trong thuyết tương đối rộng, giừa vật chất, không gian và thời gian có quan hệ sâu sắc Trong vật

lý hoc Newton, không gian và thời gian đươc coi là nơi chứa đựng các vật và các biến cố, không phụ thuộc vào mật độ vật chất, ơ thuyết tương đối rộng, tính chất hình học của không gian, sự thay đổi của thời gian do mật độ vật chất trong miền không gian dang xét xác định

Công cụ toán học sử dụng trcvng lý thuyết tương đối rộng là sự mờ rộng đáng kề công cụ toán học của thuyết tương dối hẹp, chuyển từ khỏng gian biến cố giả Euclide 4 chiều sang không gian giả Riemann 4 chiều Những điều nêu trên sẽ được khải) sát chi tiết hơn trong mục này

Trong không thừr gian của lý thuyết tưang đối hẹp (không gian già Euclide), ứng với hệ tọa độ trực chuẩn, dạng toàn phươiĩg cơ SỈY có dạng

dơ 2 = (dx0)2 - (d x 1 ) 2 - (dx 2 ) 2 - (dx3)2

= c2*2 - ( V ) 2 - (dy2)2 - (dyy = y t j d j d j , (10.33)

trong đó x ° y x l ì x 2 }x 3 có ý nghĩa vật lý ct, ĩ/l ,t/2,y 3 trong hệ quy chiếu quán tính nào đấy Trong mục này củng như về sau ta gọi tọa độ trực chuẩn (tương ứng với tenxơ mêtric g*j có dạng đường chéo: <700 = 1, ỡar* = —1; a = 1 ,2 ,3 )

4 4 2 Chương X L Ý THƯ Y Ế T T R Ư Ờ N G

dổi đọc theo trục y l

1 _ - 1 |»0<2y2 = ỹ 2,

2/3 = ỹ 3 ,

¿ = ĩ,

thì dạng toàn phương có (lạng

dơ2 = ~ { d ỹ 1 ) 2 - {dỹ 2 )2 - (ríỹ3)2 - 2w 0 tđ id ỹ l + (c2 - w l t 2 )điĩ

Khi chuyển sang hệ quy chiếu quay đều

■y 1 = ỹ l costút — ỹ 2 siniưí, ỉ/2 = ỹ 1 sinu;£ + ỹ2 costưí,y2 = ỹ 3; í = ĩ,

Ta gọi Ọij là tenxơ mêtric của không thời gian, nó xác định toàn bộ hình học của không gian trong mồi hệ tọa độ cong chọn trước

Như trong m ục trước 10 5 dà chi ra, CÁC hệ quy ch iếu không quán tỉnh tương đương với những trường hấp dẩn nào đấyy mà đặc trưng cho hệ không quán tính là tenxơ Qij, vậy trong cơ học tương dối đặc trưng các trưởng hấp dẫn này dĩrợc xác định bằng tenxơ mêtric Qij.

Đối với các trường hấp dẫn “thực” cùng hoàn toàn như vậy Mọi trường hấp dẫn chi là sự thay đổi độ do của không thời gian, nó được xác định bờ\

tenxtt mêtric Qij. Điều này khẳng định nhận xét đã nêu ò trên về sự tương quan sâu sắc giữa vật chắt với không gian và thời gian

10.6 HÌNH HỌC RI EM ANN (' ÙA KlíỏNG I HÔI (ilAN 443

Bảy giờ ta chú ý đến van đề rất- quan trong sau đây Khi không có trường hấp dẫn “ thực” , từ các tọa độ cong không quán tính bao giờ ta cùng có thể chuyển trờ về hệ tọa độ trực chuẩn quán tính (tọa độ Galilei); khi đó các trường hấp dẫn tương đương với hệ quy chiếu không quán tính sẽ mất đi v ề mặt toán học, điều này có nghĩa là khi chuyển từ hệ quán tính sang hệ không quán tính ($*):

X* = 3fl ( x l , x 2,ar3, x ° ) (i = 0 , 1 , 2 , 3 )

dạng toàn phương (10.33) chuyển thành dạng toàn phương (10.34), trong đó tenxơ metric gtj xác định qua các giá trị Galilei g*j của chúng nhờ phép biến đổi tọa độ

d x m d x n

Vì vậy, với phép biến đổi ngược lại X1 = x 2tx 3), trong toàn không

gian lại có thể đưa tenxơ metric Qij về dạng Galilei của nó (tức là đưa (10.34)

về (10.33))

Do đó khi không có trường hấp dẫn “thực” , hình học của không thời gian vẫn là hình học già Euclide của Minkowsky Không thài gian này gọi là

p h ẳn g

Khi có trường hấp dần “thực” ; chúng ta gặp tình thế hoàn toàn khác hẳn

Ta không thể loại trừ trường hấp dẫn thực hằng bất kỳ phép biến đổi nào v ề mặt toán học điều này có Iighĩa là khi có trường háp dần thực không có phép biến đổi nào của tọ a độ X1 cho phép ta đ ư a toàn thể khỏng thời gian dạng toàn phương (10.34) về dạng (10.33), tức là không thể đưa các thành phần của tenxơ metric x \ x 2, x 3) về các giá trị Galilei g*j = const Khôngthời gian như thế gọi là không thời gian cong Theo định nghĩa không gian Riemann khảo sát trong mục 5.3 chương V, thì với cách đira tenxơ metric

gij (10.34) vào không thời gian thỏa man định nghĩa đó V ậy hình học của không thời gian cong trong thuyết tương đối rộng là hình học của không gian Riemann, cụ thể ờ dây là không gian giả Riemann 4 chiều Tenxa metric Ọij

có hai ý nghĩa, nó xác định hình học của không gian 4 chiều và đặc trưng cho

cường độ của trường hấp dẫn, đỏi khi ta còn gọi nó là th ế hấp dẫn.

Trong toàn không thời gian, không có hệ tọa độ Galilei để cho dạng toàn phương có dạng (10 33) Nhưng tại lân cận vô cùng nhỏ của điểm M bất kỳ

của không thời gian, bằng phép biến đổi thích hợp tọa độ X1, ta có thể đưa Ọij

về dạng Galilei Để làm việc đó, ta chuyển về hộ tọa độ Xx trắc địa tại điểm

M đà cho, tức là hệ tọa độ sao cho

444 Chương X. L Ý T H U Y Ế T T R Ư Ờ N G

(trong mục 5.6 chương V đã chi ra, điều này làm dược trong không gian apphin liên thông không xoắn bất kỳ, nói riêng trong không gian Riemann bất kỳ) Tiếp nửa tại điểm M tenxơ mêtric gij có dạng Galilei

diều này thực hiện dè dàng bằng phép biến đổi tuyến tính các tọa độ trắc

địa X1 = B ljXJ, trong đó các hằng số B j được chọn sao cho dạng toàn phương

[ỹij\ Mđ x ldx^ đưa về dạng gềijd xidx^.

T ọa độ X 1 có tính chất (10.35), (10.36) gọi là tọa độ Galilei địa phương

tại điểm M Về mặt vật lý, điều này có nghĩa là bằng cách chọn hệ quv chiếu tương ứng có thể loại trừ trường hấp dản trong miền đủ nhỏ, sao cho trong miền này có thể xem trường là đồng nhất

V ậy trong lán cận nhỏ của điểm ta có thề trờ lại tình thế có trong lý thuyết tương đối hẹp Vì lẻ đó, ta xem tọa độ Galilei địa phương x ° ỉ x l )x 2 yx 3

như các đại lượng vật lý c t , y l yy 2 >yz trong hệ quán tính nào đấy (điều khác trước là chỉ sử dụng trong miền giới nội của không thời gian), ta gọi dó là hệ quán tính địa phương. Khi đó ta có thể gắn vào đấy các tính chất đã biết của

hệ quán tính trong thuyết tương đổi hẹp nhir đơn vị đo, vận tóc truyền ánh sáng c không đổi, phép biến đổi Lorentz Ta có thề hình dung hệ quán tính địa phương như hệ bay tự do trong trọng trường Sau này với giả thiết gần đúng, ta luôn luôn xem không thời gian cùa ta trong hệ tọa độ £* gần với tọa

Vì trường hấp dẫn chì là sự thay dổi độ đo của không thời gian, thể hiện trong

sự thay đổi của biểu thức dơ qua ( lx \ nên phương trình chuyển động của hạt trong trọng trường tương đương với phương trình trên được tổng quát hóa trong hệ tọa độ cong, tức là

10 7 C H U Y Ể N Đ Ộ N G C Ủ A H AT T R O N G TRỌ N m ự Ờ N G 4 4 5

trong đó D là ký hiệu vi phân tuvệt dối

Theo phép tính vi phân tuyệt đối phưưng trình trên cỏ d ạn g2

( 1 0 ' 3 7 )

hay

Phương trình Iiày có dạng phuơng trình đường trắc địa (5.32) mục 5.6 chương

V, r jk tính theo Qij nhờ cỏng thức (5.22) mục 5.3 chương V Phương trìnhchuyển dông còn có dang khác suy từ 0, tức là

độ đó.

Nhir trên dã chỉ ra, với cách chọn hệ tọa độ thích hợp có thể làm cho r**bằng khỏng tại từng lân cận điểm của không thời gian Ờ đây ta nhận thấy rằng chọn hệ quán tính địa phương như vậy là loại trừ trường hấp dẩn trong miền vô cùng nhỏ của không thời gian, khả năng chọn được như vậy là đo nguyên lý tương đirơng trong lv thuyết hấp dẫn tircmg đối

Trong trường hợp giới hạn với các vận tốc nhò, phương trình chuyển động tirơng đối tính của hạt trong trọng trường phải đira về các phương trình không tương đối tính tirang ứng, bản thân trọng trường khi dó là trường yếu,

và tenxơ mêtric Qij sẽ biểu dièn qua thế năng của trọng trường

2T ừ đây về sau, ta đùng tọa độ X* (không có dấu ngang) là tọa độ cong

độ lớn tỳ lệ thuận với khối ltrợng đó và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách (như đả nêu trong mục 10.5), hệ số tỉ lệ là như nhau trong mọi trường hợp và gọi là hằng số hấp dẩn. Lý thuyết hấp dẳn tương đối tính khẳng định như sau:

Một mặt, trường hấp dẩn như ta đả biết đặc trưng bài các đuờng trắc địa bốn chiều trong không thời gian, trong đó các đường trắc địa có thề tìm

đ u ợ c xuất phát tủ độ đo giả Riemann của không gian đó (tức là tenxơ mêtric gij) M ặt khác, sụ phán bổ và biến thiên của năng lượng và xung luợng biều thị bằng tenxơ năng xung lượng T XJ lại liên hệ với độ đo giả Riemann.

K ết quả là tenxơ năng xung lượng T |; thông qua độ đo giả Riem ann của không thời gian mà liên hệ được, với dáng điệu của các đường trắc điaf tức

là với trường hấp dần.

Sự phân bố và biến thiên của năng lượng và xung lượng trong không thời gian của lý thuyết tương đối rộng, cũng như hẹp đều được mô tả bời tenxơ năng xung lượng có tính đổi xứng

j n j _ T lj( x ° , x \ x 2 , x 3) t

nhưng khác nhau ờ chỏ không thời gian trong dó cho trường tenxơ không phải là già Euclide, mà là giả Riemann Trong mục 9.4 chương IX, ta đả giải thích ý nghĩa vật lý của các thành phần T i) trong tọa độ Galilei (như ĩ m

là mật độ năng lượng trong hộ quán tính tương ứng, v.v ) ơ đây ta cũng cho tenxor năng xung lượng ý nghĩa như vậy trong tọa độ Galilei địa phương, chằng hạn T 00 là mật độ nằng lượng trong hệ quán tính địa phương tưang ứng v.v T ấ t nhiên, trong hệ toa độ x i gần với Galilei với mức độ gần ¿úng

T ij cũng có ý nghĩa như vậy Ở đây T lJ bao gồm các dạng năng lirçrn^ và xung lượng, trừ năng lưạng và xung lượng có nguồn gốc hấp (lẳn, vì chính nội dung vật lý cùa thuyết tương đối rộng phải dẫn tới giải thích các hiện tượng hấp dẫn

Tenxơ năng xung lượng phải thỏa mản định luật bảo toàn năng xung lượng Trong thuyết tương (lối hẹp định luật nàv trong tọa độ Galilei có

Trong thuyết tương đối rộng ta đặt ngay điều kiện dưới dạng bất biến (10.40)

lên tenxơ T ĨJ. T ấ t n h iên , tro n g tọ a độ Gaiilei đ ịa p h ư ơ n g t a lại t r ờ về d ạ n g (10.39), tức là điều kiện đặt lên TlJ chính là định luật bào toàn năng xung lượng Trong hệ tọa clộ bất kỳ, điều kiện (10.40) không phải là định luật bào

to à n , vì t e n x ơ T ịJ k h ô n g tín h đến n ăn g xu n g lư ợ n g có nguồn gốc h ấ p d ẩ n , m à định lu ật b ả o t o à n đ ú n g phải tín h đến n ăn g x u n g lư ợ n g c ủ a m ọi n g u ồ n gốc

T ro n g hệ G alilei đ ịa p h ư ơ n g , hiện tư ợ n g h ấ p d ẫ n t h ự c t ế k h ô n g có, t e n x ơ

x u n g lư ợ n g T 13 đ ư ợ c đ ư a vào khô n g thời gian n h ư m ộ t c ấ u t r ú c b ổ su n g ; còn

t r o n g lý t h u y ế t t ư ơ n g đối rộng te n x ơ năng x u n g lư ợ n g su y t ừ b ả n t h á n h ìn h học g iả R ie m a n n c ủ a k h ô n g th ờ i gian, cụ th ể là

C á c h ệ t h ứ c n à y gọi là phương trình Einstein, t r o n g dó Tii là t e n x ơ n ă n g

x u n g lư ợ n g đ ã h ạ chỉ số n h ờ te n x ơ m êtric g tj (T ị j — gim Q jn Tm n); Rij là t e n x ơ

R icc i-E in stein v à R là độ cong vô h ư ớ n g c ủ a k h ô n g gian b iến cố g iả R i e m a n n

3X em L D L an d a u , E M Lifshitz, “Lý thuyết trư ờ n g ” M 1967.

ờ đ ả y c h ú ý r ằ n g n ả n g h ạ chi số có th ể t h ự c hiện d ư ớ i d ấ u đ ạ o h à m hiộp biến

H o á n vị chỉ số i, j tro n g số h ạn g t h ứ hai, n ê n số h ạ n g đ ó dổi d ấ u , s a u đó cuộn

đ ẳ n g t h ứ c c ủ a t a với ga \ kết q u ả n h ậ n đ ư ợ c

S7mR - gk>VkR mj - g ^ t R m i = 0

SỐ h ạ n g t h ử hai v à t h ứ b a chỉ k h á c n h a n ve ký h iệu chỉ số tổng, đ ư a tenxơ

m e tr ic vào d ấ u đ ạo h à m hiệp biến, t a đ ư ợ c

V mR = 2VkRkm. (10.44)

Đ ồ n g n h ấ t t h ứ c n à y tồ n tại tr o n g mọi k h ô n g g ian R ie m a n n , s ử d ụ n g n ó a có thổ chỉ r a r ằ n g t e n x ơ

Rịj — Rịj ~ -lïflij = —xTij

10.9 P H Ư Ơ N G TRÌNH KINSTKIN CTA TRƯÕNT; IIẤP r>ẢN 4 4 9

thổa m ã n đ ịn h lu ậ t bân to à n Q u à vậy n â n g chi số j t a d ư ợ c

do (10.44), b iểu t h ứ c này l>ằng không, vậy

Vj Rị i = 0

Nàng chỉ số i, cuối c ù n g n h ậ n đ ư ợ c

V j i r ij = 0, h a y là Ụ j T j = 0,đây c h ín h là đ ịn h lu ậ t bảo to à n (10.40)

Y n g h ĩa c ơ b ả n của hệ t h ứ c (10.41) t h ể h iện ờ chồ h ìn h học c ủ a khô n g gian b iến cố liên hệ c h ặ t che với p h â n bố và c h u y ển dịch c ủ a n ă n g x u n g lượng

T en x ơ n ă n g x u n g lư ợ n g đ ư ợ c xác đ ịn h b ở i h ìn h học c ủ a k h ô n g g ian n ày q u a

te n x ơ đ ộ co n g v à te n x ơ m ê tric c ủ a nó Về m ặ t v ậ t lý n g h ĩa là p h â n bố và chuyển độ n g c ủ a các khối lư ợ n g tro n g khô n g gian v ật lý á n h x ạ m ộ t cách xác

đ ịn h lên h ìn h học già R ie m a n n c ủ a k h ô n g gian biến cố K h ố i lư ợ n g c àn g t ậ p

tr u n g (tạ i chồ cho t r ư ớ c v à th ờ i điểm cho t r ư ớ c ) , c à n g là m cho h ìn h học giả

R ie m a n n lệch với h ìn h học giả E uclide tại m iền t ư ơ n g ứ n g c ủ a k h ô n g th ờ i gian

C h ú ý r ằ n g t a có th ể th a y p h â n bố v à chuyển đ ộ n g c ủ a n ă n g x u n g lư ợ n g

bòỉ p h â n bố v à c h u y ển độ n g c ủ a khối lư ợ ng Điều n à y làm đ ư ợ c vì tro n g

E

t h u y ế t t ư ơ n g dối, m ọi n ă n g lư ợ n g E đều t ư ơ n g ứ n g với khối lư ợ n g “ 2 và

n g ư ợ c lại, đối với x u n g lư ợ n g s ự p h ả n bố c ủ a nó c ù n g m ô t ả b ằ n g các t h à n h

p h ầ n c ủ a t e n x ơ n h ư chuyển dịch c ủ a khối lư ợ n g ; còn c h u y ển d ịch c ủ a

x u n g lư ợ n g t h ự c t ế khô n g t ạ o ra t r ư ờ n g h ấ p d ầ n

Trỏr lại v á n đề tr ê n , t a t h ấ y p h ư ơ n g tr ìn h (10.40) b a o h à m t r o n g p h ư ơ n g trìn h (10.41) M ặ t k h á c p h ư ơ n g tr ìn h (10.40) biểu th ị đ ịn h lu ậ t bảo to à n n ă n g

450 C h ư ơ n g X LÝ THU Y FÎT T R Ư Ờ N G

Đ ả y là đ iều k h á c c ăn bản với tr ư ờ n g điện t ừ P h ư ơ n g tr ìn h t r ư ờ n g d iện

t ừ ( p h ư ơ n g t r ì n h M axwell) chi ch ứ a p h ư ơ n g tr ìn h b ả o t o à n điện tíc h to à n

p h ầ n ( p h ư ơ n g t r ì n h liên tụ c ) c h ứ khô n g c h ứ a p h ư ơ n g t r ì n h chuyển độ n g c ủ a

b ả n t h â n các đ iện tích Vì vậy, có th ể cho s ự p h â n b ố v à chuyển động c ủ a các

đ iệ n tíc h m ộ t cách tù y ý m iên là điện tích to à n p h ầ n k h ô n g đổi Khi đ ó nhờ

p h ư ơ n g t r ì n h M axw ell x á c định đượ c t r ư ờ n g điện t ừ g ây r a bửi s ự p h ả n bố

k h á c với t r ư ờ n g điện t ừ tro n g th u y ế t t ư ơ n g đối hẹp

B ố n t ọ a đ ộ X* có t h ể biến dổi tù y ý, do đó với p h é p biến đổi n à y có th ề

c h ọ n t ù y ý 4 t r o n g 10 t h à n h p h ần của Qiy V ậy chì có 6 h à m độc lập c h ư a biết

t r o n g c á c đ ại lư ợ n g Qij. T iế p đến 4 t h à n h p h ầ n c ủ a v ậ n tốc 4 chiều u* th a m

Rij = 0 N h ớ r ằ n g điều này không cỏ n g h ĩa k h ô n g t h ờ i g ia n c h â n khô n g là

p h ầ n g Vì điều kiện p h ằ n g đòi hỏi phải t h ỏ a m â n t e n x ơ R ie m a n n - Christoffel

b ằ n g k h ô n g

Vjmn = 0

1 0 9 2 T r ư ờ n g h ấ p d ẫ n t ĩ n h đ ố i x ứ n g c ầ u

B â y g iờ t a x á c đ ịn h n ghiệm của p h ư ơ n g tr ìn h E in s te in đối với t r ư ờ n g hấp

d ẫ n g ả y ra b ờ i khối lư ơ n g h ấ p d a n lớn n h ư m ặ t tr ờ i c h ẳ n g h ạn , t r ư ờ n g này

10.9 P H Ư Ơ N G TR ÌN H EINSTEIN o r A T R I r(XN'; WAV UẢN 451

Do tín h dối x ứ n g c ù a Rij, h ệ (10.15) là hí; ìmrìri phưorng t r ì n h vi p h â n phi

tu y ến đổ xác đ ịn h m ư ờ i h à m t hố h ấ p d ầ n ( Ị , J Để n h ậ n đ ư ợ c n g h iệ m tr o n g

tr ư ờ n g h ợ p n à y t a s ử d ụ n g tín h c h ấ t củ a trirừ n g h ấ p d ầ n N e w to n v à d ạ n g nghiệm tr o n g c a học cổ điển

Lấy h ệ t ọ a độ t í n h to á n là hệ, m à ờ k h o ản g cách x a với khối lư ự n g h ấ p

d ẫ n hệ t r ờ t h à n h hệ t ọ a độ cầu th ô n g th ư ờ n g Xgoài r a vì t r ư ờ n g đối x ứ n g cầu và độ do c ủ a k h ô n g gian đ ư ợ c xác định bời t r ư ờ n g , n ê n t e n x ơ m e tr ic Ọij

phải đối x ứ n g cầu T h e o đó tọ a độ tạ i các điềm cách x a t â m h ú t có d ạ n g

X 1 = 7\ X2 = ớ, X3 = i p) aj° = t

tro n g đó r , ớ, V? - là t ọ a độ cầu th ô n g th ư ờ n g

Q uỳ đ ạ o c ủ a các p h ầ n t ử ờ xa t â m h ú t phải là đ ư ờ n g t h ẳ n g , s a o cho t e n x ơ

R ie m a n n - C h risto ffel R j kỊ = 0 T a viết biểu th ứ c c ủ a k h o á n g cách k h ô n g -

tă n g vò h ạ n D o t í n h đối x ứ n g c ầ u n ê n các số h ạn g drdO, dOd^p v.v k h ô n g

x u ấ t h iện tr o n g ds2y t ư ơ n g t ự các số h ạ n g chứn tích với dt n h ư drdt, v.v

c ù n g bỏ q u a vì t r ư ờ n g tĩn h và t h u ậ n nghịch theo th ờ i g ian n ê n nó k h ô n g p h ụ

th u ộ c vào d ấ u c ủ a dt. P h ư ơ n g p h á p xốc đ ịn h h à m / 1, /2 là đ ư a vào b iểu t h ứ c

c ủ a các h ệ số m e tr ic gtj t ừ (10.47) vào p h ư ơ n g tr ìn h h ấ p d ầ n (10.45) v à d ù n g (10.46) l à m điều k iệ n b iên (V vô cùng Đ ặ t

452 C h ư ơ n g X ỉ.Ỷ THUYẾT T R Ư Ờ N G

nen

Ỡ11 = - e A, 522 = - r 2sin2 ¥>, g33 = - r 2,

goo = efẤ, 5 i j = 0 {i Ỷ j)

9 = ơn 922.933/700 = - e A+/V* sin2 <p,

a11 = - e " A O22 = _-ỉ-s— o33 =

1 0 9 P H Ư Ơ N G TRÌNH EINSTKIN CỦA T R Ư Ờ N « HÁP DÂN 4 5 3

tr o n g đó 2m là h a n g sổ tích p h ả n Xem rằn g 771 là khối lư ợ n g c ủ a m ặ t trờ i

V ậy n ghiệm n h ậ n đ ư ợ c củ a bài to á n đ ặt r a về t h ế h ấ p d ẫ n Ọij là

là k h ỏ n g g ian p h ẳ n g c ủ a lý t h u y ế t t ư ơ n g đổi hẹp K hi m ^ 0 k h ô n g g ian n h ậ n

đ ư ợ c là k h ô n g gian cong, m ê tric c ủ a không gian n à y x á c đ ịn h t r ư ờ n g h ấ p d ẳ n

1 0 9 3 Q u ỹ đ ạ o c á c h à n h t i n h

B â y giờ t a n g h iên c ứ u quỳ đ ạ o cùa vật chuyển độ n g t r o n g t r ư ờ n g t ĩ n h đối

x ứ n g cầu, xác đ ịn h bỏri d ạ n g t o à n phương (10.49) Q u ỹ đ ạ o c ủ a v ậ t là đ ư ờ n g t.rắc địa, nên t a có

tìm cùa phương trình (10.52) là cp(s) = (<£>)o = 2 •

N g h iệ m t ư ơ n g ứ n g trong tr ư ờ n g h ạ p N e w to n là rõ r à n g vì với giả thiết

t r ư ờ n g lự c x u v ê n t â m , không th ề có t h à n h p h ầ n lực n à o vuông góc với m ặt

p h ẳ n g c h u y ể n đ ộng T ro ng trư ờ n g h ợ p này, m ộ t khi c h u y ển dộng x u ấ t hiện

trong mặt phầng ip = 7* nó sẽ tiếp tục thực hiện chuyển động trong cùng mật

p h ằ n g đó

1 0 9 P H Ư Ơ N G T R Ì N H EINSTEIN Cl A T H I - Ó v ; IIÁI' DAN 4 5 5

Đ ặ t n g h iệm <p = — vào pln ro n g trìn h 110.51) t a đirợc

T ro n g lý t h u y ế t cổ điển c ũ n g n h ư tro n g lý t h u y ế t U ra n g đối xem đại lư ợ n g

h là vận tốc diện tích, h ằ n g số ĩ lì tirc/ng ứ n g với k m1- S ự k h á c n h au th ể h iện

ờ số h a n g 3m i í 2, tl số g iừ a 'iìint2 và -pị b ằ n g 3 /ỉ2?i2, hay là bằng 3 ( r — )

c ủ a h à n h tin h số h ạ n g p h ụ th ê m tro n g p h ư ơ n g t r ì n h t ư ơ n g dối (10.60) có th ể

b ỏ q u a khi liên q u a n đến d ạ n g c ủ a q u ỹ đ ạo , n h ư n g n ó có ả n h h ư ờ n g đ ến điềm cận nhật (gần Mặt trời).

Chú ý. N ế u tr o n g các t í n h to á n trê n d ạ n g t o à n p h ư ơ n g c ơ sờ lấy là

ds2 = c27 (d£)2 - — - - r2 sin2ọ(dỡ)2 — r 2(dtp) 2,

7

4 6 0 Đ Á P ÁN VÀ C H Í DÂN

(x • y ) 2 ^ (x • x )(y • y ), [xiVíÝ ^ (xjXj)(ykyk)>

(xiy i + x 2y-2 + • • • + x nyn)2 < (x? + x \ + • • • + x ị ) ( y Ị + ýị + • • • + ýị).