Chuyên đề khảo sát hàm số ôn thi THPT Quốc Gia 2016

Nhận xét: Cách 1 áp dụng khi ta tìm được cụ thể tọa độ các điểm cực trị theo m.. Cách 2 cho trường hợp ta khơng tìm được cụ thể tọa độ các điểm cực trị... 1 b Tìm m để đồ thị hàm số  1

Trang 1

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Khảo sát hàm số CHUYÊN ĐỀ 1

KHẢO SÁT HÀM SỐ

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cĩ hồnh độ x , biết 0 x là nghiệm dương của 0

1

x x

Trang 2

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Khảo sát hàm số

Vì x là nghiệm dương của phương trình 0 4 ' 3y  0 nên ta chọn x0 3

Với x0 3, suy ra 



0 0 0

x y

Bài 2 Cho hàm số y x33x2mxm 2  1 , với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  1 khi m  0

b) Tìm m để đồ thị hàm số  1 cĩ hai điểm cực trị cĩ hồnh độ x , 1 x thỏa mãn: 2

Hàm số đồng biến trên các khoảng   và ; 2 0; ; nghịch biến trên khoảng  2; 0

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x   , 2 yCD2; đạt cực tiểu tại x  , 0 yCT  2

Giới hạn tại vơ cực: lim

   ; và lim

   Bảng biến thiên

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt  1;2 ,   3; 2

x

y

2 -2 O

y

-2

Trang 3

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Khảo sát hàm số b) Ta cĩ y'3x26x m

Đồ thị hàm số  1 cĩ hai điểm cực trị  phương trình 'y  cĩ hai nghiệm phân biệt 0





 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị  C , biết tiếp tuyến của  C tại M

cắt hai đường tiệm cận tại A và B tạo thành một tam giác IAB cĩ trung tuyến IN  10

HƯỚNG DẪN GIẢI

Trang 4

a

a a

Suy ra tọa độ điểm M cần tìm là: M0; 1 hoặc  M 2; 5 hoặc M 4; 3 hoặc M  2;1

Bài 4 Cho hàm số yx33mx2 2  1 , với m là tham số thực

b) Tìm m để đồ thị hàm số  1 cĩ hai điểm cực trị A , B sao cho A , B và M1; 2 thẳng hàng 

a) Với m  , hàm số trở thành: 1 yx33x2 2

● Tập xác định: D  

● Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: y'3x26x ; ' y    hoặc 0 x 0 x  2

Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 0 và 2;  ; nghịch biến trên khoảng   0;2

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  , 0 yCD 2; đạt cực tiểu tại x  , 2 yCT  2

Trang 5

- Giới hạn tại vơ cực: lim

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A , B là d y:  2m x2  2

Yêu cầu bài tốn M     d 2 2m2.1 2 m  2

Đối chiếu điều kiện tồn tại cực trị ta được giá trị m cần tìm là: m   2

Nhận xét: Cách 1 áp dụng khi ta tìm được cụ thể tọa độ các điểm cực trị theo m Cách 2 cho trường hợp ta khơng tìm được cụ thể tọa độ các điểm cực trị

Bài 5 Cho hàm số yx42mx2 2  1 , với m là tham số thực

Trang 6

b) Tìm m để đồ thị hàm số  1 cĩ ba điểm cực trị đồng thời một điểm cực đại, một điểm cực tiểu cùng với gốc tọa độ tạo thành ba đỉnh của tam giác cĩ diện tích bằng 2

Các khoảng nghịch biến   và ; 1  0;1 ; Các khoảng đồng biến 1; 0 và 1;  

- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x   , 1 yCT 1; đạt cực đại tại x  , 0 yCD 2

- Giới hạn tại vơ cực: lim lim

Để hàm số cĩ ba cực trị  'y  cĩ ba nghiệm phân biệt 0 m  0

Tọa độ điểm cực đại A 0;2 , các điểm cực tiểu B m;2m2, C m;2m2

Suy ra tọa độ trung điểm của BC là H0;2m2

Theo giả thiết bài tốn ta cĩ:







Trang 7

b) Tìm điểm A cĩ tọa độ nguyên thuộc  C , biết tiếp tuyến của đồ thị tại A cắt trục hồnh tại điểm B và

tam giác OAB cân tại A

a)

● Tập xác định: 3

\4



3 4 4 3



3 4

Trang 8

Vậy A  2;2 thỏa yêu cầu bài tốn

Cách 2 Gọi H là hình chiếu của A trên Ox , suy ra H a ; 0

Tam giác OAB cân tại A nên AH vừa là đường cao vửa là đường trung tuyến

Do đĩ H là trung điểm OB Điều này tương đương với

Cách 3 Do tam giác OAB cân tại A nên hệ số gĩc của đường thẳng OA và hệ số gĩc của đường thẳng

Nhận xét Cách 1 xuất phát từ ý tưởng thơng thường nên các em hay chọn cách này Cách 2 và 3 địi hỏi các

em cĩ khả năng tư duy về hình học một chút

Bài 7 Cho hàm số yx33x23mx 3  1 , với m là tham số thực

b) Tìm m để hàm số  1 đồng biến trên khoảng 0; 

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  , 0 yCD3; đạt cực tiểu tại x  , 2 yCT  1

Trang 9

-1

 y

Xét hàm số f x  x22x với x  0

Ta cĩ f x'  2x ; 2 f x'    0 x 1

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta được giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài tốn là: m  1

Cách 2 Phương pháp tam thức bậc hai

Hàm số  1 đồng biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi ' y  , 0  x 0

Trang 10

Kết hợp hai trường hợp ta được giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài tốn là m  1

Nhận xét: Cách 1 chỉ dùng được khi ta cơ lập được m ở một vế cịn biểu thức chứa x (khơng chứa m ) ở một vế Cách 2 thì dùng được cho mọi trường hợp nhưng khĩ hơn

Bài 8 Cho hàm số 1

1

x y x





 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Tìm điểm M thuộc  C cĩ tọa độ nguyên, biết khoảng cách từ O đến tiếp tuyến tại của  C tại M

bằng 1

4 khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị đến tiếp tuyến đĩ (O là gốc tọa độ)

Trang 11

x y



-1 -1

1 1

a

a a

b) Tìm m để đường thẳng d y: m x   cắt 1 1  C tại ba điểm phân biệt A 1;1 , M , N sao cho

tích các hệ số gĩc của tiếp tuyến với đồ thị tại M và N bằng 27

a)

● Tập xác định: D  

- Chiều biến thiên: y' 3x23; 'y    hoặc 0 x 1 x   1

Hàm số nghịch biến trên các khoảng   và ; 1 1;  ; đồng biến trên khoảng  1;1

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  , 1 yCD1; đạt cực tiểu tại x   , 1 yCT  3

Trang 12

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 2;1, 2; 3 

Đối chiếu điều kiện để d cắt  C tại ba điểm phân biệt ta được: m   1

Bài 10 Cho hàm số yx42mx2m 1  1 , với m là tham số thực

b) Tìm m để hàm số cĩ ba cực trị tạo thành tam giác cân cĩ độ dài cạnh đáy bằng 2

Trang 13

- Chiều biến thiên: y'4x34x ; ' y    hoặc 0 x 0 x   1

Các khoảng nghịch biến   và ; 1  0;1 ; các khoảng đồng biến 1; 0 và 1;  

- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x   , 1 yCT  1; đạt cực đại tại x  , 0 yCD 0

Để hàm số cĩ ba cực trị  'y  cĩ ba nghiệm phân biệt 0 m  0

Điểm cực đại A0;m  ; các điểm cực tiểu 1





 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Tìm m để đường thẳng d y:  x 2m cắt  C tại hai điểm phân biệt cĩ hồnh độ x , 1 x thỏa mãn 2

Trang 14

- Chiều biến thiên:

Trang 15

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  1 khi m   1

b) Tìm m để đồ thị hàm số  1 cĩ các điểm cực đại và cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng d y:   x 2

a) Với m   , hàm số trở thành: 1 y2x36x

- Chiều biến thiên: y'6x2 ; '6 y    hoặc 0 x 1 x   1

Hàm số đồng biến trên các khoảng   và ; 1 1;  ; nghịch biến trên khoảng  1;1

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x   , 1 yCD 4; đạt cực tiểu tại x  , 1 yCT  4

Đồ thị hàm số  1 cĩ hai điểm cực trị  phương trình 'y  cĩ hai nghiệm phân biệt 0 m  1

Trang 16

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Khảo sát hàm số Cách 2 Áp dụng cho bài tốn khơng tìm được cụ thể tọa độ các điểm cực trị

Đồ thị hàm số  1 cĩ hai điểm cực trị  phương trình y  cĩ hai nghiệm phân biệt ' 0

Đối chiếu điều kiện, ta được giá trị m cần tìm là: m  hoặc 3 m   6

Nhận xét Các em nên làm theo Cách 1, cực chẳng đã khi khơng biểu diễn được tọa độ các điểm cực trị theo

m thì mới làm Cách 2 này

Bài 13 Cho hàm số 2 1

1

x y x





b) Tìm điểm M thuộc  C sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng 3 lần khoảng cách từ M

đến tiệm cận ngang của đồ thị

Trang 17

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Khảo sát hàm số a)

Đường tiệm cận đứng d x  ; đường tiệm cận ngang ' :: 1 d y  2

Yêu cầu bài tốn d M d , 3d M d , '

Trang 18

b) Tìm điểm M thuộc  C cĩ tọa độ nguyên sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M tạo với đường thẳng

- Chiều biến thiên: y'3x212x  ; '9 y    hoặc 0 x 1 x  3

Hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 3; ; nghịch biến trên khoảng   1; 3

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  , 1 yCD4; đạt cực tiểu tại x  , 3 yCT 0

d d

Trang 19

b) Tìm m để hàm số  1 cĩ ba điểm cực trị A , B , C với A thuộc trục tung sao cho M  1;2 nhìn đoạn

- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x   , 1 yCT 2; đạt cực đại tại x  , 0 yCD3

Trang 20

1

.2

m m

Đối chiếu điều kiện, ta được giá trị m cần tìm là: m   hoặc 1 m   2

Bài 16 Cho hàm số 2 3

1

x y x





b) Tìm m để đường thẳng d x: 3ym cắt 0  C tại hai điểm phân biệt M , N sao cho tam giác AMN vuơng tại A 1; 0

Trang 21

x y

O

2

3 2

Vậy m   thỏa mãn yêu cầu bài tốn 6

Bài 17 Cho hàm số yx33x2mx 2  1 , với m là tham số thực

b) Tìm m để hàm số  1 cĩ hai điểm cực trị đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng d: 2x   một gĩc bằng y 1 0 45 0

a) Với m  , hàm số trở thành: 0 yx33x2 2

- Chiều biến thiên: y'3x26x ; ' y    hoặc 0 x 0 x   2

Hàm số đồng biến trên các khoảng   và ; 2 0; ; nghịch biến trên khoảng  2; 0

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x   , 2 yCD 2; đạt cực tiểu tại x  , 0 yCT  2

   ; và lim

  

Trang 22

x





b) Đường thẳng d đi qua điểm A1; 2 và cĩ hệ số gĩc là m Tìm m để d cắt   C tại hai điểm phân biệt

M , N thỏa mãn AM 2AN

Trang 23

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Khảo sát hàm số a)

y

b) Phương trình của đường thẳng d y: m x   1 2

Phương trình hồnh độ giao điểm giữa d và  C là

3  1 2

1

x

m x x

Để d cắt  C tại hai điểm phân biệt  phương trình  * cĩ hai nghiệm phân biệt

Trang 24

Giả sử M x y ,  1; 1 N x y là tọa độ giao điểm của d và  2; 2  C

Khi đĩ x , 1 x là nghiệm của 2  * Theo Viet, ta cĩ

Bài 19 Cho hàm số yx33x2 2

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d y: m x  tại ba điểm phân biệt cĩ hồnh độ là 1 x , 1 x , 2

Trang 25

m m

Đối chiếu điều kiện để d cắt  C tại ba điểm phân biệt ta chọn m   2

Bài 20 Cho hàm số yx42mx22mm4  1 , với m là tham số thực

b) Với những giá trị nào của m thì hàm số  1 cĩ ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đĩ lập thành một tam giác cĩ diện tích bằng 4 2

Trang 26

Để hàm số cĩ ba cực trị  'y  cĩ ba nghiệm phân biệt 0 m0

Điểm cực đại A0;2mm4; cực tiểu B m m; 4m22m và C m m; 4m22m

Gọi H là trung điểm BC , suy ra H0;m4m22m

Tam giác ABC cân tại A , nên





b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d y: 3x cắt m  C tại hai điểm A và B phân biệt sao cho

trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng  :x 2y   với O là gốc tọa độ 2 0

a)

● Tập xác định: D  \ 1 

Trang 27

- Chiều biến thiên:

O

2

1 -1

12

b) Phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị  C :

2 1

31

Trang 28

b) Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của đồ thị  C tại M cắt đồ thị  C tại điểm thứ

O

b) Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số cĩ tọa độ M a a ; 33a22

Khi đĩ phương trình tiếp tuyến tại M cĩ dạng:

Trang 29

Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị  C và tiếp tuyến là:





b) Viết phương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến đĩ cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần

lượt tại hai điểm A , B phân biệt sao cho AB  2IB với I 2; 2

Trang 30

O

2

3 2 3 2

a

a a

a

a a

 



● Với a  suy ra phương trình tiếp tuyến :1 d y   x 2

● Với a  suy ra phương trình tiếp tuyến :3 d y   x 6

Vậy cĩ hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   hoặc x 2 y   x 6

Bài 24 Cho hàm số yx3mx2 4  1 , với m là tham số thực

b) Tìm m để đồ thị hàm số  1 cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt

Trang 31

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  , 0 yCD 4; đạt cực tiểu tại x  , 2 yCT 0

2

4

-1 O

b) Nhận xét Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số cĩ hai điểm cực trị và

hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hồnh

Ta cĩ y'3x22mxx x3 2m; 'y    hoặc 0 x 0 2

3

m

Để hàm số cĩ hai điểm cực trị y'0 cĩ hai nghiệm phân biệt m  0

Yêu cầu bài tốn  0 2 0 4 4 3 4 0 3

Đối chiếu điều kiện tồn tại cực trị ta được m  thỏa mãn yêu cầu bài tốn 3

Bài 25 Cho hàm số y2x4m x2 2 m2 1  1 , với m là tham số thực

b) Tìm m để đồ thị hàm số  1 cĩ ba điểm cực trị A , B , C sao cho bốn điểm O , A , B , C là bốn đỉnh của một hình thoi (với O là gốc tọa độ)

a) Với m  , hàm số trở thành: 2 y2x44x2 3

Trang 32





b) Tìm m để đường thẳng d y: 2x m cắt đồ thị  C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho

4SIAB 15 với I là tâm đối xứng của đồ thị  C

Định dạng
Số trang	64
Dung lượng	1,84 MB