Khoá luận tốt nghiệp nghiên cứu về các toán tử trong vật lý

Trong các công thức toán học của cơ học lượng do Paul Dirac và John von Neuman phát triển, các trạng thái khả di của một hệ cơ học lượng tử được biểu diễn bằng các vectơ đơn vị còn gọi l

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, bằng tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn cô giáo,

PGS.TS.Lưu Thị Kim Thanh, người đã hướng dẫn và tận tình chỉ bảo cho em

trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận

Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt cho em những kiến thức quý báu trong suốt bốn năm học vừa qua

Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn bè, những người đã giúp đỡ động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu đế hoàn thiện khóa luận này

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Trần Thị Thu

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó, em nhận được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô

giáo trong khoa Vật lý Đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em có tham khảo một

số tài liệu ghi trong mục tài liệu tham khảo

Vì vậy, em xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong đề tài “Nghiên cứu về các toán tử trong vật lý” không có sự sao chép, trùng lặp với bất cứ đề tài nào khác

Sinh viên

Trần Thị Thu

MỤC LỤC

PHÀN 1: MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứ u 2

4 Phương pháp nghiên cứ u 2

5 Nội dung nghiên c ứ u 2

PHÀN 2: NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: MỘT SÓ VẤN ĐÈ c ơ BẢN CỦA TOÁN TỬ 3

1.1 Toán tử 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Ma trận của toán tử liên h ợ p 3

1.1.3 Toán tử Hermite 5

1.1.4 Toán tử Unita U(t) .8

1.1.5 Phép tính của toán tử 10

1.2 Vectơ riêng và trị riêng của toán t ử 12

1.2.1 Định nghĩa 12

1.2.2 Tĩnh chất của trị riêng và vectơ riêng của toán tử Hermite 14

1.2.3 Phương trình đặc trưng của toán t ử 15

Kết luận chương 1 CHƯƠNG 2: CÁC TOÁN TỬ TRONG VẬT L Ý 18

2.1 Toán tử Hamilton 18

2.2 Toán tử tịnh tiến T 21

2.3 Toán tử xung lượng 22

2.4 Toán tử moment xung lượng 24

2.5 Toán tử sinh hạt và hủy hạt boson 25

2.6 Toán tử sinh hạt và hủy hạt Fermion 27

2.7 Toán tử spin của electron 30

2.8 Một số toán tử khác 33

2.9 Điều kiện đế hai đại lượng vật lý đồng thời xác định trong cùng một trạng th ái 34

2.10 Định lí Ehrenfest 35

Kết luận chương 2 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ HỆ THỨC ĐẠI SỐ TOÁN TỬ QUAN TRỌNG 38

3.1 Hệ thức 1 38

3.2 Hệ thức 2 39

3.3 Hệ thức 3 39

3.4 Hệ thức 4 40

3.5 Hệ thức 5 41

3.6 Hệ thức 6 43

3.7 Hệ thức 7 44

3.8 Hệ thức 8 45

3.9 Hệ thức 9 45

3.10 Hệ thức 10 46

Kết luận chương 3 PHÀN 3*: KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

PHÀN 1:MỞ ĐẦU l.Lý do chọn đề tài

Cơ học lượng tử xuất hiện vào nửa đầu thế kỉ XX, là một trong những lýthuyết cơ bản của vật lỷ học Cơ học lượng tử là phần bổ sung và mở rộng của cơ học Newton (còn gọi là cơ học cổ điển) Nó còn là cơ sở của rất nhiều các chuyên ngành khác của vật lý như vật lý chất rắn, vật lý lý thuyết,

Trong các công thức toán học của cơ học lượng do Paul Dirac và John von Neuman phát triển, các trạng thái khả di của một hệ cơ học lượng tử được biểu diễn bằng các vectơ đơn vị (còn gọi là các vectơ trạng thái) được thể hiện bằng các hàm số phức trong không gian Hilbert (không gian trạng th á i) Bản chất của không gian Hilbert này lại phụ thuộc vào hệ lượng tử Mỗi quan sát trong hệ lượng tử được biểu diễn bằng một toán tử tuyến tính Hermite xác định (hay một toán tử tự hợp ) tác động lên không gian trạng thái Mỗi trạng thái riêng của một quan sát tương ứng với một vectơ riêng (còn gọi là hàm riêng) của toán tử, và một giá trị riêng ( còn gọi là trị riêng) tương ứng với giá trị của quan sát trong trạng thái riêng đó Neu phổ của toán tử là rời rạc thì quan sát chỉ có thể có được những giá trị riêng rời rạc

Trong cơ học cổ điển, trạng thái của hệ có thể xác định bằng tập các tọa

độ và xung lượng Các đại lượng vật lỷ này đủ để đặc trưng cho trạng thái của

hệ cơ học và được gọi là các đại lượng động lực của cơ học Trong cơ học lượng tử, mỗi thuộc tính vật lý đều được đặc trưng bởi một toán tử Ví dụ như năng lượng, động lượng, tọa độ, đều có một toán tử tương ứng Mặt khác cơ học lượng tử được xây dựng bằng một hệ các tiên đề, bằng một loạt các công

cụ toán, trong đó toán tử giữ một vị trí quan trọng Việc hiểu rõ toán tử và tính chất của chúng là rất cần thiết đối với người học cơ học lượng tử nói riêng và vật lý nói chung

Vì lý do trên nên em quyết định chọn đề tài " Nghiên cứu về các toán tử trong vật lý."

2.Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về các toán tử trong vật lý để tạo ra công cụ hữu hiệu dùng trong nghiên cứu các hệ hạt vi mô thuộc cơ lượng tử

3.ĐỐÌ tượng nghiên cứu

Các toán tử cơ bản thường được sử dụng

4.P hư ơng pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu của lý thuyết trường lượng tử

5.Nội dung nghiên cửu

Chương 1: Một số vấn đề cơ bản của toán tử

Chương 2: Các toán tử trong vật lý

Chương 3: Một số hệ thức đại số toán tử quan trọng

PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: MỘT SÓ VẤN ĐÈ c ơ BẢN CỦA TOÁN TỬ

1.1 Toán tử

1.1.1 Định nghĩa

Cho không gian X, dim x= p và không gian Y, dim Y= q Từ đó định nghĩa: [4]

a Một phép toán nào đó, biến phần tử X a X thành phần tử y a Y được

gọi là một ánh xạ Kí hiệu phép toán này là F , phép toán biến

X —» y được viết như sau:

1.1.2 Ma trận của toán tử liên hợp

Ta biết rằng tác dụng của toán tử A lên vectơ trạng thái Ịụ/') dẫn đến trạng

thái mới mô tả bởi vectơ trạng thái I ọ ) Định nghĩa này được viết dưới dạng

phương trình [3]:

Fx = y ( x e X , ỵ e F)

b Ánh xạ F được gọi là tuyến tính nếu:

( 1 1)

Bây giờ ta khai triển Iv') và I ợ?) theo cơ sở II ịị^Ỷị; ( n ) là các vectơ riêng của toán tử A : AI un ^ = an I un))

Xét các vectơ bra (ụ/\ (tương ứng với ket |ụ/)) và (ự? I (tương ứng với ket

I (p) ) trong không gian đối ngẫu z*

H H v ' )(«p| = <y|Â <->|(p) = Â|i//)

A là toán tử tác dụng trong không gian đối ngẫu z , chuyển bra (ự I thành

bra \(Ọ\ Toán tử A gọi là toán tử liên hợp với A

Dựa vào biểu thức của tích vô hướng:

(y/,ọ) = (y/,ọ ) tức là {y/\ọ) = {ọ\y/) đồng thời thay |ự^)và (<p\ bằng biểu

thức của nó trong (1.4) ta thu được:

Dựa vào định nghĩa (1.5), dễ dàng suy ra các tính chất của việc lấy liên hợp toán tử như sau:

Ma trận biếu diễn toán tử A liên hợp với A sẽ được biêu diễn bởi ma trận

có các phần tử là: ( ^ + ) - ị^i A e ị ^ - ịej A ei^Ị - Aij Cuối cùng ta có

)j- = Ai = )i■ • Như vậy ma trận A + biểu diễn toán tử A thì bằng ma

trận A (biểu diễn toán tử А) chuyển vị và lấy liên hợp phức

1.1.3 Toán tử Hermite

Định nghĩa toán tử Hermite: Toán tử A gọi là toán tử Hermite nếu

А = А ,trong đó A là toán tử liên hợp Hermite với A và được xác định bởi

hệ thức tương tự (1.5)

Như vậy nêu A là toán tử Hermite thì ta có:

Sử dụng (1.2), (1.3) và (1.9) thu được an - an, nghĩa là trị riêng a n của

toán tử Hermite A là sô thưc

Từ định nghĩa A = A và công thức (1.7) ta có thế suy ra ma trận A biếu diễn một toán tử Hermite có tính chất sau:

hay ma trận A gọi là ma trận Hermite với các phần tử A với các tính chất sau:

Thí dụ: toán tử tọa độ X là toán tử Hermỉte

Xét toán tử trong biểu diễn tọa độ {|jt)Ị Vì cơ sở không gian vectơ trạng

thái là các vectơ riêng của toán tử tọa độ X trong biểu diễn tọa độ

Xét sự thay đối của toán tử X trong biểu diễn xung lượng Trước hết ta xét trị trung bình của toán tử X ở trạng thái \ự) bằng cách khai triển \ự) trong

biểu diễn xung lượng:

Đ ặ t: I # ) = X Iy/) Sử dụng quy tắc tổng ket-bra Ị J dpI p) (p I = 1 j , khai triển

ịx\p} = ị x X lự^Ị trong cơ sở {!/;)} thu được:

Thay (1.18) vào (1.17) ta có:

ịx ) = ị d p a * ( p ) i h —— a ( p )

Do đó X = iti— là dạng của toán tử X trong biểu diễn xung lượng.

Ta có thế thiết lập biểu thức của toán tử xung lượng trong biếu diễn xung lượng tương tự như thiết lập biểu thức của toán tử tọa độ trong biểu diễn tọa

1.1.4 Toán tử Unita U(t)

Toán tử Unita được định nghĩa như sau:

Với \ĩự (o)),\ iị / (í)) là trạng thái ban đầu ( t=0) và trạng thái của hệ ở thời

điểm t Tác dụng của u (í) chuyển trạng thái ban đầu \y/ (0)) thành trạng thái

k ( 0 ) ở thời điểm t

Toán tử u (t) không làm thay đổi điều kiện chuẩn hóa :

ị ỵ (í)|ị^(í)) = (y/ (0) ữ (t)ũ (t ) y/ (oỳj = ( ỵ (0)|(^ (o)) = 1

đòi hỏi ữ (t) là toán tử Ưnita:

Nên từ ( 1.56) có thể suy ra phương trình vi phân bậc nhất ( 1.55).

+Áp dụng phương trình toán tử ( 1.55) cho trạng thái ban đầu 1^(0)) thu được phương trình sau:

d

Neu toán tử H không phụ thuộc thời gian, ta có thể thu được biểu thức khép

kín đôi với toán tử u (t):

ữ + ( t ) ũ ữ (t) = u + ( t ) u ( t ) ũ = ũ

Từ ( 1.60) suy ra H là toán tử Hamiltonian của hệ với năng lượng trungbình :

Kí hiệu vectơ riêng của toán tử Hamiltonian H là I <p) thì phương trình trị

riêng của toán tử H có dạng:

H k ) = E k )

- Xét tác dụng của toán tử u (0 lên trạng thái riêng của toán tử H :

exp iũt k ) = 1 - ——+ — iUt 1

Từ các kết quả kể trên có thể kết luận rằng: Neu trạng thái ban đầu của hệ là

trạng thái riêng của toán tử Hamiltonian \iự (0)) = |<p), thì trạng thái của hệ ở

thời điếm bất kì t được xác định dưới dạng:

v/(f)) = exp I(p) = exp

 / - B / = (  - Ê ) / = Ô /

hay D = A — B

Vậy ta có toán tử lập từ hai toán tử bằng phép cộng và trừ Phép cộng có tính chất giao hoán và kết hợp.

• Phép tích:

ê = Â (b/ ) và h =b ( Â / )Phép lấy tích của hai toán tử nói chung không có tính chất giao hoán (khác với tích của hai số) nên nói chung ta có:

ê = Â (b/ ) * h = b( Â / )Vậy khi viết biểu thức ta cần lưu ý thứ tự toán tử trước và toán tử sau [6]

Thí dụ 1:

A = — ;B = X dx

Ta thấy rằng trong trường hợp này thì AB ^ BA

Như vậy tức là hai toán tử A và B không giao hoán

Thí dụ 2: A = X2,B = X ta thấy ngay rằng.

AB = BA = X3 Đây là trường hợp hai toán tử giao hoán

Е = Га,в] = А В -В А = 0Hay AB = BA

1.2 Vectơ riêng và trị riêng của toán tử

1.2.1 Định nghĩa

Cho một toán tử tuyến tính Ấ , ket Ijc) Ф 0 gọi là vectơ riêng của toán tử

A nếu:

hệ số tỷ lệ Я gọi là trị riêng của A ứng với vectơ riêng I x )

Neu I x) là một vectơ riêng của A thì mọi vectơ a x ) cũng nghiệm đúng

Nghĩa là a\x) đều là vectơ riêng của A ứng với cùng giá trị riêng Я Neu

ứng với cùng một giá trị riêng я có một vectơ riêng I *} (xác định sai kém một hằng số nhân a) thì trị riêng я gọi là không suy biến

Neu ứng với một trị riêng Ầ có g vectơ riêng độc lập tuyến tính, thỏa mãn

các phương trình trị riêng :

A | x , ) = A I j C j ^ ; A | x 2 ) = ắ | x 2 ) ; ; A x } ị = ằ x ^ ị

thì trị riêng này được gọi là suy biến bậc g

Dễ thấy rằng tổ họp tuyến tính bất kì của các vectơ riêng I *1) , I x 2) , x g ^

Cũng là một vectơ riêng của A ứng với cùng trị riêng Ẳ.

í — \ Â 1 ^ ^ ^ 0

v ’ k=0 k •

X) = e Tổng quát, nếu I*) là vectơ riêng của A ứng với trị riêng Ẳ thì nó cũng

là vecto riêng của hàm toán tử / ( í ) ứng với trị riêng / ( ắ ) :

1.2.2 Tính chất của trị riêng và vectơ riêng của toán tử Hermite

• Các trị riêng của toán tử Hermite là thực

Thực vậy, lấy liên hợp hai vế phương trình trị riêng A

lưu ý rằng A là Hermite nên Ấ = Ằ , do đó hai vế sau của hai phương trình

trên bằng nhau:

Theo định nghĩa vectơ riêng I x) * 0 nên (*|*) =* 0 , suy ra Ẳ là một số thực

• Vectơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau của một toán tử Hermite thì trực giao với nhau

Cho |jtj) và |jt2) là hai vectơ riêng ứng với hai trị riêng khác nhau \ và Ả 2

của toán tử Hermite A

1.2.3 Phương trình đặc trư ng của toán tử

Trong cơ sở trực chuẩn {!«„)}, vectơ |x) có thể khai triển một cách duy nhất

Với các hệ số là các tọa độ của vectơ I*) trong cơ sở đang xét.Vectơ I jc ) có thể biểu diễn dưới dạng một ma trận cột:

A,

(1.35)A,ỉ2 (A„„-A)

Giải phương trình bậc n đối với Ả , ta tìm được n nghiệm đó là các trị riêng

của toán tử A

Ẳ = ẢỊ,Ẳ 2, ,Ản

( 1.35) là phương trình đặc trưng của toán tử A Phương trình này có thể viết

lại dưới dạng:

|A - Ẳ I |= 0

Chú ý rằng nếu chuyển sang cơ sờ khác thì |A — Ầlị vẫn không thay đổi, tức

là các trị riêng của A không thay đổi.

Kết luận chương 1:

Trong chương 1, chúng tôi đã nêu lên một số vấn đề của toán tử như định nghĩa của toán tử, vectơ riêng trị riêng của toán tử, toán tử Hermite, phương trình đặc trưng của toán tử , Đây là một số những vấn đề cơ bản của toán tử giúp chúng ta tìm hiểu về định nghĩa, các tính chất của toán tử, là tiền đề để tìm hiểu về các toán tử trong vật lý

CHƯƠNG 2: CÁC TOÁN T Ử TRONG VẬT LÝ

Ngoài những đại lượng vật lý đặc trưng trạng thái chuyến động của hạt vi mô trong không gian như tọa độ, xung lượng, năng lượng, còn có những đại lượng vật lý gắn liền với bản chất của hạt vi mô như khối lượng, điện tích, spin, Trong cơ học lượng tử, mỗi đại lượng hay thuộc tính vật lý đều được đặc trưng bởi một toán tử

2.1 Toán tử Hamilton

Trong cơ học lượng tử, toán tử Hamilton hay Hamiltonian là một toán tử tương ứng với năng lượng toàn phần của hệ gây nên sự biến đổi theo thờigian, được kí hiệu là H Như ta đã biết thì năng lượng toàn phần của hệ bằngtống thế năng và động năng của hệ

H = T + Vtrong đó

• Dạng của toán tử Hamilton trong một số hệ tọa độ [4]:

Trong hệ tọa độ cầu:

E = - g r a d q ) - ^ -

dt

B = rot A Với điều kiện định cỡ Lorentz: divA = 0

Hàm Lagrange của hạt mang điện trong từ trường

Như vậy xung lượng của h ạ t :

p = P - e A

Nếu ngoài lực điện từ ra còn có những lực khác diễn tả bởi hàm lực u ịr,í),

thì biểu thức tổng quát của hàm Hamilton là:

Ị p - e A j = p - 2eAP + iehdivA + e2 A = p - 2 e A Ỹ + e2A

Ket quả trên đã tính đến điều kiện định cỡ Lorentz divA = 0 Thành thử

dạng của toán tử Hamilton :

mô tả chuyển động của hạt trong trường lực ơ(7\/j nào đó

Ta biểu diễn \y/) dưới dạng:

T(a)\y/) = T{a)ịdx I •*)(■* \y/) = ị d x ịx + a ^ x ị y / )

Biên độ xác suất tìm thấy trạng thái chuyển dịch này ở vị trí x:

( 2.6)

y/ =(x\y/ ^ = (x|T(ứ)|i//') = ị d x (X X +aj(x |i//)

= (x - a I \ự) = y/(x - a) Toán tử tịnh tiến phải là toán tử Unita T (a)T(a) = 1 để đảm bảo sự tịnh

tiến không ảnh hưởng đến chuẩn hóa của một vectơ, nghĩa là

2.3 Toán tử xung lượng

Xét toán tử tịnh tiến vô cùng bé

T(<5jt)|i//r) = T(ổx)J

= I dx X ^{x - ỗ x ị y / ) Khai triển Taylor hàm sóng \ự(x - ô x) = ( x — quanh X trong gần đúng

bậc một, ta có:

y/(x -ỏx^j -\ị/{x } — Sx — y/ịx ) = (* \lự^-ÔX — (x ịy/^ỳ

Thay kết quả này vào phương trình ( 2.10), thu được:

T(ổx)|i/ / } - ị d x x^Ị ịx ịy/^-Sx — (x \y/^

= \\ị/}-ôxịdx 1*')—- (*'|y/r)

( 2.11)

( 2 12)

Neu vectơ trạng thái |t//-) của hệ là vectơ riêng của toán tử tọa độ l^) = Ix')

thì các yếu tố ma trận của toán tử xung lượng trong biểu diễn tọa độ là:

Các toán tử (2.16), (2.17) lập thành toán tử vectơ xung lượng

ỉ = f xĩ + f y ] + f zk

= - i h Ỉ — + i - — + k — õ - õ 7* o

rÌY dy ^7 = - ỉ m

trong đó: V =7— + }— +k— là toán tử Nabla trong hê toa đô Descartes

Ta có thể mở rộng cho hệ nhiều hạt, lúc đó toán tử xung lượng cho hệ n hạtlà: